ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KIỀU TRUNG THỦY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2015 z ĐẠI HỌC QUỐ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KIỀU TRUNG THỦY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2015 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KIỀU TRUNG THỦY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS NGUYỄN HỮU DƯ Hà Nội, Năm 2015 z Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học học sống Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Cơ - Tin, Phịng sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo Bộ mơn Lý thuyết xác suất thống kê tốn, khoa Tốn - Cơ - Tin nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln góp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Học viên z Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm giải tích thang thời gian 1.2 Quá trình ngẫu nhiên thang thời gian Chương Tích phân ngẫu nhiên thang thời gian 5 15 20 2.1 Tích phân ngẫu nhiên thang thời gian 20 2.2 Công thức Itô ứng dụng 26 2.3 Phát biểu toán martingale 36 Chương Tính ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 42 3.1 Phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 42 3.2 Ước lượng moment 54 3.3 Tính ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 60 Tài liệu tham khảo z 71 Lời mở đầu Giải tích ngẫu nhiên lĩnh vực tốn học nghiên cứu phép tính giải tích (tích phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ) q trình ngẫu nhiên, nhằm mục đích xây dựng mơ hình tốn học cho hệ động lực có tác động yếu tố ngẫu nhiên Do đó, giải tích ngẫu nhiên ngành khoa học có nhiều ứng dụng sinh học, y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Cho đến giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc thời gian liên tục nghiên cứu đầy đủ Khi xây dựng mơ hình tốn học cho hệ thống tiến triển theo thời gian, người ta thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục rời rạc đều, tức thời điểm quan sát cách khoảng cố định Từ đó, phép giải tích liên tục (phép tính vi phân) rời rạc (phép tính sai phân) nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với giả thiết lý tưởng đặt Tuy nhiên, thực tế, hầu hết hệ thống hoạt động khơng hồn tồn liên tục khơng hồn tồn cách Đơi quan sát cịn xen lẫn khoảng thời gian liên tục với thời điểm rời rạc Chẳng hạn lồi sâu phát triển mùa hè đến mùa đơng phát triển chúng bị gián đoạn Vì vậy, nhiều trường hợp, phương trình vi phân sai phân khơng đủ để mô tả thông tin cần thiết mơ hình Lý thuyết thang thời gian đời nhằm khắc phục nhược điểm Lý thuyết đưa lần vào năm 1988 S Hilger, nhà Toán học người Đức Các kết nghiên cứu giải tích thang thời gian cho phép xây dựng mơ hình tốn học hệ thống tiến triển không theo thời gian, phản ánh mơ hình thực tế Do đó, chủ đề thang thời gian thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới có nhiều cơng trình cơng bố tạp chí tốn học có uy tín Cho đến nay, kết nghiên cứu thang thời gian chủ yếu giải tích tất định Vì kết mơ tả mơ hình phát triển điều kiện môi z trường nhiễu biến đổi Tuy nhiên, mơ hình thực tế phải tính đến yếu tố ngẫu nhiên tác động vào Mục đích luận văn trình bày kết giải tích thang thời gian mơ hình ngẫu nhiên Bố cục luận văn bao gồm ba chương: • Chương trình bày vấn đề giải tích tất định q trình ngẫu nhiên thang thời gian • Chương trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích; cơng thức Itơ d−semimartingale thang thời gian phát biểu toán martingale • Chương trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian với nhiễu martingale bình phương khả tích; cơng thức ước lượng moment nghiệm phương trình trình bày điều kiện cần đủ cho tính ổn định mũ phương trình qua hàm Lyapunov Do kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Học viên z Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi trình bày số kết giải tích tất định trình ngẫu nhiên thang thời gian để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau 1.1 Các khái niệm giải tích thang thời gian Các kết trình bày mục tham khảo từ tài liệu [1] [2] Định nghĩa 1.1.1 Một tập đóng, khác rỗng tập số thực R gọi thang thời gian (time scales) Ký hiệu thang thời gian T Dễ thấy tập hợp: R, Z, N, N0 , [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪ N tập Cantor thang thời gian Trong đó, tập hợp: Q, R Q, (0, 1) thang thời gian chúng khơng phải tập đóng Trong luận văn, giả thiết thang thời gian có tơpơ, tơpơ cảm sinh tôpô thông thường tập hợp số thực Định nghĩa 1.1.2 Giả sử T thang thời gian Ánh xạ σ : T → T xác định σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}, gọi toán tử bước nhảy tiến (forward jump operator) thang thời gian T Ánh xạ ρ : T → T xác định ρ(t) = inf{s ∈ T : s > t}, gọi toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) thang thời gian T z Quy ước inf ∅ = sup T (nghĩa σ(M ) = M thang thời gian T có phần tử lớn M ) sup ∅ = inf T (nghĩa ρ(m) = m thang thời gian T có phần tử nhỏ m) Định nghĩa 1.1.3 Giả sử T thang thời gian Một điểm t ∈ T gọi trù mật phải (right-dense) σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) σ(t) > t, trù mật trái (left-dense) ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t điểm cô lập (isolated) t vừa cô lập trái vừa cô lập phải Với a, b ∈ T, kí hiệu [a, b] tập hợp {t ∈ T : a ≤ t ≤ b}, tương tự, kí hiệu tập hợp (a, b] ; (a, b) ; [a, b) tương ứng tập hợp {t ∈ T : a < t ≤ b}; {t ∈ T : a < t < b}; {t ∈ T : a ≤ t < b} Kí hiệu Ta = {t ∈ T : t ≥ a} { T kT = T\ [m, σ (m)) { T = k T T\ (ρ(M ), M ] T = −∞ T = m max T = +∞ max T = M Kí hiệu: { } { } I1 = t : t cô lập trái , I2 = t : t cô lập phải , I = I1 ∪ I2 (1.1.1) Mệnh đề 1.1.1 Tập hợp I gồm tất điểm cô lập trái cô lập phải thang thời gian T tập không đếm Định nghĩa 1.1.4 Giả sử T thang thời gian Ánh xạ µ : Tk → R+ xác định µ(t) = σ(t) − t, gọi hàm hạt tiến (forward graininess function) thang thời gian T Ánh xạ ν :k T → R+ xác định ν(t) = t − ρ(t), gọi hàm hạt lùi (backward graininess function) thang thời gian T Ví dụ 1.1.1 • Nếu T = R ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ν(t) = • Nếu T = Z ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, à(t) = (t) = z ã Vi h số thực dương, định nghĩa thang thời gian T = hZ sau: hZ = {kh : k ∈ Z} = { − 3h, −2h, 0, h, 2h, 3h, } , ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, µ(t) = ν(t) = h • Với a, b số thực dương, ta xét thang thời gian T = Pa,b sau ∞ ∪ Pa,b = [k(a + b), k(a + b) + b] k=1 t Khi σ(t) = ∞ ∪ t ∈ t + a t t ∈ t ∈ k=1 ∞ ∪ k=1 ∞ ∪ [k(a + b), k(a + b) + b) {k(a + b) + b} [k(a + b), k(a + b) + b) k=1 ∞ ∪ ρ(t) = {k(a + b)} t − a t ∈ k=1 ∞ ∪ [k(a + b), k(a + b) + b) 0 t ∈ k=1 µ(t) = ∞ ∪ {k(a + b) + b} a t ∈ k=1 ν(t) = 0 t ∈ a t ∈ ∞ ∪ [k(a + b), k(a + b) + b) k=1 ∞ ∪ {k(a + b)} k=1 • Với n ∈ N0 , xét dãy số điều hòa H0 = 0, Hn = n ∑ k=1 k , n ≥ Xác định thang thời gian sau H = {Hn : n ∈ N.} n−1 ∑ Khi đó, σ(Hn ) = n+1 ∑ k=1 , ρ(Hn ) = k k k=1 { , ν(Hn ) = µ(Hn ) = n+1 z n n ≥ n = 0, n ≥ n = Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f : T → R Hàm số f gọi i) quy (regulated) f có giới hạn trái điểm trù mật trái có giới hạn phải điểm trù mật phải ii) rd-liên tục (rd-continuous) f liên tục điểm trù mật phải có giới hạn trái điểm trù mật trái Tập hàm rd-liên tục kí hiệu Crd Crd (T, R) iii) ld-liên tục (ld-continuous) f liên tục điểm trù mật trái có giới hạn phải điểm trù mật phải Tập hàm ld-liên tục kí hiệu Cld Cld (T, R) Giả sử f : T → R hàm số xác định T Khi đó, viết f ρ : T → R hàm số xác định f ρ = f ◦ ρ, nghĩa f ρ (t) = f (ρ(t)) với t ∈ k T Kí hiệu lim f (s) σ(s)↑t f (t− ) ft− tồn giới hạn trái Ta thấy t điểm cô lập trái ft− = f ρ (t) Định lý 1.1.1 Giả sử f : T → R hàm xác định T Khi đó, i) Nếu f hàm số liên tục f hàm số rd-liên tục ld-liên tục ii) Nếu f hàm số rd-liên tục f hàm số quy iii) Toán tử bước nhảy tiến σ hàm số rd-liên tục iv) Toán tử bước nhảy lùi hàm số ld-liên tục v) Nếu f hàm số ld-liên tục f ρ hàm số ld-liên tục Định nghĩa 1.1.6 Giả sử f hàm số xác định T, nhận giá trị R Hàm số f gọi có ∇-đạo hàm (có đạo hàm Hilger đơn giản có đạo hàm) t ∈ k T tồn f ∇ (t) ∈ R cho với ε > tồn lân cận U t để ... 36 Chương Tính ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 42 3.1 Phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KIỀU TRUNG THỦY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT... Mục đích luận văn trình bày kết giải tích thang thời gian mơ hình ngẫu nhiên Bố cục luận văn bao gồm ba chương: • Chương trình bày vấn đề giải tích tất định q trình ngẫu nhiên thang thời gian •