Vai trò của hình vẽ trong việc chứng minh hình học

Vai trò của hình vẽ trong việc chứng minh hình học

MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong chương trình toán THCS, môn hình là rất quan trọng và rất cần thiết cấu thành nên chương trình toán học ở THCS cùng với môn số học và đại số

Ngay trong bậc học tiểu học, các em học sinh được làm quen với các yếu tố hình học một cách trực quan, từ lớp 1 đến lớp 5 các em đã biết vẽ điểm, đoạn thẳng, tam giác, hình vuông, hình tròn, góc, góc vuông Bước đầu biết một số khái niệm: đường cao, các công thức tính diện tích tam giác, hình thang, hình chử nhật Trong bậc học này, hình học được trình bày xen kẽ trong bộ môn toán của bậc học

Bước sang bậc THCS, các nhà giáo dục đã trình bày hình học thành một phân môn cùng với đại số cấu thành chương trình THCS Ở đây các tác giả đã trình bày theo phương pháp tiên đề hóa Đưa ra các khái niệm không cơ bản các hình học, góc, tam giác, hình tứ giác, đa giác, hình tròn … Xây dựng các định lý hình học và phương pháp chứng minh

Làm thế nào để các em học tốt môn hình học ( Đặc biệt là giải bài toán hình học) Một vấn đề đặt ra cho bản thân về lĩnh vực này, có nhiều tác giả đã quan tâm và giải quyết thành công:

1 Tác giả: Hứa Thuần Phỏng viết trong cuốn định lý hình học và các phương pháp

chứng minh, ở đây tác giả đã trình bày thế nào là định lý hình học và bài tập chứng minh? Tác giả đã cố gắng phân loại tạo thành các các phương pháp chứng minh: Hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

2 Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận – Nguyễn Phúc Trình trình bày các phương pháp giải

các bài toán dựng hình

Là một giáo viên dạy toán, trong quá trình giảng dạy ở trương phổ thông và tiếp cận việc học môn hình học của học sinh tôi nhận thấy rằng phần lớn các em chưa biết vẽ hình, lúng túng khi phân tích một đề toán, đặc biệt một số bài toán mà khi giải cần có thêm một sáng tạo vẽ thêm đường phụ

Với lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu “ Vai trò của hình vẽ trong việc chứng minh hình học”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

1 Tìm hiểu thực tế môn hình học ở các khối và việc vẽ, giải bài toán hình học.

2 Vẽ các loại hình khi biết các đại lượng hình học của nó.

3 Vẽ lại một hình cho sẵn.

4 Ứng dụng vào để giải các bài toán hình học.

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

1 Đọc nghiên cứu tài liệu.

2 Tìm hiểu thực tế.

3 Tổng kết rút kinh nghiệm.

IV CẤU TRÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

Mở đầu:

Chương 1: Cơ sở lý luận:

1 Vị trí và nhiệm vụ môn hình học.

2 Hệ thống các phép dựng hình cơ bản ở trường THCS.

3 Vai trò thực hành của hình vẽ ở THCS.

Chương 2: Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học:

1 Cách vẽ các loại hình khi biết các đại lượng hình học của nó.

2 Vẽ lại một hình đã cho sẵn

3 Vẽ hình để chứng minh suy diển.

Chương 3: Kết luận- tài liệu tham khảo:

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN:

I Vị trí và nghiệm vụ của môn hình học ở trường THCS:

Vị trí, nhiệm vụ của môn hình học ở trương phổ thông nói chung trường THCS nói riêng là một vấn đề lớn, được tranh luận kéo dài mấy chục năm qua, với sự tham gia của nhiều nhà toán học và sư phạm nổi tiếng

Có 2 ý kiến nêu ra:

1 Để thích hợp với thời đại máy tính, cần “ Đại số hóa” môn toán ở trường phổ

thông, đặc biệt là loại bỏ hình học Euclide truyền thống, vì quá cũ, lạc hậu

2 Cần “ Hình học hóa” ở đâu, lúc nào cũng cần có trí tượng không gian, cần tư

duy và thao tác trên hình vẽ

Sự nãy sinh những ý kiến trên bắt nguồn từ sự phát triển của toán học và máy tính Trong những năm cuối của thế kỷ XX một bộ phận lớn của toán học do các nhà đại số học thống trị và người ta lảng quên trong nhiều năm khả năng nhận thức của toán học qua trí tưởng tượng, qua hình ảnh Điều này, ảnh hưởng trực tiếp đến hệ thống chương trình hình học phổ thông của chúng ta là “ Lảng quên” hình học Euclide mà thay vào đó là hình học giải tích ( Đại số hóa hình học) trong khối phổ thông trung học Do đó, nó ảnh hưởng trực tiếp đến việc học tập và giảng dạy hình học ở khối trung học cơ sở

