chuyen de tich phan_Hoang pot

Trường THPT Lai Vung 2 S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP Hội đồng bộ môn Toán Chuyên đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2009 – 2010 1 Trường THPT Lai Vung 2 Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản : Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 tan ln cosxdx x c= − + ∫ cot ln sinxdx x c= + ∫ kdx kx C= + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] • ( ) 0 a a f x dx = ∫ ; ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ 2 Trường THPT Lai Vung 2 • . ( ) b a k f x dx = ∫ ( ) b a k f x dx ∫ ( k là hằng số) • [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f c dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a b) Công thức hạ bậc: * sin 2 a = 1 cos2 2 a− * cos 2 a = 1 cos 2 2 a+ c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= + + − * [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + − * [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − + − − 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * 1 n n a a = và m n m n a a = * . . n n n a b a b= ; n n n a a b b = * a 0 = 1; a 1 = a ; a -n = 1 n a * .a a a α β α β + = ; a a a α α β β − = * ( ) . .a b a b α α α = ; a a b b α α α   =  ÷   * ( ) . a a β α α β = 5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a 2 – b 2 = (a+b)(a – b) * ( ) 2 2 2 2a b a ab b± = ± + * 3 3 2 2 ( )( . )a b a b a a b b± = ± +m * ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± 3 Trường THPT Lai Vung 2 B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ b) I 2 = 2 2 0 x e dx − + ∫ c) I 3 = 0 1 3 2 1 dx x − − + ∫ Giải: a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ = ( ) 1 4 4 4 0 1 (3 1) 1 5 . 3 1 ( 1) 3 4 12 4 x −   = − − − =   Vậy: I 1 = 5 4 b) I 2 = 2 2 0 x e dx − + ∫ = 2 2 0 1 1 x e − + − = – ( e – 2+2 – e 2 ) = e 2 –1 Vậy: I 2 = e 2 –1 c) I 3 = 0 1 3 2 1 dx x − − + ∫ = 0 1 1 3. ln 2 1 2 x − − + − = 3 (ln1 ln 3) 2 − − Vậy: I 3 = 3 ln3 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J 1 = ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ b) J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ c) J 3 = 8 6 6 1 2x x dx x + ∫ Giải: a) Ta có: (x 2 + 1) 2 = (x 2 ) 2 +2.x 2 .1 + 1 2 = x 4 + 2x 2 + 1 suy ra J 1 = ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ = 2 4 2 0 ( 2 1)x x dx+ + ∫ = 2 5 3 0 2 5 3 x x x   + +  ÷   = 206 15 Vậy: J 1 = 206 15 b) Ta có : 2 3 1 2 7. 2 2 x x x + = − + − − 4 Trường THPT Lai Vung 2 suy ra J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ = ( ) 1 1 0 0 1 ( 2 7. ) 2 7ln 2 2 dx x x x − + = − − − − ∫ = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 Vậy: J 2 = 7ln2 – 2 c) 1/2 1/6 6 1/2 1/6 1/3 1/6 6 2 2 2 2 x x x x x x x x − + + = = + = + suy ra J 3 = ( ) 8 8 1/3 4/3 1 1 3 2 2 4 x dx x x   + = +  ÷   ∫ = 4/3 3 3 8 2 8 ( 2) 4 4   + × − +  ÷   = 101 4 = 25,25 Vậy: J 3 = 101 4 Ví dụ 3: Tính các tích phân a) K 1 = 4 0 sin3 .cosx xdx π ∫ b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx − − ∫ Giải: a) Ta có: sin3x.cosx = ( ) 1 sin4 sin2 2 x x+ suy ra K 1 = 1 2 4 0 (sin4 sin2 )x x dx π + = ∫ 4 0 1 1 1 cos 4 cos 2 2 4 2 x x π   − −     = 1 2 Vậy: K 1 = 1 2 b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ Ta có: cos 2 2x = 1 cos4 2 x+ suy ra K 2 = 1 2 8 0 (1 cos 4 )x dx π + = ∫ 8 0 1 1 sin 4 2 4 x x π   +     = 1 2 ( ) 1 4 sin 0 8 4 8 π π     + −  ÷       = 1 1 2 8 4 π   +  ÷   Vậy: K 2 = 1 1 8 2 π   +  ÷   c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx − − ∫ Ta có : e 2x–1 – 1 = 0 ⇔ e 2x–1 = 1 = e 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = 1 2 [ ] 0;1∈ 5 Trường THPT Lai Vung 2 Suy ra K 3 = 1 1 2 2 1 2 1 1 0 2 ( 1) ( 1) x x e dx e dx − − − + − ∫ ∫ = 1 1 2 2 1 2 1 1 0 2 1 1 2 2 x x e x e x − −     − + −  ÷  ÷     = 0 1 1 1 1 0 2 2 2 e e −     − − −  ÷  ÷     + 0 1 1 1 1 2 2 2 e e     − − −  ÷  ÷     = 1 1 2 e − − + 1 1 2 e   −  ÷   Vậy K 3 = 1 1 1 1 2 2 e e − + − • Các bài tập tự luyện: Tính các tích phân: 1) L = ∫ +− 1 0 24 )23( dxxx KQ: L = 5 6 2) I = ∫ − 4 6 2 3 sin sin1 π π dx x x KQ: I = 2 223 −+ 3) J = dx x x ∫ − + 1 0 34 2 KQ: J = 9 4ln103 +− 4) K = dx x xx ∫ − 2 1 2 23 52 KQ: K = – 2 5) M = ∫ 12 0 5sin.7sin π xdxx KQ: M = 8 1 6) N = 4 1 2x dx− ∫ KQ: N = 5 2 7) P = 3 2 0 sin 3xdx π ∫ KQ: P = 6 π 8) Q = 4 2 0 tan xdx π ∫ KQ: 1 4 π − 9) R = /4 2 2 /6 sin .cos dx x x π π ∫ KQ: 2 3 3 II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( ) b a f x dx ∫ 1) Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. 6 Trường THPT Lai Vung 2 Ví dụ 4: Tính tích phân a) I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ b) I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ Giải: a) I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ + Đặt x = 2sint , t ; 2 2 π π   ∈ −     (u(t) = 2sint) ⇒ dx = 2costdt + Cận mới: x= 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0 x = 2 ⇒ 2sint = 2 ⇒ sint = 1 ⇒ t = 2 π + I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ = 2 2 0 4 4sin .2cott dt π − ∫ = 4 2 2 0 1 sin .cott dt π − ∫ = 4 2 2 0 cos .costt dt π ∫ =4 2 2 0 cos tdt π ∫ I 1 = 2 2 0 (1 cos 2 )t dt π + ∫ = 2 2 0 1 sin2 2 t t π   +  ÷   = π Vậy I 1 = π Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số π là 3,141592654. + Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính 2 2 0 a a x dx− ∫ , đặt x = asint , t ; 2 2 π π   ∈ −     (u(t) = asint) ⇒ dx = acostdt rồi thực hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ. b) I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ + Đặt x = 3tant, t ; 2 2 π π   ∈ −  ÷   ⇒ dx = 3(1 +tan 2 t)dt + Cận mới: x = 0 ⇒ 3tant = 0 ⇒ tant = 0 ⇒ t = 0 x = 3 ⇒ 3tant = 3 ⇒ tant = 1 ⇒ t = 4 π + I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ = 2 4 2 0 3(1 tan ) 9 9tan t dt t π + + ∫ = 2 4 2 0 3(1 tan ) 9(1 tan ) t dt t π + + ∫ = 1 3 4 0 dt π ∫ = 1 3 4 0 t π = 1 3 . 