Microsoft PowerPoint Giao voi mat cong Chương 7 Giao với mặt cong I Giao của mặt phẳng và mặt cong Giao của mặt phẳng và mặt cong • Giao của mặt phẳng và mặt cong là tập hợp những điểm vừa thuộc mặt p[.]
Chương Giao với mặt cong I Giao mặt phẳng mặt cong Giao mặt phẳng mặt cong Để tìm điểm thuộc giao: • Trường hợp tổng quát: dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: – Dựng mặt phẳng phụ trợ cắt đồng thời mặt phẳng mặt cong – Tìm giao phụ mặt phẳng phụ trợ với mặt phẳng mặt cong – Tìm giao điểm giao tuyến phụ Giao mặt phẳng mặt cong Dạng giao • Giao mặt phẳng nón: Mặt phẳng qua đỉnh nón: giao hai đường sinh thẳng Mặt phẳng cắt tất đường sinh: giao ellipse Mặt phẳng song song với hai đường sinh thẳng: giao hypecbol Mặt phẳng song song với đường sinh thẳng: giao parabol Giao mặt phẳng mặt cong • Giao mặt phẳng mặt cong tập hợp điểm vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt cong Nói chung đường cong phẳng bậc với mặt cong • Để tìm giao, ta tìm số điểm thuộc giao nối lại Chú ý điểm đặc biệt giao: gần, xa nhất, cao, thấp nhất, điểm ranh giới thấy khuất Giao mặt phẳng mặt cong Để tìm điểm thuộc giao: • Trường hợp biết hình chiếu giao: áp dụng tốn liên thuộc để tìm hình chiếu cịn lại • Trong trường hợp tổng quát ta dùng phép biến đổi hình chiếu để mặt phẳng trở thành mặt phẳng chiếu, lúc tốn đưa trường hợp biết hình chiếu giao Giao mặt phẳng mặt cong Dạng giao • Giao mặt phẳng trụ: Mặt phẳng song song với đường sinh thẳng: giao hai đường sinh thẳng Mặt phẳng cắt đường sinh thẳng: giao ellipse Giao mặt phẳng mặt cong Dạng giao • Giao mặt phẳng cầu: giao tuyến vịng trịn Giao mặt phẳng mặt cong Ví dụ 1: Vẽ giao tuyến mặt phẳng chiếu đứng A với nón trịn xoay đinh S Giải: S1 A1 c1 x c2 S2 Giao mặt phẳng mặt cong Giải: • Mp song song với đường sinh ⇒ giao parabol • Mp chiếu đứng ⇒ biết trước hình chiếu đứng giao • Tìm hình chiếu ⇒ tìm số điểm nối lại Xét thấy khuất cho giao: giao thấy hình chiếu thuộc phần thấy mặt cong hình chiếu S1 Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến mặt phẳng A (uA, vA) với trụ tròn xoay chiếu Giải: A1 A1 F1 ≡ E1 c1 uA x B1 ≡ C1 x B2 E2 c2 A2 S2 vA F2 C2 Giao mặt phẳng mặt cong Giải: Giao ellipse • AB trục ellipse • CD trục thứ hai • R, R’ điểm ranh giới thấy khuất hình chiếu đứng • B,A điểm cao, thấp giao Xét thấy khuất cho giao: • Cung R1A1R’1: thấy • Cung R1B1R’1: khuất Giao mặt phẳng mặt cong uA B1 C1 R1 x R'1 D1 A1 Giao mặt phẳng mặt cong A1 Ví dụ 3: Vẽ giao tuyến mặt phẳng chiếu đứng A với mặt cầu Giải: O1 x C2 B2 R2 R'2 A2 D2 vA O2 Chương Giao mặt phẳng mặt cong Giải: Giao vịng trịn, hình chiếu ellipse • A2B2 trục ellipse • C2D2 trục dài ellipse • R2, R’2 ranh giới thấy khuất hình chiếu Xét thấy khuất cho giao: • R2A2R’2: khuất • R2A2R’2: thấy B1 Giao với mặt cong A1 C1 ≡ D1 R1 ≡ R'1 O1 A1 I II Giao mặt phẳng mặt cong Giao đường thẳng mặt cong Giao đường thẳng mặt cong x R2 C2 A2 B2 O2 D2 R'2 Giao đường thẳng mặt cong • Giao đường thẳng mặt cong tập hợp điểm vừa thuộc đường thẳng vừa thuộc mặt cong • Nói chung, đường thẳng cắt mặt cong bậc m m giao điểm Giao đường thẳng mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng chiếu đứng d nón Giải: S1 c1 d1 x d2 c2 Trường hợp biết hình chiếu giao • Nếu đường thẳng đường thẳng chiếu mặt cong mặt trụ chiếu ta biết trước hình chiếu giao • Áp dụng tốn liên thuộc để tìm hình chiếu cịn lại S2 Giao đường thẳng mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng chiếu đứng d nón Giải: Gọi M N giao điểm • M, N ∈ d ⇒ M1, N1 ≡ d1 • M, N ∈ nón ⇒ M2, N2 Xét thấy khuất cho đường thẳng S1 d1 ≡ M1≡ N1 c1 x d2 c2 N2 M2 S2 Giao đường thẳng mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng chiếu đứng d nón Giải: Gọi M N giao điểm • M, N ∈ d ⇒ M1, N1 ≡ d1 • M, N ∈ nón ⇒ M2, N2 Xét thấy khuất cho đường thẳng S1 d1 x x d2 N2 S2 M2 d2 Giao đường thẳng mặt cong Ví dụ 2: Tìm giao đường thẳng d trụ chiếu Giải: Gọi M N giao điểm • Trụ chiếu ⇒ M2, N2 • ⇒ M1, N1 ∈ d1 Xét thấy khuất cho đường thẳng Ví dụ 2: Tìm giao đường thẳng d trụ chiếu Giải: d1 ≡ M1≡ N1 c1 c2 Giao đường thẳng mặt cong N1 d1 M1 x N2 Giao đường thẳng mặt cong Ví dụ 2: Tìm giao đường thẳng d trụ chiếu Giải: Gọi M N giao điểm • Trụ chiếu ⇒ M2, N2 • ⇒ M1, N1 ∈ d1 Xét thấy khuất cho đường thẳng N1 d1 x N2 d2 M2 Giao đường thẳng mặt cong Trường hợp tổng quát • Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: – Qua đường thẳng dựng mặt phụ trợ σ – Tìm giao phụ – Tìm giao điểm đường thẳng giao phụ M1 d2 M2 Giao đường thẳng mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng d nón Giải: S1 d1 • Nếu mặt cong nón hay trụ, mặt phẳng phụ trợ nên mặt phẳng chứa đường thẳng qua đỉnh nón hay song song với đường sinh thẳng trụ x d2 S2 Giao đường thẳng mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng d nón Giải: • Tìm IJ = mp(S,d) ∩ mp đáy • K, L = IJ ∩ đường chuấn ⇒ SK, SL = (S,d) ∩ nón • M, N = SK, SL ∩ d x M, N giao điểm cần tìm Xét thấy khuất cho đường thẳng S1 d1 A1 N1 M1 J1 I1 d2 S2 A2 J2 M2 N2 L2 Giao đường thẳng mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng d nón Giải: • Tìm IJ = mp(S,d) ∩ mp đáy • K, L = IJ ∩ đường chuấn ⇒ SK, SL = (S,d) ∩ nón • M, N = SK, SL ∩ d x M, N giao điểm cần tìm Xét thấy khuất cho đường thẳng S1 d1 M1 I1 d2 I2 d1 Giải: Dùng phương pháp mp phụ trợ: • Dựng mp phụ trợ σ chiếu đứng chứa đường thẳng • Giao phụ vòng tròn v d1 ≡σ1 v1 d2 O2 O2 Giao đường thẳng mặt cong Xét thấy khuất cho đường thẳng O1 x d2 Thay mp hình chiếu để mp chứa v mp mặt Tìm giao điểm hệ thống Trả kết I2 K2 Giao đường thẳng mặt cong x Giải: Dùng phương pháp mp phụ trợ: • Dựng mp phụ trợ σ chiếu đứng chứa đường thẳng • Giao phụ vịng trịn v • Tìm giao d giao phụ M2 N2 L2 O1 S2 A2 J2 Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng d mặt cầu Giải: N1 J1 K2 Giao đường thẳng mặt cong A1 O1 Giải: Dùng phương pháp mp phụ trợ: • Dựng mp phụ trợ σ chiếu đứng chứa đường thẳng • Giao phụ vịng trịn v • Tìm giao d giao phụ O2 Thay mp hình chiếu để mp chứa v mp mặt Tìm giao điểm hệ thống Trả kết M'2 B'2 x d1 ≡σ1 N'2 A'2 B1 v N1 A1 M1 x d2 A2 N2 Giao đường thẳng mặt cong B1 M2 Xét thấy khuất cho đường thẳng M'2 B'2 x d1 ≡σ1 N'2 v'2 A'2 B1 v N1 A1 M1 O1 x d2 A2 N2 O2 B1 M2 Chương Giao với mặt cong I Giao mặt phẳng mặt cong II Giao đường thẳng mặt cong III Giao đa diện mặt cong Giao đa diện mặt cong • Giao đa diện mặt cong tập hợp điểm vừa thuộc đa diện vừa thuộc mặt cong • Nói chung đường cong phẳng nối với • Đường cong phẳng: giao mặt đa diện với mặt cong • Điểm nối: giao cạnh đa diện mặt cong S1 Ví dụ 1: Vẽ giao lăng trụ chiếu đứng (abc) nón trịn xuay đỉnh S Giải: c1 Giao đa diện mặt cong Giao đa diện mặt cong S1 Giải: • (ab) ∩ nón vịng trịn ⇒ điểm nối A, B c1 b1 a1 b1 ≡ A1 ≡ B1 a1 x x A2 S2 S2 B2 a2 c2 b2 Giao đa diện mặt cong a2 S1 Giải: • (ab) ∩ nón vịng trịn ⇒ điểm nối A, B • (bc) ∩ nón hai đường sinh thẳng ⇒ điểm nối C,D c1≡ C1 ≡ D1 b1 ≡ A1 ≡ B1 a1 x c2 b2 Giao đa diện mặt cong Giải: • (ab) ∩ nón vịng trịn ⇒ điểm nối A, B • (bc) ∩ nón hai đường sinh thẳng ⇒ điểm nối C,D • (ca) ∩ nón cung ellipse S1 c1≡ C1 ≡ D1 b1 ≡ A1 ≡ B1 a1 x A2 S2 A2 C2 S2 D2 D2 B2 a2 c2 b2 C2 a2 B2 c2 b2 Giao đa diện mặt cong Giải: Xét thấy khuất cho giao • Giao thấy hình chiếu thuộc phần thấy đa diện mặt cong hình chiếu • Ngược lại khuất S1 Giao đa diện mặt cong S1 Giải: Xét thấy khuất cho hai mặt c1≡ C1 ≡ D1 c1≡ C1 ≡ D1 b1 ≡ A1 ≡ B1 a1 b1 ≡ A1 ≡ B1 a1 x x A2 D2 a2 A2 C2 S2 D2 B2 c2 b2 a2 Giao đa diện mặt cong S1 Ví dụ 2: Vẽ giao lăng trụ chiếu đứng (abc) nón trịn xoay đỉnh S Giải: x B1 ≡A1 A2 C1 C2 S2 Giải: • Mp (SAC) ∩ trụ theo giao tuyến cung ellipse Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao x B1 ≡A1 A2 Tìm hình chiếu bằng: tìm số điểm giao nối lại Cung 124262: thấy Cung 125262: khuất B2 c2 b2 S1 41 11 31 61 21 51 C1 52 62 32 42 12 S2 C2 22 B2 Giao đa diện mặt cong Giải: • Mp (SAC) ∩ trụ theo giao tuyến cung ellipse Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao x B1 ≡A1 A2 Tìm hình chiếu bằng: tìm số điểm giao nối lại Cung 124262: thấy Cung 125262: khuất • Mp (SBC): tương tự • Mp (SAB) tiếp xúc trụ theo đường thẳng B2 Giao đa diện mặt cong B2 C2 S2 S1 41 Giao đa diện mặt cong S1 Giải: Xét thấy khuất cho hai mặt 11 41 11 31 31 61 61 21 21 51 C1 52 62 51 x B1 ≡A1 A2 C1 52 62 32 32 42 S2 12 22 42 C2 S2 B2 12 22 C2 Chương Giao với mặt cong I II III IV Giao mặt phẳng mặt cong Giao đường thẳng mặt cong Giao đa diện mặt cong Giao hai mặt cong Giao hai mặt cong S1 • Giao hai mặt cong tập hợp điểm thuộc hai mặt cong • Nói chung, giao hai mặt cong có bậc m n đường cong có bậc m x n • Tìm giao: tìm gần cách xác định số điểm thuộc giao nối lại Chú ý điểm gần, xa nhất, cao, thấp nhất, điểm ranh giới thấy khuất Có thể vẽ thêm tiếp tuyến giao số vị trí Ví dụ: Vẽ giao trụ trịn xoay chiếu đứng nón trịn xoay Giải: Giao hai mặt cong Giải: • Giao đường cong bậc • Trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao • Tìm hình chiếu bằng: tìm số điểm giao cách gắn điểm vào mặt nón • Nối giao: lần theo vết điểm hai hình chiếu S2 S1 Giao hai mặt cong G1≡ H1 A1 C1 ≡ D1 E1 ≡ F1 I2 E2 C2 G2 S2 A2 S1 Giao hai mặt cong Giải: Xét thấy khuất cho giao: • Một đoạn giao thấy hình chiếu thuộc phần thấy hai mặt hình chiếu • Ngược lại khuất Trên hình chiếu bằng: • C2A2D2: thấy • C2B2D2: khuất G1≡ H1 A1 C1 ≡ D1 H2 F2 B1 I1 ≡ J Giao hai mặt cong Giải: Xét thấy khuất cho hai mặt cong S1 G1≡ H1 A1 C1 ≡ D1 B1 I1 ≡ J E1 ≡ F1 I2 B2 D2 J2 B1 I1 ≡ J E1 ≡ F1 I2 E2 C2 E2 C2 G2 S2 G2 A2 S2 B2 H2 A2 B2 H2 D2 D2 J2 F2 J2 F2