CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY CHƯƠNG 4. BÀI TOÁN TÌM GIAO TUYẾN

HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG CHƯƠNG BÀI TỐN TÌM GIAO TUYẾN Khi biểu diễn nhiều vật thể (hay tổ hợp hình khối) đồ thức, vật thể hình học giao cắt nhau, tạo nên đường giao tuyến chung (hình 4-01) Vai trị quan trọng đường giao tuyến cung cấp thông tin vị trí tương đối vật thể khơng gian, giúp cho người đọc vẽ nắm bắt mối quan hệ liên thuộc đối tượng hình học biểu diễn, từ họ có sở đề xuất phương án cụ thể để xây dựng lại xác tổ hợp vật thể thực tế Hình 4-01 Đối với ngành nghề khí - chế tạo máy, kiến trúc - xây dựng, nghề mộc,… người thiết kế bắt buộc phải nắm rõ phương pháp xác định cách thức biểu diễn giao tuyến vật thể hình học vẽ Có vậy, đối tượng mà họ thiết kế mơ tả cách xác, đầy đủ khả thi A TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT- XÉT BÀI TỐN TÌM GIAO KHI ĐÃ BIẾT TRƯỚC MỘT PHẦN HÌNH CHIẾU CỦA GIAO TUYẾN Đặc điểm nhận biết tốn tìm giao tuyến trường hợp hình chiếu hai đối tượng hình học biểu diễn bị suy biến Một phần giao tuyến chung hai đối tượng hình học xác định hình chiếu suy biến 110 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Để giải toán trường hợp ta cần áp dụng phương pháp liên thuộc đối tượng hình học để xác định phần giao tuyến chung hình chiếu cịn lại hai đối tượng hình học Các bước giải tốn tìm giao trường hợp đặc biệt thực sau: 1- Xác định yếu tố suy biến đồ thức tìm phần hình chiếu biết giao tuyến chung hai đối tượng hình học (nằm hình chiếu suy biến) 2- Chọn phần giao tuyến chung số lượng thích hợp điểm đặc biệt để xét liên thuộc 3- Từ hình chiếu biết giao điểm chọn bước trên, áp dụng tính chất liên thuộc điểm bề mặt hình học ta xác định hình chiếu cịn lại giao điểm đồ thức 4- Nối hình chiếu (cùng số) giao điểm vừa tìm lại theo thứ tự xếp chúng hình chiếu suy biến (thứ tự trước - sau, - hay liền kề) ta giao tuyến chung 5- Xét thấy - khuất : bao gồm xét thấy khuất cho đoạn giao tuyến chung xét thấy khuất cho toàn khối hình học I GIAO CỦA CÁC ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC CƠ BẢN 1.1 Giao đường thẳng mặt phẳng Đối với tốn tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, phần chung hai đối tượng hình học có giao điểm nên ta không cần phải thực bước (chọn giao điểm) bước (nối giao điểm) Tùy vào loại hình tốn cụ thể tìm giao hai đa diện, giao mặt phẳng với mặt, giao hai mặt cong,… mà ta chọn số lượng giao điểm có giới hạn hay tùy ý, nhiều hay Các điểm chọn thường có vị trí đặc biệt hình chiếu điểm nằm ranh giới phân định thấy-khuất giao tuyến, điểm cực trị đường cong giao tuyến,… 111 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Ví dụ 1: Cho đồ thức đường thẳng thường d mặt phẳng chiếu đứng (p // q) hình 4-02 Hãy xác định giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (p // q) Xác định giao điểm: Trên đồ thức hình 4-02, ta thấy hình chiếu đứng mặt phẳng (p // q) bị suy biến thành đường thẳng p1 q1 Quan sát hình khơng gian 4-02a, giả sử ta biết giao điểm I đường thẳng d với mặt phẳng (p // q), nhận xét hình chiếu đứng I giao điểm ln nằm hình chiếu đứng suy biến p 1 q1 mặt phẳng (p // q) I1 = (p1 q1)  d1 Như ta biết hình chiếu I1 của giao điểm I (trên đồ thức 4-02b) (bước 1) Để xác định hình chiếu lại I giao điểm I, ta áp dụng tính chất liên thuộc điểm thuộc đường thẳng thường2 - cần gióng thẳng đứng từ I1 xuống hình chiếu ta có I2 d2 (bước 3) Vậy I(I1, I2) giao điểm cần xác định đường thẳng d mặt phẳng (p // q) Hình 4-02 3: (bước 5) Xét thấy-khuất Hình 4-02a Hình 4-02b Chọn đường thẳng d đường thẳng p mặt phẳng (p // q) hai điểm đồng tia chiếu điểm  d điểm  p Trên hình chiếu ta có  22 Trên hình chiếu đứng, độ cao điểm bé độ cao điểm Do xác định hình chiếu bằng, phía bên trái giao điểm I 2, đường thẳng d2 bị mặt phẳng (p2 // q2) che khuất ( ta khơng cần xét thấy-khuất hình chiếu đứng - có chứa hình chiếu suy biến ) Xem lại Chương - Phần A - Mục 4.1 Điểm thuộc đường thẳng thường 3Xem lại Chương - Phần B - Mục Sự thấy-khuất đồ thức 112 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Ví dụ 2: Cho đồ thức đường thẳng chiếu d mặt phẳng (ABC) hình 4-03 Hãy xác định giao điểm đường thẳng d với mp (ABC) Xác định giao điểm: Trên đồ thức hình 4-03, ta có hình chiếu d đường thẳng d bị suy biến thành điểm Trên hình khơng gian 4-03a, giả sử ta biết giao điểm I đường thẳng d với mặt phẳng (ABC), nhận xét hình chiếu I2 giao điểm ln trùng với hình chiếu suy biến d2 đường thẳng d Như ta biết hình chiếu I2 của giao điểm I (trên đồ thức 4-03b) (bước 1) d đường thẳng thường nên muốn xác định hình chiếu cịn lại I giao điểm I, ta phải gán I vào đường thẳng (thường) thuộc mặt phẳng (ABC), chẳng hạn chọn đường thẳng A1 qua I với điểm thuộc cạnh BC Áp dụng tính chất liên thuộc điểm - đường thẳng - mặt phẳng 4, đồ thức hình 4-02b, ta vẽ đường thẳng qua điểm A I2  d2 (đã biết) cắt B2C2 điểm 12 Gióng thẳng đứng từ điểm 12 lên hình chiếu đứng ta có điểm 1 B1C1, Nối A111 GióngHình thẳng đứng từ I2 lên hình chiếu đứng Vậy I(I1, I2) 4-03 Hình 4-03bta xác định I 1 A11Hình 4-03b giao điểm cần xác định đường thẳng d mặt phẳng (ABC) (bước 3) Xét thấy-khuất: (bước 5) Chọn đường thẳng d cạnh AC tam giác (ABC) hai điểm đồng tia chiếu đứng điểm  d điểm  AC Trên hình chiếu đứng ta có 21 31 Trên hình chiếu bằng, độ xa điểm bé độ xa điểm Do xác định hình chiếu đứng, phía bên giao điểm I 1, đường thẳng d1 bị mặt phẳng (A1B1C1) Xem lại Chương - Phần A - mục Sự liên thuộc điểm - đường thẳng - mặt phẳng 113 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG che khuất ( ta không cần xét thấy-khuất hình chiếu - có hình chiếu suy biến) 1.2 Giao hai mặt phẳng Đối với tốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng, ta áp dụng cách giải hai lần toán tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng - chọn mặt phẳng thường (khơng có yếu tố suy biến) hai đường thẳng thường Lần lượt tìm giao điểm hai đường thẳng với mặt phẳng có chứa yếu tố suy biến, nối lại ta giao tuyến chung cần tìm Ta khơng cần phải thực bước (chọn thêm giao điểm khác ngồi giao điểm đường thẳng trên) Ví dụ 1: Cho đồ thức mặt phẳng chiếu (ABC) mặt phẳng thường (p // q) hình 4-04 Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng Xác định giao tuyến: Trên đồ thức hình 4-04, ta có (ABC) mặt phẳng chiếu có hình chiếu (A 2B2C2) bị suy biến thành đường thẳng Trên hình khơng gian 4-04a, chọn mặt phẳng (p // q) hai đường thẳng thường bất kỳ, chẳng hạn ta chọn ln hai đường thẳng p q Sau đó, xác định giao điểm I = p  (ABC) giao điểm J = q  (ABC) Nối IJ lại ta có giao tuyến g = (ABC)  (p // q) cần xác định Như vậy, xét đồ thức hình 4-04b, từ hình chiếu ta xác định hình chiếu biết giao điểm là: I2 = p2  (A2B2C2) J2 = q2  (A2B2C2) nằm hình chiếu suy biến mặt phẳng (ABC) (bước 1) Do p q hai đường thẳng bình thường nên dựa vào tính chất liên thuộc điểm thuộc đường thẳng, cần gióng thẳng đứng từ I J2 lên hình chiếu đứng ta có hình chiếu cịn lại hai giao điểm: I 1 p1 J1 q1 (bước 3) 114 Hình 4-04 Hình 4-04a Hình 4-04b HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Nối I1J2  g1 I2J2  g2 ta có giao tuyến g(g1, g2) cần tìm (bước 4) Lưu ý, quan niệm (ABC) (p //q) hai mặt phẳng (mở rộng đến vơ tận) ta cần xác định g(g1,g2) đủ Nếu quan niệm (ABC) (p //q) hai miếng phẳng (có giới hạn) sau xác định g(g 1,g2), ta cần giới hạn lại đoạn giao tuyến thật hai miến phẳng, đoạn giao tuyến IK (I 1K1, I2K2) có giao điểm K1 = g1  A1C1 K2  g2 Xét thấy-khuất: (bước 5) Chọn đường thẳng p mp (p // q) cạnh AC mp (ABC) hai điểm đồng tia chiếu đứng điểm  p điểm  AC Trên hình chiếu đứng ta có 11  21 Trên hình chiếu bằng, độ xa điểm bé độ xa điểm Do xác định hình chiếu đứng, phía bên phải giao tuyến g 1, mặt phẳng (p1 // q1) bị mặt phẳng (A1B1C1) che khuất ngược lại, phía bên trái giao tuyến g 1, mặt phẳng (A1B1C1) bị mặt phẳng (p1 // q1) che khuất Ví dụ 2: Cho đồ thức mặt phẳng chiếu đứng (K, d) mặt phẳng vết P hình 4-05 Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng Khi toán cho mặt phẳng xác định điểm đường thẳng ta nên đổi cách xác định mặt phẳng thành dạng khác cách xác định thường gây khó khăn cho người đọc vẽ việc tưởng tượng hình khơng gian Trên đồ thức hình 4-05b, trước giải tốn tìm giao, ta đổi cách xác định mặt phẳng (K,d) thành mặt phẳng cho hai đường thẳng song song (d // n) cách qua K1 vẽ đường thẳng n1  d1 qua K2 vẽ n2 // d2 Nhận thấy mặt phẳng (d // n) có hình chiếu đứng bị suy biến thành đường thẳng 115 Hình 4-05 Hình 4-05a Hình 4-05b HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Xác định giao tuyến: Trên đồ thức hình 4-05b, chọn mặt phẳng vết P hai đường thẳng thường bất kỳ, chẳn hạn chọn đường thẳng vết đứng V1P (có hình chiếu trùng với trục x) vẽ thêm đường thẳng b(b 1,b2) Lần lượt xác định giao điểm I, J hai đường thẳng với mặt phẳng (d // n) Ta có I = V1P  (d1  n1) , J1 = b1  (d1  n1) (bước 1) Dựa vào tính chất liên thuộc điểm thuộc đường thẳng, gióng thẳng đứng I1 J1 xuống hình chiếu ta có I2  x, J2  b2 (bước 3) Nối I1J1 ta g1 nối I2J2 ta g2 g(g1, g2) giao tuyến cần xác định hai mặt phẳng P (d // n) (bước 4) Xét thấy-khuất: (bước 5) Chọn đường thẳng vết V2P (có hình chiếu đứng trục x) mp P đường thẳng d mp (d // n) hai điểm đồng tia chiếu điểm  V2P điểm  d Trên hình chiếu ta có 22  32 Trên hình chiếu đứng, độ cao điểm bé độ cao điểm Do xác định hình chiếu bằng, phía bên phải giao tuyến g 2, mặt phẳng (d2 // n2) bị mặt phẳng P che khuất ngược lại, phía bên trái giao tuyến g2, mặt phẳng P bị mặt phẳng (d2 // n2) che khuất II GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MỘT MẶT 2.1 Mặt phẳng giao với đa diện Đối với tốn tìm giao tuyến mặt phẳng với đa diện, bước 2, ta cần chọn điểm đặc biệt phần giao tuyến chung biết giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng cắt (số lượng giao điểm cạnh đa diện cố định, hữu hạn - khơng chọn số lượng tùy ý) Ví dụ 1: Cho đồ thức mặt phẳng vết chiếu đứng P đa diện SABCD hình 4-06 Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng P với đa diện Xác định giao tuyến: Nhận xét mặt phẳng vết P có hình chiếu đứng V1P suy biến Phần giao tuyến chung mặt phẳng P đa diện SABCD rõ hình 4-07a (bước 1) - Chọn phần giao tuyến chung điểm thích hợp để xét liên thuộc Các điểm giao cạnh SA, SD, AB CD với mặt phẳng P Gọi I1 = S1A1  V1P , J1 = S1D1  V1P, K1 = C1D1  V1P L1 = A1B1  V1P (hình 4-07b) (bước 2) 116 - Gióng liên thuộc điểm xuống hình chiếu ta I  S A ,J  S D , K  C D L  A B (hình 4- HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Hình 4-06 - Căn theo thứ tự liên thuộc điểm bề mặt đa diện liền kề có chung cạnh biên, nối điểm I 2J2, J2K2, K2L2 L2I2 ta có lát cắt giao tuyến I 2J2K2L2 hình 4-07c (bước 4) Xét thấy-khuất: (bước 5) - Xét thấy khuất cho đoạn giao tuyến - hình chiếu bằng, ta thấy mặt đáy A2B2C2D2 đa diện bị mặt bên che khuất Do đoạn giao tuyến K 2L2 biểu diễn nét khuất (hình 4-08a) - Xét thấy khuất cho tồn khối hình học - theo tia nhìn từ xuống (quan sát hình chiếu đứng), ta thấy phần vật thể I1A1D1K1 đa diện nằm phía bên Hình 4-07a Hình 4-07b Hình 4-07c 117 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG mặt phẳng P Do hình chiếu bằng, ta có phần vật thể L2A2D2K2 đa diện biểu diễn nét khuất (hình 4-08b) Ví dụ 2: Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng vết P với lăng trụ chiếu (abcd) cho hình vẽ 4-09 Xác định giao tuyến: - Nhận xét lăng trụ chiếu (abcd) có hình chiếu suy biến thành tứ giác Như vậy, giao tuyến mặt phẳng vết P (mặt phẳng thường) lăng trụ có hình chiếu trùng với hình chiếu suy biến lăng trụ ( hình 4-10a) (bước 1) - Chọn phần giao tuyến chung điểm thích hợp để xét liên thuộc Các điểm giao cạnh đa diện a, b, c, d (là đường thẳng chiếu bằng) với mặt phẳng P Gọi I = a  P , J = b  P, K = c  P L = d  P ta có hình chiếu suy biến I2  a2 , J2  b2 , K2  c2 , L2  d2 (hình 4-10b) (bước 2) - Áp dụng tính chất liên thuộc điểm thuộc mặt phẳng vết 5, ta gán qua I2J2 đường thẳng thường để xác định I 1 a1 J1 b1 hình chiếu đứng Gán qua K L2 lần Hình lượt 4-08a hai đường thẳng để xác định K 1Hình c1 và4-08b L1 d1 hình chiếu đứng (hình 4-10b) (bước 3) Xem lại Chương - Phần A - Mục 8.2- Sự liên thuộc điểm mặt phẳng vết 118 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG - Nối điểm I1J1, J1K1, K1L1 L1I1 theo thứ tự liên thuộc điểm bề mặt lăng trụ kề ta có lát cắt giao tuyến I 1J1K1L1 hình 4-10c (bước 4) Hình 4-09 Xét thấy-khuất: (bước 5) - Xét thấy khuất cho đoạn giao tuyến - hình chiếu bằng, xét tia nhìn vng góc P1 (từ phía trước phía sau) ta thấy mặt phẳng (a 2,d2) đa diện bị mặt bên (a2,b2), (b2,c2) (c2,d2) che khuất Do hình chiếu đứng, đoạn giao Hình 4-10a Hình 4-10b Hình 4-10c tuyến L1I1 thuộc mặt phẳng (a1, d1) biểu diễn nét khuất (hình 4-11a) - Xét thấy khuất cho tồn khối hình học – theo hướng tia nhìn vng góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (quan sát hình khơng gian 4-11b), ta thấy phần lăng trụ phía bên giao tuyến bị che khuất mặt phẳng P (có vết V2P nằm phía trước lăng trụ) Do đồ thức - hình chiếu đứng, ta có phần vật thể 119 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG - Nối điểm I1, 21, 41, 61, 81, J1 J1, 71, 51, 31,11, I1 dựa theo thứ tự liền kề trước-sau hình chiếu suy biến ta có giao tuyến cần tìm (hình 4-41-bước 4) Xét thấy-khuất: (bước 5) Hình 4-40a Hình 4-40b Hình 4-40c 145 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG - Xét thấy khuất cho đoạn giao tuyến - đồ thức hình 4-41, xét tia nhìn vng góc P2 (các tia chiếu bằng), ta thấy toàn bề mặt mặt nón Đối với mặt trụ, ta thấy phần phía giới hạn đường bao hình chiếu b2 e2 Nữa phần phía bị che khuất Từ nhận xét trên, áp dụng nguyên