Trường Đại học Sư phạm Khoa Đào tạo giáo viên mõm non Nguyễn Thị Tuyết Mai Đề cơng giảng Toán sở Thái Nguyên - 2009 Dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non Trình độ đại học Mục lục Lời nói đầu Chơng Cơ së cđa lý thut tËp hỵp 1.1 TËp hỵp 1.2 Các phép toán tập hợp 1.3 ánh xạ 1.4 Quan hệ 1.5 Giải tích tổ hợp Bài tập chơng Chơng Cấu trúc đại số 2.1 Phép toán hai 2.2 Cấu trúc nhóm 2.3 Cấu trúc vành 2.4 Cấu trúc trờng Bài tập chơng Chơng Định thức, ma trận, hệ phơng trình tuyến tính 3.1 Ma trận 3.2 Định thức 3.3 Hệ phơng trình tuyến tính Bài tập chơng Chơng Số tự nhiên 4.1 Hệ thống số tự nhiên 4.2 Các phép toán tập số tự nhiên 4.3 Hệ đếm cách ghi số đếm Bài tập chơng Chơng Đại số véc tơ hình học giải tích 5.1 Véc tơ 5.2 Toạ độ đờng thẳng 5.3 Phơng pháp toạ độ mặt phẳng 5.4 Phơng pháp toạ độ không gian Bài tập chơng Tài liệu tham kh¶o 10 13 18 20 24 28 32 35 37 40 47 53 59 64 66 69 78 80 84 85 87 95 96 lêi nãi đầu Một nhiệm vụ ngời giáo viên mầm non hình thành cho trẻ biểu tợng toán học sơ đẳng Vì vậy, ngời giáo viên mầm non cần phải nắm vững kiến thức toán học bản, có kỹ giải toán ứng dụng kiến thức đà học vào việc giáo dục trẻ Học phần Toán sở nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức toán học bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để học học phần phơng pháp hình thành biểu tợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non Đồng thời gióp cho sinh viªn cã thĨ häc tèt mét sè học phần: Toán thống kê, dinh dỡng, phơng pháp nghiên cứu khoa học, Giáo dục mầm non nói chung nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói riêng đờng xây dựng phát triển Vì tài liệu học tập thiếu thốn Để giúp cho sinh viên có đợc tài liệu học tập, đ ợc phê duyệt Ban Giám hiệu trờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên đà biên soạn đề cơng giảng Toán sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ đại học Đề cơng giảng tập hợp kiến thức c¸c lÜnh vùc kh¸c cđa to¸n häc nh− số học, đại số, hình học đợc tham khảo từ nhiều tài liệu Nội dung đề cơng giảng Toán sở trình bày kiến thức tập hợp, quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học giải tích giải tích tổ hợp Tác giả mong nhận đợc góp ý bạn đồng nghiệp độc giả nội dung nh việc trình bày để đề cơng giảng đ ợc hoàn thiện Chơng 1: Cơ sở lý thuyết tập hợp 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm toán học, không đợc định nghĩa, dới hình ảnh trực quan khái niệm tập hợp Những vật, đối tợng toán học, đợc tụ tập tính chất chung thành lập tập hợp Ngời ta nói: Tập hợp học sinh lớp, tập hợp lớp trờng, tập hợp số hữu tỷ, tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, tập hợp các số thực, tập hợp nghiệm phơng trình, Các vật tập hợp X đợc gọi phần tử tập hợp X Kí hiệu x X đọc x phần tử tập X x thc X” NÕu x kh«ng thc tËp X, kÝ hiƯu x X 1.1.2 Phơng pháp biểu diễn tập hợp a) Phơng pháp liệt kê Ta liệt kê đầy đủ (nếu có thể) tất phần tử tập hợp Các phần tử đợc viết dấu ngoặc { }, phần tử cách phần tử bëi dÊu phÈy (hc dÊu ;) VÝ dơ: TËp hợp A có phần tử a, b, c, d đợc viết d ới dạng liệt kê A = { a , b, c , d } Ph−¬ng pháp liệt kê không áp dụng tập hợp có không nhiều phần tử mà áp dụng tập hợp có vô số phần tử Trong trờng hợp ta lịêt kê số phần tử đại diện vừa đủ để ta nhận biết đợc đối tợng có thuộc tập hợp hay không Ví dụ: +) Tập hợp số tự nhiên = {0,1,2,3, } +) Tập hợp số tự nhiên chẵn: = {0,2, 4,6, } +) Tập hợp cácc ớc 20: = {1,2,4,5,10,20} Chó ý: Mét tËp hợp đợc xác định không phụ thuộc vào thứ tự liệt kê phần tử b) Phơng pháp nêu tính chất đặc trng Một tập hợp xác định cách nêu tính chất chung (tính chất đặc trng) phần tử tập hợp mà nhờ vào tính chất chung ta xác định đợc phần tử có thuộc tập hợp hay không Nếu tất phần tử tập hợp X có tính chất P th× ta cã thĨ biĨu diƠn X nh− sau: X = {x | x cã tÝnh chÊt P} hc X = { x | P ( x)} VÝ dụ: +) Tập hợp số tự nhiên chẵn: = { x | x = 2n, n ∈ +) Tập hợp ớc 15: X = { x | x ;15M x} +) Tập hợp béi cña 3: X = { x | x = 3n, n } } 1.1.3 Các tập hợp đặc biệt a) Tập hợp rỗng Một tập hợp không chứa phần tử đợc gọi tập rỗng, ký hiệu: Ví dụ: +) Tập nghiệm thực phơng trình x + = tập rỗng +) Tập đờng thẳng qua điểm không thẳng hàng tập rỗng b) Tập hợp một, hai phần tử Giả sử x vật hay đối tợng đó, tập hợp kí hiệu { x} gồm phần tử x đợc gọi tập hợp phần tử (tập đơn tử) Giả sử x, y hai vật hay hai đối tợng đó, tập hợp kí hiệu { x, y} gồm phần tử x, y đợc gọi tập hợp hai phần tử Tơng tự nh ta định nghĩa tập hợp ba, bốn, phần tử, tập hợp với tập hợp rỗng đợc gọi tập hữu hạn, tập hợp khác đợc gọi tập vô hạn Ví dụ: +) Tập ớc 15 tập hữu hạn (vì có phần tử) +) Tập bội tập vô hạn +) tập số tự nhiên tập vô hạn +) Tập trẻ lớp tập hữu hạn 1.1.4 Hai tập hợp a) Định nghĩa: Hai tập hợp A B đợc gọi nhau, kÝ hiƯu A = B vµ chØ mäi phần tử thuộc tập hợp A thuộc tập hợp B ng ợc lại Nh A = B chúng chứa phần tử nh ⎧∀x ∈ A ⇒ x ∈ B Hay A = B ⇔ ⎨ ⎩∀x ∈ B ⇒ x ∈ A b) VÝ dô: +) X = { x | x ∈ , xM 6} ;Y = { x | x ∈ , xM 2, xM3} ⇒ X = Y +) X tập hợp hình bình hành có góc vuông, Y tập hình chữ nhật X = Y 1.1.5 Quan hệ bao hàm tập hợp a) Định nghĩa: Cho tập hợp X Một tập hợp A đợc gọi tËp (hay bé phËn) cđa tËp hỵp X nÕu phần tử thuộc tập hợp A thuộc tập hợp X Kí hiệu A X (hoặc X A ) đọc A chứa X, A phận X, A mét tËp cđa X Quan hƯ A ⊂ X đợc gọi quan hệ bao hàm b) Ví dụ: +) N +) Tập hợp hình vuông tập tập hợp hình chữ nhật c) TÝnh chÊt +) ∅ ⊂ A, ∀A +) A ⊂ A +) NÕu A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C +) NÕu A ⊂ B vµ B ⊂ A ⇒ A = B 1.1.6 Hä c¸c tập tập hợp a) Định nghĩa: Giả sử X tập hợp, tập X lập thành tập hợp, kí hiệu P(X) gọi tập tập tập hợp X Tập hợp bao gồm phần tử chÝnh lµ tËp X b) VÝ dơ: +) NÕu X = ∅ th× +) NÕu X = {a} th× P(X) = {∅} P(X) = {∅,{a}} +) NÕu X = {a, b} th× P(X) = {∅,{a} ,{b} ,{a, b}} P(X) tập hợp hữu hạn gồm n Chú ý: Ta chứng minh đợc X tập hợp hữu hạn gồm n phần tử phần tử 1.2 Các phép toán tập hợp 1.2.1 Hợp tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y Một tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp X, Y đợc gọi hợp hai tËp hỵp X, Y, kÝ hiƯu X ∪ Y Theo định nghĩa X Y = {x | x ∈ X hc x ∈ Y } Ta mở rộng định nghĩa cho trờng hợp n tập hợp: Định nghĩa: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An Một tập hợp gồm phần tử thuộc n tập hợp A1 , A2 , , An đợc gọi hợp tập hợp A1 , A2 , , An , kÝ hiÖu A1 ∪ A2 ∪ ∪ An b) VÝ dô: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X ∪ Y = {a, b, c, d , e, f } +) X tập số tự nhiên chia hết cho 2, Y tập số tự nhiên chia hết cho X Y tập số tự nhiên chia hết cho c) TÝnh chÊt: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: +) A ∪ A = A , A ∪ ∅ = A +) NÕu B ⊂ A th× A ∪ B = A +) A ∪ B = B ∪ A +) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) 1.2.2 Giao tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y Một tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp (phần tử chung của) X, Y đợc gọi giao hai tËp hỵp X, Y, kÝ hiƯu X ∩Y Theo ®Þnh nghÜa X ∩ Y = {x | x ∈ X vµ x ∈ Y } Ta cã thĨ mở rộng định nghĩa cho trờng hợp n tập hợp: Định nghĩa: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An Một tập hợp gồm phần tử thuộc tất n tập hợp A1 , A2 , , An đợc gọi giao tập hợp A1 , A2 , , An , kÝ hiÖu A1 ∩ A2 ∩ ∩ An b) VÝ dô: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X ∩ Y = {d } +) X tập số tự nhiên chia hết cho 2, Y tập số tự nhiên chia hết cho X Y tập số tự nhiên chia hết cho c) TÝnh chÊt: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: +) A ∩ A = A , A ∩ ∅ = ∅ +) NÕu B ⊂ A th× A ∩ B = B +) A ∩ B = B ∩ A +) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) 1.2.3 Hiệu hai tập hợp a) Định nghĩa: Cho hai tËp hỵp X, Y Mét tËp hỵp gåm tÊt phần tử thuộc tập hợp X nhng không thuộc tập hợp Y đợc gọi hiệu tập hợp X tập hợp Y, kí hiệu X \ Y Theo định nghĩa X \ Y = {x | x ∈ X vµ x ∉ Y } b) VÝ dô: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } ⇒ X \ Y = {a, b, c} , Y \ X = {e, f } +) X tập số tự nhiên chia hết cho 2, Y tập số tự nhiên chia hết cho X \ Y tập số tự nhiên chia hết cho nh−ng kh«ng chia hÕt cho 3, Y \ X =∅ c) TÝnh chÊt: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: +) A \ A = ∅, A \ ∅ = A +) NÕu B ⊂ A th× B \ A = ∅; A \ B đợc gọi phần bù B A vµ kÝ hiƯu A \ B = C A B +) B \ ( B \ A) = A +) NÕu B ⊂ A th× C \ A C \ B 1.2.4 Tích Đề Các hai tập hợp a) Định nghĩa: +) Một dÃy gồm phần tử a, b thứ tự đ ợc gọi cặp thứ tự, kí hiệu (a, b) +) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng Một tập hợp gồm tất cặp thứ tự (x,y), x thuộc tập hợp X, y thuộc tập hợp Y đ ợc gọi tích Đề Các tập hợp X tập hợp Y, kí hiệu X ì Y Theo định nghĩa X × Y = {( x, y ) | x ∈ X , y y} Khái niệm tích Đề mở rộng cho trờng hợp nhiều tập hợp: Định nghĩa: Cho tập hợp A1 , A2 , , An Ta định nghĩa A1 ì A2 × A3 = ( A1 × A2 ) × A3 , A1 × A2 × A3 × A4 = ( A1 × A2 × A3 ) × A4 , , A1 × A2 × × An = ( A1 × A2 × An−1 ) × An TÝch Đề Các X ì X ì ì X n tËp hỵp X kÝ hiƯu X n TÝch Đề Các X ì X = X đợc gọi bình phơng Đề Các tập hợp X b) VÝ dô: X = {a, b, c} , Y = {1,2} ⇒ X × Y = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} ; Y × X = {(1, a),(1, b),(1, c),(2, a ),(2, b),(2, c)} c) TÝnh chÊt: Víi c¸c tËp A, B, C bÊt kú ta cã: A × ∅ = ∅ +) Nếu X, Y hai tập hợp hữu hạn số phần tử tập tích Đề Các X × Y b»ng tÝch cđa sè phÇn tư cđa tËp X số phần tử tập Y *) Chú ý: Tích Đề Các tập hợp tính chất giao hoán nhng có tính chất kết hợp 1.2.5 Mối quan hệ phép toán tập hợp a) Định lý: Với tập A, B, C bÊt kú ta cã: +) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) +) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A C ) Hệ quả: Với tập A, B bÊt kú ta cã: +) A ∩ ( A ∪ B) = A +) ( A ∩ B) B = B b) Định lý: Với tập A, B, C bÊt kú ta cã: +) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) +) A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B ) ( A \ C ) 1.3 ánh xạ 1.3.1 Khái niệm ánh xạ a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y Một quy tắc cho tơng ứng phần tử x thuộc tập hợp X với phần tử kí hiệu f(x) thuộc tập hợp Y đợc gọi ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y, kí hiệu f : X →Y x a f ( x) fhc X ⎯⎯ Y x a f ( x) Tập hợp X đợc gọi tập nguồn hay miền xác định, tập hợp Y đ ợc gọi tập đích hay miền giá trị ánh xạ f b) Ví dụ: +) X = {a, b, c, d } , Y = {d , e, f } t−¬ng øng: aad bad cae da f ánh xạ từ tập X đến tập Y +) X = {a, b} , Y = {1,2,3} tơng ứng: a a1 ba2 ánh xạ từ tập X đến tập Y +) Xét tập hợp đến +) Xét tập hợp từ đến 10 sè thùc, t−¬ng øng: x a x − x + ánh xạ số tự nhiên, tơng ứng: n a 2n ánh xạ tõ 8 74 191810 = 35768 96510 = 17058 145510 = 26578 78610 = 14228 c) BiĨu diƠn số tự nhiên hệ đếm số theo số 10 *) Cách tiến hành: Cho số tự nhiên a hệ đếm số - Đếm tổng số chữ số số số a - Lập tổng lũy thừa với số mũ giảm dần với số lần lũy thừa chữ số a Cụ thể lµ: nÕu a = an an−1 a2 a1 hƯ đếm số a = an 8n1 + an−1.8n−2 + + a2 + a1 hệ đếm số 10 *) Ví dụ: (67523)8 = 6.84 + 7.83 + 5.82 + 2.81 + = 24576 + 3584 + 320 + 16 + = (28499)10 (5327)8 = 5.83 + 3.82 + 2.81 + = 5.512 + 3.64 + 2.8 + = 2560 + 192 + 16 + = (2775)10 d) C¸c phép toán hệ đếm số *) Phép cộng: Phép cộng hệ đếm số đợc thực nh quy tắc cộng hệ đếm số 10, khác tổng riêng lớn ta phải chuyển số cách chia số cho 8, ghi số d , nhớ phần thơng sang hàng trớc *) VÝ dô: 6732 + 1456 10410 3457 + 4365 10044 2476 + 7654 12352 2345 + 4127 6474 3457 + 4365 6726 16765 hệ đếm số 10, khác mợn hàng tr ớc phải ®ỉi thµnh 75 + 5436 4353 12011 2746 + 5672 7646 20506 *) PhÐp trõ: PhÐp trõ hÖ đếm số đợc thực nh quy tắc trõ *) VÝ dô: 4765 - 1567 3176 4365 457 3706 5672 - 2746 2724 *) PhÐp nh©n: PhÐp nhân hệ đếm số đợc thực nh quy tắc nhân hệ đếm số 10, trình nhân phải sử dụng bảng cửu ch ơng hệ số 10, khác tổng riêng lớn ta phải chuyển số cách chia số cho 8, ghi số d, nhớ phần thơng sang hàng tr ớc (Có thể lập bảng bát chơng hệ số 8) 367 1035 3745 ì + 23 1345 756 11125 1235 × + 42 2072 4164 43732 + × 52 7712 23571 245622 7045 × × 763 3727 + 7656 11113 1214007 + 652 16012 43271 52336 5704522 (6754)8 × (57)8 = (507124)8 *) PhÐp chia: PhÐp chia hệ đếm số đợc thực nh quy tắc chia hệ đếm số 10 56743 - 457 1104 771 01133 771 0142 145 356 23510 436 - 2170 1610 - 1532 056 43 76 Đối với hệ đếm theo số khác phép toán đ ợc thực hoàn toàn tơng tự nh hệ đếm theo số 2, đà trình bày Bài tập chơng Chứng minh tập hợp số tự nhiên chẵn tập hợp số tự nhiên lẻ có số Chứng minh X = {a, b, c} tập hữu hạn Chứng minh Chứng minh tập vô hạn tập vô hạn A = {a, b, c} , X = { x, y, z, t , u} ; m = card(A), n = card(X) Chứng minh: m < n X hữu hạn khác rỗng a X Chứng minh a) n = X {a} số tự nhiên kề trớc m b) Mỗi số tự nhiên m có sè kỊ tr−íc nhÊt Chøng minh r»ng nÕu X tập hữu hạn khác rỗng, a X X \ {a} tập hợp hữu hạn Dùng tiên đề qui nạp chứng minh rằng: a) Nếu A B hai tập hợp hữu hạn A B tập hợp hữu hạn b) Nếu A B hai tập hợp hữu hạn A ì B tập hợp hữu hạn Gọi y' số tù nhiªn kỊ sau sè tù nhiªn y Chøng minh r»ng x + y' = (x + y)', ∀x, y ∈ lµ: víi x, y, z ∈ 10 Dïng tiên đề qui nạp chứng minh phép cộng thoả m·n lt gi¶n −íc, tøc , nÕu x + y = x + z th× y = z H−íng dÉn: * Víi x = 1, chøng minh r»ng nÕu + y = + z th× y = z * Gi¶ sư tõ n + y = n + z suy y = z H·y chøng minh: (n + 1) + y = (n + 1) + z y = z 11 Dùng đẳng thức A ì (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), chøng minh r»ng phÐp nh©n cã tÝnh chÊt ph©n phối phép cộng, tức a.(b + c) = a.b + a.c, (b + c).a = b.a + c.a 77 12 Giả sử a, b hai số tù nhiªn Chøng minh r»ng: a) NÕu ab = a = b = b) Nếu ab = a = b = 13 HÃy hÃy biểu diễn số tự nhiên hệ đếm số 10 sau sang hệ đếm c¬ sè g (g=2, 3, , 9) a) 50 b) 128 c) 1088 14 H·y h·y biĨu diƠn c¸c sè tự nhiên hệ đếm số g sau sang hệ đếm số 10 a) (10101111) d) (201043)5 h) (1735)8 b) (120212)3 e) (310524)6 i) (1082)9 víi c) (132101) f) (4016)7 15 Cho x10 = 1725; y2 = 10101111 H·y tÝnh: xg + y g ; xg − y g ; xg y g ; xg : y g g = 2,3, ,9 78 Chơng 5: Đại Số véc tơ v hình học giải tÝch 5.1 VÐc t¬ 5.1.1 VÐc t¬ tù a) Định nghĩa: Một đoạn thẳng có quy định thứ tự điểm mút gọi véc tơ (hay đoạn thẳng có hớng) Điểm mút thứ gọi điểm gốc, uuur điểm mút thứ hai gọi điểm Kí hiệu véc tơ có gốc A B AB uuur - Đờng thẳng qua A, B đợc gọi giá véc tơ AB r - Véc tơ có gốc trùng đợc gọi véc tơ không, kí hiệu uuuruuur - Độ dài đoạn thẳng AB đợc gọi môdun véc tơ AB , kí hiệu AB - Véc tơ có môdun đợc gọi véc tơ đơn vị - Hai véc tơ có giá song song trùng đ ợc gọi hai véc tơ cộng tuyến hay phơng uuu uuur r - Hai véc tơ AB, CD đợc gọi hớng (ngợc hớng) uuur tịnh tiến CD cho C đến trùng với A B vµ D ë vỊ cïng mét phÝa (hai phÝa khác nhau) A * Chú ý: i) Từ sau ta gọi hai véc tơ phơng, hớng hai véc tơ hớng hai véc tơ phơng, ngợc hớng hai véc tơ ngợc hớng ii) Véc tơ môdun hớng tùy chọn b) Định nghĩa: Hai véc tơ đợc gọi chúng hớng có môdun uuuruuuruuu uuurr Nếu AB CD th× ta kÝ hiƯu: AB = CD * Chú ý: Quan hệ hai véc tơ quan hệ t ơng đ ơng c) Khái niệm véc tơ tự do: Các véc tơ khác vị trí gốc véc tơ Trong nhiều trờng hợp ngời ta ý đến phơng, hớng mô đun véc tơ mà không cần quan tâm đến vị trí gốc Từ ta có: Một véc tơ mà gốc đặt tùy ý không gian đ ợc gọi véc tơ tự 79 r r ur Véc tơ tự thờng đợc kí hiệu: a, x, , 5.1.2 Cộng véc tơ rr a) Định nghĩa: Tổng hai véc tơ a, b véc tơ xác định nh sau: Từ uuu rruuu rr điểm O tùy ý không gian dựng véc tơ OA = a råi dùng vÐc t¬ AB = b VÐc r uuurr rr r r t¬ c = OB đợc gọi véc tơ tổng hai véc t¬ a, b , kÝ hiƯu c = a + b ur uur uur Mở rộng định nghĩa ta định nghĩa tổng n véc tơ a1 , a2 , , an uuur ur nh− sau: Từ điểm O tùy ý không gian dựng vÐc t¬ OA1 = a1 råi dùng uuuur uurr uuuuruuuuuu uur r vÐc t¬ A1 A2 = a2 , tõ ®iĨm An−1 dùng vÐc t¬ An−1 An = an Véc tơ a = OAn đợc ur uur uurr ur uuruur gọi véc tơ tổng n véc tơ a1 , a2 , , an , kÝ hiÖu a = a1 + a2 + + an b) TÝnh chÊt rrrr +) PhÐp céng vÐc t¬ cã tÝnh chÊt giao ho¸n: a + b = b + a rrrrrr +) PhÐp céng vÐc t¬ cã tÝnh chÊt kÕt hỵp: (a + b) + c = a + (b + c) rrr +) a + = a +) Hai véc tơ có môdun nhng ngợc hớng đợc gọi hai véc rrrr r tơ ®èi KÝ hiƯu vÐc t¬ ®èi cđa vÐc t¬ a lµ −a Ta cã a + (−a ) = 5.1.3 Trừ véc tơ rr a) Định nghĩa: Hiệu hai véc tơ a, b véc tơ rr r tơ x đợc gọi véc t¬ hiƯu cđa hai vÐc t¬ a, b , kÝ hiƯu b) Chó ý r r rr x cho b + x = a VÐc r r r rr x = a − b = a + (−b) +) Phép trừ véc tơ tính chất giao hoán, kết hợp r rr r r r +) a + b ≤ a + b , dÊu b»ng x¶y vµ chØ a, b cïng h−íng r rr r r r +) a − b ≥ a b , dấu xảy a, b cïng h−íng vµ rr a≥b 80 5.1.4 Nhân véc tơ với số rr a) Định nghÜa: TÝch cđa mét vÐc t¬ a víi mét sè k véc tơ kí hiệu k a có rrr môđun k a , hớng với a nÕu k > , ng−ỵc h−íng víi a nÕu k < b) TÝnh chÊt rr +) 1.a = a rr +) (−1).a = − a rr +) k (la) = (kl )a (tÝnh chÊt kết hợp phép nhân) r rrr +) k (a + b) = ka + kb (tÝnh chÊt ph©n phối phép nhân phép cộng véc tơ) rr r +) (k + l )a = k a + la (tính chất phân phối phép nhân phép cộng số) 5.1.5 Tích vô hớng hai véc tơ r rr r a) Định nghĩa: Cho hai vÐc t¬ a, b Sè a b cos , góc hai rrr rr r véc tơ a, b đợc gọi tích vô hớng hai véc tơ a, b , kÝ hiÖu a.b rr r r Nh− vËy: a.b = a b cos ϕ rr * Chó ý: +) Hai véc tơ a.b đợc gọi vuông gãc víi nÕu gãc gi÷a chóng r rr rrr r0 b»ng 90 , kÝ hiÖu a ⊥ b Từ định nghĩa tích vô hớng ta có: a b a.b = rrr2r +) a.a đợc gọi bình phơng vô hớng véc tơ a , kÝ hiÖu a rr r2 r 2a.b Tõ ®Þnh nghÜa ta cã: a = a , cos ϕ = r r a b b) TÝnh chÊt rr rr +) Tích vô hớng hai véc tơ có tÝnh chÊt giao ho¸n a.b = b.a rrr r r r +) k (a.b) = (k a).b = a.(k b) r r r rr rr +) a.(b + c) = a.b + a.c 81 rr r +) a.0 = 5.1.6 TÝch cã h−íng cđa hai véc tơ uuu uuu uuurr r a) Định nghĩa i) Tam diện tạo véc tơ OA, OB, OC không đồng phẳng lấy theo thứ tự đợc gọi thuận (nghịch) ngời đứng mặt phẳng uuu uuur ruuuruuur chøa OA, OB theo h−íng cđa vÐc tơ OC thấy hớng quay từ véc tơ OA đến véc uuur tơ OB theo góc nhỏ ngợc chiỊu quay cđa kim ®ång hå (cïng chiỊu quay cđa kim đồng hồ) rr r ii) Cho hai véc tơ a, b , véc tơ c thỏa mÃn ba điều kiện sau đợc gọi tích rr có hớng hai vÐc t¬ a, b : rrrr +) c ⊥ a, c ⊥ b r rr r r +) c = a b sin ϕ , ϕ lµ gãc hai véc tơ a, b r rr +) a, b, c tạo thành tam diện thuận rrr Kí hiƯu: c = a ∧ b *) HƯ qu¶: +) Trong không gian, hai véc tơ phơng vµ chØ tÝch cã h−íng cđa chóng b»ng vÐc tơ không +) Môdun tích có hớng hai véc tơ diện tích hình bình hành tạo hai vÐc t¬ Êy b) TÝnh chÊt r rr r +) a ∧ b = −b ∧ a r rr r rr +) k (a ∧ b) = k a ∧ b = a ∧ k b r r rr rr r r r r r rr r +) a ∧ (b + c) = (a ∧ b) + (a ∧ c);(a + b) ∧ c = (a ∧ c) + (b c) 5.1.7.Tích hỗn tạp ba véc tơ r rr rr a) Định nghĩa: Cho ba véc t¬ a, b, c LÊy tÝch cã h−íng cđa hai vÐc t¬ a, b ta r rrr r rr r đợc véc tơ a b , nhân vô hớng a b với c ta đợc số (a ∧ b).c gäi lµ tÝch 82 r rrr rrr r rr rr hỗn tạp ba véc tơ a, b, c , kÝ hiÖu: (a, b, c) Ta cã: (a, b, c) = (a ∧ b).c r rr b) Định lý: Tích hỗn tạp ba véc tơ không đồng phẳng a, b, c số có giá trị tuyệt đối thể tích hình hộp dựng ba véc tơ Số d ơng r rrr rr a, b, c tạo thành tam diện thuận, âm a, b, c tạo thành tam diện nghịch rrrrrrrrr Chú ý: Từ định lý ta cã: (a ∧ b).c = (b ∧ c).a = (c a ).b c) Định lý: Điều kiện cần đủ để véc tơ đồng phẳng tích hỗn tạp chúng 5.2 Tọa độ đờng thẳng 5.2.1 Trục Định nghĩa: Một đờng thẳng đà chọn véc tơ đơn vị gọi trục Hớng véc tơ đơn vị đợc gọi hớng trục 5.2.2 Điểm chiếu, véc tơ chiếu a) Định nghĩa: Cho trục , mặt phẳng P không song song với r uuur mét vÐc t¬ a = AB tïy ý không gian Qua A B dựng mặt phẳng song song với P cắt A1 B1 +) Các điểm A1 , B1 gọi điểm chiếu điểm A, B theo phơng P uuuuruuur +) A1B1 gọi véc tơ chiếu véc tơ AB theo phơng P ruuuuruuuuruuu uuur +) Gi¶ sư A1B1 = k OE ( OE véc tơ đơn vị ), k > nÕu A1B1 vµ uuuuruuuruuur OE cïng h−íng, k < A1B1 OE ngợc hớng Số đại số k đợc gọi uuuruuur chiếu véc tơ AB trục theo phơng P ta viết k = prΔ AB hay r k = prΔ a Số k đợc gọi độ dài đại sè cđa A1B1 vµ kÝ hiƯu k = A1B1 b) Tính chất +) Các véc tơ có chiÕu (trªn cïng mét trơc, theo cïng mét 83 r rrr phơng) nhau, tức a = b prΔ a = prΔ b +) ChiÕu cña vÐc tơ tổng tổng chiếu véc tơ thành phần, r rrr nghĩa pr (a + b) ⇔ prΔ a + rΔ b rr +) prΔ (k a) = k prΔ a +) Khi mặt phẳng P vuông góc với , phép chiếu lên theo phơng P đợc gọi phép chiếu vuông góc ta có: Định lý: Chiếu vuông góc véc tơ trục môdun véc tơ rr nhân với cosin góc trục véc tơ: pr a = a cos 5.3 Phơng pháp tọa độ mặt phẳng 5.3.1 Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc mặt phẳng Hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc mặt phẳng gồm hai đ ờng thẳng ur uuur vuông góc với xOx yOy chọn hai véc tơ đơn vị e1 = OE1 , ur uuuur e2 = OE2 , thờng gọi hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy - Hai đờng thẳng xOx yOy gọi hai trục tọa độ, trục xOx gäi lµ trơc hoµnh, y’Oy gäi lµ trơc tung ur ur - Hai véc tơ đơn vị e1 , e2 gọi hai véc tơ sở - Điểm O đợc gọi điểm gốc tọa độ - Hại trục tọa độ chia mặt phẳng làm miền, miền gọi góc tọa độ Ta có gãc täa ®é I, II, III, IV - HƯ trơc tọa độ Đề Các vuông góc Oxy gọi thuận nÕu h−íng quay tõ urur e1 ®Õn e2 theo gãc bé ngợc hớng kim đồng hồ, gọi nghịch trờng hợp ngợc lại 5.3.2 Tọa độ điểm Để định nghĩa tọa độ điểm mặt phẳng ta cần định lý sau: ur urr *) Định lý: Cho hai véc tơ không phơng e1 , e2 Bất kì véc tơ a 84 ur ur đồng phẳng với e1 , e2 khai triển theo véc tơ ấy, nghĩa lµ: rurur a = xe1 + ye2 vµ sù khai triển Mặt phẳng có chọn hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxy quy ớc gọi vắn tắt mặt phẳng Oxy Giả sử M điểm mặt phẳng uuuururur Oxy Theo định lý ta có: OM = xe1 + ye2 - Cặp thứ tự gồm hai số (x;y) đ ợc gọi tọa độ điểm M hệ trục tọa độ Đề Các Oxy, x đợc gọi hoành độ, y đ ợc gọi tung độ điểm M Kí hiệu: M(x;y) uuuur - OM đợc gọi bán kính véc tơ điểm M - Nh điểm M mặt phẳng Oxy tơng ứng với cặp thứ tự hai số (x;y) Ngợc lại với cặp thứ tự hai số (x;y), tồn điểm M nhận (x;y) làm tọa độ Do có t ơng ứng 1:1 tập điểm mặt phẳng tập cặp thứ tự gồm hai số (x;y) 5.3.3 Tọa độ véc tơ a) Tọa độ véc tơ tự r *) Định nghĩa:Trong mặt phẳng Oxy cho véc tơ tự a , theo định lý ta cã rrurur a = xe1 + ye2 Cặp thứ tự gồm hai số (x;y) đ ợc gọi tọa độ véc tơ a hệ trục tọa độ Đề Các Oxy rr *) Tính chÊt: Gi¶ sư a = ( x1; y1 ); b = ( x2 ; y2 ) rr +) a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) rr +) a − b = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ) r +) k a = (k x1; k y1 ) rr +) a.b = x1.x2 + y1 y2 r rxy +) a, b phơng = x2 y2 b) Täa ®é cđa véc tơ buộc 85 Trong mặt phẳng Oxy cho hai ®iÓm A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Ta tìm tọa độ uuuruuu uuu uuurrr vÐc t¬ buéc AB Ta cã AB = OB OA Mặt khác theo định nghĩa tọa độ cđa ®iĨm: rrrururuuururur uuururur uuu uuu uuu OA = x1 e1 + y1 e2 ; OB = x2 e1 + y2 e2 ⇒ AB = OB − OA = ( x2 − x1 )e1 + ( y2 − y1 )e2 Cặp thứ tự gồm hai số ( x2 x1; y2 y1 ) đợc gọi tọa độ véc tơ uuuruuur AB hệ trục tọa độ Đề Các Oxy, kí hiệu AB = ( x2 x1; y2 y1 ) 5.3.4 Phơng trình đờng thẳng a) Phơng trình tham số đờng thẳng r Cho đờng thẳng d Một véc tơ v đợc gọi véc tơ phơng d r giá v song song trùng với d Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng d qua ®iÓm M ( x0 ; y0 ) cho r trớc nhận véc tơ v = (a; b) làm véc tơ phơng Giả sử M ( x; y ) ruuuuur điểm tùy ý nằm d Khi M M phơng với v , nghÜa lµ uuuuurr⎧ x − x0 = ta⎧ x = x0 + ta (1) M M = t.v ⇔ ⎨⇔⎨ ⎩ y − y0 = tb⎩ y = y0 + tb Ngợc lại, giả sử điểm M ( x; y ) có tọa độ thỏa mÃn phơng trình (1) Tõ (1) ta cã: ⎧ x − x0 = ta y y0 = tb uuuuurr Điều cã nghÜa lµ M M = ( x − x0 ; y − y0 ) cïng ph−¬ng víi v = (a; b) , ®ã M ( x; y ) nằm đờng thẳng d Phơng trình (1) đợc gọi phơng trình tham số đ ờng thẳng, t tham số *) Chú ý: +) NÕu a ≠ 0, b ≠ th× tõ (1) ta cã: x − x0 y − y0 (2)= ab (2) đợc gọi phơng trình tắc đờng thẳng 86 x = x0 đờng thẳng song +) NÕu a = 0, b ≠ th× (1) trë thµnh: ⎨ ⎩ y = y0 + tb song với trục tung, cắt trục hoành điểm ( x0 ;0) ⎧ x = x0 + ta +) NÕu b = 0, a ≠ th× (1) trë thành: đờng thẳng song y = y0 song với trục hoành, cắt trục tung điểm (0; y0 ) b) Phơng trình tổng quát ®−êng th¼ng r Cho mét ®−êng th¼ng d Mét vÐc tơ n đợc gọi véc tơ pháp tuyến d r giá n vuông góc với d Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng d qua ®iÓm M ( x0 ; y0 ) cho r trớc nhận véc tơ n = ( A; B) làm véc tơ pháp tuyến Giả sử M ( x; y ) ruuuuur điểm tùy ý nằm d Khi M M vuông góc với n , ®ã: r uuuuur n.M M = ⇔ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = ⇔ Ax + By + (− Ax0 By0 ) = Đặt Ax0 By0 = C phơng trình trở thành Ax + By + C = (3) Ngợc lại, giả sư ®iĨm M ( x; y ) cã täa ®é thỏa mÃn phơng trình (3) Từ (3) ta có: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = uuuuurr Điều chứng tỏ M M = ( x − x0 ; y − y0 ) vu«ng gãc víi n = ( A; B) Phơng trình (3) đợc gọi phơng trình tổng quát đ ờng thẳng *) Các trờng hợp riêng i) A ≠ 0; B ≠ 0; C = ph−¬ng trình (3) trở thành Ax + By = Đây phơng trình đờng thẳng qua gốc tọa ®é ii) A ≠ 0; B = +) C phơng trình (3) trở thành Ax + C = Đây phơng trình đờng thẳng song song với trục tung +) C = phơng trình (3) trở thành x = Đây trơc tung iii) Tr−êng hỵp A = 0; B ≠ xét tơng tự nh 87 ... bị cho sinh viên kiến thức toán học bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để học học phần phơng pháp hình thành biểu tợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non Đồng thời giúp cho sinh viên. .. hiệu trờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên đà biên soạn đề cơng giảng Toán sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ đại học Đề cơng giảng tập hợp kiến thức lÜnh vùc kh¸c cđa to¸n häc nh− sè... nghiên cứu khoa học, Giáo dục mầm non nói chung nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói riêng đờng xây dựng phát triển Vì tài liệu học tập thiếu thốn Để giúp cho sinh viên có đợc tài liệu học tập, đ