Khi ngành công nghệ thông tin phát triển khiến cho máy tính điện tử xâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống Đặc biệt, trong giáo dục xuất hiện một số phần mềm hổ trợ dạy học tác động trực tiếp vào hình học

Hình học là môn có tác dụng to lớn trong việc phát triển trí tưởng tượng của học sinh mà “ Trí tưởng tượng quan trong hơn tri thức” theo Einstein Tuy nhiên, hình học không thể phát triển nếu không có các công cụ và ý tưởng của nhiều ngành khác: số học, đại số, giải tích

Ai cũng biết rằng hình học ra đời rất sớm, từ sự cần thiết đo đạc ruộng đất và những nhu cầu hàng ngày của con người Cuốn sách “ Nguyên lý” nổi tiếng của Euclide đã đặt nền móng vững chắc cho hình học tồn tại và phát triển

Môn hình học đã cung cấp cho học sinh những kiến thức cần thiết trong cuộc sống, giúp phát triển tư duy logic, phát triển trí tưởng tượng và óc thẩm mỹ, giúp học sinh hiểu biết thế giới hình học xung quanh ta, khám phá thế giới ấy, chiêm ngưỡng vẽ đẹp của nó góp phần tăng thêm vẽ đẹp đó

Các nhiệm vụ của môn hình học ở trường phổ thông được trình bày ở sơ đồ:

logic

Làm rõ mối quan hệ giữa các nhiệm vụ: hình học về bản chất là sự thống nhất giữa trí tưởng tượng sinh động và logic chặt chẽ Vì vậy, dạy hình học phải kết hợp logic và

trực quan, hình học bắt nguồn từ thực tế và ứng dụng vào thực tế, nên việc dạy hình học phải liên hệ chặt chẻ với các môn học khác: mỹ thuật, kiến trúc…

II Hệ các phép dựng hình cơ bản ở trường THCS:

1 Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước

2 Dựng đoạn thẳng bằng tổng, hiệu các đoạn thẳng cho trước

3 Dựng 1 tam giác có 3 cạnh cho trước

4 Dựng 1 góc bằng 1 góc cho trước

5 Dựng đường phân giác của một góc

6 Dựng đường trung trực của 1 đoạn thẳng

7 Dựng một đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng cho trước và đi qua 1 điểm cho trước

8 Dựng 1 đường thẳng qua 1 điểm và song song đường thẳng

9 Chia đoạn thẳng thành nhiều phần bằng nhau

III Vai trò thực hành của hình vẽ ở trường THCS:

Trong việc dạy hình học, những kết quả nghiên cứu của Vanltiele cho thấy việc tiếp thu hình học của học sinh THCS trải qua 3 bậc:

- Bậc 1: ( Hình dung)

Học sinh hình dung 1 hình như tổng thể, không nhìn thấy các tính chất hay bộ phận của nó

- Bậc 2: ( Phân tích)

Học sinh bắt đầu nhận ra các đặc điểm của hình qua quan sát và thí nghiệm

- Bậc 3: ( Suy diển không hình thức)

Học sinh thiết lập được quan hệ về các tính chất trong 1 hình và giữa các hình với nhau; Hiểu được việc phân loại và định nghĩa; Có thể lặp lại và đưa ra các lý lẽ không hình thức

Trong bậc học này, vai trò vẽ hình ( Mô hình) rất quan trong, hình vẽ giúp hình dung các vật thể trong thế giới hình học, giúp phát triển năng lực quan sát, phân tích, mô tả là chổ dựa trực giác cho việc nắm các khái niệm hình học và cho suy luận

Các hoạt động với hình vẽ ở đây có thể là: vẽ hình, dựng hình, đo đạc, cắt ghép hình, gấp hình… với mục đích duy nhất là từ trực quan để đi đến logic trừu tượng mà mỗi học sinh đang cần, ở đây, chúng ta quy ước rằng khi nói đến dựng hình thì chỉ được dùng thước thẳng và compa, còn khi nói đến vẽ hình thì ngoài thước thẳng, compa có thể dùng thêm thước thẳng chia khoảng, thước đo góc, êke…

Trong chương trình toán THCS thì các bài toán dựng hình, vẽ hình còn quá ít Đối với các bài toán này, chúng ta thường chỉ chú ý việc lập luận và mô tả, cách dựng, ít coi trong việc thực hiện cách dựng Do đó, khi giải toán nhiều học sinh vẽ hình sai không chính xác, điều đó dẩn đến một số ngộ nhận kiến thức

Ta xét nghịch lý sau: “Mọi hình chử nhật nội tiếp trong hình vuông cũng là hình vuông” Kết quả này sai ở đâu, lý do sai

D P C

1 Cách chứng minh:

Ta có ABCD là một hình vuông, MNPQ là một hìnhchử nhật nội tiếp trong hình vuông Q S Tức là có 4 đỉnh trên 4 cạnh hình vuông (Q trên AD, P trên DC, N trên CB, M trên AB) N Từ P hạ PR vuông góc AB và từ Q hạ QS vuông góc CB ∆QSN = ∆PRM (2 tam giác vuông có cạnh huyền A M R B QN = PM vì là 2 đường chéo hình chử nhật; 2 cạnh góc vuông QS = PR vì bằng cạnh hình vuông ABCD) Vậy QNS = PMR Xét tứ giác ONBM: OMR = ONS (chứng minh trên) Vậy OBM + ONB = 2v Từ đó suy ra MDN + MBN = 2v Nhưng vì MBN = 1v nên MON = 1v Tức là PM vuông góc QN Chử nhật PQMN có 2 đường chéo vuông góc với nhau nên nó là hình vuông 2. Phân tích sai lầm: Ta sẻ chỉ ra những hình chử nhật nội tiếp trong hình vuông vì các cạnh không bằng nhau Muốn vậy ta chỉ lấy cạnh hình chử nhật song song với đường chéo hình vuông bằng cách sau: Đặt AM = AQ = CD = CN ≠ 2a ( a độ dài cạnh hình vuông) sau đó nối QP, PN, NM, MQ Suy ra QM = PN, MN = QP ⇒ MNPQ là hình bình hành PQM = 1800 - (450 + 450) = 900 Vậy MNPQ lả hình chử nhật Nhưng trong tứ giác ONBM bây giờ SNO và RNO không còn là một góc ngoài và một góc trong của tứ giác nữa mà là hai góc đối diện nên các suy luận trước kia không còn đúng nữa 3. Có thể phát biểu hai điều đúng: a Nếu hình chử nhật nội tiếp trong hình vuông mà không có cạnh nào của hình chử nhật song song với đường chéo của hình vuông thì hình chử nhật đó là hình vuông b Nếu hình chử nhật có cạnh không bằng nhau nội tiếp trong hình vuông, thì các cạnh của nó song song với hình vuông Chương 2: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ-BÀI TOÁN HÌNH HỌC. Trong thực tế dạy hình học hiện nay, chúng ta thường nói đến những suy luận, đến chứng minh Điều đó không thỏa đáng, nhất là ở bậc THCS Nhà toán học - tâm lý học và nhà giáo dục học G.Polya đã nói: “ Toán học trong quá trình hình thành là gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành bạn phải dự đoán về 1 định lý toán học trước khi chứng minh nó, bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trước khi chứng minh chi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, bạn phải thử đi thử lại Kết quả của công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận, là chứng minh Nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự

O

đoán Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chổ cho việc dự đoán cho suy luận có lý”

Cũng một nhận xét khác của nhà toán học R.Courant: “ Trong việc học tập toán học, phương pháp suy diễn đúng là giúp ta bao quát nhanh chóng 1 lĩnh vực riêng Song phương pháp xây dựng đi từ cái riêng đến cái chung… sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập và sáng tạo 1 cách vững chắc hơn”

Đối với hình học, việc dự đoán đi từ cái riêng thông qua hình vẽ cách vẽ hình, để làm được điều đó ta đi vào 1 cách chi tiết khi vẽ hình với điều kiện cho trước

I Vẽ hình trên giấy kẻ ô:

Ta biết, các bài tập vẽ hình rất quan trọng, giúp cho học sinh hiểu rõ các khái niệm và nội dung các định lý, giúp cho việc giải các bài toán cho bằng lời văn

1 Các bài tập giúp học sinh hiểu rõ và cũng cố khái niệm về các đường đặc biệt

trong tam giác

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d, vẽ tam giác.

a Nhận d làm đường cao

b Nhận d làm đường trung tuyến

c Nhận d làm đường phân giác

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và A thuộc d vẽ tam giác.

a Nhận d làm đường cao

b Nhận d làm đường trung tuyến

c Nhận d làm đường phân giác

Ví dụ 3: Cho 2 đường thẳng d, d ’ và điểm A Hãy vẽ 2 điểm B, C sao cho d, d ’ là các đường cao của tam giác ABC trong các trường hợp.

2 Trên giấy vẽ ô vuông ( Giấy vở học sinh có kẻ ô vuông)

Thực hành vẽ các hình với yêu cầu: đường thẳng phải đi qua 2 điểm của ô, góc phải có đỉnh tại đỉnh của ô; Đa giác phải có các đỉnh tại các đỉnh của ô

Ví dụ 4:

a Hình tứ giác: tứ giác là hình gồm 4 đoạn thẳng trong đó bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cũng không nằm cùng trên 1 đường thẳng Như vậy để vẽ tứ giác thì ta xác định 4 điểm bất kỳ và nối chúng lại với nhau

b Hình vuông: là hình chử nhật có 2 cạnh kề bằng nhau Để vẽ hình vuông thì ta chọn các cặp đỉnh nằm trên các đường kẻ ô và số ô giữa 2 đỉnh bằng nhau

II Vẽ lại hình cho sẳn:

Vẽ lại hình cho sẳn với mục đích luyện cho học sinh biết đọc hình vẽ, hiểu hình vẽ, phân tích để thấy mối quan hệ trong hình vẽ đó

Ví dụ 5:

* Cho bài toán: Tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,

DA Chứng minh MNPQ là hình bình hành (vẽ hình)

* Hướng dẩn học sinh vẽ hình:

- Vẽ tứ giác ABCD ( Không đặc biệt)

- Chia đôi AB lấy M sao cho AM = MB A M

( Dùng thước đo độ dài) Tương tự các đoạn khác B

- Ký hiệu độ dài bằng nhau lên hình vẽ

Như vậy: Trong quá trình vẽ hình học sinh nhận Q N

ra mối quan hệ các yếu tố trong hình vẽ

Để chứng minh MNPQ là hình bình hành có nhiều

cách, song theo giả thiết cho trung điểm các cạnh D P C

Vì vậy vận dụng tính chất đường trung bình của tam giác

* Sau khi học sinh vẽ lại hình trên, ta có thể xóa đề bài và cho học sinh nhìn vào hình vẽ, và các yếu tố trên hình vẽ để đặt lại đề bài

III Vẽ hình tìm tòi, dự đoán, chứng minh:

1 Vẽ hình để tìm tòi dự đoán:

Tìm tòi dự đoán trước khi chứng minh 1 định lý là một biện pháp cần được thường xuyên thực hiện đối với học sinh THCS Trong các tính chất định lý hầu hết được dự đoán trước khi chứng minh

Ta xét các tính chất định lý sau: A B

Trong hình thang cân 2 đường chéo bằng nhau

* Trước khi phát biểu định lý giáo viên vẽ hình

thang cân lên bảng, tất cả các học sinh vẽ hình

vào vở nháp gọi một vài học sinh lên đo, các

em còn lại đo ở vở so sánh 2 đường chéo D C

Kết luận 2 đường chéo bằng nhau

* Hướng dẫn học sinh tìm hướng chứng minh AC = BD Thông thường chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau thì ta đưa AC và BD vào 2 tam giác bằng nhau; nhìn vào các yếu tố đã cho thì ta xét 2 tam tam giác nào bằng nhau theo trương hợp nào?

* Sau khi phân tích giáo viên tóm tắt lại bài chứng minh theo ngôn ngữ toán học: ABCD là hình thang cân, ta có: AD = BC; ADC = BCD; CD chung nên: Tam giác ADC bằng Tam giác BCD (c.g.c) suy ra AC = BD (đpcm)

Bài toán vẽ hình để tìm tòi dự đoán sẻ rất hấp dẩn đối vơi học sinh nếu ta biết khai thác tốt

Ví dụ 1:

1 Tìm số đường chéo của tứ giác:

Từ mỗi đỉnh của tứ giác ta vẽ được 1 đường chéo

có 4 đỉnh ta vẽ được 4 đường chéo

Trong đó mỗi đường chéo được tính 2 lần nên tứ giác

2

2 Tìm số đường chéo của ngũ giác:

Từ mỗi đỉnh của ngũ giác ta vẽ được 2 đường chéo

có 5 đỉnh ta vẽ được 5*2=10 đường chéo

Trong đó mỗi đường chéo được tính 2 lần nên tứ giác có tất cả 5

2

10

3 Tìm số đường chéo của lục giác:

Từ mỗi đỉnh của lục giác ta vẽ được 3 đường chéo

có 6 đỉnh ta vẽ được 3*6=18 đường chéo

Trong đó mỗi đường chéo được tính 2 lần nên tứ giác có tất

2

18

Một cách tổng quát: Giả sử A1 … An là hình n-giác lồi

giác có n đỉnh nên vẽ được n (n-3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính 2 lần, vậy hình đa giác n- giác có tất cản(n2−3) đường chéo

Áp dụng tính số dường chéo của đa giác lồi bất kỳ

4 Tìm số đường chéo của đa giác lồi 24 cạnh:

là 252

Ví dụ 2:

Tìm số giao điểm của 2 đường thẳng, 3 đường thẳng, 4 đường thẳng

HS xét các trường hợp khác nhau Trong trường hợp tổng quát (không có 2 đường thẳng nào song song và 3 đường thẳng nào đồng qui) có thể hướng dẩn HS đếm số lượng các giao điểm như hình trên Đối với HS khá giỏi có thể xét tiếp trường hợp 5 đường thẳng,

n đường thẳng

Ví dụ 3:

Tìm sô tam giác được cắt ra

Cho trước 1 tam giác và n điểm ở miền trong của tam giác

- Nếu n=1 thì có thể cắt tam giác đã cho ra 3 tam giác nhỏ

- Nếu n=2 thì có thể cắt tam giác đã cho ra 5 tam giác nhỏ

Hãy lập bảng sau đây:

2 Vẽ hình để suy luận – chứng minh:

Trong thực tế học sinh chúng ta rất lúng túng khi vẽ hình, học sinh dễ bị cái cụ thể, cái trừu tượng, cái ngẫu nhiên trên hình vẽ cản trở suy luận và chứng minh

Ví dụ 1: Học sinh rất khó hình dung những hình vẽ như sau:

Học sinh sẽ đặt ra câu hỏi: Tại sao đường thẳng a, b lại đi qua được c? Tại sao tam giác ABC lại là một tam giác vuông được? Rỏ ràng điểm M và N không nằm như vậy Trong cả hai trường hợp trên, học sinh nảy sinh thắc mắc: Phải chăng thầy giáo (sách) đã sử dụng một điều vô lý để rồi nói nó là vô lý

Ví dụ 2: Xét bài toán: Cho hình thang ABCD (CD>AB) với E,F là trung điểm của

A B

E F G

D C

Sau khi nối F với G, G là trung điểm cạnh BC (hình bên) nhiều học sinh thấy ngay rằng EF = EG – FG, mà không chút băn khoăn rằng ba điểm E, F, G có thẳng hàng hay không?

c A

a A

C

c

}

b B M N

Chương 3: KẾT LUẬN-TÀI LIỆU THAM KHẢO

I Kết luận:

Hình vẽ có vai trò quan trọng trong việc chứng minh các bài toán hình học

Qua thực tế giảng dạy, dự giờ tôi nhận thấy: Phần lớn các em học sinh THCS còn yếu trong việc vẽ hình, một số bài toán vẽ hình dẫn đến việc ngộ nhận kết quả Cũng có một số bài toán với cách vẽ hình khác nhau thì việc chứng minh theo con đường khác nhau Và vì vậy phải tìm cách vẽ hình sao cho dể chứng minh bài toán

Tóm lại việc giải bài toán hình học đúng, hay, logic, dể hiểu, nhanh gọn thì vẽ hình có vai trò không nhỏ đến sự thành công của việc giải toán

Để việc dạy hình học thực hiện tốt hơn các nhiệm vujcuar môn học, khắc phục tình trạng học sinh nghe giảng thụ động và luyện tập áp dụng một cách máy móc, cần đặc biệt chú trọng cho học sinh thực hành với hình vẽ, kết hợp rèn luyện từng bước phương pháp làm việc và tư duy khoa học(quan sát, thực nghiệm, tìm tòi, dự đoán, lập luận có căn cứ…)

Các bài toán vẽ hình trên giấy kẻ ô, vẽ lại một hình cho sẳn… giúp học sinh dể tiếp thu hơn, hấp dẩn và gần đời sống

II Tài liệu tham khảo :

1 Sách giáo khoa toán 6

Sách giáo khoa hình học 7 + Sách bài tập và sách giáo viên

Sách giáo khoa hình học 8 + Sách bài tập và sách giáo viên

2 Định lý hình học và các phương pháp chứng minh (Hứa Thuần Phỏng)

3 Phương pháp dạy học ở THCS (Hoàng Chúng)

4 Bài tập quỷ tích và dựng hình (Nguyễn Vĩnh Cận)

6 Cở sở hình học (Nguyễn Mộng Huy)