ĐỀ GIẢI TÍCH 30/11/2014 CA 1 Câu 1 cho L = lim n→0 √1 + x33 − ebx2 ln(1 + x) − x cos(ax) tìm khẳng định sai a)L = 1 khi a = 0, ∀b b)L = 0 khi b = 0, ∀a c)L = 2b khi a = 1 d)L = 0 khi a = −1 và b = 0 C[.]
ĐỀ GIẢI TÍCH 30/11/2014 CA √1 + x − ebx Câu 1: cho L = lim tìm khẳng định sai: n→0 ln(1 + x) − x cos(ax) a)L = a = 0, ∀b b)L = b = 0, ∀a c)L = 2b a = d)L = a = −1 b = x2 + x Câu 2: Khai triển Maclaurin hàm f(x) = tới bậc với phần dư Peano cos(x) 1 a)x + x − x − x + O(x ) 2 1 b)1 + x + x + x + x + O(x ) 2 1 c)x + x + x + x + O(x ) 2 d)1 + x − x − x + 2x + O(x ) −π π ́ Câu 3: Với y = + sin x , x ∈ ( , ) Tính x(y) 2 a) √1 − x b) c) d) √1 − (y − 1)2 √(y − 1)2 − 1 √x − Câu 4: Cho y = ln[f(ex + 1)] Tính y ′ ex f′(ex + 1) a) f(ex + 1) f′(ex + 1) b) f(ex + 1) ex f′(ex ) c) f(ex + 1) ex (ex + 1) d) f(ex + 1) x2 Câu 5: Tìm khoảng lõm đường cong f(x) = ln x + a) (1, +∞) b) (−∞, −1) ∪ [1, +∞) c) (−1; 1) d)[−1; 1] Câu 6: Tìm cực trị hàm số f(x) = |x − 2|(2x + 1) a) fcđ = 0, fct = −3 b) fcđ = 0, khơng có cực tiểu c)fct = 0, khơng có cực đại d)fct = 0, fcđ = 25 Câu 7: Khi x → thỉ khẳng định sai: a)√1 + 2x − ln(1 + x) − 1~ b) −1 x (e − 1) x 5x − sin x ~ (cos x − 1) + x2 c)x√1 + 2x − ln(1 + x) ~1 − cos x d) tan x − sin x ~ sin x − x cos x Câu 8: Tìm tiệm cận hàm y = x ln a) y = x − b) x = 0, y = x − c) x = −1, y = x − x+1 x d) x = −1 ex − Câu 9: Tìm giới hạn lim n→+∞ n + a) b) c) không tồn d) + ∞ Câu 10: Tìm MXĐ hàm f(x) = arcsin ( 3x ) x2 + a)(−∞, −2] ∪ [−1; 1] ∪ [2, +∞) b)(−∞, −2] ∪ [2, +∞) c)(−∞, −2) ∪ [−1; 1] ∪ (2, +∞) d)(−∞, −2) ∪ (−1; 1) ∪ (2, +∞) Câu 11: Khai triển Taylor hàm f(x) = √x đến bậc x0 = với phần dư Peano a) − (x − 1) − (x − 1)2 + O((x − 1)2 ) b) − (x − 1) − (x − 1)2 + O((x − 1)2 ) 3 c) − (x − 1) − (x − 1)2 + O((x − 1)2 ) d) − (x − 1) + (x − 1)2 + O((x − 1)2 ) sin x + x − xex Câu 12: Cho hàm f(x) = { x(cos x − 1) x ≠ Tìm a để hàm liên tục x = 3x + a x = a) a = −2 b) Các câu sai c) a = d) a = Câu 13: Tìm GTNN, GTLN hàm f(x) = arctan x+1 đoạn [0; 2] 2x − π −π , fmin = 2 π −π = , fmin = 4 a) fmax = b) fmax c) fmax = 1, fmin = −1 d) Các câu khác sai ′ Câu 14: Cho f(x) = |x| + |2x − 1| Tính f−1 ( ) a) − b) c) − d) n Câu 15: Tính giới hạn lim n→+∞ n √n2 + 2n cos (π √π2 + 2n n √n2 + 2n ) a) b) − c) 2π d) Không tồn ax −1 x→0 ax −2 Câu 16: Cho giới hạn L = lim+ Tìm khẳng định sai a e b) Khi < 𝑎 < 1: 𝐿 = a) Khi < 𝑎 < 𝑒: 𝐿 = c) Khi a = 1: L = d) Khi a>1: L=+∞ x x sin(ax) + −a + x3 Câu 17: Tính giới hạn lim 𝑥 x→0 −x − x3 a3 a) a + a3 b) a − c) a − a3 d) a + a3 Câu 18: Khi x → 0, xấp