Bài tập thủy lực công trình

Bài tập thủy lực công trình

2.58 The rigid gate, OAB, of Fig P2.58 is hinged at O and rests against a

rigid support at B What minimum horizontal force, P, is required to hold

the gate closed if its width is 3 m? Neglect the weight of the gate and friction in the hinge The back of the gate is exposed to the atmosphere

Bài dịch: Một cửa van cứng, OAB, hình P2.58 được gắn bản lề ở O và chống lại một vật cứng ở B Cho biết độ lớn nhỏ nhất của lực nằm ngang

P cần thiết để giữ cửa đóng lại nếu chiều rộng của nó là 3 m? Bỏ qua trọng lượng của cửa và ma sát trong bản lề Mặt sau của cửa tiếp xúc với khí quyển

2 Vẽ biểu đồ phân bố áp suất và tính áp lực lên cửa van

* Trên đoạn OA: Biểu đồ áp lực là hình thang OO’AB’

Chia OO’AB’ thành hình chữ nhật OO’AA’ và tam giác O’A’B’

Tam giác O’A’B’ có

A’B’ = AB’ – AA’ = AB’ – OO’ = pA – pO = 4 

Biểu đồ áp lực này tác dụng lên cửa van một lực P2

P P

P

P

P P

P P

P

m O k

436100 5

, 44 4

1 42 3

8 24 2 36 4

1 3

8 2

4 1

3

8 2

0

3 2

1

3 2

2.62 A gate having the shape shown in Fig P2.62 is located in the vertical side of an open tank containing water The gate is mounted on a horizontal shaft

(a) When the water level is at the top of the gate, determine the magnitude of the fluid force on the rectangular portion of the gate above the shaft and the magnitude of the fluid force on the semicircular portion

of

the gate below the shaft

(b) For this same fluid depth determine the moment of the force acting on the semicircular portion of the gate with respect to an axis which coincides with the shaft

Một cửa có hình dạng như hình P2.62 nằm ở mặt bên thẳng đứng của một

bể chứa nước Cửa được gắn trên một trục nằm ngang

(A) Khi mức nước ở đỉnh trên cổng, xác định độ lớn của lực do lựong chất lỏng tác dụng lên phần hình chữ nhật của cửa phía trên trục và độ lớn của lực do chất lỏng tác dung lên phần hình bán nguyệt của cửa bên dưới trục (B) Đối với cùng một độ sâu này của chất lỏng, xác định moment của lực tác động lên phần bán nguyệt của cửa đối với trục nằm ngang

2 Xác định độ lớn của lực dư F 2 tác dụng lên phần cửa hình bán nguyệt

Trọng tâm của hình bán nguyệt:

X C = 0

YC =

2 9

) 0

2 9 2

2 ( 2

2 2

2

3

3 3

3

2 9

R

ydy dx

A

dA y

3

27 3 9 3

27 3 9 9

3

3 ) 3

3 9 (

2 9



= (27+18)

= 1007244N = 1007,24 kN

3 Xác định moment của lực dư F 2 đối với trục mm ’

Momen quán tính của nửa hình tròn đối với trục đi qua đáy (Ox):

Jx = y dA

A

2

 Jx =  d r  rdr  r sin 2d

0

34

4(

2).(sin2

0 0

2 sin 8

81 )

2 cos

9.2

168

86 , 8 4

2.75 The concrete (specific weight =150 lb/ft3) seawall of Fig P2.75 has

a curved surface and restrains seawater at a depth of 24 ft The trace of the surface is a parabola as illustrated Determine the moment of the fluid force (per unit length) with respect to an axis through the toe (point A)

Dịch: Một đê chắn nước biển bằng bê tông (trọng lượng riêng = 24000 N/m3)

như hình P2.75 có bề mặt cong và giữ nước biển ở độ sâu 7,3 m Bề mặt của

đê là một parabol như minh họa Xác định moment của lực chất lỏng (trên một đơn vị chiều dài) đối với một trục qua điểm A

Xác định độ lớn của thành phần lực theo phương đứng Fy

Diện tích mặt phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng BC, đoạn CD và cung DB

A2 =

0

6 ) 3 3

2 , 0 3 , 7 ( ) 2 2 , 0 3 , 7 (

6

0

3 , 7

2 2 , 0

6

0

x x

dx x dy

dx dA

F x

ydA 6

0

3 , 7 2 2 ,

2 2 , 0

3 , 7

x = 6   

0 53 , 29 0 , 04 4 2

1

x dx

=

0

6 ) 5 5

04 , 0 29

0

3 , 7 2 2 ,

0 xdx( 7 , 3 0 , 2x2 ) =  

0

6 ) 4 4

2 , 0 2 2

3 , 7

8 , 128

X C = 2 , 3

4 , 29

6 , 66

(Fy chính là trọng lượng phần chất lỏng kiểm soát, cũng là trọng lượng của khối chất lỏng có thể tích A2  1)