tắc xét thấy-khuất cho đoạn giao tuyến chung mặt nón mặt trụ ta có đoạn cong giao tuyến I 212, 1232 I222, 2242 biểu diễn nét thấy, tất đoạn giao tuyến lại biểu diễn nét khuất - Xét thấy khuất cho tồn khối hình học - quan sát thấy khuất đoạn giao tuyến vừa xét giao cắt mặt nón mặt trụ hình khơng gian, ta có thấy-khuất chúng biểu diễn đồ thức hình 4-41 Ví dụ 2: Cho đồ thức mặt cầu tâm O mặt trụ chiếu hình 4-42 Hãy xác định giao tuyến mặt cầu mặt trụ Xác định giao tuyến: Hình 4-41 146 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG - Ta có mặt trụ chiếu có hình chiếu suy biến thành đường tròn Phần giao tuyến chung mặt trụ mặt cầu rõ hình 4-43a (bước 1) - Trên hình chiếu bằng, xét đường thẳng chiếu (là đường sinh) thuộc bề mặt mặt trụ, đường thẳng chiếu giao với mặt cầu điểm (một điểm phía điểm phía dưới) Chọn đường thẳng chiếu (bất kỳ) thuộc mặt trụ p, p’, q, q’, r, r’, m n có vị trí hình 4-43b Trên hình chiếu ta có : n2 giao mặt cầu điểm 12  22, p2 giao mặt cầu điểm 32  42, q2 giao mặt cầu điểm 52  62, , m2 giao mặt cầu điểm 72  82, r’2 giao mặt cầu điểm 92  102, q’2 giao mặt cầu điểm 112  122, p’2 giao mặt cầu điểm 132  142 Hình 4-42 Riêng r2 tiếp xúc mặt cầu điểm ( thuộc dường bao hình chiếu b ) I2 (bước 2) - Áp dụng tính chất liên thuộc cho điểm chọn mặt cầu : (hình 4-43c) Đối với điểm I2 thuộc đường bao hình chiếu b2 mặt cầu, ta cần gióng thẳng góc điểm lên b (đường thẳng nằm ngang qua O1) xác định vị trí I1 hình chiếu đứng Đối với điểm 12, 22, 32, 42, 72, 82, 92, 102, 132, 142 ta áp dụng tính chất liên thuộc mặt cầu theo cách C1 để xác định vị trí 1, 21, 31, 41, 71, 81, 91, 101, 131, 141 hình chiếu đứng 147 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Đối với điểm 52, 62, 112, 122 ta áp dụng tính chất liên thuộc mặt cầu theo cách C2 để xác định vị trí 51, 61, 111, 121 hình chiếu đứng (bước 3) Hình 4-43a Hình 4-43b Hình 4-43c Hình 4-44 148 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG - Nối điểm I2, 62, 42, 22, 142, 122, 102, 82, I2 I2, 52, 32, 12, 132, 112, 92, 72, I2 dựa theo thứ tự liền kề trên-dưới hình chiếu suy biến ta có giao tuyến cần tìm (hình 4-44) ( bước 4) Xét thấy-khuất: (bước 5) - Xét thấy khuất cho đoạn giao tuyến - đồ thức hình 4-44, xét tia nhìn vng góc P1 (các tia chiếu đứng), ta thấy bề mặt mặt cầu phía trước giới hạn đường bao hình chiếu đứng a 1, mặt cầu phía sau bị che khuất Đối với mặt trụ, ta thấy phần phía trước giới hạn đường bao hình chiếu đứng n1 m1, phần phía sau bị che khuất Từ nhận xét trên, áp dụng nguyên tắc xét thấy-khuất cho đoạn giao tuyến chung mặt cầu mặt trụ ta có đoạn cong giao tuyến 141, 4161, 61I1, I181 1131, 3151, 51I1, I171 biểu diễn nét thấy, tất đoạn giao tuyến lại biểu diễn nét khuất - Xét thấy khuất cho toàn khối hình học - quan sát thấy khuất đoạn giao tuyến vừa xét giao cắt mặt cầu mặt trụ hình khơng gian, ta có thấy-khuất chúng biểu diễn đồ thức hình 4-44 B TRƯỜNG HỢP TỔNG QT - XÉT BÀI TỐN TÌM GIAO KHI CHƯA BIẾT BẤT KỲ HÌNH CHIẾU NÀO CỦA GIAO TUYẾN Suy biến yếu tố giữ vai trò quan trọng giúp ta xác định nghiệm tốn tìm giao tuyến Muốn giải tốn tìm giao tuyến đối tượng hình học trường hợp tổng quát, phương pháp đó, ta cần phải làm xuất yếu tố suy biến (phần lớn)6 cách giải, từ có sở để xác định giao tuyến cần tìm Có nhiều phương pháp làm xuất yếu tố suy biến q trình giải tốn, làm quen với phương pháp Thay mặt phẳng hình chiếu, hình chiếu thứ ba, phép quay, mặt phẳng (cong) phụ trợ phép chiếu phụ toán cụ thể I GIAO CỦA CÁC ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC CƠ BẢN 1.1 Giao hai mặt phẳng vết Trong trường hợp đề yêu cầu xác định giao tuyến hai mặt phẳng vết P Q, hai mặt phẳng vết khơng có chứa yếu tố suy biến, ta có trường hợp tốn dạng tổng quát đối tượng hình học đề có vị trí mối tương quan đặc biệt nên giải tốn cách trực tiếp mà không cần dựa vào yếu tố suy biến 149 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG xác định giao tuyến chúng cách dễ dàng minh họa hình 4-45 ab sau : Hình 4-45 Hình 4-45a Hình 4-45b Nhận xét hình khơng gian 4-45a, vết đứng V1P mặt phẳng P vết đứng V1Q mặt phẳng Q nằm mặt phẳng hình chiếu đứng P1 Do chúng cắt giao điểm I Tương tự vậy,vết V2P mặt phẳng P vết V2Q mặt phẳng Q nằm mặt phẳng hình chiếu P2 Do chúng cắt giao điểm J Nối giao điểm lại ta giao tuyến g cần xác định Như đồ thức hình 4-45b, ta có vết đứng V1P V1Q cắt giao điểm I1, gióng I1 thẳng đứng xuống trục x ta có I Tương tự, ta có vết V2P V2Q cắt giao điểm J2, gióng J2 thẳng đứng lên trục x ta có J Nối I1J1  g1, nối I2J2  g2 g(g1, g2) giao tuyến cần xác định mặt phẳng vết P Q Dựa vào hình khơng gian 4-45a, ta có thấy-khuất hai mặt phẳng vết P Q đồ thức hình 4-45b 1.2 Giao đường thẳng mặt phẳng Xét ví dụ sau : Ví dụ 1: Cho đồ thức mặt phẳng (ABC) đường thẳng d hình 4-46 Hãy xác định giao điểm I d với mp (ABC), xét thấy-khuất đồ thức Cách giải 1: (hình 4-47) Để làm xuất yếu tố suy biến trình giải, ta dùng phương pháp 150 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG thay mặt phẳng hình chiếu để biến (ABC) thành mặt phẳng chiếu đứng chiếu Chẳng hạn biến (ABC) thành mặt phẳng chiếu đứng: Hình 4-46 Hình 4-47 Thay P1 mp thường (A1B1C1, A2B2C2) mp chiếu đứng (A’1B’1C’1, A2B2C2) đường thẳng d (d ,d ) x’  hcb b2 đường thẳng b đường thẳng d (d’ ,d ) 2 (A’1B’1C’1) hình chiếu suy biến I’ = (A’1B’1C’1)  d’1 hình chiếu giao điểm I cần tìm Bằng phép gióng ngược từ I’ trở lại hình chiếu chiếu đứng ban đầu đường thẳng d ta có I2 d2 I1 d1 Sau xác định giao điểm I(I1,I2) đường thẳng d mp (ABC) ta áp dụng phương pháp xét thấy - khuất hai hình chiếu để có kết hình 4-47 Cách giải 2: (hình 4-48) Để làm xuất yếu tố suy biến trình giải, ta dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ - gán mặt phẳng phụ P chiếu (hoặc chiếu đứng) chứa đường thẳng d vào đồ thức xét (hình 4-48a) Sau xét tốn phụ tìm giao tuyến g mặt phẳng thường (ABC) mặt phẳng phụ chiếu P Đây tốn phụ với trường hợp đặc biệt nên giải Trên đồ thức hình 4-48b, ta có hình chiếu suy biến V2P cắt A2C2 B2C2 hai điểm 12 22 (g2  1222) Gióng 12 22 lên hình chiếu đứng ta có 11 A1C1 21 B1C1 (g1  1121) 151 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Sau có g(g1,g2) giao tuyến chung hai mặt phẳng (ABC) P, để ý d g nằm mặt phẳng phụ P (hình 4-48a), chúng phải cắt giao điểm I cần tìm mp (ABC) đường thẳng d Trên đồ thức hình 4-48b ta có I1 = g1 d1 Gióng I1 xuống hình chiếu ta có I2  d2 Sau xác định giao điểm I(I1,I2) đường thẳng d mp (ABC) ta áp dụng phương pháp xét thấy - khuất hai hình chiếu để có kết hình 4-48b Ví dụ 2: Cho đồ thức mặt phẳng (a b) đường thẳng d hình 4-49 Hãy xác định giao điểm I d với mp (ab), xét thấy-khuất đồ thức Cách giải 3: (hình 4-50 ab) Để làm xuất yếu tố suy biến trình giải, ta dùng phương pháp phép chiếu phụ, dùng hướng chiếu c chiếu mặt phẳng (ab) đường thẳng d lên