CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC CHUONG 1 BIEU DIEN DIEM DUONG THANG MAT

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG PHẦN PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GĨC CHƯƠNG : BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG CHƯƠNG : BIỂU DIỄN ĐƯỜNG VÀ MẶT CHƯƠNG : CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU CHƯƠNG : BÀI TỐN TÌM GIAO TUYẾN CHƯƠNG : BĨNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG CHƯƠNG BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG A HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU XÂY DỰNG PHÉP CHIẾU THẲNG GĨC (hình 1-01) Trong khơng gian, lấy hai mặt phẳng (mp) vng góc Mặt phẳng thẳng đứng P1 gọi mp hình chiếu đứng Mặt phẳng nằm ngang P2 gọi mp hình chiếu Hai mặt phẳng P1 P2 giao theo đường thẳng gọi trục hình chiếu x Gọi G mp phân giác1 góc nhị diện (thuộc phần tư thứ thứ ) hợp P1 P2 Gọi S1∞ S2∞ hướng chiếu thẳng góc (vng góc) với mặt phẳng P1 P2 Góc phần tư Góc phần tư Góc phần tư Góc phần tư Hình 1-01 - Với vật thể không gian, ta chiếu vật thể lên mặt phẳng hình chiếu P1 P2 hai phép chiếu thẳng góc có nguồn chiếu S1∞ S2∞ Một số tài liệu khảo sát mặt phẳng phân giác – mặt phẳng phân giác góc nhị diện (thuộc phần tư thứ thứ 3) , mặt phẳng phân giác góc nhị diện (thuộc phần tư thứ thứ 4) Giáo trình xét mặt phẳng phân giác G thuộc góc phần tư thứ thứ CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM II.1 Thành lập đồ thức điểm (hình 1-02) Giả sử có điểm A không gian, để thành lập hình biểu diễn điểm A ta tiến hành sau : - Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S1∞ lên mp P1 ta điểm A1 - Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S2∞ lên mp P2 ta điểm A2 - Quay mặt phẳng P2 mặt phẳng G quanh trục x đến trùng với mặt phẳng P1 điểm A2 có vị trí mặt phẳng P1 hình vẽ 1-02 Hình 1-02 Nhận thấy A1 A2 nằm đường gióng thẳng đứng vng góc với trục hình chiếu x  Ta định nghĩa : - Cặp điểm (A1,A2) gọi đồ thức điểm A (A1A2 ⊥ x) - A1 gọi hình chiếu đứng điểm A - A2 gọi hình chiếu điểm A - Gọi Ax giao điểm A1A2 với trục x ta có : Đường gióng đường thẳng phụ trợ dùng để canh chỉnh, so sánh vị trí hình chiếu đối tượng hình học Đường gióng vẽ nét liền mảnh CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Độ cao điểm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng P2 Trên hình 1-02, độ cao điểm A đoạn thẳng AA2 = A1Ax Độ xa điểm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng P1 Trên hình 1-02, độ xa điểm A đoạn thẳng AA1 = A2Ax  Lưu ý : Đồ thức điểm B - (B1,B2) có mối liên hệ ràng buộc B1B2 ⊥ x Còn thứ tự B nằm trên, B2 nằm hay ngược lại, hai hình chiếu B lẫn B2 nằm nằm trục x tự Việc tùy thuộc vào vị trí tương đối điểm B không gian so với mặt phẳng hình chiếu P1 P2 (Xem ví dụ hình 1-03) II.2 Các điểm đặc biệt (hình 1-04) Hình 1-03 - Điểm B thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng P1 có hình chiếu B nằm trục hình chiếu x : B ∈ P1 ⇒ B ∈ x - Điểm C thuộc mặt phẳng hình chiếu P2 có hình chiếu đứng C1 nằm trục hình chiếu x : C ∈ P2 ⇒ C1 ∈ x - Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác G có hình chiếu đứng D1 hình chiếu D trùng : D ∈ G ⇒ D1 ≡ D2 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG - Trục hình chiếu x thuộc mặt phẳng phân giác G nên điểm x có hai hình chiếu trùng : E ∈ x ⇒ E1 ≡ E2 Hình 1-04 ĐƯỜNG THẲNG 3.1 Thành lập đồ thức đường thẳng (thường) CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Ta có định nghĩa : Hình 1-05 - Đường thẳng nối tâm chiếu S1∞ S2∞ gọi đường thẳng tâm chiếu3 - Đường thẳng thường đường thẳng không cắt đường thẳng tâm chiếu4 Do nối hai điểm vô tận S1∞ S2∞ nên đường thẳng tâm chiếu đường thẳng vô tận mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x (ta khơng thể thấy đường thẳng hình vẽ) Đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu nằm mặt phẳng vng góc với trục hình chiếu x Đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu đường thẳng đặc biệt CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG - Đồ thức đường thẳng thường cặp đường thẳng khơng vng góc với trục hình chiếu x (hình 1-05) 3.2 Các đường thẳng đặc biệt - Đường thẳng đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu P2 (hình 1-06) Tính chất : Hình chiếu đứng đường thẳng đường thẳng song song với trục hình chiếu x b đường thẳng ⇔ b1 // x Ghi : Mọi đường thẳng d nằm mặt phẳng hình chiêu P2 có hình chiếu đứng Hình 1-06 d1 ≡ x Ta xem d đường thẳng - Đường thẳng mặt đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (hình 1- 07) CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 1-07 Tính chất : Hình chiếu đường thẳng mặt đường thẳng song song với trục hình chiếu x m đường thẳng mặt ⇔ m2 // x Ghi : Mọi đường thẳng n nằm mặt phẳng hình chiêu đứng P1 có hình chiếu n2 ≡ x Ta xem n đường thẳng mặt - Đường thẳng chiếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu P2 (hình 1-08) Hình 1-08 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Tính chất : Hình chiếu đường thẳng chiếu bị suy biến thành điểm : d2 ≡ A2 Hình chiếu đứng đường thẳng chiếu đường thẳng vng góc trục x d đường thẳng chiếu ⇔ d2 điểm d1 ⊥ x - Đường thẳng chiếu đứng đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (hình 1-09) Hình 1-09 Tính chất : Hình chiếu đứng đường thẳng chiếu đứng bị suy biến thành điểm : a1 ≡ D1 Hình chiếu đường thẳng chiếu đứng đường thẳng vng góc trục x a đường thẳng chiếu đứng ⇔ a1 điểm a2 ⊥ x - Đường thẳng cạnh đường thẳng (thuộc mặt phẳng) vng góc với trục hình chiếu x (hình 1-10) Đối với đường thẳng cạnh, ta biểu diễn hai hình chiếu ký hiệu đường thẳng bình thường (a1,a2), (b1,b2), … có nhiều đường thẳng cạnh khác có hình chiếu trùng hình vẽ Do để đảm bảo tương ứng 1-1, ta bắt buộc phải biểu diễn đồ thức đường thẳng cạnh đồ thức hai điểm A, B thuộc Tính chất : Hình chiếu hình chiếu đứng đường thẳng cạnh cặp đường thẳng trùng vuông góc với trục hình chiều x AB đường thẳng cạnh ⇔ (đường thẳng) A1B1 ≡ (đường thẳng) A2B2 ⊥ x 10 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Trên đồ thức ta có d1 cắt a1 điểm 11 Từ điểm 11 gióng thẳng đứng xuống hình chiếu lên a2 ta điểm 12 Tương tự, ta có d1 cắt b1 điểm 21 Từ điểm 21 gióng thẳng đứng xuống hình chiếu lên b2 ta điểm 22 Nối hình chiếu 22 ta hình chiếu đường thẳng hai Điểm thuộc đường thẳng nên có D 12 lại d2 d d D1 ∈ d1 D2 ∈ d2 Ta tìm D2 cách gióng thẳng góc từ D1 xuống hình chiếu lên d2 37 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 1-47 Bài phẳng thuộc phẳng (m hình Biết AB // Hãy tìm chiếu A1B1C1 48) Cho hình ABC mặt // n) có chiếu A2B2C2 m n hình đứng (hình 1- Đường thẳng BC thuộc mặt phẳng (m // m) nên ta kéo dài đường thẳng BC cắt hai đường thẳng m n điểm Trên đồ thức ta có B 2C2 cắt m2 điểm 12 cắt n2 điểm 22 Gióng điểm 12 22 lên hình chiếu đứng cắt cạnh m điểm 11 n1 điểm 21 Nối đường thẳng 1121 Từ B2 C2 ta gióng thẳng đứng lên đường thẳng 1121 ta có hai điểm B1 C1 cần tìm Theo đề ta có đường thẳng AB // m n Do đồ thức ta có A 2B2 // m2 n2 , A1B1 // m1 n1 Do từ điểm B vừa xác định được, ta vẽ đường thẳng song song với m1 Gióng A2 thẳng đứng từ hình chiếu lên đường thẳng ta xác định điểm A1 Nối A1B1C1 ta hình chiếu đứng cần tìm hình phẳng ABC 38 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 1-48 Bài - Cho hình phẳng ABCD thuộc mặt phẳng vết Q có hình chiếu đứng A1B1C1D1 Hãy tìm hình chiếu A2B2C2D2 (hình 1-49) Vẽ thẳng bất mp vết Q hai điểm Trên đồ vẽ đường qua D1C1 điểm Hình 1-49 đường kỳ thuộc qua D, C thức ta thẳng cắt trục x 11 cắt 39 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG V1Q điểm 21 Gióng 11 xuống V2Q ta 12, gióng 21 xuống trục x ta 2 Nối 1222 , gióng từ D1 C1 xuống đường thẳng 1222 ta D2 C2 Vẽ qua A B vẽ đường thẳng mặt - Trên đồ thức ta vẽ đường thẳng qua A song song với vết đứng V1Q cắt trục x điểm 41 Gióng 41 xuống vết V2Q ta 42 Từ 42 vẽ đường thẳng song song trục x (hình chiếu đường thẳng mặt qua A) Gióng từ A1 xuống đường thẳng ta A2 Tương tự, vẽ đường thẳng qua B1 song song với vết đứng V1Q cắt trục x điểm 31 Gióng 31 xuống vết V2Q ta 32 Từ 32 vẽ đường thẳng song song trục x (hình chiếu đường thẳng mặt qua B) Gióng từ B1 xuống đường thẳng ta B2 Nối A2B2C2D2 ta hình chiếu cần tìm hình phẳng ABCD Bài - Cho hình phẳng đa giác ABCDE có phần hình chiếu chiếu đứng hình vẽ Hãy xác định phần hình chiếu cịn thiếu sót đa giác ABCDE vẽ hồn chỉnh hai hình chiếu đa giác (hình 1-50) Hình 1-50 Nhận xét ta biết đầy đủ hình chiếu ba điểm A,D,C đa giác Do đó, mặt phẳng chứa đa giác hoàn toàn 40 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG xác định Bài toán quy dạng : cho mặt phẳng xác định tam giác (ADC), biết điểm B thuộc mặt phẳng có hình chiếu đứng B 1, xác định hình chiếu B2 Biết điểm E thuộc mặt phẳng có hình chiếu E2, xác định hình chiếu đứng E1 Cách giải tốn tương tự cách giải rõ hình vẽ 1-50 B HỆ THỐNG BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU BỔ SUNG HÌNH CHIẾU THỨ BA VÀO HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU (hình 1-51) Trong khơng gian, ta bổ sung thêm mặt phẳng P3 vng góc với hai mặt phẳng P1 P2 P3 gọi mặt phẳng hình chiếu cạnh Gọi S3∞ hướng chiếu vng góc với mặt phẳng P3 Mặt phẳng P3 giao với mặt phẳng P2 theo giao tuyến đường thẳng y Mặt phẳng P3 giao với mặt phẳng P1 theo giao tuyến đường thẳng z Gọi O giao điểm ba trục x, y, z Ta