entoan.vn THUỘC ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Đậu Thanh Kỳ12 Bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng thường xuất hiện trong kỳ thi Đại học, Cao đẳng trong những năm gần đây và
Trang 1entoan.vn
THUỘC ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Đậu Thanh Kỳ12
Bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng thường xuất hiện trong kỳ thi Đại học, Cao đẳng trong những năm gần đây và không ít học sinh lúng túng khi gặp bài toán này Trong bài viết này chúng tôi đề cập đến cách thức để giải quyết dạng toán này
1 Phương pháp
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào hai nhận xét sau:
• Tọa độ của điểm A thuộc đường thẳng ∆ :
(
x = x0+ bt
y = y0 + at(t ∈ R) có dạng A(x0+ bt, y0+ at)
• Tọa độ của điểm A thuộc đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 có dạng A t, −at+c
b với b 6= 0 hoặc A −bt+ca , t với a 6= 0
2 Các ví dụ
Ví dụ 1 Cho đường thẳng ∆ : 3x − 4y − 12 = 0
(a) Tìm điểm A thuộc ∆ sao cho OA = 4
(b) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M (1, 2) lên đường thẳng ∆
Lời giải (a) Dễ thấy B(0, −3) thuộc đường thẳng ∆ và −→u (4, 3) là một vector chỉ phương của ∆ nên có phương trình tham số là
(
x = 4t
y = −3 + 3t(t ∈ R)
1 Trường THPT Diễn Châu 4, Nghệ An.
2 Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007 Đề nghị các bạn ghi rõ nguồn củahttp://onluyentoan.vn khi đăng tải trên các trang web khác.
1
Trang 2entoan.vn
Điểm A thuộc ∆ nên tọa độ của điểm A có dạng A(4t, −3 + 3t) suy ra
OA = 4 ⇔
q (4t)2 + (−3 + 3t)2 = 4 ⇔ 25t2− 18t − 7 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = − 7
25. Vậy ta tìm được hai điểm là A1(4, 0) và A2 −28
25, −9625 (b) Gọi H là hình chiếu của M lên ∆ khi đó H ∈ ∆ nên H(4t, −3 + 3t) Ta có −→u (4, 3) là vector chỉ phương của ∆ và vuông góc với −−→
HM (4t − 1, 3t − 5) nên
−−→
HM · −→u = 0 ⇔ 4(4t − 1) + 3(3t − 5) = 0 ⇔ t = 19
25. Suy ra H 7625, −1825
Ví dụ 2 (Đề thi Đại học khối B năm 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2, 2) và các đường thẳng: d1 : x + y − 2 = 0, d2 : x + y − 8 = 0 Tìm toạ độ các điểm B và
C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
Lời giải Ta có B ∈ d1, C ∈ d2 nên tọa độ B, C có dạng B(a, 2 − a), C(b, 8 − b), suy ra
−→
AB = (a − 2, −a), −→
AC = (b − 2, 6 − b)
Tam giác ABC vuông cân tại A nên
( AB = AC
−→
AB ·−→
AC = 0 ⇔
( (a − 2)2+ a2 = (b − 2)2+ (6 − b)2 (a − 2)(b − 2) − a(6 − b) = 0 ⇔
( (a − 1)(b − 4) = 2 (a − 1)2− (b − 4)2 = 3
Giải hệ này dễ dàng tìm được
(
a = −1
b = 3 ∨
(
a = 3
b = 5
Từ đó suy ra B(−1, 3), C(3, 5) hoặc B(3, −1), C(5, 3)
Ví dụ 3 (Đề thi Đại học khối A năm 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6, 6) Đường thẳng ∆ đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1, −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho
Lời giải Gọi H0 là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A, H là giao điểm của đường thẳng ∆
và AH Vì H ∈ ∆ nên H(a, 4 − a) Dễ thấy −→u (−1, 1) là vector chỉ phương của ∆ nên ta có
−−→
AH · −→u = 0 ⇔ −1 · (a − 6) + 1 · (−2 − a) = 0 ⇔ a = 2 ⇒ H(2, 2).