mặt phẳng tự chọn (thường người ta hay chọn mặt phẳng hình chiếu mặt phẳng phân giác) cho hình chiếu mặt phẳng (a’b’) bị suy biến, ta xác định hình chiếu phụ giao điểm I’ = d’  Hình 4-48a Hình 4-48b 152 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG (a’b’) Bằng cách gióng ngược I’ hình chiếu ban đầu ta xác định giao điểm cần tìm I(I1,I2) (hình 4-50a) Trên đồ thức hình 4-50b, ta chọn hướng chiếu c song song với đường thẳng a (c // a1, c2 // a2) Chiếu mặt phẳng (ab) theo hướng c lên mặt phẳng hình chiếu đứng P1 ta thu hình chiếu suy biến (a’ 1b’1) (hình chiếu vết đứng mặt phẳng (ab)) Chọn đường thẳng d hai điểm 1, chiếu hai điểm lên mặt phẳng P1 theo hướng c ta d’1 qua 1’1 2’1 Ta có hình chiếu giao điểm I’ = d’1  (a’1b’1) Thực phép chiếu ngược hướng c từ I’1 trở d1 ta có I1 Gióng I1 xuống hình chiếu ta có I2  d2 Sau xác định giao điểm I(I 1,I2) đường thẳng d mp (ab) ta áp dụng phương pháp xét thấy - khuất hai hình chiếu để có kết hình 4-50b Hình 4-49 Nhận xét : Hình 4-50a Hình 4-50b Trong cách giải trên, cách giải phương pháp mặt phẳng phụ gọn xác Tuy nhiên, phương pháp có ưu nhược điểm riêng Với tốn cụ thể, phương pháp giải phương pháp khơng Do người học cần phải lựa chọn phương pháp phù hợp cho tốn tìm giao 153 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Ngồi ba phương pháp trên, số tốn tìm giao cịn giải phương pháp hình chiếu thứ ba phép quay mặt phẳng quang trục đường thẳng chiếu 2.3 Giao hai mặt phẳng Ta tìm hiểu cách xác định giao tuyến hai mp thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho đồ thức hai mặt phẳng (ABC) (p // q) hình 4-51 Hãy xác định giao tuyến g hai mặt phẳng trên, xét thấy-khuất đồ thức Hình 4-51 Hình 4-52 Áp dụng phương pháp mặt phẳng phụ cho tốn tìm giao tuyến mặt phẳng, chọn mặt phẳng (p // q) hai đường thẳng thường (trong trường hợp ta chọn hai đường thẳng p q), tìm giao điểm I J p q với mặt phẳng (ABC), nối IJ ta có giao tuyến g cần xác định (hình 4-52) Trên P1, ta gán mp phụ chiếu đứng có hình chiếu đứng R1 p1 H1 q1 R1 cắt A1B1 A1C1 hai điểm 1 21 Gióng liên thuộc từ hai điểm xuống P2 ta 12 A2B2 22 A2C2 Giao tuyến phụ 1222 cắt p2 hình chiếu I2 giao điểm I cần tìm Gióng I2 lên hình chiếu đứng ta có I1 p1 154 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG H1 cắt B1C1 A1C1 hai điểm 41 Gióng liên thuộc từ hai điểm xuống P2 ta 32 B2C2 42 A2C2 Giao tuyến phụ 3242 cắt q2 hình chiếu J2 giao điểm J cần tìm Gióng J2 lên hình chiếu đứng ta có J1 q1 Ta có IJ(I1J1, I2J2) giao tuyến chung hai mặt phẳng (p // q) (ABC) Khi xét thấy khuất hai hình phẳng (ABC) (p // q), ta cần giới hạn lại đoạn giao tuyến thật tồn tại, đoạn IK với K = IJ  AC Áp dụng nguyên tắc xét thấy-khuất cho điểm đồng tia chiếu đứng chiếu hai hình chiếu, ta thu kết hình 4-52 Ví dụ 2: Cho đồ thức mặt phẳng (a  b) mặt phẳng (p // q) hình 4-53 Hãy xác định giao tuyến g hai mặt phẳng Trong toán này, ta áp dụng phương pháp mặt phẳng phụ để xác định giao tuyến chung hai mặt phẳng với nhận xét hình chiếu hai mặt phẳng biểu diễn rời nhau, cách giải chọn hai mặt phẳng phụ R H (chiếu đứng chiếu bằng) cắt hai mp (a  b) (p // q) theo hai cặp giao tuyến phụ 155 Hình 4-53 Hình 4-54 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Từng cặp giao tuyến phụ giao xác định hai giao điểm IJ thuộc giao tuyến g cần tìm hai mặt phẳng (hình 4-55) Như vậy, P1, ta gán mp phụ chiếu đứng có hình chiếu đứng R1 H1 (hình Hình 4-55 