Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

MATHEDUCARE.COM Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Ví dụ Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho bánh loại cho bảng sau: Nguyên liệu Bánh đậu xanh Bánh thập cẩm Đường Đậu Lãi 0,04kg 0,07kg 3000 Bánh dẻo Lượng dự trữ 0,05kg 0,02kg 2500 500kg 300kg 0,06kg 0kg 2000 Hãy lập mô hình tốn tìm số lượng loại bánh cần sản xuất cho không bị động nguyên liệu mà lãi đạt cao Giải Gọi x1 , x2 , x3 số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất Điều kiện: x j ≥ , j = 1, 2,3 Khi 1) Tiền lãi thu là: f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x1 + x2 + 2,5 x3 (ngàn) 2) Lượng đường sử dụng là: 0,04 x1 + 0, 06 x2 + 0,05 x3 (kg) Để không bị động nguyên liệu thì: 0,04 x1 + 0,06 x1 + 0,05 x1 ≤ 500 3) Lượng đậu sử dụng là: 0,07 x1 + 0,02 x3 (kg) Để khơng bị động ngun liệu thì: 0,07 x1 + 0,02 x3 ≤ 300 Vậy ta có mơ hình toán (1) f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x1 + x2 + 2,5 x3 → max (2) 0,04 x1 + 0,06 x1 + 0,05 x1 ≤ 500 0,07 x1 + 0,02 x3 ≤ 300 (3) x j ≥ , j = 1, 2,3 Ta nói tốn quy hoạch tuyến tính ẩn tìm max hàm mục tiêu Ví dụ Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có 1g thức ăn A, B, C giá mua 1kg thức ăn loại cho bảng sau: Chất dinh dưỡng Đạm Đường Khoáng Giá mua A 0,1g 0,3g 0,02g 3000 B 0,2g 0,4g 0,01g 4000 C 0,3g 0,2g 0,03g 5000 MATHEDUCARE.COM Hãy lập mô hình tốn học tốn xác định khối lượng thức ăn loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng ngày Giải Gọi x1 , x2 , x3 khối lượng (g) thức ăn A, B, C cần mua Điều kiện: x j ≥ , j = 1, 2,3 Khi Tổng khối lượng chất dinh dưỡng có thức ăn cần mua Đạm: 0,1x1 + 0, x2 + 0,3 x3 (g) Đường: 0,3x1 + 0, x2 + 0, x3 (g) Khoáng: 0,02 x1 + 0,01x2 + 0,03 x3 (g) Để đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng tối thiểu ngày tổng khối lượng chất dinh dưỡng có thức ăn cần mua nhỏ nhu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng nên ta có điều kiện: 0,1x1 + 0, x2 + 0,3 x3 ≥ 90 0,3x1 + 0, x2 + 0, x3 ≥ 130 0,02 x1 + 0,01x2 + 0,03 x3 ≥ 10 Tổng số tiền để mua số thức ăn 3x1 + x2 + x3 (đồng) Yêu cầu toán số tiền chi cho mua thức ăn nên ta có điều kiện 3x1 + x2 + x3 → Vậy ta có mơ hình tốn (1) f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x1 + x2 + x3 → (2) 0,1x1 + 0, x2 + 0,3 x3 ≥ 90 0,3x1 + 0, x2 + 0, x3 ≥ 130 0,02 x1 + 0,01x2 + 0,03 x3 ≥ 10 (3) x j ≥ , j = 1, 2,3 Ví dụ (CHLH 2009) Một sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm bàn, ghế tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất giá bán sản phẩm loại ước tính bảng sau: Các yếu tố Bàn Ghế Tủ Chi phí sản xuất (ngàn đồng) 100 40 250 Giá bán (ngàn đồng) 260 120 600 Lao động (ngày cơng) Hãy lập mơ hình tốn học tốn xác định số sản phẩm loại cần phải sản xuất cho không bị động sản xuất tổng doanh thu đạt cao nhất, biết sở có