Chuyên đề tích phân

Chuyên đề tích phân

CHUYÊN Đ Ề LUYỆN THI TÍCH PHÂN Dùng cho h ọc sinh lớp 12 -Ôn thi Đ ại học và Cao đ ẳng HUEÁ, 01/2013 Don't try to fix the students, fix ourselves first. The good teacher makes the poor student good and the good student superior. When our students fail, we, as teachers, too, have failed. LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 1 M ỤC LỤC Trang A. NGUYÊN HÀM 3 B. TÍCH PHÂN 4 C. PHÂN LO ẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 6 V ẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN ( ) n t f x 6 V ẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 11 D ẠNG 1: 2 2 a x 11 D ẠNG 2: 2 2 x a 14 D ẠNG 3: 2 2 x a 14 D ẠNG 4: hoaëc a x a x a x a x     18 V ẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI ÁC 19 D ạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản 19 D ạng 2: Tích phân dạng sin cos dx a x b x c   23 D ạng 3: Tích phân dạng 2 2 sin sin cos cos dx a x b x x c x   24 D ạng 4: Tích phân dạng 1 2 (sin )cos ; (cos )sinI f x xdx I f x xdx    25 1.Tích phân có d ạng sin .cos m n x xdx  26 2.Tích phân dạng 1 1 sin os ; ; , os sin m m n n x c x I dx I dx m n c x x        27 D ạ ng 5: Tích phân ch ứa     tan ;cos ; cot ;sinx x dx x x dx   28 D ạng 6: Đổi biến bất kì 29 V ẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 39 V ẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 42 V ẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 50 V ẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 58 V ẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 69 V ẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH V ẬT THỂ TRÒN XOAY 77 M ỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI 83 D. PH Ụ LỤC 95 LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 2 PHƯƠNG PHÁP Đ ẶT ẨN PHỤ KHÔNG LÀM THAYĐỔI CẬN TÍCH PHÂN 95 SAI L ẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN 100 Đ Ề THI ĐẠI HỌ C T Ừ 2009 -2012 107 TÀI LI ỆU THAM KHẢO 109 LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 3 A. NGUYÊN HÀM 1. Khái ni ệm nguyên hàm  Cho hàm s ố f xác đ ịnh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm c ủa f trên K n ếu: '( ) ( )F x f x , x  K  N ếu F(x) là m ột nguyên hàm của f(x) trên K thì h ọ nguyên hàm c ủa f(x) trên K là: ( ) ( )f x dx F x C   , C  R.  M ọi hàm số f(x) liên t ục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính ch ất  '( ) ( )f x dx f x C      ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx       ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k    3. Nguyên hàm c ủa một số hàm số thường gặp 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đ ổi biến số  0dx C   dx x C    1 , ( 1) 1 x x dx C             1 lndx x C x     x x e dx e C    (0 1) ln x x a a dx C a a       cos sinxdx x C    sin cosxdx x C     2 1 tan cos dx x C x     2 1 cot sin dx x C x      1 cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a a        1 sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a a         1 , ( 0) ax b ax b e dx e C a a        1 1 lndx ax b C ax b a      LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 4 N ếu ( ) ( )f u du F u C   và ( )u u x có đ ạo hàm liên tục thì:     ( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C   b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần N ếu u, v là hai hàm s ố có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu    B. TÍCH PHÂN 1. Khái ni ệm tích phân  Cho hàm s ố f liên t ục trên K và a, b  K. N ếu F là m ột nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân c ủa f t ừ a đ ến b và kí hi ệu là ( ) b a f x dx  . ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a    Đ ối với biến số lấy tích ph ân, ta có th ể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, t ức là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du F b F a         Ý ngh ĩa hình học : N ếu hàm số y = f(x) liên t ục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S c ủa hình thang cong gi ới hạn bởi đồ thị của y = f(x), tr ục Ox và hai đườn g th ẳng x = a, x = b là: ( ) b a S f x dx  2. Tính ch ất của tích phân  0 0 ( ) 0f x dx    ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx     ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx   (k: const)    ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx       ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx     LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 5  N ếu f(x)  0 trên [a; b] thì ( ) 0 b a f x dx    N ếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx   3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đ ổi biến số   ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a f u x u x dx f u du   trong đó: u = u(x) có đ ạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên t ục và hàm hợp f[u(x)] xác đ ịnh trên K, a, b  K. b) Phương pháp tích phân t ừng phần N ếu u, v là hai hàm s ố có đ ạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì: b b b a a a udv uv vdu    Chú ý:  C ần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.  Trong phương pháp tích phân t ừng phần, ta cần chọn sao cho b a vdu  d ễ tính hơn b a udv  . Trong ph ần sau sẽ trình bày kỉ thuật lựa chọn u và dv . LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 6 C. PHÂN LO ẠI VÀ PH ƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N: V ẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN ( ) n t f x Phương pháp: Khi hàm dư ới dấu tích phân có chứa biểu thức có dạ ng ( ) n f x . Lúc đó trong nhi ều tr ường hợp ( chứ không phải mọi trường hợp), ta có thể đổi biến bằng cách - Bư ớc 1: Đặt 1 ( ) ( ) '( ) n n n t f x t f x nt dt f x dx       - Bư ớc 2: Ghi nhớ “Đổi biến thì phải đổi cân” BÀI T ẬP MẪU: Tính các tích phân sau Bài 1: Tính 1 3 2 0 1I x x dx   Giải: Đ ặt t = 2 1 x  t 2 = 1 – x 2  xdx = -tdt Đ ổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 3 2 0 1I x x dx   =   1 2 0 1 . .t t tdt  =   1 2 4 0 t t dt  = 3 5 1 3 5 0 t t        = 2 . 15 Bài 2: Tính 1 3 3 4 0 1I x x dx   Gi ải: Đ ặt t = 3 4 3 4 3 2 3 1 1 4 x t x x dx t dt       Đ ổi cận: x 0 1 t 1 0 LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 7 Khi đó: 1 1 3 3 4 3 4 0 0 1 3 3 3 1 . 4 16 16 0 I x x dx t dt t       Bài 3: Tính 1 1 ln e x I dx x    Gi ải: Đ ặt 2 1 ln 1 ln 2 dx t x t x tdt x        Đ ổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó:   2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ln 2 .2 2 2 . 3 3 1 e x t I dx t tdt t dt x           Bài 4: Tính 2 3 1 1 dx I x x    Gi ải: Ta có: 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 dx x dx x x x x      Đ ặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3 tdt t x t x tdt x dx x dx         Đ ổi cận: x 1 2 t 2 3 Khi đó: LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 8       2 2 3 3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 ln 1 ln 1 ln ln ln 3 3 1 3 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ln ln 3 3 2 2 1 2 1 dx x dx dt I dt t t t x x x x t t t t                                                    Bài 5: Tính 4 2 7 9 dx I x x    Gi ải:  Đ ặt   2 2 2 2 2 9 9 0 ; 9 dx tdt tdt t x t x t tdt xdx x x t            Đổi cận: x 7 4 t 4 5 Khi đó: 5 2 4 5 1 3 1 7 ln ln 6 3 6 4 9 4 dt t t t       BÀI T ẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau     7 3 3 2 0 ln3 3 0 ln5 ln2 141 1) : 20 1 2) : 1 2 1 20 3) : 3 10 1 x x x x x x dx ÑS x e dx ÑS e e dx ÑS e e          LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 9 4 7 3 4 4 0 8 3 2 1 3 3 3 4) : ln 8 4 2 1 1 1 1 1 5) : ln ln 2 3 1 11 6) ( 2004) : 4ln2 3 1 1 x dx ÑS x dx ÑS x x x dx A ÑS x                 3 2 3 3 1 3 2 ln . 2 ln 3 7) ( 2004). : 3 3 2 2 8 : 2 ln e x x dx Khoái B ÑS x HD Ñaët t x       2 3 1 2 2 0 8) . . : 1 x x e dx ÑS e e x     2 3 2 2 5 (KhoáiA-2003) 1 5 9) . . 4 : ln 4 3 4 dx Ñaët t x ÑS x x     3 2 1 ln 76 10) .(Döï bò khoái D-2005) ln 1. : 15 ln 1 e x dx Ñaët t x ÑS x x     2 1 2 1 ln 2 2 2 11) ln . : : 3 3 1 ln e x x dx HD I I I ÑS e x x              2 1 1 62 12) . 1. : 30ln2 10 3 x x dx t x DS x       . 1 1 2 3 0 0 13) sin 1 x x x dx dx x     Hư ớng dẫn : 1 1 2 3 0 0 sin 1 x I x x dx dx x      Ta tính I 1 = 1 2 3 0 sinx x dx  đ ặt t = x 3 ta tính đư ợc I 1 = -1/3(cos1 - sin1) Ta tính I 2 = 1 0 1 x dx x  đ ặt t = x ta tính đư ợc I 2 = 1 2 0 1 2 (1 ) 2(1 ) 2 4 2 1 dt t          [...]