4-54) R1 cắt mp (a  b) hai điểm 11 a1 21 b1 Gióng liên thuộc từ hai điểm xuống P2 ta 12 a2 22 b2 R1 cắt mp (p // q) hai điểm 1 p1 41 q1 Gióng liên thuộc từ hai điểm xuống P2 ta 32 p2 42 q2 Ta có hai giao tuyến phụ 1222  3242 = I2 giao điểm thứ cần tìm Gióng I lên hình chiếu đứng ta có I1  R1 Tương tự, H1 cắt mp (a  b) hai điểm 51  b1 61  a1 Gióng liên thuộc từ hai điểm xuống P2 ta 52  b2 62  a2 H1 cắt mp (p // q) hai điểm 71  p1 81  q1 Gióng liên thuộc từ hai điểm xuống P2 ta 72  p2 82  q2 Ta có hai giao tuyến phụ 262  7282 = J2 giao điểm thứ hai cần tìm Gióng J lên hình chiếu đứng ta có I1  H1 Nối I1J1  g1 , I2J2  g2 ta có giao tuyến g(g1,g2) cần tìm hai mp (a  b) (p // q) Ví dụ 3: Cho đồ thức mp (ABC) mp có hai vết song song P hình 4-56 Hãy xác định giao tuyến g hai mặt phẳng trên, xét thấy-khuất đồ thức Cách giải 4: Nhận xét hai vết mặt phẳng P song song với trục x (hình 4-56), áp dụng phương pháp hình chiếu thứ ba ta có hình chiếu V3P suy biến mặt phẳng P 156 Hình 4-56 Hình 4-57 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG Như vậy, đồ thức (hình 4-57), ta dựng hệ trục Oxyz biểu diễn mặt phẳng P3 xác định vết chiếu cạnh suy biến V3P mặt phẳng P đồng thời xác định hình chiếu thứ ba A3B3C3 hình phẳng (ABC) Khi A 3B3 A3C3 giao với hình chiếu suy biến V3P hai giao điểm I3 J3 Gióng giao điểm I J3 theo liên thuộc hình chiếu đứng ta có I1 A1B1, J1 A1C1 Gióng I1 vàJ1 theo liên thuộc xuống hình chiếu ta có I2 A2B2, J2 A2C2 Nối I1J1, I2J2 ta có giao tuyến IJ cần tìm hai mặt phẳng (ABC) P Từ hình chiếu thứ ba ta thấy phần hình chiếu B3C3J3I3 hình phẳng (ABC) nằm ẩn “bên dưới” “đằng sau” mpP tương ứng với hướng chiếu S2∞P2 S1∞P1 Do phần hình phẳng I1J1B1C1 hình chiếu đứng I2J2B2C2 hình chiếu bị mặt phẳng P che khuất (hình 4-57) Cách giải 5: (Hình 4-58) Ta áp dụng phép quay mặt phẳng P mp (ABC) quanh đường thẳng chiếu đứng t để đưa tốn dạng đặc biệt có hình chiếu V2P’ bị suy biến Như vậy, đồ thức, ta chọn trục quay t(t 1, t2) đường thẳng chiếu đứng có vị trí hình vẽ 4-58 Thực phép quay quanh trục t mp P Sau phép quay ta có mặt phẳng vết chiếu P’ có vết V2P’ suy biến Tương tự, thực phép quay quanh trục t mp (ABC) Sau phép quay ta có hình chiếu HìnhA’ 4-58 1B’1C’1 A’2B’2C’2 mp (ABC) Trên hình chiếu ta có A’2B’2 A’2C’2 giao với hình chiếu suy biến V2P’ hai giao điểm I’2 J’2 Gióng I’2 vàJ’2 theo liên thuộc hình chiếu cũ (A2B2C2) ta có I2 A2B2, J2 A2C2 Gióng I2 vàJ2 theo liên thuộc lên hình chiếu đứng ta 157 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG có I1  A1B1, J1 A1C1 Nối I1J1, I2J2 ta có giao tuyến IJ cần tìm hai mặt phẳng (ABC) P II GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MỘT MẶT 2.1 Giao mặt phẳng với đa diện 158 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG 159 ... 111, 121 hình chiếu đứng (bước 3) Hình 4- 43a Hình 4- 43b Hình 4- 43c Hình 4- 44 148 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG - Nối điểm I2, 62, 42 , 22, 142 , 122, 102, 82, I2 I2, 52, 32, 12,... biến 149 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC-XÂY DỰNG xác định giao tuyến chúng cách dễ dàng minh họa hình 4- 45 ab sau : Hình 4- 45 Hình 4- 45a Hình 4- 45b Nhận xét hình khơng gian 4- 45a, vết... 21, 41 , 61, 81, J1 J1, 71, 51, 31,11, I1 dựa theo thứ tự liền kề trước-sau hình chiếu suy biến ta có giao tuyến cần tìm (hình 4- 41-bước 4) Xét thấy-khuất: (bước 5) Hình 4- 40a Hình 4- 40b Hình 4- 40c