số lao động tương đương với 500 ngày cơng, số tiền dành cho chi phí sản xuất 40 triệu đồng số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6 MATHEDUCARE.COM Giải Gọi x1 , x2 , x3 số bàn, ghế, tủ cần phải sản xuất Ta có điều kiện: x1 , x2 , x3 ≥ Tổng ngày công chi phí dự định để sản xuất là: x1 + x2 + x3 (ngày công) 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 (ngàn đồng) Để không bị động sản xuất ta có điều kiện sau x1 + x2 + 3x3 ≤ 500 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 ≤ 40000 Theo tỉ lệ số bàn số ghế ta có điều kiện sau 6x1 = x2 Tổng doanh thu theo dự kiến 260 x1 + 120 x2 + 600 x3 (ngàn đồng) Để tổng doanh thu đạt cao ta có điều kiện 260 x1 + 120 x2 + 600 x3 → max Như vậy, mơ hình tốn học toán (1) 260 x1 + 120 x2 + 600 x3 → max x1 + x2 + 3x3 ≤ 500 (2) 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 ≤ 40000 6x1 = x2 (3) x1 , x2 , x3 ≥ 1.2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 Dạng tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính Bài tốn QHTT dạng tổng qt với n ẩn tốn có dạng (1) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → max(min) (2) ai1 x1 + x2 + ≥  + ain xn  ≤  bi , i = 1, 2,  =  ,m ≥  (3) x j ≤  , j = 1, 2, , n   tuy y  Trong • (1) hàm mục tiêu • (2) hệ ràng buộc • (3) ràng buộc dấu • (2) (3) gọi chung hệ ràng buộc toán MATHEDUCARE.COM Khi • Mỗi vector x = ( x1 , x2 , , xn ) thõa (2) (3) gọi phương án (PA) tốn • Mỗi phương án x thỏa (1), nghĩa hàm mục tiêu đạt giá tị nhỏ (lớn nhất) tập phương án gọi phương án tối ưu (PATU) tốn • Giải tốn QHTT tìm phương án tối ưu tốn vơ nghiệm, nghĩa tốn khơng có PATU 1.2.2 Dạng tắc tốn QHTT (1) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → max(min) (2) ai1 x1 + x2 + + ain xn = bi , i = 1, 2, (3) x j ≥ 0, j = 1, 2, ,n ,m Nhận xét Bài tốn QHTT dạng tắc tốn QHTT dạng tổng qt • Các ràng buộc phương trình • Các ẩn khơng âm Ví dụ Bài tốn sau có dạng tắc (1) f ( x) = x1 − x2 − x3 + x4 →  x1 − x2 + x4 = 12  (2) 12 x1 − x2 + x3 + x4 =  x − x − x − x = −6  (3) x j ≥ 0, j = 1, 2,3, 1.2.3 Dạng chuẩn toán QHTT Bài toán QHTT dạng chuẩn tốn QHTT dạng tắc (1) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → max(min) (2) ai1 x1 + x2 + + ain xn = bi , i = 1, 2, (3) x j ≥ 0, j = 1, 2, ,n ,m Trong • Các hệ số tự khơng âm • Trong ma trận hệ số tự có đủ m vector cột đơn vị: e1 , e2 , , em 1  0  0       0 1   e1 = , e1 = , , em =               0 0 1  Khi đó: • Các ẩn ứng với vector cột đơn vị gọi ẩn Cụ thể ẩn ứng với vector cột đơn vị ek ẩn thứ k MATHEDUCARE.COM • Một phương án mà ẩn gọi phương án • Một phương án có đủ m thành phần dương gọi không suy biến Ngược lại phương án có m thành phần dương gọi suy biến Ví dụ Xét tốn QHTT sau (1) f ( x) = x1 − x2 − x3 + x4 →  x1 + x4 + x5 = 12  (2) 12 x1 + x3 + x6 = x + x − x − x =  (3) x j ≥ 0, j = 1, 2,3, 4,5,6 Ta thấy tốn có dạng tắc, Các