Trượt 2 lực Fx và Fy trên giá của chúng, chúng cắt nhau tại điểm

K(2,3; 2.43) Đó chính là điểm đặt của lực tổng hợp F

Phương của hợp lực F được xác định bởi góc  (là góc hợp bởi F và phương thẳng đứng) với:

1 , 288

12 ,

LM KN NP NP

LM

KN

KL

2 , 2 1

, 288

12 , 261 43 , 2

KL AP AQ AP

AQ KM

KL

07 , 0 8 , 388

1 , 288 1 , 0

Vậy moment của F đối với 1 trục thẳng đứng qua điểm A là

m

F

27216

216,2707,08,

*Tính moment của lực F đối với điểm A theo cách khác

Moment đối với điểm A do thành phần Fx gây ra:

kNm KN

F

x    261,122,43634,52

Moment này quay thuận chiều kim đồng hồ

Moment đối với điểm A do thành phần Fy gây ra

F NA

F

Moment này quay ngược chiều kim đồng hồ

Gọi moment do lực hợp lực F gay ra la M Chọn chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ

kNm m

m

M  Fy  Fx  662 , 63  634 , 52  28 , 11

Kết quả dương chứng tỏ moment tổng quay theo chiều dương, tức là quay ngược chiều kim đồng hồ

3.82 Water flows through the horizontal branching pipe shown in Fig

P3.82 at a rate of 10ft3/s If viscous effects are negligible, determine the water speed at section (2), the pressure at section (3), and the flowrate at section (4)

Bài dịch: Nước chảy qua các đường ống nhánh ngang như hình P3.82

với tốc độ 10ft3/s Nếu hiệu ứng nhớt là không đáng kể, xác định tốc độ nước ở phần (2), áp suất ở phần (3), và lưu lượng ở phần (4)

z g

v

p

z

2 2

2 2 2 2 2

2 1

Q v A

v

09 , 0

28 , 0

1

1 1 1

1

v p p

g

9800

10 5 , 3 10 7 81 , 9 2

4 4

2 1 2 1

m A

m N

p

s m

2

2 3 2

2 4

2 4

2 3 2 1 1

8 , 9 2

9800 10

7

v v p

Q

Q

Q

Q Q

Q

Q

/ 1 , 0 02 , 0 6 9 , 8 10 5 , 6 28 ,

3 2 1

4

4 3

3.64 Water is siphoned from the tank shown in Fig P3.64 Determine the

flowrate from the tank and the pressures at points (1), (2), and (3) if viscous effects are negligible

Bài dịch: Nước được hút từ bể như hình P3.64 Xác định lưu lượng từ bể

và áp suất tại các điểm (1), (2), và (3) nếu hiệu ứng nhớt là không đáng

z g

v

p

z

2 2

2 2 2 2 2

2 1

Chọn mốc lấy độ cao tại mặt cắt 2-2, ta có z2  0 ;z1  3ft

Tại mặt cắt 1-1 và 2-2, nước tiếp xúc với khí trời nên p1d  p2d  0

Vận tốc của nước tại mặt cắt 1-1 bằng 0

Chọn 1 2  1

s ft gz

v2  2 1  2  32 , 2  3  13 , 9 /



2 2

2 12

2 14 ,

s ft A

v

Q   13 , 9  0 , 0218  0 , 303 3 /

2 Xác định áp suất tại điểm (1) Ta coi nước như ở trạng thái tĩnh

2 1

.

1 p h 0 62 , 4 8 499 , 2lb/ ft

p d  kk d     

3 Xác định áp suất tại điểm (2)

Ống có diện tích mặt cắt và lưu lượng không đổi nên vận tốc nước trong ống cũng không thay đổi

Áp dụng định luật Becnoully cho mặt cắt 1-1 và mặt cắt 3-3, ta có

g

v p z g

v

p

z

2 2

2 3 3 3

2 3 1

2 , 32 2

9 , 13 8 4 , 62

v

p

z

2 2

2 4 4 4

2

4

2 , 32 2

9 , 13 4 , 62

5.32 Determine the magnitude and direction of the x and y components of

the anchoring force required to hold in place the horizontal 180o elbow and nozzle combination shown in Fig P5.32 Also determine the magnitude and direction of the x and y components of the reaction force exerted by the 180° elbow and nozzle on the flowing water

Bài dịch: Xác định cường độ và hướng của thành phần x và y của lực cần

thiết để giữ cho một ống nằm ngang 180o và vòi phun đứng yên tại chỗ Hình P5.32 Ngoài ra xác định độ lớn và hướng của các thành phần x và y của phản lực do ống và vòi phun tác động vào dòng nước chảy