4 π Vậy I 2 = 12 π 7 Trường THPT Lai Vung 2 Chú ý: Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính 2 2 0 1 a dx a x+ ∫ , đặt x = atant , t ; 2 2 π π   ∈ −  ÷   ⇒ dx = a(1 + tan 2 t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự. 2) Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là α và β thì α =u(a) β = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. Ví dụ 5: Tính các tích phân a) J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ b) J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ c) J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ d) J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ e) J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ Giải: a) J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ + Đặt u = x 2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 1 2 du + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 2 = 1; x = 2 ⇒ u = 2 2 = 4 ( α = 1, β = 4) + J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ = 4 1 1 2 u e du ∫ = 1 2 4 1 u e = 1 2 ( e 4 – e 1 ) = 1 2 ( e 4 – e) + Vậy J 1 = 1 2 ( e 4 – e) b) J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ + Đặt u = 1 ln x+ ⇒ u 2 = 1 + lnx ⇒ 2udu = 1 x dx + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 ln1+ = 1; x = e ⇒ u = 1 ln e+ = 2 8 Trường THPT Lai Vung 2 + J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ = 2 1 u.2udu ∫ = 2 3 2 3 1 u = 2 3 3 3 ( 2) 1− ) = 2 (2 2 1) 3 − + Vậy J 2 = 2 (2 2 1) 3 − Ghi nhớ: • Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx ⇒ du = 1 x dx • ln1 = 0 và lne = 1 c) J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ + Đặt u = x 4 – 1 ⇒ du = 4x 3 dx ⇒ x 3 dx = 1 4 du + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 – 1 = –1; x = 1 ⇒ u = 1 4 – 1 = 0 + J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ = 0 5 1 1 4 u du − ∫ = 1 4 0 6 1 6 u − = 1 24 − + Vậy J 3 = 1 24 − d) J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ + Đặt u = 2 4 x− ⇒ u 2 = 4 – x 2 ⇒ 2udu = – 2xdx ⇒ xdx = –udu + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2 4 0− = 2; x = 2 ⇒ u = 2 4 2− = 0 + J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ = 0 2 u.( )u du− ∫ = 0 2 2 u du− ∫ = 1 3 2 3 0 u = 8 3 + Vậy J 4 = 8 3 e) J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ + Đặt u = 1 + sinx ⇒ du = cosxdx + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 +sin0 = 1; x = 2 π ⇒ u = 1 + sin 2 π = 2 + J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ = 2 4 1 du u ∫ = 2 4 1 u du − ∫ = 1 3− 2 3 1 u − = 7 24 + Vậy J 5 = 7 24 • Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: 9 Trường THPT Lai Vung 2 a) I = dxxx ∫ + 6 0 cos.sin41 π KQ: I = 6 133 − b) J = dxxx ∫ − 2 0 2 3 3 .8 KQ: J = –4 c) K = dxxe x ∫ − 1 0 2 KQ: K = e e 2 1− d) L = ∫ + e x dxx 1 )ln3( KQ: L = 8 13 e) M = ∫ + 21 0 2 7 x dx KQ: M = 73 π g) N = ∫ + 1 0 2 x x e dxe KQ: N = ln 3 2 e+ h) P = 1 2010 0 ( 1)x x dx− ∫ KQ: P = 1 4046132 (Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10 -7 ) 2) Tính các tích phân: a) I 1 = 2 0 (2sin 3)cosx xdx π + ∫ KQ: 4 b) J 1 = 2 2 1 3x x dx+ ∫ KQ: 7 7 8 3 − c) P = 1 2 0 4 2 1 x dx x x + + + ∫ KQ: 2ln3 d) Q= 2 4 2 0 5 tan cos x dx x π + ∫ KQ: 16/3 e) L 1 = 2 1 1 3ln ln e x xdx x + ∫ KQ: 116/135 g) N 1 = 2 1 1 x x e dx e − ∫ KQ: ln(e+1) III) Phương pháp tích phân từng phần: • Công thức: b b b a a a udv uv vdu = − ∫ ∫ • Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ). ( ) b a I P x Q x dx= ∫ 10