... Dạng 2: Tích phân dạng dx  a sin x  b cos x  c x Cách giải: Đặt t  tan , đưa về tích phân hữu tỉ 2  Ví dụ 1: Tính tích phân 2 dx  2 cos x  sin x  2 0 ĐS: ln 3 2 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 23 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN  Ví dụ 2: Tính tích phân ĐS: 1 4 ln 2 3 ĐS:  3cos x  2sin x  2 1 5 ln 3 2 ĐS: dx 2 3 18 0  Ví dụ 3: Tính tích phân 4... x  x2  1 4 ĐS : CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN  3 8 1 1 du HD :Biến đổi tích phân đã cho về dạng:  2 2 0 u  u 1 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 17 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO DẠNG 4: a x hoặc ax CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN ax a x Tính tích phân sau: 0 1)  1 1 x 1 x DẠNG 5: HD : x  cos2t 5 2 2) 0 5 x 5 x HD : x  5cos2t  x  a  b  x  Tính tích phân sau: 3 2   x  1... 2  ln tan x  3  2 ln 3 tan x  1 3 tan x  1  CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN     3 tan x  1 3 6 6 6  3 1   2  ln 3  ln   2  ln 4  ln 2   2 ln 3  2 ln 2  ln   3 2   Ví dụ 2: Tính tích phân 4  sin 0 2 dx x  4cos2 x ĐS: 1 1 ln 4 3  Ví dụ 3: Tính tích phân 4  sin 0 2 dx x  4sin x cos x  3cos2 x ĐS: 1 3 ln 2 2 Dạng 4: Tích phân dạng I1   f (sin x )cos xdx; I 2   f (cos x )sin... 3 3  2  3  2     2 Ví dụ 2: Tính tích phân  sin 2 x cos3 xdx ĐS: 2 15 ĐS: 2 35 0  2 Ví dụ 3: Tính tích phân  sin 4 x cos3 xdx 0  2 Ví dụ 4: Tính tích phân  sin 2 x cos4 xdx ĐS: 0 sin m x 2 Tích phân dạng I1   dx; cosn x cosm x I1   n dx; sin x  32 m, n     đặt t  cos x đối với I1  Nếu m lẻ thì   đặt t  sin x đối với I 2   Nếu m và n đều chẵn và o m  n thì đưa về tan và cot...  sin2 t 5 4 1  3 ĐS :    8  12 8    BÀI TẬP BỔ SUNG Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 18 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản  1 dx 4 0 cos x 4 Ví dụ 1: Tính I   Giải: Đặt t = tanx ;  dt  1 dx cos2 x Đổi cận: x 0 t 0  4 1   1 4  t3  1 4 1 1 2 2 Khi đó: I   dx ... đưa về tan và cot o m  n thì đổi hàm ở tử theo mẫu sau đó tách tích phân và hạ bậc  Nếu m chẵn và n lẻ thì dùng tích phân từng phần  2 Ví dụ 1: Tính I    cos3 x dx s in2 x 6 Giải: Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 27 www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN Đổi cận:  2 1 2 T  6 X 1 Khi đó:   1 1 1 2 1   1  cos... x 0 cos x 3 Ví dụ 5: Tính I   Dạng 5: Tích phân chứa ĐS: 1 3  ln 2  32    tan x;cos x dx;   cot x;sin x dx Cách giải:  Đổi về sin và cos  Đặt t bằng một hàm ở mẫu  Ví dụ 1: Tính tích phân 3 t anx  1  cos x dx 0 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 28 www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  Hướng dẫn: CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN  3 t anx sinx dx   dx Đặt t ... Các trường hợp đặt biệt: 1 Tích phân có dạng  sin m x.cosn xdx với m, n     Nếu m lẻ hoặc n lẻ thì đặt t  hàm có chứa mũ chẵn  Nếu m và n đều chẵn thì hạ bậc  2 Ví dụ 1: Tính I   sin3 xcos3 xdx 0 Giải: Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx Đổi cận: Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 26 www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO x  0 t CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN 0 2 1 Khi đó:   1... phân ĐS: 1 4 ln 2 3 ĐS:  3cos x  2sin x  2 1 5 ln 3 2 ĐS: dx 2 3 18 0  Ví dụ 3: Tính tích phân 4  2 cos 0 2 dx x  3sin 2 x  2  Ví dụ 4: Tính tích phân dx 4  sin 2 x  2 0  Ví dụ 5: Tính tích phân 4 1  2sin x  2  cos x dx ĐS: 0 Dạng 3 : Tích phân dạng  a sin 2 2 3  2 ln 2 9 dx x  b sin x cos x  c cos2 x Cách giải: Cách 1: Đặt cos2 x ở mẫu làm thừa số chung sau đó đ ặt t  tan x Cách... t  1 3  t  1 4 x  1 2 3 t  1  1  t 3  t  1 2 2x  1  3 2 dx BÀI TẬP BỔ SUNG Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 01234332133, 0978421673 TP HUẾ 10 LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA CÁCH ĐẶT DẤU HIỆU 2 a x  x  a sin t với   / 2  t   / 2   x  a cos t với 0  t    2  a    với t    ;  \ {0} x  sin t   2 2 . 29 V ẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 39 V ẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 42 V ẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 50 V ẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 58 V ẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN. đổi lượng giác về tích phân cơ bản 19 D ạng 2: Tích phân dạng sin cos dx a x b x c   23 D ạng 3: Tích phân dạng 2 2 sin sin cos cos dx a x b x x c x   24 D ạng 4: Tích phân dạng 1 2 (sin. CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 1 M ỤC LỤC Trang A. NGUYÊN HÀM 3 B. TÍCH PHÂN 4 C. PHÂN LO ẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 6 V ẤN ĐỀ 1: