Gt3 a

TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG NĂM HỌC: 2016 -2017 TRANG CHỦ: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG LỜI NĨI ĐẦU §TRÌNH GIẢNG DẠY TỐN CAO CẤP TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2016 - 2017 Chúc mừng bạn bƣớc vào ngƣỡng cửa đời Việc đỗ Đại học mở cho em trang với đầy hội nhƣng không thách thức Thách thức không việc học xa nhà môi trƣờng mà hội tiếp xúc để hỏi đáp với Giảng viên hạn chế giảng đƣờng lớn hàng trăm Sinh viên mà khối lƣợng kiến thức đồ xộ Tại bậc học Đại học, môn học đƣợc chia làm phân môn (hay cịn gọi học phần) Các học phần có tính độc lập tƣơng đối nội dung kiến thức nên đƣợc tổ chức học đánh giá kết học tập độc lập hoàn Bài tập hoàn toàn đƣợc tập trung dồn vào cuối §hoặc chun đề khơng theo (các buổi học) Các tập đƣợc giải theo tính chủ động học tập Sinh viên Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học bậc Đại học nên kết học tập môn học Đại cƣơng thƣờng thấp môn học chuyên ngành năm thứ 3, thứ (hoặc thứ 5) Tuy nhiên, §trình giảng dạy Tốn Cao Cấp Moon.vn vấn thiết kế tập cuối học lý thuyết (qua Video theo truyền thống Moon.vn) cuối §(Phần luyện tập chuyên đề) Cũng nhằm để làm quen với cách học Đại học, số video tập đƣợc đƣa với mục đích hƣớng dẫn em cách làm tập trình bầy bậc Đại học Thầy thiết kế §trình với lịch phát sóng sớm để em có hội tiếp cận sớm với kiến kỹ làm tập tốt Hy vọng với chuẩn bị sớm tốt, em thành đạt theo kinh nghiệm: 95% thành công việc chuẩn bị Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Để bạn Sinh viên tiện theo dõi §trình học, Thầy thiết kế §trình đào tạo đƣợc đánh mã số chi tiết theo phân đoạn đơn vị kiến thức để em dễ dàng theo dõi Các em vào đƣờng link sau để biết rõ tồn §trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 Tại bậc Phổ thơng, em học §trình Tốn cịn Tốn Cao Cấp khác biệt lớn đƣợc thể Trƣờng, thâm chí khối ngành học Trƣờng  Đối với khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sƣ phạm, KHTN), Cơng nghệ, §trình Tốn Cao Cấp đƣợc học Tốn A gồm có học phần riêng biệt với đƣờng link cho Tốn A (http://moon.vn/Pro/7/212): o Tốn A1: Đại số tuyến tính o Tốn A2: Giải tích o Tốn A3: Giải tích o Tốn A4: Giải tích  Đối với khối ngành Nông – Lâm – Y – Dƣợc, §trình Tốn Cao Cấp đƣợc học Tốn B gồm có học phần riêng biệt với đƣờng link cho Tốn B (http://moon.vn/Pro/7/213): o Tốn B1: Đại số tuyến tính o Tốn B2: Giải tích  Đối với khối ngành Kinh tế, Thƣơng mại, Tài chính, Ngân hàng, Luật Quản trị kinh doan §trình Tốn Cao Cấp đƣợc học Tốn C gồm có học phần riêng biệt với đƣờng link cho Tốn C (http://moon.vn/Pro/7/214): o Tốn C1: Đại số tuyến tính o Tốn C2: Giải tích Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết đƣợc bố trí với nội dung chi tiết cho khối ngành thông qua hệ thống video giảng giáo trình đầy đủ nhƣ tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng giải tập cho Toán A, Toán B Toán C Đi kèm lý thuyết kho liệu khổng tập đƣợc tổng hợp từ Đề thi cuối Học kỳ năm gần khối ngành:  Toán A1, A2, A3 A4: 3500 tập Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG  Toán B1 B2: gần 2000 tập  Toán C1 C2: gần 2000 tập Các tập trọng yếu đƣợc quay Video kèm lời giải giúp em ôn tập dễ dàng, tiếp cận phƣơng pháp giải nhanh chóng xác Thầy đội ngũ Supper Mods (cũng Giảng viên dạy Đại học) vui đƣợc trao đổi diễn đàn Toán cao cấp Moon.VN Facebook với đƣờng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/ Các em thắc trực tiếp với thầy trang Facebook cá nhân với đƣờng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan Chúc em nhanh chóng thu lƣợm đƣợc kiến thức, hoàn thiện kỹ vận dụng sáng tạo ! Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG MỤC LỤC PHẦN I PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN .8 §1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I Đại cƣơng phƣơng trình vi phân cấp Phƣơng trình phân ly .9 Phƣơng trình 10 Phƣơng trình khuyết biến 10 Phƣơng trình tuyến tính 12 Phƣơng trình Bernoulli .14 Phƣơng trình vi phân tồn phần 15 §2 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 17 Đại cƣơng phƣơng trình vi phân cấp 17 Phƣơng trình khuyết .18 Phƣơng trình tuyến tính 19 Phƣơng trình tuyến tính khơng 21 Phƣơng trình tuyến tính có hệ số khơng đổi .23 §3 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 30 Đại cƣơng 30 Cách giải hệ phƣơng trình vi phân 30 PHẦN II LÝ THUYẾT CHUỖI .32 §1 ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ CHUỖI SỐ 32 Chuỗi số 32 Tính chất 33 §2 CHUỖI SỐ DƢƠNG 34 Định nghĩa 34 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Các định lý so sánh 34 Các tiêu chuẩn hội tụ 35 §3 CHUỖI SỐ CÓ DẤU VỚI HẠNG TỬ BẤT KỲ .39 Chuỗi với số hạng có dấu 39 Chuỗi đan dấu 39 Tính chất chuỗi hội tụ tuyệt đối 40 §4 CHUỖI HÀM SỐ .42 Chuỗi hàm số hội tụ 42 Chuỗi hàm số hội tụ 42 Tính chất chuỗi hàm số hội tụ 43 §5 CHUỖI LŨY THỪA 45 Định nghĩa 45 Các tính chất chuỗi lũy thừa 47 Khai triển thành chuỗi lũy thừa .48 Khai triển số hàm số sơ cấp 49 §6 CHUỖI FOURIER .52 Chuỗi lƣợng giác chuỗi fourier 52 Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier 53 Khai triển hàm chẵn lẻ .54 PHẦN III PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE .57 §1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƢỢC .57 Phép biến đổi Laplace 57 Định nghĩa 57 Tính chất phép biến đổi Laplace .58 Phép biến đổi Laplace ngƣợc 60 §2 PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA BÀI TOÁN VỚI GIÁ TRỊ BAN ĐẦU .64 Phép biến đổi đạo hàm 64 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Nghiệm toán giá trị ban đầu Hệ Phép biến đổi đạo hàm bậc cao 64 Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính 66 Những kỹ thuật biến đổi bổ sung .67 §3 PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN 69 Mở đầu .69 Quy tắc phân thức đơn giản .69 Sự cộng hƣởng nhân tử tích lặp bậc 70 §4 ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI 72 Mở đầu .72 Tích chập hai hàm .72 Vi phân phép biến đổi .73 Tích phân phép biến đổi 75 Phép biến đổi hàm liên tục khúc .75 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG PHẦN I PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Phƣơng trình vi phân phƣơng trình có dạng F(x, y, y', y", , y(n)) = 0, x biến độc lập, y = y(x) hàm phải tìm, y', , y(n) đạo hàm Cấp cao đạo hàm có phƣơng trình, gọi cấp phƣơng trình Giáo trình xét phƣơng trình cấp Nghiệm phƣơng trình vi phân hàm số thỏa mãn phƣơng trình cho Nghiệm phƣơng trình tìm đƣợc dƣới dạng tƣờng minh y = y(x), dạng tham số x = x(t); y = y(t); dạng ẩn (x,y) = §1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I Đại cƣơng phƣơng trình vi phân cấp Định nghĩa Phƣơng trình vi phân cấp phƣơng trình dạng F(x,y,y') = Nếu từ phƣơng trình cho giải đƣợc theo y' phƣơng trình có dạng y' = f(x,y) Bài tốn Cauchy Là tốn tìm nghiệm phƣơng trình y' = f(x,y) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0, (x0, y0) giá trị cho trƣớc Bài toán Cauchy đƣợc viết  y'  f  x, y  1   y x  x  y0   Điều kiện (2) gọi điều kiện ban đầu, hay điều kiện Cauchy Định lý tồn nghiệm Xét toán Cauchy (1), (2) Giả sử f(x,y) liên tục D  ,  x , y0   D Khi đó, lân cận x0, tốn Cauchy (1), (2) ln có nghiệm Nếu có thêm điều kiện f y'  x, y  liên tục D, nghiệm Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Nghiệm tổng quát Ta gọi ghiệm tổng quát phƣơng trình y' = f(x,y) hàm số y  (x,C) , C số tùy ý, thỏa mãn điều kiện sau: a) Hàm số y  (x,C) thỏa mãn phƣơng trình cho với giá trị C b)   x , y0   D , với D miền mà điều kiện tồn nghiệm đƣợc thỏa mãn, ln tìm đƣợc giá trị số C  C0 , cho nghiệm y  (x,C0) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2) Nghiệm riêng, tích phân riêng Nếu cơng thức nghiệm tổng quát tích phân tổng quát, ta cho C giá trị cụ thể C0, nghiệm nhận đƣợc gọi nghiệm riêng tích phân riêng Nghiệm kỳ dị Có thể tồn nghiệm không nằm họ nghiệm tổng quát Những nghiệm nhƣ gọi nghiệm kỳ dị Phƣơng trình phân ly Là phƣơng trình dạng f(x)dx + g(y)dy = Cách giải: Tích phân hai vế phƣơng trình, đƣợc  f (x)dx  g(y)dy  C Gọi F(x) G(y) nguyên hàm tƣơng ứng, tích phân tổng qt phƣơng trình F(x) + G(y) =C   Ví dụ: Giải phƣơng trình ex  ydx   y  1 dy     1 Giải: Nếu y  , chia hai vế cho y, đƣợc e x  dx  1   dy  Tích phân  y hai vế,đƣợc ex  x  y  ln y  C Ngoài ra, y(x)  nghiệm Nghiệm không nằm họ nghiệm tổng quát, nên nghiệm kỳ dị Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Phƣơng trình y Là phƣơng trình có dạng y'  f   x Cách giải: Đặt y = tx Đạo hàm theo x, đƣợc y' = xt' + t Thế vào phƣơng trình cho,đƣợc xt '  f  t   t Nếu f  t   t  , chia hai vế cho x(f(t) - t) đƣợc y   dt dx dt dx     ln x    t   ln C  x  Ce  x  f t  t x f t  t x  t  Nếu f(t)  t, y' = y/x Nghiệm tổng quát y = Cx Nếu tồn t0 cho f(t0) = t0 thử trực tiếp, thấy y = t0x nghiệm riêng Ví dụ: Giải phƣơng trình y'  xy xy Giải: Chia tử mẫu cho x, dễ thấy phƣơng trình Đặt y = tx, đƣợc 1 t 1 t 1 t2 dx  t xt '  t   xt '  t    dt 1 t 1 t 1 t x  t2 Tích x y phận hai vế, đƣợc ln x  arctan t  ln(1  t ) + lnC Vậy  y arctan   x  Ce Phƣơng trình khuyết biến a) Phƣơng trình khuyết y Dạng phƣơng trình F(x,y') = + Nếu giải đƣợc y' = f(x) nghiệm tổng quát y =  f  x  dx + C Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 10 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG §2 PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA BÀI TỐN VỚI GIÁ TRỊ BAN ĐẦU Phép biến đổi đạo hàm Định lý Cho f(t) liên tục trơn khúc với t≥0 bậc mũ t→+∞ , tức tồn số không âm c, M T thoả mãn: f  t   Mect , t  T Khi tồn (2.1)  f '(t ) với s > c có:  f ' t   s  f t   f  0  sF (s)  f (0) Chứng minh:   f '  t    e  st  f '  t dt   e df  t   e  st  st  f (t ) |  s  e  st f (t )dt  0 ct t   s>c Do f  t   Me , t  T  e st f (t )    st Từ định lí (bài 1)   e f  t dt hội tụ với s>0 Từ  f ' s   s  f  s   f  0 Định nghĩa Hàm f đƣợc gọi trơn khúc [a;b]  khả vi [a;b] trừ hữu hạn điểm f’(t) liên tục khức [a;b] Nghiệm toán giá trị ban đầu Hệ Phép biến đổi đạo hàm bậc cao ( n 1) Giả sử hàm số f , f ', , f liên tục trơn khúc với t≥0 bậc mũ t→+∞ Khi tồn  f   t   s  f t   s n n n 1  f   t  với s>c có n f (0)  s n 2 f '(0)   f   s n F ( s)  s n 1 f (0)  s n 2 f '(0)   f  n 1 n 1 (0) (0) Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 64 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Ví dụ Sử dụng định lý 1, chứng minh t e   n at n!  s  a n 1 , n  1, 2,3, Chứng minh quy nạp +) n=1: f (t )  teat  f '(t )  ateat  eat  sF ( s)  f (0)  aF ( s)  t e   k at +) n=k: t +) k 1 at e 1  F ( s)  sa  s  a k! s  a k 1   sk a1 t e   sk a1 k at  k  1! k!  k 1  s  a   s  a k  Ví dụ Giải phƣơng trình: x " x ' x  với điều kiện x(0)=2,x’(0)=-1 x ' t   sX (s)  Ta có: x "t   s X  x   sx(0)  x '(0)  s 2 X ( s )  2s  Thay vào phƣơng trình cho có: (s X (s)  2s  1)   sX ( s)    X ( s)    s  s   X  s   2s   X(s)= Do 2s  2s  3    s  s   s  a  s   s  s  1 3t 2t   at    e nên có x  t   e  e nghiệm toán giá trị ban 5 s  a đầu Ví dụ Giải tốn với điều kiện ban đầu: x " x  sin 3t , x(0)  x '(0)  Từ điều kiện ban đầu có: Ta có: sin 3t  x "t   s X (s)  sx(0)  x '(0)  s X (s) 2 s  32 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 65 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Thay vào ta có: s X (s)  X (s)  3 As  B Cs  D  X ( s )    2 2 s2  s  s  s        s  9 Đồng hệ số ta có A=C=0, B=3/5, D=-3/5, X ( s)  Do 3  10 s  s  sin 2t  , s 4 sin 3t  3 x  t   sin 2t  sin 3t nên ta có s 3 10 Nhận xét: Nhƣ phƣơng pháp biến đổi Laplace cho lời giải trực tiếp tìm nghiệm tốn giá trị ban đầu mà khơng cần phân biệt phƣơng trình vi phân không Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính Phép biến đổi Laplace có khả biến đổi hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính thành phƣơng trình đại số tuyến tính Ví dụ Giải hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính 2 x "  6 x  y với điều kiện ban đầu x  0  x '  0  y  0  y '  0    y "  x  y  40sin 3t Từ điều kiện ban đầu có: Tƣơng tự Do x "t   s X (s)  sx(0)  x '(0)  s X (s) 2  y "t   s Y (s) sin 3t  , thay vào hệ phƣơng trình có hệ phƣơng trình sau: s 9  s  3 X ( s)  Y ( s)  2s X ( s)  6 X ( s)  2Y ( s)    120   120  s Y ( s)  X ( s)  2Y ( s)  2 X ( s)   s   Y ( s)  s 9   s 9 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 66 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG  s  3 1 s 2 1  120 s2   2   s  1 s   s2  1 120  2 s 2 s 9 Do X ( s)  2  2 120  s2  120( s  3) s2  120    2  s2  4 s2  9 s  1 s  s  s  Do x  t   5sin t  sin 2t  sin 3t Tƣơng tự có Y ( s)  s 120  s  3   s   s  1 2  10 18   s 1 s  s  nên có y(t )  10sin t  4sin 2t  6sin 3t Những kỹ thuật biến đổi bổ sung Định lý Phép biến đổi tích phân Nếu f(t) liên tục khúc với t≥0 bậc mũ t→+∞ t    f   d   0  s 1 Hay là:  f  t   F s(s)  F ( s)      f   d    s  0 t t với s>c 1 F   d Chứng minh: t +) f liên tục khúc  g  t    f   d liên tục, trơn khúc với t≥0 t t 0 có g  t    f   d  M  ec d  M ct M ct e  1  e  C C Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 67 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG  g  t  hàm bậc mũ t→∞ +) Sử dụng định lý ta có Do g(0)=0 nên ta có  f t   g ' t   s g t   g (0) t    f  d   0  g  t   1s  f t  Ví dụ Tìm nghịch đảo phép biến đổi Laplace G( s)  Ta có   1     s  s  a     t 1  s  a       s    1 s ( s  a) a   a  d   e d   e  1 a s  a  t Từ tiếp tục có   1     s  s  a      t 1  s  a       s    t 1 t   a 1   d   (e  1)d    e a        a  a  a  s(s  a)  at  e  at  1 a2 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 68 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG §3 PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN Mở đầu Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số có nghiệm biến đổi Laplace nghịch đảo hàm hữu tỉ R  s   P s Q s Cần đƣa kỹ thuật cho phép tính 1 R  s  đƣợc thuận lợi Quy tắc phân thức đơn giản a) Quy tắc Phân thức đơn giản tuyến tính Nếu Q(s) có (s-a)n R(s) có số hạng sau: An A1 A2    , Ai  i, i  1, n n s  a  s  a s  a b) Quy tắc Phân thức đơn giản bậc  Nếu Q(s) có  s  a 2  b2 A1s  B1 s  a b   n R(s) có dạng: A2 s  B2  s  a   b    2   An s  Bn  s  a   b    Ai , Bi  i, i  1, n n Định lý Biến đổi trục s Nếu F (s)   f t  tồn với s>c, tồn e f t   F  s  a    f t  s  a  at Hay tƣơng đƣơng với 1 F  s  a   e f t   e at at 1 F  s t  Chứng minh:  Ta có: F  s  a    e   s  a t  f  t  dt   e st e at f  t   dt  e f t  , s  a  c at Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 69 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Từ kết có: f(t) F(s) eat t n n! s  a n 1 ,s  a sa eat cos(kt ) s  a eat sin(kt )  k2  k2 k s  a (2.1) ,s  a (2.2) ,s  a (2.3) s2  Ví dụ Tìm phép biến đổi Laplace ngƣợc R( s)  s  s  8s R( s)  s2  A B C    s  s   s   s s  s  s   A  s   s    Bs ( s  4)  Cs ( s  2) Thay s=0, s=-2, s=4 ta có: -8A=1, 12B=5, 24C=17  A  1 17 , B  ,C  12 24 1 17   s 12 s  24 s  1 e 4t R  s   81  125 e2t  17 24 R( s)  Sự cộng hƣởng nhân tử tích lặp bậc Hay dùng hai phép biến đổi Laplace ngƣợc hàm phân thức đơn giản trƣờng hợp phân tích lặp bậc hai Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 70 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG 1   s   t sin kt ;   2 k   s  k   1         sin kt  kt cos kt  2   s  k   2k Ví dụ Sử dụng phép biến đổi Laplace để gải toán với giá trị ban đầu x " 02 x  F0 sin t; x(0)   x '(0) 2 Tác động phép biến đổi Laplace vào có s X  s   0 X (s)  X ( s)  F0 s  2 F0 F0  1    ,   0  tìm đƣợc x(t)   s    s  02    02  s2  02 s    Nếu ω=ω0 ta có X ( s)  F00 F x(t )   sin 0t  0t cos 0t  2 20  s  0  Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 71 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG §4 ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Mở đầu Phép biến đổi Laplace nghiệm phƣơng trình vi phân đơi tích biến đổi hai hàm biết Chẳng hạn, xét toán với giá trị ban đầu x " x  cos t; x(0)  x '(0)  Tác động phép biến đổi Laplace ta có: s X ( s)  sx(0)  x '(0)  X ( s)  Mặt khác ta có Do s s  X ( s)   s 1 s 1 s 1 cos t sin t  cos t sin t s 1     sin 2t   2 s   s  12 2  s 2 cos t sin t  cos t sin t Rõ ràng rằng, để giải đƣợc tốn trên, ta cần tìm hàm h(t) cho h t   cos t sin t Tích chập hai hàm Định nghĩa Tích chập phép biến đổi Laplace hàm f,g liên tục khúc đƣợc định nghĩa với nhƣ sau: t  f * g  t    f   g  t    d , t  0 Tích chập giao hốn Ví dụ Tính (cos t)*(sin t) Ta có: Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 72 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG t t sin t  sin  2  t   d 2  cos t  *  sin t    cos sin  t      t 1 1 1     sin t  cos  2  t    t sin t  cos t  cos  t   t sin t 2 2  0   Định lí Giả sử f(t), g(t) liên tục khúc với t≥0; f  t  , g  t  bị chặn Mect t→+∞, số M,c không âm  f t  * g (t )   f t  g t  Khi ta có 1 F  s  G(s)  f (t )* g (t ) Chứng minh:  Có G  s    e  su u t   e g (u )du   s ( t  ) g (t   )dt Do G  s   e s  e  st g (t   )dt Với g(u)≡0 uc s  d d Do F '(s)   e st f (t )dt  (e st f (t ))dt  e st  tf (t )  dt  ds ds 0 tf t  Ta có chứng minh 3.3 phƣơng pháp quy nạp toán học thật vậy, n=1, ta có: tf t   F '(s) t f t    1 k Giả sử n=k, tức có k F k   s  Ta chứng minh với n=k+1, t k 1 f  t   t.t f t    dsd t f t    dsd  1 k t Ví dụ Tìm k k F k  s     1 k 1 F k 1 s sin kt Từ 3.3 ta có   d2  k  d2 k d  2ks  6ks  2k t sin kt   1 ds  s  k   ds s  k  ds  2   2  s  k   s  k  2 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 74 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Tích phân phép biến đổi Định lí Cho f(t) liên tục khúc t≥0,  lim t 0 t→+∞, số M, c khơng âm có 1  f (t )  F  s   t 1  f (t ) , f (t )  Mect t  f t        F   d s>c t   s     F  d  0  4.1 4.2 Chứng minh:   st Từ giả thiết   e f (t )dt hội tụ tuyệt đối đều, s>c     t  F  d   e f ( t ) dt Ta có :      d   s s0   Từ đổi thứ tự lấy tích phân ta có :   t    t  e F  d   e f ( t ) d  dt      s s  0 0 t    Ví dụ Tìm Ta có tlim 0   sinht     t  s   s  f (t )dt   e  st f (t ) dt  t  f t      t   sinh t     t  sinh t cosh t  lim 1 t 0 t    d 1     1 s 1   ln sinh t d      d  ln          s 1     s s s  sinh t  s     ln  t  s 1 Phép biến đổi hàm liên tục khúc a) Đặt vấn đề Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 75 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG Các mơ hình tốn học hệ học hay hệ điện trƣờng liên quan đến hàm không liên tục tƣơng ứng với lực bên bất ngờ đảo chiều bật hay tắt Hàm đơn giản bật, tắt hàm bậc thang đơn vị t=a (hàm Heaviside) ta 0 ua (t )  u (t  a)   1 ta b) Phép tịnh tiến trục t Định lí Nếu  f  t  tồn với s>c, có u t  a  f t  a   e  as F (s)  e as f 5.1 1 e -as F (s)  u  t  a  f (t  a)  u(t  a) 1 Ft  a  s>c+a 5.2 Chứng minh:   s (  a ) f   d Ta có: e F ( s)   e  as   st Đổi biến t=τ+a, ta có e F ( s)   e f (t  a)dt  as ta 0  f (t  a) Do u  t  a  t  a    ta   st Nên có e F (s)   e u (t  a) f (t  a)dt   as u (t  a) f (t  a) Ví dụ Cho f (t )  t Tính Từ 5.2 có 1  e-as     u (t  a) s  1 1  e-as    s  1   (t  a)  u (t  a)  t  a  s  Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 76 TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG 0   1 t  a   2 t  a  t  a Ta có số bảng tra cứu tổng hợp từ toán cho: f(t)  f t  s  eatf(t)  f t  s  a  u(t-a)f(t-a) tnf(t) (f*g)(t) f t  t f(n)(t)  1   f  t   d s sn  f t  s   s n 1 1 F(s)  t Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 f  0  s n2 f '(0)   f  n 1 (0)  f  t   s  s F(s)  f  t   s    f ( )d dn ds n n  f t  s  g t  s  t  f t  s  e e as F  s t  1 F '  s   t  77 TLTK: LT – TỐN CAO CẤP A4 - GIẢI TÍCH (NĂM HỌC 2016 -2017) GIẢNG VIÊN: TS NGUYỄN ĐỨC TRUNG F(s) F(s-a) 1 t     F  d   t  s  F  s t  eat 1 e as F (s) u(t  a) 1 F(s)G(s)  F  s * G  s  t  F (s) s 1 F  s t  a  1 t  F  s   d 1 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 78