u x; y; z u xi y j zk với i, j , k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy , Oz Cho hai vectơ a a1 ; a2 ; a3 , b b1 ; b2 ; b3 k số thực tùy ý, ta có: a b a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 k.a k.a1; k.a2 ; k.a3 a1 b1 a b a2 b2 a b 3 C a1 kb1 a a a a phương b b a2 kb2 với b1 , b2 , b3 b1 b2 b3 a kb 3 a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 a b a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 a a12 a22 a32 , suy a a a12 a22 a32 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos a; b với a 0, b a.b a12 a22 a32 b12 b22 b32 Điểm M x ; y ; z OM x.i y j z.k (trong x hồnh độ, y tung độ z cao độ) Cho điểm A x1; y1 ; z1 ; B x2 ; y2 ; z2 ta có: Vectơ AB có tọa độ là: AB x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ; vectơ BA x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Độ dài đoạn thẳng AB độ dài vectơ AB và: AB AB x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 x1 x2 xM y y2 x x y y2 z1 z2 Trung điểm đoạn AB M có tọa độ là: yM Khi đó: M ; ; 2 z1 z2 zM x1 x2 x3 xG y y2 y3 Nếu C x3 ; y3 ; z3 ABC tạo thành tam giác có trọng tâm G thì: yG z1 z2 z3 zG Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB ta có: xM x A kxB ; 1 k yM y A ky B ; 1 k zM z A kzB với k 1 k Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a a1 ; a2 ; a3 , b b1 ; b2 ; b3 Tích có hướng hai vectơ a b vectơ, kí hiệu a, b xác định sau: a a a a a a a, b ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 b1 b2 b2 b3 b3 b1 a phương với b a, b a, b vng góc với hai vectơ a b b, a a , b a, b a b sin a; b Xét đồng phẳng ba vectơ: Ba véctơ a; b; c đồng phẳng a, b c Bốn điểm A, B, C , D tạo thành tứ diện AB, AC AD Diện tích hình bình hành: S ABCD AB, AD Tính diện tích tam giác: S ABC AB, AC Tính thể tích hình hộp: VABCD A' B 'C ' D ' AB, AD AA Tính thể tích tứ diện: VABCD AB, AC AD “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt , (Đề tham thảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 B 2;3; Vectơ AB có tọa độ A 1; 2; 3 B 1; 2; 3 C 3;5;1 D 3; 4;1 Trong không gian Oxyz cho a 2;3; b 1;1; 1 Vectơ a b có tọa độ A 3;4;1 B 1; 2;3 C 3;5;1 D 1; 2;3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 Tìm tọa độ vectơ u 2a 3b 2c A 10; 2;13 B 2; 2; 7 C 2; 2; D 2; 2; Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 , B 1; 4;3 Độ dài đoạn thẳng AB C D Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2; , b 2; 2; , c 2; 2; Giá trị a b c A 13 B A B 11 C 11 D (Đề minh họa 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 2; 2;1 mặt phẳng Oxy có tọa độ A 2;0;1 B 2; 2;0 C 0; 2;1 D 0;0;1 (Đề tham khảo 2020 Lần 2) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 2;1; 1 mặt phẳng Ozx có tọa độ A 0;1;0 B 2;1;0 C 0;1; 1 D 2;0; 1 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A 3;5; trục Ox có tọa độ A 0;5; B 0;5;0 C 3; 0;0 D 0;0; Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng M 1; 2;3 qua mặt phẳng Oyz A 0; 2;3 B 1; 2; 3 C 1; 2;3 D 1; 2; 3 “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 Tìm tọa độ A điểm đối xứng với A qua trục Oy A A 2;3;5 B A 2; 3; 5 C A 2; 3;5 D A 2; 3; 5 (Mã 101 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 B 2; 2; Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ A 4; 2;10 B 1;3; C 2; 6; D 2; 1;5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A 5; 2;0 , B 2;3;0 , C 0; 2;3 Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ A 1; 2;1 B 2;0; 1 C 1;1;1 D 1;1; 2 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3;5; 1 , B 7; x;1 , C 9; 2; y Để A , B , C thẳng hàng, giá trị x y A B C D Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , điểm thuộc trục Ox cách hai điểm A 4; 2; 1 B 2;1;0 A M 4;0;0 B M 5;0;0 C M 4;0; D M 5;0;0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;3; , B 5; 4;0 Tìm toạ độ điểm C để tứ giác OABC hình bình hành A 4; 1;2 B 4; 1; 2 C 4; 2;1 D 4;1; 2 (Đề tham khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 4;0 , B 1;1;3 , C 3,1,0 Tìm tọa độ điểm D trục hồnh cho AD BC A D 6;0;0 , D 12;0;0 B D 0; 0; , D 6; 0;0 C D 2;1;0 , D 4; 0;0 D D 0;0;0 , D 6;0;0 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 1 , B 3; 1;5 Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức MA 3MB 13 7 7 A M ; ;1 B M ; ;3 C M ; ;3 D M 4; 3;8 3 3 3 Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D có A 1; 0;1 , B 2;1; , D 1; 1;1 , C 4;5; Tính tọa độ đỉnh A hình hộp A A 4;6; B A 2;0; C A 3;5; D A 3; 4; “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Tích vơ hướng hai vectơ a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 a b a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 C0 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos a; b với a 0, b a.b a12 a22 a32 b12 b22 b32 