xem O điểm gốc tọa độ hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM Giả sử có điểm A khơng gian, để thành lập đồ thức điểm A ta tiến hành Hình 1-51 sau : (hình 1-52) 41 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG - Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S1∞ lên mp P1 ta điểm A1 - Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S2∞ lên mp P2 ta điểm A2 - Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S3∞ lên mp P3 ta điểm A3 - Quay mặt phẳng P2 quanh trục x đến trùng với mặt phẳng P1 điểm A2 có vị trí mặt phẳng P1 hình vẽ 1-52 - Quay mặt phẳng P3 quanh trục z đến trùng với mặt phẳng P1 điểm A3 có vị trí mặt phẳng P1 hình vẽ 1-52 - A3 gọi hình chiếu cạnh điểm A Gọi Az giao điểm đường thẳng A 1A3 với trục z ta nhận thấy hình chiếu A 1, A2, A3 có mối liên hệ ràng buộc sau : A2Ax = A3Az = độ xa điểm A A1 A3 nằm đường gióng nằm ngang vng góc với trục z DỰNG HÌNH CHIẾU THỨ BA KHI ĐÃ BIẾT HAI HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM  Từ mối liên hệ ba hình chiếu điểm A, biết cặp hình chiếu (A 1,A2) ta xác Hình 1-52 định A3 sau : (hình 1-53) - Vẽ trục Oz thẳng đứng (bất kỳ) vng góc với trục x điểm O nằm phía bên phải cặp điểm (A1,A2) - Từ A1 ta dựng đường gióng nằm ngang vng góc với trục Oz điểm Az - Từ A2 ta dựng đường gióng nằm ngang cắt trục Oy (thẳng đứng) điểm A y thứ - Quay cung trịn tâm O, bán kính OA y ngược chiều kim đồng hồ để xác định điểm A y thứ hai trục Oy (nằm ngang) 42 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG - Vẽ qua điểm Ay thứ hai đường gióng thẳng đứng tìm giao điểm A với đường gióng nằm ngang qua A1 vẽ Ta gọi toán toán [(1,2) 3]  Từ mối liên hệ ba hình chiếu điểm B, biết cặp hình chiếu (B 1,B3) ta xác định B2 sau : (hình 1-54) - Vẽ trục Ox nằm ngang (bất kỳ) vng góc với trục z điểm O nằm phía bên cặp điểm (B1,B3) - Từ B1 ta dựng đường gióng thẳng đứng vng góc với trục Ox điểm Bx Hình 1-53 - Từ B3 ta dựng đường gióng thẳng đứng vng góc với trục Oy (nằm ngang) điểm B y thứ - Quay cung tròn tâm O, bán kính OBy thuận chiều kim đồng hồ để xác định điểm By thứ hai trục Oy (thẳng đứng) - Vẽ qua điểm By thứ hai đường gióng nằm ngang tìm giao điểm B với đường gióng thẳng đứng qua B1 vẽ 43 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Ta gọi toán toán [(1,3) 2]  Ghi : Hình 1-54 Thay phải thực việc quay quanh tâm O đường trịn bán kính Oy để xác định điểm By , ta thay phép quay cách từ O dựng đường thẳng nghiêng 45 so với phương ngang sử dụng phép gióng thẳng đứng nằm ngang hình vẽ 155 Hình 1-55 SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG HỆ THỐNG BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU 44 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Điểm thuộc đường thẳng hình chiếu điểm thuộc hình chiếu có số đường thẳng thỏa mối liên hệ ràng buộc điểm, đường thẳng đường thẳng thường hay đường thẳng cạnh (hình 1-56, 1-57) I ∈ đường thẳng AB ⇔ I1 ∈ A1B1 , I2 ∈ A2B2 , I3 ∈ A3B3 I1I2 ⊥ ox , I1I3 ⊥ oz Hình 1-56 Hình 1-57 I ∈ đường thẳng cạnh AB ⇔ I1∈ A1B1 , I2∈ A2B2 , I3∈ A3B3 I1I2 ⊥ ox , I1I3 ⊥ oz VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẠNH TRONG HỆ THỐNG BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU 45 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Nếu hai đường thẳng cạnh EF GH nằm hai mặt phẳng cạnh khác chúng có hình chiếu đứng hình chiếu rời Lúc xảy hai trường hợp : Hoặc EF GH chéo (hình 1-58a), EF GH song song (hình 1-58b) Nếu hai đường thẳng cạnh AB CD thuộc mặt phẳng cạnh chúng có hình chiếu đứng hình chiếu trùng Lúc xảy hai trường hợp : Hoặc AB Hình 1-58a Hình 1-58b CD cắt điểm (hình 1-59 a), AB CD song song (hình 1-59 b) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : Cho hình chiếu đứng A1 điểm A, hình chiếu B điểm B đường thẳng Hình 1-59a Hình 1-59b cạnh CD Hãy tìm hình chiếu A2 điểm A hình chiếu đứng B điểm B Biết A B nằm đường thẳng b căt đường thẳng cạnh CD (hình 1-60) 46 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Bài : Cho bốn điểm A, B, C, D Hãy kiểm tra xem bốn điểm có nằm mặt phẳng hay khơng Tìm hình chiếu điểm E thuộc mặt phẳng (ABC) biết E ≡ D1 (hình 1-61) Hình 1-61 Hình 1-60 Bài : định vị trí đối cặp thẳng cho hình 1-62 Xác tương đường Hình 1-62 47 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Bài : Cho đường thẳng cạnh AB hình vẽ 1-63 Hãy xác định vết đứng I(I1, I2) vết J(J1,J2) đường thẳng AB đồ thức Hình 1-63 Bài : Cho mặt phẳng A(M,d) mặt phẳng B(p // q) hình 1-64 a,b Hãy xác định vết mặt phẳng 48 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 1-64a Hình 1-64b Bài : Cho mặt phẳng (a ∩ b), biết tam giác ABC thuộc mặt phẳng (a ∩ b) có hình chiếu A 2B2C2 Hãy tìm hình chiếu đứng A1B1C1 cùa (hình 1-65) Bài : Cho điểm M(M1, M2) hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu trục Oz định hình vẽ 1-66 Hãy xác định hình chiếu cạnh M3 Hình 1-65 Hình 1-66 Bài : Cho tam giác ABC nằm mặt phẳng tạo điểm M trục x có hình chiếu đứng A1B1C1 Hãy tìm hình chiếu A2B2C2 (hình 1-67) 49 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Hình 1-67 Bài : Cho mặt phẳng vết P điểm M không thuộc P Hãy vẽ qua M đường thẳng d song song với mặt phẳng vết P cắt trục hình chiếu x (hình 1-68) Bài 10 : Cho vết đứng mặt phẳng P, vết mặt phẳng Q hình chiếu đứng đường thẳng m Biết m giao tuyến hai mặt phẳng P Q Hãy xác định hình chiếu đường thẳng m, vết mặt phẳng P vết đứng mặt phẳng Q (hình 1-69) 50 Hình 1-68 Hình 1-69 CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - XÂY DỰNG Bài 11 : Cho vết mặt phẳng P đồ thức điểm A thuộc P Hãy tìm vết đứng mặt phẳng P trường hợp hình 1-70 ab Hình 1-70a Hình 1-70b 51 ... điểm 11 , cắt B1C1 điểm 21 Theo tính chất liên thuộc điểm với đường thẳng thường ta có : Điểm ∈ AC có 11 ∈ A1C1 12 ∈ A2C2 Điểm 2∈ BC có 21 ∈ B1C1 22 ∈ B2C2 Do gióng đường thẳng đứng từ 11 21 xuống... m2 điểm 12 cắt n2 điểm 22 Gióng điểm 12 22 lên hình chiếu đứng cắt cạnh m điểm 11 n1 điểm 21 Nối đường thẳng 11 21 Từ B2 C2 ta gióng thẳng đứng lên đường thẳng 11 21 ta có hai điểm B1 C1 cần tìm... (hình 1- 56, 1- 57) I ∈ đường thẳng AB ⇔ I1 ∈ A1B1 , I2 ∈ A2B2 , I3 ∈ A3B3 I1I2 ⊥ ox , I1I3 ⊥ oz Hình 1- 56 Hình 1- 57 I ∈ đường thẳng cạnh AB ⇔ I1∈ A1B1 , I2∈ A2B2 , I3∈ A3B3 I1I2 ⊥ ox , I1I3 ⊥