Luận văn báo cáo thí nghiệm vật lý nghiên cứu dao động của con lắc trọng lực

Trang 1

BÀI I :

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC TRỌNG LỰC

A NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ HỌC

1 Dao động tử điều hoà :

o Một chất điểm M, khối lượng m, chịu tác dụng của một lực bảo toàn fr và buộc phải di chuyển trên một trục ( , )O erx Nếu M chuyển động xung quanh vị trí cân bằng bền ⇒ Phương trình chuyển động của M có dạng : 2

&& được gọi là các dao động tử điều hoà

o Nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động nói trên có dạng :

x t =x c ωt+ϕ

o Một dao động tử điều hoà vận động trong một giếng thế năng parabolic

21

E ( )

2

P x = kx dưới tác dụng của một lực phục hồi tỉ lệ với ly độ : f = −kx, bằng cách

thực hiện các dao động đẳng thời với chu kì riêng 0

2 Dao động điều hoà tắt dần bởi lực ma sát nhớt :

2.1 Dao động điều hoà tắt dần :

o Một chất điểm chịu tác dụng của một lực ma sát nhớt tỷ lệ với vận tốc và buộc phải

di chuyển dọc theo trục( , )O erx chung quanh vị trí cân bằng bền tại x = 0 Chất điểm chịu tác dụng của lực : fr= −kxerx và lực ma sát : frr = − = −hvr hxe&rx

o Phương trình của dao động tử tắt dần do lực ma sát nhớt :

2 0

ω = và 2 h

m

α =

o Ba chế độ chuyển động của dao động tử :

+ Chế độ không tuần hoàn α ω> 0 : Ma sát lớn.

Với điều kiện ban đầu : x(0) = x0; v(0) = v0 ⇒Phương trình chuyển động :

0 0 0

+ Chế độ tới hạn α ω= 0 : Phương trình chuyển động : ( ) t[x +(v + x )t]0 0 0

x t =e−α αThời gian trở về vị trí cân bằng nhanh hơn

Trang 2

+ Chế độ giả tuần hoàn α ω< 0 : Ma sát không lớn lắm Phương trình dao động :

0 0 0

2.2 Năng lượng của dao động điều hoà tắt dần :

o Cơ năng của vật bị giảm, phần bị giảm đó dùng làm công để thắng lực ma sát

o Công suất của lực ma sát bằng đạo hàm theo thời gian của cơ năng: dE M v2

h

dt = −

o Giảm lượng loga : 0T

T Q

ω

δ α= = với Q là hệ số phẩm chất.

3 Áp dụng khảo sát dao dộng của con lắc trọng lực :

3.1 Những dao động nhỏ của con lắc :

o Phương trình vi phân bậc 2 của dao động :

Các lực tác dụng lên con lắc (chất điểm M) bao gồm :

(θ0 là góc lệch cực đại của dây treo so với vị trí cân bằng)

Dao động tự do nhỏ của con lắc là dao động điều hoà, chu kỳ dao động:

0θθ

0

M M

P mgr= r

Tr

FrO

x

Trang 3

o Trường hợp bài toán phi tuyến (con lắc dao động với biên độ lớn) :

Phương trình chuyển động của con lắc : 2

0 sin 0

θ ω&&+ θ =Khai triển theo Taylor cho hàm sinθ , ta có :

3sin

θ =θ ω ϕ ε+ + ω + ϕ trong đó :ε là biên độ hài bậc 3

⇒θ&( )t =θ ω0 [−sin(ω ϕt+ −) 3 sin(3ε ωt+3 )ϕ ]

18192

θ

θε

ε =

Trang 4

Và chu kỳ dao động :

2 0 0 2 0 0

1161

3.2 Những dao động tổng quát của con lắc :

Cơ năng của hệ : E M =E P +E K

0

12

( )2

P

E = mglθ = f θ

• Đồ thị của hàm f( )θ là đường hyperbole, tạo thành giếng thế năng

• Hệ vận động trong giếng thế năng chính là dao tử điều hoà.

3.3 Mặt phẳng pha :

3.3.1 Sự mô tả pha :

đỉểm P(t) có toạ độ (x,v) trong một mặt phẳng gọi là mặt phẳng pha.

o Điểm P(t) được gọi là điểm pha của hệ ở thời điểm t Khi thời gian trôi qua, điểm pha vạch nên một đường cong, chia độ theo t, gọi là quỹ đạo pha của hệ.

kiện ban đầu của hệ

Trang 5

o Sự mô tả pha của hệ là tập hợp các quỹ đạo pha của hệ, thu được bằng cách coi tập

hợp các điều kiện ban đầu là có thể thực hiện được

3.3.2 Tính chất của quỹ đạo pha :

điểm đặc biệt của một hệ là trạng thái cân bằng của hệ

o Các điểm đặc biệt của các hệ có một bậc tự do, nếu chúng tồn tại, đều ở trên trục không gian (O’x) của mặt phẳng pha

b) Chiều đường đi :

A’(x0,0) ở trong mặt phẳng pha sẽ quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh điểm

A’(x0,0) của mặt phẳng pha

3.3.3 Hình ảnh pha của một dao động tử điều hoà không tắt dần :

o Với các điểm đặc biệt x = 0, v = 0, phương trình quỹ đạo pha của dao tử điều hoà không tắt dần :

3.3.4 Hình ảnh pha của một dao động tử điều hoà không tắt dần :

tiến về cùng một điểm P( )∞ , ở tại gốc O’ của mặt phẳng pha, gọi là điểm hút của hệ.

3.3.5 Hình ảnh pha của một con lắc đơn có biên độ lớn :

Nếu hệ là bảo toàn (bỏ qua ma sát), phương trình các quỹ đạo pha như sau :

lg

M E

Trang 6

B THÍ NGHIỆM VỀ DAO ĐỘNG CƠ HỌC CỦA CON LẮC TRỌNG LỰC

1 Mục đích thí nghiệm :

Khảo sát thực nghiệm hoạt động của con lắc vật lý ở chế độ dao động tự do bằng cách thay đổi các thông số chọn trước Việc thu thập và xử lý các dữ liệu được thực hiện thông qua một carte giao diện biến đổi A/D và phần mềm SYNCRONIE

2 Mô tả thiết bị thí nghiệm :

oThiết bị PENDULOR bao gồm một con lắc vật lý gắn với một điện áp kế một vòng với nguồn nuôi (-5/+5V) được sử dụng để đo góc lệch θ( )t của con lắc Thiết bị nói

trên cho phép thu nhận bằng máy vi tính các số liệu thí nghiệm thông qua carte tiếp nhận số liệu FASTLAB và xử lý số liệu thông qua phần mềm SYNCRONIE Do vậy trong thí nghiệm này, chúng ta có thể tái hiện góc θ( )t trên máy vi tính, in các số liệu

đó, phân tích phổ và hiển thị các pha dao động

o Momen quán tính của con lắc có thể điều chỉnh được nhờ một ống hình trụ di động dọc theo trục của thanh gắn quả nặng

o Có thể tăng lực ma sát nhớt bằng cách gắn vào con lắc một tờ giấy hay một bản nhựa có diện tích đáng kể

o Có thể điều chỉnh lực ma sát (khô) của trục quay bởi một sợi dây có lực căng nhất định được buộc tiếp xúc một cách trực tiếp vòng qua trục quay của con lắc

2 Tiến hành thí nghiệm :

2.1 Khảo sát chế độ tuyến tính của dao động với biên độ nhỏ :

o Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ (không có ma sát : ma sát nhớt cũng như

ma sát trên cổ trục)

o Tiến hành thu nhận dữ liệu về góc lệch θ( )t của con lắc so với vị trí cân bằng

o Hiển thị đồ thị θ( )t , thực hiện đo chu kỳ dao động và phân tích phổ.

oLập trình tính vận tốc góc d

dt

θ trong trang tính toán của phần mềm SYNCRONIE,

vẽ đồ thị pha

2.2 Khảo sát chế độ tuyến tính của dao động với biên độ lớn :

oCho con lắc dao động với biên lớn (không có ma sát : ma sát nhớt (chất lưu) cũng như ma sát trên cổ trục)

oTiến hành thu nhận dữ liệu về góc lệch θ( )t của con lắc so với vị trí cân bằng

dt

2.3 Khảo sát chế độ tuyến tính của dao động quay vòng :

oCho con lắc quay vòng (không có ma sát : ma sát nhớt (chất lưu) cũng như ma sát trên cổ trục)

oTiến hành thu nhận dữ liệu về góc lệch θ( )t của con lắc so với vị trí cân bằng

Trang 7

dt

C KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM – BÌNH LUẬN :

1 Chế độ tuyến tính của dao động với biên độ nhỏ :

Bình luận kết quả :

+ Fênetre n01 cho thấy dao động của con lắc trong trường hợp biên độ nhỏ và không

có ma sát là dao động điều hoà tuần hoàn Điều này phù hợp với lý thuyết :

+ Chúng ta thấy góc lệch giảm chậm hơn vận tốc góc Điều này cũng phù hợp với lý thuyết

Thật vậy, gọi θ θ1, 2là biên độ của góc lệch của con lắc vào thời điểm t1 và t2 (t1 < t2) ⇒

Độ giảm biên độ của góc lệch : ∆ =θ θ θ2− 1 ⇒ Độ giảm biên độ vận tốc góc :

độ vận tốc góc giảm nhanh hơn biên độ của góc lệch

+ Hàm θ( )t là một hàm tuần hoàn ⇒có thể phân tích θ( )t thành chuỗi Fourier :

Trang 8

Chu kỳ và tần số dao động :

1.2 Chế độ ma sát nhớt (ma sát chất lưu) :

Tạo ma sát nhớt (ma sát chất lưu) bằng cách gắn một tấm bìa cứng có diện tích đáng

kể vào phía đuôi con lắc

Kết quả thu được như sau : Đồ thị θ( )t : Hình 2, Fenetre 1

Đồ thị vận tốc góc d

dt

θ : Hình 2, Fenetre 3Biểu đồ pha : Hình 2, Fenetre 4

Phổ Fourier : Hình 2, Fenetre d’analyse 1

Trang 10

Tạo ma sát trục bằng cách : dùng hệ thống lò xo được buộc tiếp xúc trực tiếp vòng qua trục quay với độ căng nhất định.

Kết quả thu được như sau :

Đồ thị θ( )t : Hình 3, Fenetre 1; Đồ thị vận tốc góc d

dt

θ : Hình 3, Fenetre 3; Biểu đồ pha : Hình 3, Fenetre 4

+ Biên độ giảm chậm hơn vận tốc góc Điều này phù hợp với lý thuyết

+ Biểu đồ pha kết thức ở điểm có toạ độ θ =0; θ&=0

Trang 11

2 Chế độ tuyến tính của dao động với biên độ lớn :

Trang 12

Giải thích và bình luận :

+ Giải thích tương tự trường hợp dao động của góc lệch nhỏ, không ma sát Tuy nhiên cần lưư ý rằng chu kỳ dao động lúc này T = 1.35s lớn hơn g trường hợp dao dộng với biên độ nhỏ T = 1.25s Điều này phù hợp với lý thuyết : Chu kì dao động phụ thuộc vào biên độ của góc lệch theo biểu thức :

2 0

0 116

T T=  +θ 

  Với T0 là chu kì dao động của con lắc ứng với góc lệch nhỏ

Trang 13

+Tương tự lý luận phần không có ma sát góc lệch nhỏ, độ giảm của vận tốc nhanh hơn độ giảm của góc lệch.

+ Biểu đồ pha thu được là những đường cong đúng như lý thuyết

2.3 Chế độ ma sát trục:

Tạo ma sát trục bằng cách giống như khi khảo sát dao động với biên độ bé

Kết quả thu được như sau :

Đồ thị θ( )t : Hình 6, Fenetre 1

Đồ thị vận tốc góc d

dt

θ : Hình 6, Fenetre 3Biểu đồ pha : Hình 6, Fenetre 4

+ Lý thuyết chứng minh rằng dao động con lắc thoả :

θ( ) (t = θ0−a c) osω0t a+

Trang 14

θ&( )t = −(θ0−a)ω0sinω0t

+ Góc lệch, vận tốc góc giảm nhanh theo thời gian do ma sát lớn

+ Biểu đồ pha thu được phù hợp với lý thuyết, nó kết thúc ở điểm có : θ= 0, θ&= 0+ Với ma sát cổ trục, ta thấy biên độ dao động giảm nhanh hơn trường hợp ma sát chất lưu

Trang 15

+ Con lắc quay vòng dưới tác dụng của các lực cản (nhỏ,) sau một thời gian cơ năng con lắc giảm dần, kéo theo biên độ góc giảm dần, chuyển dần qua dao động với góc lệch lớn Đồ thị góc lệch giai đoạn đầu ứng với quay vòng, giai đoạn sau ứng với góc lệch lớn Với góc lệch lớn nghiệm của phương trình vi phân dao động phức tạp hơn nhiều.

Con lắc quay vòng dưới tác dụng của các lực cản (nhỏ,) sau một thời gian cơ năng con lắc giảm dần, kéo theo biên độ góc giảm dần, chuyển dần qua dao động với góc lệch lớn Đồ thị góc lệch giai đoạn đầu ứng với quay vòng, giai đoạn sau ứng với góc lệch lớn Với góc lệch lớn nghiệm của phương trình vi phân dao động phức tạp hơn nhiều

Trang 16

Quỹ dạo pha trong trường hợp này tuy không rõ rệt lắm, nhưng cũng thể hiện hai phần: Một phần ứng với dao động quay vòng, một phần ứng với dao động qua lại quanh vị trí cân bằng (phần đường cong khép kín của quỹ đạo pha).

Trang 17

Biểu đồ pha : Hình 9, Fenetre 4

Trang 18

2 Khảo sát hoạt động ở chế độ tĩnh – Thanh xoắn ở vị trí nằm ngang :

2.1 Mô tả thiết bị thí nghiệm :

Thiết bị gồm một đĩa phân độ (1) gắn cứng với một thanh xoắn (2) (Để bảo đảm gắn cứng thanh xoắn trên đĩa, cần siết chặt thanh xoắn với trục đĩa) Đầu kia của thanh xoắn được gắn với một thanh ngang (3) Một đầu thanh ngang có gắn đối trọng (4), đầu kia gắn đĩa treo (5) Đĩa treo có thể để trống hay mang thêm một quả cân khối lượng m Khoảng cách cần phải đo là khoảng cách l giữa hai đầu siết chặt của thanh xoắn Đường kính cần đo là đường kính D của thanh xoắn Khoảng cách giữa trục quay của thanh xoắn

và điểm treo đĩa trên thanh ngang là h

2.2 Sự cân bằng khi không có tải trọng :

Trên đĩa treo không đặt quả cân Với đối trọng (4), ta thực hiện sự cân bằng của đối trọng sao cho thanh không bị xoắn : Chỉnh đĩa ở vị trí số 0, thả lỏng nút vặn O2, điều chỉnh đối trọng sao cho đĩa - đối trọng cân bằng ở vị trí nằm ngang và thanh ngang ở vị trí vừa hở so với trục tựa B, khi thanh ngang và trục tựa B tiếp xúc với nhau sẽ làm đóng mạch điện làm cho đèn ở đĩa chia độ sáng lên Sau đó siết chặt nút vặn O2 lại

đĩa-Trong điều kiện này, góc xoắn θ của thanh bằng 0

Xét cân bằng momen lực cho thanh xoắn đối với trục Oz (trục của thanh xoắn), ta có :

Mđĩa treo/Oz + Mđối trọng/Oz = 0

2.3 Sự cân bằng khi có tải trọng – Xác định hệ số xoắn C :

10

20300

BĐĩa treo (5)

m

Trang 19

o Đặt một quả cân khối lượng m đã biết (thực hiện cân quả cân trên bàn cân điện tử)

lên đĩa treo Thanh ngang mang đĩa và đối trọng sẽ nghiêng đè lên trục tựa B và đèn

ở đĩa chia độ sẽ sáng lên

oĐiều chỉnh đầu O1 bằng cách quay chậm đĩa chia độ theo hướng ngược lại cho đến khi thanh ngang vừa hở so với trục tựa B (đèn ở đĩa chia độ tắt)

oTa xác định được góc xoắn θe tương ứng

Xét cân bằng momen lực cho thanh xoắn đối với trục Oz (trục của thanh xoắn), ta

l

Với : D là đường kính thanh xoắn, l là khoảng cách O1O2

Hệ số xoắn Γ là hằng số đặc trưng chỉ phụ thuộc vào tính chất vật liệu

2.4 Nhiệm vụ cụ thể của bài thí nghiệm :

a) Xác định hệ số C của 3 thanh xoắn cùng vật liệu và có đường kính khác nhau D1,

D2, D3 cho cùng độ dài l (đường kính thanh xoắn được đo bằng thước panme) Trên

cở sở đó tính giá trị của hệ số xoắn Γ (Phương pháp a)

b) Xác định hệ số C của thanh xoắn với đường kính nhỏ nhất cho 3 chiều dài l khác nhau Trên cơ sở đó tính giá trị của hệ số xoắn Γ (Phương pháp b)

c) So sánh và biện luận kết quả hệ số xoắn nhờ hai phương pháp a) và b) thí nghiệm nêu trên

2.5 Phương pháp tiến hành thí nghiệm :

• Xác định hệ số C cho mỗi phép đo được thực hiện theo trình tự như sau :

+ Xác định góc xoắn θecho tải trọng là 1 quả cân, 2 quả cân, ta có được ba cặp giá

trị ( , )mθe kể cả cặp giá trị (0,0).

+ Dùng chương trình SYNCRONIE mô phỏng tuyến tính các giá trị đo được, tính

hệ số góc và suy ra giá trị của C

• Dùng chương trình SYNCRONIE, tính hệ số xoắn Γvới phương pháp a) bằng cách mô phỏng các giá trị (D,C) bằng hàm mũ C KD= 4 với K = Γ/l

• Dùng chương trình SYNCRONIE, tính hệ số xoắn Γvới phương pháp b) bằng cách mô phỏng các giá trị (l,C) bằng hàm hyperbole C =K l/ với 4

K = ΓD Trình bày sai số các kết quả nêu trên

Chú ý : Phải siết chặt các nút vặn để tránh thanh xoắn có thể bị trượt trong ổ trục

gây nên sự mất chính xác trong phép đo

2.6 Số liệu và kết quả thí nghiệm – Bình luận :

Trang 20

2.6.1 Thí nghiệm với ba thanh xoắn có cùng độ dài l = 60 cm:

a) Thanh xoắn có đường kính D1 = 2,5mm:

0 50 100 150 200 250

Trang 21

Đồ thị quan hệ giữaθe và m (Hình 3).

2.6.2 Thí nghiệm với thanh xoắn có D = 2,5mm nhưng với ba độ dài khác nhau :

a) Thanh xoắn có độ dài l 1 = 50cm:

0 50 100 150 200 250 0

Hình 5

Hình 6

Trang 22

c) Thanh xoắn có độ dài l3 = 60cm:

Khi tăng đường kính D của thanh xoắn thì góc xoắn θ giảm xuống, và hệ số xoắn C tăng,

θ =Γ

Đồ thị θ( )m là đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và khi tăng D thì hệ số góc của đường

thẳng này giảm vì mghl4

D

θ =

b) Trường hợp chiều dài l khác nhau :

Với cùng đường kính D và chiều dài l, thì khi tăng m, góc xoắn sẽ tăng lên, tức là góc xoắn phụ thuộc vào momen xoắn

Trang 23

Với cùng m và D, nhưng tăng l thì góc xoắn tăng theo khiến cho hệ số xoắn C giảm xuống Điều này phù hợp với công thức lý thuyết :

4

D C

l

= Γ

3 Khảo sát hoạt động ở chế độ động – Thanh xoắn ở vị trí đứng :

3.1 Mô tả thiết bị thí nghiệm :

Thiết bị gồm một thanh xoắn (1) ở tư thế đứng, một đầu cố định nhờ nút vặn O1, đầu kia thả lỏng và có gắn thanh ngang (2) mang hai quả cân khối lượng m như nhau và đối xứng qua trục quay O1z (h1 = h2 = h) được cố định chặt nhờ nút vặn O2

Ký hiệu :

l là khoảng cách O1O2

D là đường kính thanh xoắn

C là hệ số xoắn của thanh xoắn

J0 là momen quán tính của 1 quả

cân đối với trục ∆ đi qua khối

tâm của nó và song sóng với O1z

m là khối lượng của một quả cân

Như vậy, momen quán tính tổng

cọng của thanh ngang có gắn tải

3.2 Nhiệm vụ cụ thể của bài thí nghiệm :

a) Xác định hệ số C của thanh xoắn với đường kính nhỏ nhất ứng với ba độ dài l đã chọn ở phần 2.4.b) Trên cơ sở đó tính hệ số xoắn Γ