Do H là trung điểm của đoạn thẳng AH0 nên H0(−2, −2) Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua
H nhận −→u làm vector chỉ phương nên
BC :
(
x = −2 − t
y = −2 + t(t ∈ R)
Trang 3entoan.vn
A
B
C
H0
H
E
Gọi B(−2 − t, t − 2) thì ta có C(t − 2, −2 − t) Do E nằm trên đường cao đi qua đỉnh C nên
ta có −→
EC ·−→
AB = 0, hay
(t − 3)(−8 − t) + (1 − t)(t − 8) = 0 ⇔ t2− 2t − 8 = 0 ⇔ t = 4 ∨ t = −2
Vậy B(−6, 2), C(2, −6) hoặc B(0, −4), C(−4, 0)
Ví dụ 4 (Đề thi Đại học khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0 và d2 : 2x + y − 1 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành
Lời giải Ta có A ∈ d1, C ∈ d2, B, D thuộc trục hoành suy ra A(a, a), C(c, 1 − 2c), B(b, 0), D(d, 0) Vì ABCD là hình vuông và B, D thuộc trục hoành nên A và C đối xứng nhau qua trục hoành Do đó
(
a = c
a = 2c − 1 ⇔ a = c = 1
Suy ra A(1, 1), C(1, −1) Do ABCD là hình vuông nên suy ra BA ⊥ BC và trung điểm của
AC trùng với trung điểm của BD Ta có
BA ⊥ BC ⇒−→
BA ·−→
BC = 0 ⇔ (1 − b)2− 1 = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = 2 (1)
Và vì trung điểm của AC trùng trung điểm của BD nên
b + d = 2 (2)
Từ (1) và (2), ta có
(
b = 0
d = 2∨
(
b = 2
d = 0 Vậy có hai hình vuông thỏa mãn có tọa độ các đỉnh là A(1, 1), B(2, 0), C(1, −1), D(0, 0) và A(1, 1), B(0, 0), C(1, −1), D(2, 0)
Ví dụ 5 Cho hình bình hành ABCD có D(−6, −6), đường trung trực của đoạn DC có phương trình là ∆1 : 2x + 3y + 17 = 0 và đường phân giác góc [BAC có phương trình là
∆2 : 5x + y − 3 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành
Trang 4entoan.vn
Lời giải Gọi I là trung điểm của CD, do I ∈ ∆1 nên I(3a − 1, −2a − 5) Ta có −→u ·−→DI = 0, trong đó −→
DI(3a + 5, −2a + 1) và −→u (−3, 2) là vector chỉ phương của ∆, suy ra a = −1 Vậy I(−4, −3), suy ra C(−2, 0) Vì A ∈ ∆ nên tọa độ điểm A có dạng A(a, 3 − 5a)
Chú ý rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi−→
DA,−−→
DC không cùng phương và−→
AB =−−→
DC
Ta có
−→
AB =−−→
DC ⇔
(
xB− a = 4
yB− 3 + 5a = 6 ⇔
(
xB = a + 4
yB = 9 − 5a ⇒ B(a + 4, 9 − 5a)
Còn −→
DA, −−→
DC không cùng phương khi và chỉ khi
a + 6
4 6= 9 − 5a
6 ⇔ a 6= 0
Đường thẳng ∆2 là phân giác góc [BAC nhận vector −→u = (−1, 5) làm vector chỉ phương nên
cos−→
AB, −→u
= cos−→
AC, −→u
⇔
−→
AB · −→u
−→
AB
|−→u |
=
−→
AC · −→u
−→
AC
|−→u |
⇔ √26
52 =
26a − 13 q
(2 + a)2+ (5a − 3)2
⇔ a = 1 (thỏa mãn)
Vậy ta tìm được tọa độ các điểm A, B là A(1, −2), B(5, 4) Bài toán được giải quyết xong Nhận xét Sau khi tìm tọa độ điểm C, ta thấy C0(3, 1) là điểm đối xứng C qua ∆ Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C0 nhận −−→
DC làm vector chỉ phương nên có phương trình (
x = 3 + 4t
y = 1 + 6t (t ∈ R),
từ đó ta cũng suy ra được A(1, −2) và B(5, 4)
Ví dụ 6 (Đề thi Đại học khối A năm 2002) Cho tam giác ABC vuông tại A Biết phương trình đường thẳng ∆ chứa cạnh BC là √
3x − y −√
3 = 0; điểm A, B thuộc trục hoành Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2
Lời giải Dễ thấy B(1, 0) Vì C ∈ ∆ nên C a, √
3(a − 1) Ta có A, B thuộc trục hoành và tam giác ABC vuông nên A(a, 0), suy ra
−→
AB = (a − 1, 0), −→
AC =0, √
3(a − 1) Chú ý rằng ABC là tam giác khi và chỉ khi −→
AB, −→
AC không cùng phương hay a 6= 1 Theo công thức tính diện tích tam giác ta có SABC = pr = 1
2 · AB · AC, suy ra 2(AB + BC + CA) = AB · AC
Mặt khác, AB = |a − 1|, BC = 2|a − 1|, CA =√
3|a − 1| nên ta có 2
3 +√ 3
|a − 1| =√3(a − 1)2, suy ra a = 1 (loại) hoặc a = 3 + 2√
3 hoặc a = −1 − 2√
3 Vậy có hai trường hợp xảy ra và ta tìm được trọng tâm trong hai trường hợp đó là G17+4
√ 3
3 , 2
√ 3+6 3
, G2−1+4√3
3 , −2
√ 3+6 3
Trang 5
entoan.vn
Nhận xét Ngoài cách trên, ta còn có cách khác như sau: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
∆ABC Vì r = 2 nên yI = ±2 Từ phương trình đường thẳng BC suy ra bB = 60◦, do đó ta có
BI : y = x−1√
3 Suy ra
xI = 1 ± 2√
3 ⇒
"
xA = xC = 3 + 2√
3
xA = xC = −1 − 2√
3
Từ phương trình BC ta suy ra được yC, từ đó tìm được tọa độ ba đỉnh rồi suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác
Ví dụ 7 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB k CD, AB < CD) Biết A(0, 2), D(−2, −2) và I nằm trên đường thẳng x + y − 4 = 0 sao cho [AID = 45◦ (với
I = AC ∩ BD) Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang
Lời giải Do I thuộc đường thẳng x + y − 4 = 0 nên I(x0, 4 − x0) Ta có
AD = 2√
5, IA =
q 2x2
0− 4x0+ 4, ID =
q 2x2
0− 8x0+ 40
Sử dụng định lý hàm số cos cho tam giác IAD, ta được
IA2+ ID2− AD2
2IA · ID = cos [AID ⇔
x2
0 − 3x0+ 6
px2
0− 4x0+ 20 ·px2
0− 2x0+ 2 =
1
√ 2
⇔
(
x20− 3x0+ 6 > 0
x40− 6x30+ 12x20− 24x0 + 32 = 0 ⇔
(
x20− 3x0+ 6 > 0 (x0− 2)(x0 − 4)(x20+ 4) = 0 ⇔
"
x0 = 2
x0 = 4
• Với x0 = 2, ta có I(2, 2) Khi đó dễ dàng tính được IA = 2, ID = 4√
2, suy ra
−→
ID = −ID
IB ·−IB = −2→ √
2−→ IB
Từ đây suy ra B 2 +√
2, 2 +√
2 , C 2 + 4√2, 2 + 4√
2
• Xét x0 = 4 Tương tự ta tìm được B 4 + 3√
2, √ 2 , C 4 + 4√2, −2√
2
3 Bài tập tự luyện
Bài tập 1 (Đề dự bị Đại học khối B năm 2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2, 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x − 3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0 Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác
Đáp số B(−2, −3), C(4, −5)
Bài tập 2 (Đề dự bị Đại học khối A năm 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) Phương trình các cạnh AB : 4x + y + 14 = 0, AC : 2x + 5y − 2 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
Đáp số A(−4, 2), B(−3, −2), C(1, 0)
Bài tập 3 (Đề dự bị Đại học khối D năm 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2, 1) Trên trục Ox lấy điểm B có hoành độ xB > 0, trên trục Oy lấy điểm C có tung
độ yC > 0 sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất
Trang 6entoan.vn
Đáp số B(0, 0), C(0, 5)
Bài tập 4 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I 52, 52 , đỉnh A thuộc đường thẳng x + y − 3 = 0 và đỉnh B thuộc đường thẳng x + y − 4 = 0 Tính toạ độ các đỉnh của hình vuông
Đáp số A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4), D(4, 2) hoặc A(1, 2), B(3, 1), C(4, 3), D(2, 4)
Bài tập 5 Cho đường thẳng ∆ : x − 2y + 3 = 0 và hai điểm A(2, 5), B(−4, 5) Tìm M trên
∆ sao cho:
(a) 2M A2+ M B2 đạt giá trị nhỏ nhất
(b) M A + M B đạt giá trị nhỏ nhất
(c) |M A − M B| đạt giá trị lớn nhất
Bài tập 6 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD tâm I Biết A(0, 1) và B(3, 4) thuộc parabol (P ) : y = x2− 2x + 1, I nằm trên cung AB của (P ) sao cho 4IAB có diện tích lớn nhất Tính toạ độ hai đỉnh C và D
Đáp số C 3, −12 , D 0, −7
2 Bài tập 7 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Biết C 43, 2 , phương trình đường phân giác trong BK và đường phân giác ngoài Ax lần lượt là 2x − y + 4 = 0 và x − y + 10 = 0 Tính toạ độ hai đỉnh A và B
Đáp số A(−4, 6), B(−1, 2)
Bài tập 8 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I Biết hai cạnh AB và AD lần lượt có phương trình là 2x − y − 1 = 0 và x − 2y − 5 = 0, tâm I thuộc oarabol y2 = x Tính toạ độ các đỉnh của hình thoi
Đáp số B 13, −13 , D 5
3, −53 , C(3, 1) hoặc B 7
3, 113 , D 17
3, 13 , C(9, 7)
Bài tập 9 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C(−2, 0) Đường phân giác trong góc A có phương trình là 5x + y − 3 = 0 và−→
AB = 2−−→
OM với M (2, 3) Tìm tọa độ điểm A, B Đáp số A(1, −2), B(5, 4)
Bài tập 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích S = 32, tọa độ các đỉnh A(2, −3), B(3, −2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3x − y − 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
Đáp số C(−2, −10) hoặc C(1, 1)
... Đại học khối D năm 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2, 1) Trên trục Ox lấy điểm B có hồnh độ xB > 0, trục Oy lấy điểm C có tungđộ yC > cho...
3
Từ phương trình BC ta suy yC, từ tìm tọa độ ba đỉnh suy tọa độ trọng tâm tam giác
Ví dụ Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB k CD, AB < CD) Biết...
⇔ a = (thỏa mãn)
Vậy ta tìm tọa độ điểm A, B A(1, −2), B(5, 4) Bài toán giải xong Nhận xét Sau tìm tọa độ điểm C, ta thấy C0(3, 1) điểm đối xứng C qua ∆ Đường thẳng chứa