hệ số tự không âm Ma trận hệ số ràng buộc A  0 1 0 A = 12 0   1 −1 −1 0  Có chứa đầy đủ vector cột đơn vị e1 (cột 5), e2 (cột 6), e3 (cột 2) Do tốn có dạng chuẩn, • Ẩn thứ x5 • Ẩn thứ hai x6 • Ẩn thứ ba x2 Nhận xét Trong toán trên, cho ẩn thứ k hệ số tự thứ k, cịn ẩn khơng 0, nghĩa cho x2 = 15, x6 = 3, x2 = 6, x1 = 0, x3 = 0, x4 = ta phương án toán x = (0,6, 0,0,12,3) Phương án không suy biến có đủ thành phần dương Ta gọi phương án ban đầu toán Chú ý Tổng quát, toán QHTT dạng chuẩn bất kì, cho ẩn thứ k hệ số tự thứ k ( k = 1, 2, , m ), cịn ẩn khơng 0, ta phương án toán Ta gọi phương án ban đầu toán 1.3 BIẾN ĐỔI DẠNG BÀI TỐN QHTT 1.3.1 Dạng tổng qt dạng tắc Ta biến đổi tốn dạng tổng qt dạng tắc bước sau Bước Kiểm tra hệ ràng buộc 1) Nếu có ràng buộc dạng ai1 x1 + x2 + + ain xn ≤ bi ta cộng vào vế trái ràng buộc ẩn phụ xn+ k , nghĩa ta thay ràng buộc ai1 x1 + x2 + toán ràng buộc ai1 x1 + x2 + + ain xn + xn + k = bi + ain xn ≤ bi MATHEDUCARE.COM 2) Nếu có ràng buộc dạng ai1 x1 + x2 + + ain xn ≥ bi ta trừ vào vế trái ràng buộc ẩn phụ xn+ k , nghĩa ta thay ràng buộc ai1 x1 + x2 + toán ràng buộc ai1 x1 + x2 + + ain xn ≥ bi + ain xn − xn + k = bi Chú ý Các ẩn phụ ẩn không âm hệ số ẩn phụ hàm mục tiêu Bước Kiểm tra điều kiện dấu ẩn số 1) Nếu có ẩn x j ≤ ta thực phép đổi ẩn số x j = − x j′ với x j′ ≥ 2) Nếu có ẩn x j có dấu tùy ý ta thực phép đổi ẩn số x j = x j′ − x j′′ với x j′ , x j′′ ≥ Chú ý Khi tìm PATU tốn dạng tắc ta cần tính giá trị ẩn ban đầu bỏ ẩn phụ PATU tốn dạng tổng qt cho Ví dụ Biến đổi tốn sau dạng tắc (1) f ( x) = x1 − x2 − x3 + x4 →  x1 − x2 + x3 ≤ 50  (2) 7 x1 + x3 ≥ 30  x + 3x − x = −25  (3) x1 ≥ 0, x2 ≤ Giải Thêm vào toán ẩn phụ x4 ≥ để biến bất phương trình x1 − x2 + x3 ≤ 50 phương trình x1 − x2 + x3 + x4 = 50 Thêm vào toán ẩn phụ x5 ≥ để biến bất phương trình x1 + x3 ≥ 30 phương trình x1 + x3 − x5 = 30 Đổi biến x2 = − x2′ với x2′ ≥ Đổi biến x3 = x3′ − x3′′ với x3′ , x3′′ ≥ Ta đưa tốn dạng tắc (1) f ( x) = 3x1 − x2′ + 2,5( x3′ − x3′′ ) → m ax  x + x ′ + 5( x ′ − x ′′ ) + x = 50 3   (2) 7 x1 + ( x3′ − x3′′ ) − x5 = 30   x1 − 3x2′ − 5( x3′ − x3′′ ) = −25 (3) x1 ≥ 0, x2′ ≥ 0, x3′ ≥ 0, x3′′ ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 1.3.2 Dạng tắc dạng chuẩn Từ tốn dạng tắc ta xây dựng tốn dạng chuẩn sau 1) Khi gặp hệ số tự bi < ta đổi dấu hai vế ràng buộc thứ i MATHEDUCARE.COM 2) Khi ma trận hệ số ràng buộc A không chứa cột đơn vị thứ k ek , ta đưa vào ẩn giả xn + k ≥ cộng thêm ẩn giả xn+ k vào vế trái phương trình ràng buộc thứ k để phương trình ràng buộc mới: ak1 x1 + ak x2 + + akn xn + xn + k = bk 3) Hàm mục tiêu mở rộng f ( x) xây dựng từ hàm mục tiêu ban đầu sau • Đối với tốn min: f ( x) = f ( x) + M (∑ an gia) • Đối với tốn max: f ( x) = f ( x) − M (∑ an gia) Trong M đại lượng lớn, lớn số cho trước Ví dụ Biến đổi toán QHTT sau dạng chuẩn (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 →  x1 − x2 + x3 = 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 =  x + 3x − x = −25  (3) x j ≥ 0, j = 1, ,4 Giải Bài tốn có dạng tắc, vế phải phương trình ràng buộc thứ ba -25 < Đổi dấu hai vế phương trình ta −2 x1 − 3x2 + x3 = 25 Và (2) trở thành  x1 − x2 + x3 = 50  7 x1 + x3 + x4 =  −2 x − x + x = 25  Ma trận hệ số ràng buộc  −6  A =  1  0  −2 −3    Vì A thiếu vector cột đơn vị e1 e3 nên tốn chưa có dạng chuẩn Thêm vào toán hai ẩn giả x5 , x6 ≥ xây dựng tốn mở rộng có dạng chuẩn sau (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 + Mx5 + Mx6 →  x1 − x2 + x3 + x5 = 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 =  −2 x − x + x + x = 25  (3) x j ≥ 0, j = 1, ,6 Ví dụ Biến đổi tốn QHTT sau dạng chuẩn (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 → m ax MATHEDUCARE.COM  x1 − x2 + x3 = 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 =  x + 3x − x = −25  (3) x j ≥ 0, j = 1, , Ta xây dựng toán mở rộng dạng chuẩn sau (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 − Mx5 − Mx6 → m ax  x1 − x2 + x3 + x5 = 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 =  −2 x − x + x + x = 25  (3) x j ≥ 0, j = 1, ,6 Chú ý • Ẩn phụ: Tổng qt chuyển thành tắc • Ẩn giả: Chính tắc chuyển thành chuẩn Ví dụ Biến đổi toán QHTT sau dạng chuẩn (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 → m in −9 x1 + 15 x3 ≤ 50  (2) −6 x3 + x4 = −120  x + 3x − x ≥ −45  (3) x j ≥ 0, j = 1, , Giải Thêm vào toán ẩn phụ x5 , x6 ≥ ta tốn có dạng tắc sau (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 → m in −9 x1 + 15 x3 + x5 = 50  (2) −6 x3 + x4 = −120  x + 3x − x − x = −45  (3) x j ≥ 0, j = 1, , Bài tốn chưa có dạng chuẩn Ta thấy vế phải hai phương trình ràng buộc thứ âm nên cách đổi dấu hai vế phương trình ta −9 x1 + 15 x3 + x5 = 50  (2) 6 x3 − x4 = 120 − x − 3x + x + x = 45  Ma trận hệ số ràng buộc  −9 15  A =  0 −2 0   −1 −3 0    MATHEDUCARE.COM Vì A cịn thiếu vector cột e2 nên tốn chưa có dạng chuẩn Thêm vào ràng buộc thứ hai ẩn giả x7 ≥ ta toán dạng chuẩn sau (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 + Mx7 → m in −9 x1 + 15 x3 + x5 = 50  (2) 6 x3 − x4 + x7 = 120 − x − 3x + x + x = 45  (3) x j ≥ 0, j = 1, , Chú ý Quan hệ toán xuất phát toán mở rộng Mối quan hệ toán xuất phát (A) tốn mở rộng (B) sau • B vơ nghiệm suy A vơ nghiệm • B có nghiệm có hai trường hợp: 1) Nếu ẩn giả PATU bỏ ẩn giả ta PATU A 2) Nếu có ẩn giả > suy A khơng có PATU Chương PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN 2.1.1 Thuật toán giải toán max Bước lặp thứ (bảng đơn hình thứ nhất) 1) Lập bảng đơn hình xuất phát Vẽ bảng đơn hình ghi vào thành phần sau tốn dạng chuẩn • Dịng Ghi ẩn toán (kể ẩn phụ) • Dịng Ghi hệ số ẩn hàm mục tiêu • Cột Ghi ẩn toán theo thứ tự từ ẩn thứ đến ẩn cuối cùng, ta gọi cột cột ẩn • Cột 1: Ghi tương ứng