VCB sau theo thứ tự bậc giảm dần: x2 α(x) = sin x − x ln(1 + x) , β(x) = + x , γ(x) = √1 + 2x − e2x x −1 a) α(x), β(x), γ(x) b) β(x), α(x), γ(x) c) γ(x), β(x), α(x) d) Các câu sai Câu 19: Cho x = arcsin t , y = √1 − t Tính y ′′ (x) a) − b) − √1 − t c) √1 − t d) √1 − t 2 Câu 20: Cho hàm f(x) = a) f ′ (0) = b)f ′′′ (0) = c) f (5) (0) = d) f (4) (0) = ex − √1 + 2x Tìm đẳng thức sai ĐÁP ÁN GT1 30/11 CA √1 + x − ebx Câu 1: L = lim n→0 ln(1 + x) − x cos(ax) 1 Tử số: √1 + x − ebx ~ (1 + x ) − (1 + bx )~ − bx + x 3 (ax)2 x2 x3 −1 a2 Mẫu số: ln(1 + x) − x cos(ax) ~ (x − + ) − x (1 − x + ( + )x )~ 2 −bx Nếu a = 0, b tùy ý: L = lim = 2b ⟹ câu a sai n→0 −1 x x Nếu b = 0, a tùy ý: L = lim = ⟹ câu b n→0 −1 x −bx Nếu a = 1, b tùy ý: L = lim = 2b ⟹ câu c n→0 −1 x x Nếu a = −1, b = 0: L = lim = ⟹ câu d n→0 −1 x x2 + x Câu 2: Khai triển Maclaurin hàm f(x) = tới bậc với phần dư Peano cos(x) x2 + x x2 + x x2 2 ~ ~(x + x) + ~x + x + x + x ⟹ câu C (1 ) x2 cos(x) 2 1− −π π ́ Câu 3: Với y = + sin x , x ∈ ( , ) Tính x(y) 2 1 Ta có: x ′ = = y′ cos x Mà sin x = − y ⟹ cos x = √1 − (1 − y)2 ⟹ x′ = √1 − (1 − y)2 ⟹ câu B Câu 4: Cho y = ln[f(ex + 1)] Chọn câu A Câu đạo hàm từ từ, từ vào x2 Câu 5: Tìm khoảng lõm đường cong f(x) = ln x + TXĐ: [1, +∞) (∗) Cách 1: bạn thấy có đáp án A thuộc khoảng xác định nên chọn ln ^^ Cách 2: Ta có: y ′ = y ′′ = +x x −1 +1 x2 khoảng lõm ⟹ y ′′ > ⟺ x > ⟺ x > (do (∗)) ⟹ Chọn câu A Câu 6: Tìm cực trị hàm số f(x) = |x − 2|(2x + 1) y = { 2x 2− 3x − x ≥ −2x + 3x + x < 4𝑥 − 𝑛ế𝑢 𝑥 > ⟹ y′ = { −4𝑥 + 𝑛ế𝑢 𝑥 < 𝑦′ = ⟹ x = 𝑥 −∞ +∞ 3/4 + | + 𝑦′ 𝑦 Khi xét dấu y ′ 𝑐á𝑐 𝑏ạ𝑛 𝑛ê𝑛 𝑐ℎú ý 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 𝑙à ℎà𝑚 𝑛à𝑜 𝑣à 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > 𝑙à ℎà𝑚 𝑛à𝑜 25 𝑓(2) = 𝑣à 𝑓 ( ) = ⟹ chọn câu D Câu 8: Tìm tiệm cận hàm y = x ln x+1 x 𝑇𝑋Đ: 𝑥 > ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 < −1 𝑥2 1 ln (1 + ) 1+ x + 1 𝑥2 𝑥 𝑥 2 lim x ln = lim x ln (1 + ) = lim = lim = lim =0 −1 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 −2 𝑥→0 2(𝑥 + 1) x 𝑥 𝑥2 𝑥3 − lim x ln 𝑥→−1 x+1 x+1 = −∞ (𝑑𝑜 lim ln = lim ln = −∞) ⟹ x = −1 TCĐ 𝑥→−1 𝑥→−1 x x 𝐾ℎ𝑖 𝑥 → ∞ 𝑡ℎì 𝑡𝑎 𝑡ℎấ𝑦 ln (1 + ) 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐ô 𝑐ù𝑛𝑔 𝑏é 𝑥 1 1 1 x ln (1 + ) = x ( − + 𝑂 ( )) = 𝑥 − + 𝑥 𝑂 ( ) 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 𝑥 1 𝐾ℎ𝑖 𝑥 → ∞: x ln (1 + ) ~𝑥 − ⟹ y = x − 𝑙à 𝑇𝐶𝑋 𝑥 2 ⟹ Chọn câu C ex − Câu 9: Tìm giới hạn lim n→+∞ n + 2 Á𝑝 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑐ơ𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑉𝐶𝐿 