D

D V A

A V A V A V

Q

1524 , 0

3048 , 0

2

2 1

2 2

2 1 1 2

1 2 2 2 1 1

Với hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, chiếu phương trình lên 2 phương Ox

và Oy, ta được

/Ox:

N F

F

A V A V A

p

F

V Q V Q A

8389

2

3048,0524

,110002

1524,0096

,610002

3048,0103425

2 2

2 2

2 1 2 1 2 2 2 1

1

1 1 2 2 1

Vậy lực cần thiết để giữ cho ống và vòi đứng yên là F = 8389,58N nằm

ngang và có chiều hướng sang trái

Suy ra, phản lực do vòi và ống tác động lên dòng chảy R = 8389,58 nằm

ngang và có chiều hướng sang trái như lực giữ F

6.18 It is proposed that a two-dimensional, incompressible flow field be

described by the velocity components

u=Ay v=By where A and B are both positive constants

(a) Will the continuity equation be satisfied?

(b) Is the flow irrotational?

(c) Determine the equation for the streamlines and show a sketch of the streamline that passes through the origin Indicate the direction of flow along this streamline

Bài dịch: Cho một dòng chảy hai chiều không nén được, mô tả bởi các thành phần vận tốc

u = Ay

v = Bx

Trong đó A và B là hai hằng số dương

(A) Phương trình liên tục có được thỏa mãn không?

(B) Có phải đây là chuyển động thế?

(C) Xác định phương trình đường dòng và vẽ các đường dòng đi qua gốc tọa độ. Xác định hướng của dòng chảy dọc theo đường dòng

u v

với ux = Ay và uy = Bx

Vậy phương trình liên tục được thỏa mãn

(B) Để xác định chuyển động là thế, cần kiểm tra

u u u

z y x

k j i u

1

0 0 0 2

1 2

u z y

x



0 0 0 2

1 2

1



Vậy chuyển động là thế

B A

z   

(C) Phương trình đường dòng xác định từ biểu thức:

C y

A x

B C Aydy Bxdx

B y

C C

Nếu x < 0 thì uy > 0, đường dòng hướng xuống theo chiều y < 0 (Vì uy biểu thị vận tốc theo phương y)

Sau khi vẽ hướng cho đường dòng, ta kiểm ta chiều cho ux= Ay (A > 0)

Với y > 0 thì ux > 0, đường dòng phải hướng theo chiều x > 0

(Đúng)

Với y < 0 thì ux < 0, đường dòng phải hướng theo chiều x < 0

(Đúng)

( Vì ux biểu thị vận tốc theo phương x)

6.28 The velocity potential for a given two-dimensional flow field is

2 3

5 3

5 3

1 Kiểm tra tính liên tục của dòng chảy

Dựa vào định nghĩa hàm thế lưu tốc, ta có

xy u

u

y

y x u

u x

u v

Vậy phương trình liên tục được thỏa mãn

5 5 5

5 5



Vậy  x2y y3 C

3

5 5

where the stream function has the units of with x and y in feet

(a) Sketch the streamlines for this flow field Indicate the direction of flow along the streamlines

(b) Is this an irrotational flow field? If so, determine the corresponding velocity potential

(c) Determine the acceleration of a fluid particle at the point x=1ft, y=2ft

Bài dịch: Hàm dòng của một dòng chảy hai chiều không nén được cho

trong đó x và y có đơn vị là feet

(a) Vẽ các đường dòng cho hàm dòng trên

Xác định hướng của dòng chảy dọc theo đường dòng

(b) Đây có phải là một dòng chảy thế? Nếu phải, xác định hàm thế vận tốc

(c) Xác định sự tăng tốc của phần tử chất lỏng tại điểm x = 1ft và y = 2ft

Bài giải:

a Vẽ các đường dòng cho hàm dòng trên

- Vẽ đường dòng qua gốc tọa độ O:

22

2

12

22

2

2

11

22

1

2

11

22

x

x y y

x

x y y

x

x y y

Ta có ux và uy đều nhận dấu âm và không phụ thuộc vào biến nào cả, do

đó đường dòng luôn có chiều hướng về chiều âm của hai trục tọa độ Ox

và Oy Chiều của các đường dòng được thể hiện như trên hình vẽ

b Kiểm tra dòng là chuyển động thế hay xoáy

Ta có

z y

u

z y x

k j i u

1



0 0 0 2

1 2

u z y

x



0 0 0 2

1 2

u x z

y



0 0 0 2

1 2

chứa biến, chứng tỏ đây là dòng chày ổn định, chuyển động có vận tốc không đổi, không phụ thuộc vào thời gian Do đó, không bao giờ có sự tăng tốc đối với bất kỳ phần tử chất lỏng nào trong dòng chảy này