hệ số ẩn hàm mục tiêu, ta gọi cột cột hệ số • Cột Ghi số hạng tự hệ ràng buộc theo thứ tự từ xuống dưới, ta gọi cột cột phương án • Cột Ghi ma trận điều kiện A tốn Tính hệ số ước lượng ∆ j ẩn x j ( j = 1, 2, , n) ghi tương ứng vào dòng cột 4, với ∆ j tính theo cơng thức sau: ∆ j = (cot1) × ( Aj ) − ( hsx j ) ( hsx j : hệ số ẩn x j hàm mục tiêu) Chú ý Nếu x j ẩn ∆ j = Tính trị số f = (cot1) × (cot 3) ghi cột 2) Xác định phương án xuất phát MATHEDUCARE.COM 10 Với bảng đơn hình vừa lập phương án xuất phát x toán xác định sau: Cho ẩn cột nhận giá trị tương ứng cột 3, ẩn lại nhận giá trị Trị số hàm mục tiêu phương án xuất phát x f ( x ) = f 3) Đánh giá tính tối ưu phương án xuất phát • Dấu hiệu tối ưu Nếu hệ số ước lượng ẩn khơng âm, ∆ j ≥ 0, ∀j phương án xuất phát x phương án tối ưu toán Thuật toán kết thúc với kết luận: Bài tốn có PATU x GTTU f ( x ) • Dấu hiệu tốn khơng có PATU Nếu có ẩn khơng xk có hệ số ước lượng âm cột điều kiện Ak ẩn có thành phần không dương, ∆ k < aik ≤ 0; ∀i tốn khơng có phương án tối ưu Thuật toán kết thúc với kết luận: Bài tốn khơng có PATU Nếu khơng xảy hai trường hợp thuật tốn tiếp tục bước lặp thứ hai Bước lặp thứ hai (Bảng đơn hình thứ hai) 1) Tìm ẩn đưa vào Trong tất ∆ j < ta chọn ∆ v < nhỏ (ta đánh dấu * cho ∆ v < nhỏ bảng) Khi đó, xv ẩn mà ta đưa vào hệ ẩn Cột Av gọi cột chủ yếu 2) Tìm ẩn đưa Thực phép chia số cột phương án cho số dương cột chủ yếu ghi thương số λi vào cột cuối Xác định λr = min{λi } (Ta đánh dấu * cho λr nhỏ bảng) Khi xr ẩn mà ta đưa khỏi hệ ẩn Dịng có chứa xr gọi dòng chủ yếu Số dương nằm dòng chủ yếu cột chủ yếu gọi hệ số chủ yếu Chú ý Nếu cột chủ yếu có số dương số dương hệ số chủ yếu, dịng có số dương dòng chủ yếu, ẩn nằm dòng chủ yếu ẩn đưa 3) Lập bảng đơn hình thứ hai • Cột 2: Thay ẩn đưa ẩn đưa vào, ẩn lại giữ nguyên Dịng có ẩn đưa vào gọi dịng chuẩn • Cột 1: Thay hệ số ẩn đưa hệ số ẩn đưa vào, hệ số ẩn lại giữ nguyên Các thành phần lại xác định theo dòng sau • Dòng chuẩn = Dòng chủ yếu chia cho hệ số chủ yếu • Dịng thứ i = Dịng thứ i (cũ) – aiv.dòng chuẩn (aiv: số nằm giao dòng i cột chủ yếu) Các hệ số ước lượng trị số hàm mục tiêu bảng thứ hai tính ghi bảng thứ 4) Xác định đánh giá phương án thứ hai (như bước lặp thứ nhất) ... 60 36 x1 -2 0 x2 x3 (4) x4 -2 x5 0 -11 6 -9 -16 * 0 x3 x4 x5 13 34 36 1/ 4 -1/ 2 1/ 2 (3) 0 0 92 -1* 0 x3 x2 x5 22/3 34/3 1/ 3 -1/ 6 1/ 2 1 0 -1/ 6 1/ 3 -1 0 310 /3 23/6 0 1/ 3 x1 x4 x5 λi 52/4* 60/2 13 .2... (2) ? ?10 x1 − 11 x2 + 12 x3 − 13 x4 = 14  ? ?15 x1 + 16 x2 − 17 x3 + 18 x4 ≥ ? ?19 (3) x1 , x2 , x3 ≥ Giải a) Bài toán đối ngẫu MATHEDUCARE. COM 19 (1) g ( y ) = y1 − y2 + y3 + y4 → m ax 2 y1 + y2... ràng buộc đối ngẫu sau: x1 + x2 + x3 + x4 ↔ y1 ≥ ? ?15 x1 + 16 x2 − 17 x3 + 18 x4 ≥ ? ?19 ↔ y3 ≤ x1 ≥ ↔ y1 + 10 y2 − 15 y3 ≥ x2 ≥ ↔ y1 − 11 y2 + 16 y3 ≥ −2 x3 ≥ ↔ y1 + 12 y2 − 17 y3 ≥ 3.4 Định lý đối