𝑡𝑎 𝑐ó: ex − 1~ex n2 + 1~n2 Mà n2 ≪ ex ⟹ Chọn câu D Câu 10: Tìm MXĐ hàm f(x) = arcsin ( −1 ≤ 3x ) x2 + 3x ≤ ⟹ Chọn câu A x2 + Câu 11: Khai triển Taylor hàm f(x) = √x đến bậc x0 = với phần dư Peano 1 Đặ𝑡 𝑡 = 𝑥 − ⟹ f(t) = (1 + 𝑡)−3 = − 𝑡 + 𝑡 + 𝑂(𝑡 ) ⟹ f(x) = − (𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)2 + 𝑂((𝑥 − 1)2 ) ⟹ Chọn câu D sin x + x − xex Câu 12: Cho hàm f(x) = { x(cos x − 1) x ≠ Tìm a để hàm liên tục x = 3x + a x = sin x + x − xex Để ℎà𝑚 𝑠ố 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡ℎì lim = 𝑓(0) = 𝑎 𝑥→0 x(cos x − 1) x sin x + x − xe = lim 𝑥→0 x(cos x − 1) 𝑥→0 lim x− 𝑥3 𝑥2 + x − x (1 + x + ) = =𝑎 −𝑥 x( ) ⟹ Chọn câu C Câu 13: Tìm GTNN, GTLN hàm f(x) = arctan x+1 đoạn [0; 2] 2x − −3 (2𝑥 − 1)2 𝑦′ = < 0, ∀𝑥 x+1 + (2x − 1) 𝜋 𝜋 𝑓(0) = − 𝑣à 𝑓(2) = 4 x+1 𝜋 lim− arctan =− 2x − 𝑥→ lim+ arctan 𝑥→ x+1 𝜋 =+ 2x − 𝐷𝑜 lim 𝑐ó 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝑙ớ𝑛 ℎơ𝑛 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị ( 𝜋 𝜋 > ) 𝑛ê𝑛 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝐺𝑇𝐿𝑁 𝑇ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑐ó 𝐺𝑇𝑁𝑁 ⟹ Chọn câu D ′ Câu 14: Cho f(x) = |x| + |2x − 1| Tính f−1 ( ) 1 |x| + |2x − 1| − −𝑥 2 ′ f−1 ( ) = lim− = lim− = −1 1 1 𝑥→ 𝑥→ 𝑥− 2 𝑥−2 ⟹ Chọn câu C n Câu 15: Tính giới hạn lim n→+∞ n √n2 + 2n cos (π √π2 + 2n n √n2 + 2n n lim n→+∞ n √n2 + 2n cos (π √π2 + 2n n √n2 + 2n ) n ) = lim n→+∞ n √2n cos (π √2n n √2n = lim cos(π) = −2 n→+∞ ⟹ Chọn câu B Câu 16: Cho giới hạn L = lim+ x→0 ax − ax −2 Tìm khẳng định sai ) (𝑑𝑜 𝑥 𝑏 (∀𝑏) ≪ 𝑎 𝑥 (𝑎 > 1)) 1x −1 x→0 1x −2 𝐾ℎ𝑖 𝑎 = 1: L = lim+ =0 Khi < 𝑎 < 𝑡ℎì 𝑎+∞ = 0: L = lim+ x→0 ax − ax − = − ln(𝑎) 1x − 𝑎 x −1 𝑎 𝑥2 𝐾ℎ𝑖 𝑎 > 1: L = lim+ = lim+ = lim =0 x→0 x→0 −2 ln(𝑎) x→0+ 𝑎x − 𝑎x 𝑥2 𝑎x ⟹ Chọn câu A D 𝑎3 x (𝑎𝑥)3 (𝑎 − ) 𝑥 x sin(ax) + x(ax − ) + x(1 − 𝑥 ) − a 3−a + x Câu 17: lim = lim = lim x x→0 x→0 x→0 x(1 + 𝑥 ) − x 𝑥4 − x 1−x ⟹ Chọn câu B Câu 18: Khi x → 0, xấp VCB sau theo thứ tự bậc giảm dần: x2 α(x) = sin x − x ln(1 + x) , β(x) = + x , γ(x) = √1 + 2x − e2x x −1 𝑥6 𝑥2 𝑥3 α(x) = sin x − x ln(1 + x) ~ (𝑥 − ) − 𝑥 (𝑥 − ) ~ 2 2 x2 β(x) = + x ~ − 𝑥 (1 + 𝑥 ) + x ~ − 𝑥 x −1 −4𝑥 γ(x) = √1 + 2x − e2x ~ + 𝑥 − − 2𝑥~ 3 ⟹ Chọn câu B Câu 19: Cho x = arcsin 𝑡 , y = √1 − t Tính y ′′ (x) 𝑥 ′ (𝑡) = 𝑦 ′ (𝑡) = √1 − 𝑡 −𝑡 √1 − t ⟹ y ′ (x) = −t = g(t) ⟹y ′′ (x) 𝑔′ (𝑡) = ′ = − √1 − t 𝑥 (𝑡) ⟹ Chọn câu B Câu 20: Cho hàm f(x) = ex − √1 + 2x ~ (1 + 𝑥 + ex − √1 + 2x 𝑥4 𝑥4 − 1) (1 − 𝑥 )~𝑥 + − 𝑥 2 𝑓 (4) (0) = 4! 𝑣à 𝑓 (5) (0) = −5! ⟹ Chọn câu C D Tìm đẳng thức sai