Cho hai vectơ a 1; 2;3 , b 2;1; Khi đó, tích vơ hướng a b b A 12 B C 11 D 10 Trong không gian Oxyz , cho A 1; 2;3 ; B 1; 2;1 ; C 3; 1; 2 Tính tích vơ hướng AB AC A 6 B 14 C 14 D Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4; , b 5; 0;12 Cosin góc a b A 13 B C D 13 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 0;3;1 , C 4; 2; Cosin góc BAC A 35 B 35 C 35 D 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 Diện tích tam giác ABC A 11 B C D Trong không gian Oxyz , cho điểm A 5;1;5 ; B 4;3; ; C 3; 2;1 Điểm I a; b; c tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a 2b c A B C D 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0 , B 2; 1;3 Tìm tọa độ điểm C trục Oy để tam giác ABC vuông A 1 A 0; 0; 2 B 0; 2; 1 C ; 0; 2 D 0; ; Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 1 , B 2;1;1 , C 0;1; Gọi H trực tâm tam giác ABC Tọa độ AH A 1; 1; B 1; 2;0 C 2; 0; D 1;1; “Nếu hôm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; 2 vectơ độ vectơ c tích có hướng a b A c 2; 6; 1 B c 4; 6; 1 C c 4; 6; 1 D b 1; 0; Tìm tọa c 2; 6; 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;0 , B 1;0; 1 , C 0; 1;2 , D 2; m; n Trong hệ thức liên hệ m n đây, hệ thức để bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng? A 2m n 13 B 2m n 13 C m 2n 13 D 2m 3n 10 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;1; , B 1;1; , C 1;0; Diện tích tam giác ABC A B C D Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 2;0;3 , C 2;1;3 D 0;1;1 Thể tích khối tứ diện ABCD A B C 12 D Trong không gian Oxyz , điểm hình chiếu vng góc điểm A 3; 4;1 mặt phẳng Oxy ? A Q 0; 4;1 B P 3;0;1 C M 0;0;1 D N 3; 4;0 Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 2;1; 1 trục Oz có tọa độ A 2;0; B 0;1;0 C 2;1;0 D 0;0; 1 Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc A 1;3;5 mặt phẳng Oyz điểm sau đây? A 1;3; B 1;0;5 C 0;3;5 D 1;0;0 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;1 Hình chiếu vng góc điểm A lên trục Oy có tọa độ A 1;0;1 B 0; 2; C 0;0;1 D 1; 2;0 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 Tìm tọa độ A điểm đối xứng với A qua trục Oy A A 2;3;5 B A 2; 3; 5 C A 2; 3;5 D A 2; 3; 5 “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Trong không gian với hệ toạ độ Oxy , cho hai điểm A 1;1;3 , B 2;5; Vectơ AB có toạ độ A 1; 4; 1 B 3;6;7 C 3; 6;1 D 1; 4;1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 2; 2;1 Tính độ dài đoạn thẳng OA A OA B OA C OA D OA Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a i j 3k Tọa độ vectơ a A 1; 2; 3 B 2; 3; 1 A 2; 5; 1 B 6; 1; 1 C 2; 1; 3 D 3; 2; 1 Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a 2;3; , b 4; 2; 1 Vectơ a b có tọa độ C 2;5; 1 D 6;1;1 Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2; , b 2; 2; , c 2; 2; Giá trị a b c A B 11 C 11 B B 0; 1; 2 C B 0;1; D Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 , AB 1;3;1 tọa độ điểm B A B 2;5; D B 2; 5; Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 3 , B 1;0; , C x; y; 2 thẳng hàng Khi x y A x y B x y 17 C x y 11 D x y 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a 2; m 1;3 , b 1;3; 2n Tìm m, n để vectơ a, b hướng A m 7; n B m 4; n 3 C m 1; n D m 7; n Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;1; 2 B 3; 1;1 Tìm tọa độ điểm M cho AM AB A M 9; 5;7 B M 9;5;7 C M 9;5; 7 D M 9; 5; 5 Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD Biết A 1; 0;1 , B 2;1; D 1; 1;1 Tọa độ điểm C A 2; 0; B 2; 2; C 2; 2; D 0; 2;0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D có A 0;0;0 , B a;0;0 ; D 0; 2a; , A 0;0; 2a với a Độ dài đoạn thẳng AC A a B a C a D a “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D , biết A 3; 0;0 , B 0; 2;0 , D 0;0;1 , A 1; 2;3 Tìm tọa độ điểm C A C 10; 4; B C 13; 4; C C 13; 4; D C 7; 4; Trong khơng gian Oxyz , góc hai vectơ i u 3; 0;1 A 120 B 60 C 150 D 30 Cho hai vectơ a 1; 2;3 , b 2;1; Khi đó, tích vơ hướng a b b C 11 D 10 Trong không gian Oxyz , cho vectơ a 2;1; 1 ; b 1;3; m Tìm m để a; b 90 A 12 B A m 5 B m C m D m 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 P 1; m 1; Tìm m để tam giác MNP vuông N A m B m 6 C m D m 4 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 5;1;5 ; B 4;3; ; C 3; 2;1 Điểm I a; b; c tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a 2b c C D 9 Trong không gian Oxyz , tọa độ vectơ n vng góc với hai vectơ a 1;1; 2 , b 1; 0;3 B A A 2;3; 1 B 3;5; 2 C 2; 3; 1 D 3; 5; 1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;0; 1 , B 1; 1; Diện tích tam giác OAB A 11 B C 11 D Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 diện tích tam giác ABC A B C D 11 Đề tự luyện: “Nếu hơm chưa học đừng nên ngủ” Liên hệ: 1900866806 | Fb: Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt