BË GI�O DÖC V� ��O T�O TR×ÍNG ��I HÅC QUY NHÌN Và THÀ TH� SINH T�NH ÊN �ÀNH CÕA MËT SÈ T�P I��AN NGUY�N TÈ G�N K�T LI�N QUAN ��N D�Y �ÈI CH�NH QUY CHI�U >k LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC B¼nh �ành N«m 2019[.]
BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN Và THÀ TH SINH TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TP I AN NGUYN TÈ GN KT LIN QUAN N DY ÈI CHNH QUY CHIU >k LUN VN THC S TON HC Bẳnh nh - Nôm 2019 e Bậ GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN Và THÀ TH SINH TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TP I AN NGUYN TÈ GN KT LIN QUAN N DY ÈI CHNH QUY CHIU >k Chuyản ngnh : M số : Ôi số v lẵ thuyát số 46 01 04 Ngữới hữợng dăn: TS PHM HU KHNH e i Mửc lưc MËT SÈ KÞ HIU DỊNG TRONG LUN VN MÐ U 1 KIN THÙC CHUN BÀ 1.1 1.2 1.3 1.4 Têp i ảan nguyản tố liản kát Têp i ảan nguyản tố gưn kát DÂy chẵnh quy v dÂy lồc chẵnh quy DÂy ối chẵnh quy chiÃu lợn hỡn k 13 18 TNH ÊN ÀNH CÕA MËT SÈ TP I AN NGUYN TÈ GN KT LIN QUAN N DY ÈI CHNH QUY CHIU LẻN HèN k 26 2.1 Kát quÊ ờn nh cừa têp i ảan nguyản tố gưn kát t [ AttR (0:A (x1 n1 , , xi ni ) R) i=0 27 2.2 K¸t qu£ ờn nh cho têp nguyản tố gưn kát t [ n AttR (TorR i (R/I, (0:A J ))) i=0 31 KT LUN 39 e ii TI LIU THAM KHO 40 QUYT ÀNH GIAO TI LUN VN 42 e DANH MƯC CC KÞ HIU R : Tªp hđp c¡c sè thüc Ass : Tªp i ảan nguyản tố liản kát Ann : Linh hõa tỷ Spec : Têp cĂc i ảan nguyản tố ZD : Têp cĂc ữợc cừa Att : Têp i ảan nguyản tố gưn kát D(M) : ối ngău Matlis cừa M depth(I, M ) : ë s¥u cõa M I f-depth(I, M ) : ë s¥u låc cõa M I Ext : H m tû mð rëng Tor : H m tû xon Width>k (I, A) : ë rëng chi·u >k cõa A I e Líi cam oan Tỉi xin cam oan mồi kát quÊ cừa à ti Tẵnh ờn nh cừa mởt số têp i ảan nguyản tố gưn kát liản quan án dÂy ối chẵnh quy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS PhÔm Hỳu KhĂnh v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt cự cổng trẳnh khoa hồc no khĂc cho tợi thíi iºm n y C¡c nëi dung v k¸t qu£ sû dửng luên vôn Ãu cõ trẵch dăn v thẵch nguỗn gốc Náu cõ iÃu gẳ gian lên, tổi xin chu trĂch nhiằm và luên vôn cừa mẳnh chiÃu >k Bẳnh nh, ngy 24 thĂng nôm 2019 Hồc vi¶n thüc hi»n Và THÀ TH SINH e MÐ U Trong suốt luên vôn ny ta luổn cho (R, m) l vnh giao hoĂn, Noether, a phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m I , J l hai i ảan cừa R, M l Rmổ un hỳu hÔn sinh v A l Rmổ un Artin Lỵ thuyát biu diạn thự cĐp cừa mổ un Artin ữủc I G Macdonald ữa vo nôm 1973 ữủc xem nhữ mởt ối ngău vợi lỵ thuyát phƠn tẵch nguyản sỡ cừa mổ un hỳu hÔn sinh trản vnh Noether Mởt Rmổ un N ữủc gồi l thự cĐp náu N 6= v vợi mồi r R, php nhƠn bi r trản N l p ton cĐu hoc lụy linh Trong tr÷íng hđp n y AnnR(N ) = p l mët i ¶an nguy¶n tè Khi â, ta nâi N l pthự cĐp Mởt biạu diạn thự cĐp cừa mổ un K l mởt phƠn tẵch thnh tờng hỳu hÔn cừa cĂc mæ un K = K1 + + Kn, õ Ki l pithự cĐp Mồi biu diạn thự cĐp cừa K Ãu cõ th ữa ữủc và dÔng tối thiu tực l cĂc pi ổi mởt khĂc vỵi måi i = 1, , n v khỉng câ Ki n o thøa Khi â tªp {p1, , pn} ữủc gồi l têp nguyản tố gưn kát cừa mổ un K , kỵ hiằu l AttR(K) Theo Macdonald, måi mæ un Artin ·u câ biºu diạn thự cĐp Nôm 1979, M Brodmann [5] chựng minh têp i ảan nguyản tố liản kát AssR (M/J n M ) ờn nh n ừ lợn Nhữ mởt kát quÊ ối ngău, R Y Sharp [15] chựng minh rơng têp cĂc i ảan nguyản tố gưn kát AttR (0:AJ n) ờn nh n ừ lợn Tứ Ơy, mởt cƠu họi ữủc t l vợi mội dÂy (x1, , xr ) cĂc phƯn tỷ cừa vnh R, têp cĂc i ảan nguyản tố gưn kát AttR(0 :A (xn1 , , xnr )) câ ên ành n õ lỵn khỉng? Tuy nhiản, Katzman [5] xƠy dỹng mởt vẵ dử và mởt vnh a phữỡng (R, m) cõ chiÃu bơng v hai ph¦n tû x, y ∈ m S cho AssR(H(x,y)R (R)) l têp vổ hÔn Do õ, AssR (R/(xn , y n )R) l tªp vỉ n∈N hÔn Suy S AttR(0 :A (xn, yn)R) l têp vổ hÔn, õ A = E(R/m) l nN bao nởi xÔ cừa R/m l mởt Rmổ un Artin Do õ, tªp AttR(0 :A (xn, yn)R) khỉng ên ành n ừ lợn Vẳ vêy, cƯn tẳm iÃu kiằn cõa A v e r º S AttR(0 :A (xn1 , , xnr )R) l têp hỳu hÔn n , ,n ∈N Nh n v Ho ng [13] ÷a kh¡i niằm A ối dÂy chiÃu > k nhữ sau: Mởt dÂy (x1, , xr ) c¡c ph¦n tû cừa m ữủc gồi l A ối dÂy chiÃu > k náu xi p vợi mồi p (AttR (0 :A (x1 , , xi−1 )R))>k vỵi måi i = 1, , r Ti¸p theo, Nh n v Ho ng [13] chùng minh r¬ng ( S AttR(0 :A (xn1 , , xnr )R))≥k n , ,n N l têp hỳu hÔn, õ (x1, , xr ) l mët A− èi d¢y chi·u > k Dung va Nhn [12] chựng minh rơng náu dimR(0 :A I) > k thẳ mồi A ối dÂy chiÃu > k I cõ th ko di án cỹc Ôi v mồi A ối dÂy chiÃu > k cỹc Ôi I Ãu cõ cịng ë d i ë d i chung n y ÷đc gåi l ë rëng chi·u > k cõa A I , kỵ hiằu l Width>k (I, A) Náu dimR(0 :A I) k thẳ vợi mồi số nguyản dữỡng r Ãu cõ th tẳm ữủc mởt A ối dÂy chiÃu > k I câ ë d i r Trong tr÷íng hđp n y ta quy ữợc Width>k (I, A) = + Bơng cĂch sû dưng t½nh ên ành cõa AttR(0 :A J n) ta câ thº ch¿ r¬ng Width>k (I, (0 :A J n )) ờn nh n ừ lợn Luên vôn ny gỗm cõ chữỡng Chữỡng chúng tổi trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn và têp i ảan nguyản tố liản kát, têp i ảan nguyản tố gưn kát, dÂy chẵnh quy v dÂy lồc chẵnh quy, dÂy ối ch½nh quy chi·u > k v ë rëng chi·u > k Chữỡng trẳnh by và kát quÊ ờn nh cừa têp nguyản tố t gưn kát S AttR(0 :A (xn1 , , xni )R) v k¸t qu£ ên ành cho têp nguyản tố (x1 , , xr ) 1 r r 1 gn k¸t i=0 t S i n AttR (TorR i (R/I, (0 :A J ))) i=0 e r r Ch÷ìng KIN THC CHUN B Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by lÔi mởt số kián thực cỡ bÊn lm cỡ s cho Chữỡng nhữ têp nguyản tố liản kát, têp nguyản tố gưn kát, dÂy chẵnh quy, dÂy lồc chẵnh quy v dÂy ối chẵnh quy chiÃu > k Trong ton bở luên vôn ny chúng tổi luổn giÊ thiát rơng R l mởt vnh giao hoĂn v cõ ỡn v 6= 1.1 Têp i ảan nguyản tố liản kát Trong mửc ny chúng tổi trẳnh by lÔi nh nghắa và têp nguyản tố liản kát v mởt số tẵnh chĐt cừa têp nguyản tố liản kát Cho M l mët R−mỉ un Mët i ¶an nguy¶n tè p cõa R ữủc gồi l i ảan nguyản tố liản kát cừa M náu tỗn tÔi mởt phƯn tỷ x M , x 6= cho AnnR (x) = p Têp cĂc i ảan nguyản tố liản kát cừa M kỵ hiằu l AssR(M ) hoc Ass(M ) Nhữ vêy, nh ngh¾a 1.1.1 AssR (M ) = {p ∈ SpecR | ∃x ∈ M, x 6= 0, p = AnnR (x)} PhƯn tỷ a cừa vnh R ữủc gồi l mởt ữợc cừa khổng cừa Rmổ un M náu tỗn tÔi x ∈ M, x 6= cho ax = nh nghắa 1.1.2 e Têp cĂc ữợc cừa khổng cừa M ữủc kỵ hiằu l ZDR(M ) Nhữ vêy, ZDR (M ) = {a ∈ R | ∃x, 6= x M, ax = 0} Chú ỵ 1.1.3 bĐt kẳ cừa R Ta luổn cõ AssR(R/p) = {p} , vợi p l mởt i ảan nguyản tố ([9], nh lỵ 6.1) Cho R l vnh Noether v M l Rmổ un khĂc khổng Khi õ nh lỵ 1.1.4 (i) PhƯn tỷ cỹc Ôi hồ cĂc i ảan F = {AnnR(x) | 6= x ∈ M } l mët i ảan nguyản tố liản kát cừa M c biằt, Ass (M ) 6= ∅ v ch¿ M 6= (ii) Têp cĂc ữợc cừa cừa M l hủp cừa tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản tố liản k¸t cõa M , tùc l ZDR (M ) = [ p p∈AssR (M ) Chùng minh (i) Ta s³ chựng minh rơng náu p = Ann(x) l mởt phƯn tỷ cỹc Ôi cừa F thẳ p l mổt i ảan nguyản tố Thêt vêy, vợi mồi a, b R m ab ∈ p, b ∈/ p ta câ abx = 0, bx 6= Do 6= bx ∈ M nản Ann(bx) F Vẳ Ann(x) l phƯn tỷ cỹc Ôi cừa F v Ann(x) Ann(bx) â Ann(bx) = Ann(x) Hìn núa, ta câ abx = n¶n a ∈ Ann(bx) Do â a ∈ Ann(x) Suy p l i ảan nguyản tố Vêy p l i ảan nguyản tố liản kát cừa M Tiáp theo ta s³ chùng minh r¬ng AssR (M ) 6= ∅ v ch¿ M 6= Gi£ sû M 6= õ tỗn tÔi 6= x M v â F 6= ∅ V¼ R l vnh Noether nản tỗn tÔi mởt phƯn tỷ cỹc Ôi p ∈ F Theo chùng minh tr¶n p ∈ AssR(M ) nản AssR(M ) 6= Ngữủc lÔi, náu AssR(M ) 6= thẳ tỗn tÔi 6= x M cho AssR(x) = p, vợi p nguyản tè Do â M 6= (ii) Gi£ sû α ∈ ZDR(M ), ta chùng minh α ∈ S p Thêt vêy, vẳ pAss (M ) ZDR (M ) nản tỗn tÔi x 6= cho x = Suy Ann(x) Vẳ thá R e ... mæ un thüc sü cõa M GiÊ sỷ u M bĐt k? ?, vẳ xk u xk M = x 2k M nản tỗn tÔi v ∈ M cho xk u = x 2k v , suy xk (u − xk v) = Do â u − xk v ∈ M1 Ta câ u = xk v + (u − xk v) ∈ M2 + M1 Suy ra, M = M1 +... cừa M l dÂy dứng, õ tỗn tÔi số tỹ nhiản k cho xk M = xk+1M = · · · = x 2k M = °t M1 = Ker(ϕx ,M ) v M2 = xk M Khi â, M1 v M2 l hai mæ un cõa M V¼ xk M1 = v xk M 6= nản M1 6= M , v vẳ... ữủc và dÔng tối thiu tực l cĂc pi ổi mët kh¡c vỵi måi i = 1, , n v khæng câ Ki n o thøa Khi õ têp {p1, , pn} ữủc gồi l têp nguyản tố gưn k? ?t cừa mổ un K , k? ?? hiằu l AttR (K) Theo Macdonald,