Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH THỊ NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành TOÁN GIẢI TÍCH Mã số 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH THỊ NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH KHƠNG ƠTƠNƠM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Hà Nội – Năm 2015 z Mục lục MỞ ĐẦU CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm 1.1.2 Các định lý tồn nghiệm 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Một số bổ đề bổ trợ Tính ổn định hệ phương trình vi 2.1 Hệ tuyến tính ôtônôm 2.1.1 Một số định lý sở 2.1.2 Bài tốn ổn định hóa 2.2 Hệ tuyến tính khơng ơtơnơm 2.2.1 Bài toán ổn định 2.2.2 Bài tốn ổn định hóa KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo z phân tuyến tính 6 7 10 12 13 13 13 18 20 22 26 36 37 MỞ ĐẦU Bài toán ổn định toán quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân tích phân Nói cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu bé điều kiện ban đầu cấu trúc hệ thống khơng làm cho hệ thống thay đổi q nhiều so với trạng thái cân Được bắt đầu nghiên cứu từ năm cuối kỉ XIX nhà toán học V Lyapunov, đến lý thuyết ổn định Lyapunov trở thành phận nghiên cứu khơng thể thiếu lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Đặc biệt từ năm 60 kỉ XX, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển, tính ổn định mà Lyapunov đề xướng trước thể tầm quan trọng phát triển liên tục tốn học.Vì lý vừa phân tích mà tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết tốn học độc lập có nhiều ứng dụng hữu hiệu tất lĩnh vực từ kinh tế đến khoa học kĩ thuật Như biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Chẳng hạn như: phương pháp thứ Lyapunov (hay gọi phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai Lyapunov (hay gọi phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng Trong luận văn này, nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính khơng ơtơnơm ứng dụng điều khiển theo phương pháp thứ hai: phương pháp hàm Lyapunov Luận văn chia thành hai chương: Chương Cơ sở tốn học Chương trình bày số kiến thức sở chuẩn bị cho nội dung luận văn Cụ thể trình bày z MỞ ĐẦU khái niệm hệ phương trình vi phân, tốn ổn định, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương trình bày số kết tính ổn định hệ phương trình vi phân Nội dung chương trình bày điều kiện cần đủ tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm Để chứng minh, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kĩ thuật đánh giá bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày ứng dụng hệ khơng ơtơnơm tốn ổn định hóa hệ điều khiển Đóng góp chúng tơi luận văn trình bày cách hệ thống toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính khơng ơtơnơm với ví dụ minh họa z Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới q thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình học tập nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Trịnh Thị Ngọc z Bảng kí hiệu R Không gian số thực Rn Không gian vecto n chiều R+ Tập hợp số thực không âm n×r R Khơng gian ma trận n × r chiều T A Ma trận chuyển vị ma trận A I Ma trận đơn vị λ(A) Tập tất giá trị riêng A λmax (A) max {Reλ, λ ∈ λ(A)} A≥0 Ma trận A xác định không âm A>0 Ma trận A xác định dương + BM (0, ∞) Tập hàm ma trận đối xứng, xác định không âm bị chặn (0, ∞) C([a, b], Rn ) Tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị n R p kAk Chuẩn phổ ma trận A, kAk = λmax (AT A) BC([0, ∞), Rn×m ) Tập tất ma trận hàm cấp n × m, liên tục bị chặn [0, ∞) BC + ([0, ∞), Rn×m ) Tập tất ma trận hàm đối xứng, xác định dương cấp n × m, liên tục bị chặn R+ L2 ([t, s], Rn ) Tập tất khơng gian khả tích Rn nhận giá trị [t, s] z Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân: khái niệm hệ ơtơnơm, khơng ơtơnơm ổn định hệ phương trình vi phân, chúng tơi có trình bày phương pháp thứ hai Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov tốn ổn định hệ phương trình vi phân Chúng nhắc lại số kết làm sở cho nội dung nghiên cứu chương sau Nội dung chương trình bày từ tài liệu [1, 2, 5] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân ơtơnơm, khơng ơtơnơm Rất nhiều trình tự nhiên, vật lý, học, sinh học mô tả phương trình vi phân Các phương trình vi phân thể mối quan hệ biến thời gian, trạng thái hệ thống vận tốc thay đổi trạng thái thời điểm Ở ta phân làm hai loại: hệ phương trình vi phân ơtơnơm hệ phương trình khơng ơtơnơm Một hệ phương trình vi phân ơtơnơm hệ phương trình vi phân có dạng: x(t) ˙ = f (x), t ≥ 0, x ∈ Rn ; f (.) : Rn → Rn Hay nói cách khác, hệ phương trình vi phân ơtơnơm hệ phương trình vi phân mà vế phải không phụ thuộc vào biến thời gian t Ngược lại, hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm hệ phương trình vi phân mà vế phải phụ thuộc vào biến thời gian t, tức phương trình có dạng x(t) ˙ = f (t, x(t)), z t ≥ 0, (1.1) Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC với x ∈ Rn ; f (.) : [0, +∞) × Rn → Rn 1.1.2 Các định lý tồn nghiệm Xét phương trình vi phân khơng ơtơnơm (1.1), f xác định liên tục miền G = (a, b) × {y ∈ Rn : ky − y0 k ≤ r} Cùng với phương trình (1.1) ta xét tốn Cauchy : x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.2) x(t0 ) = x0 Định lý sau khẳng định tồn nghiệm x(.) lân cận t0 Định lý 1.1 (Định lý tồn địa phương) Giả sử f ánh xạ liên tục từ G sang Rn thỏa mãn điều kiện sau với t ∈ (a, b), x, y ∈ B n (x0 ) = {x ∈ Rn : kx − x0 k ≤ η} kf (t, x)k ≤ M1 , kf (t, x) − f (t, y)k ≤ M2 kx − yk, M1 , M2 n số o không phụ thuộc vào t, x, y Khi đó, tồn η số δ > (δ = M1 , M2 ) cho với t0 ∈ (a, b), khoảng (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) tốn Cauchy (1.2) có nghiệm x(t) thỏa mãn kφ(t) − x0 k ≤ η Định lý 1.2 (Định lý tồn toàn cục) Giả sử f (.) : R+ × Rn → Rn liên tục thỏa mãn điều kiện sau : kf (t, x)k ≤ M1 + M0 kxk, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn , kf (t, x) − f (t, y)k ≤ M2 kx − yk, ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Khi đó, với điểm x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , tồn nghiệm x(t) tốn Cauchy phương trình (1.2) tồn khoảng R+ 1.2 1.2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân không ôtônôm x(t) ˙ = f (t, x(t)), z t ≥ 0, (1.3) Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC f : R+ × Rn → Rn Giả sử f thỏa mãn điều kiện cần thiết để tốn Cauchy (1.2) có nghiệm R+ Giả sử x = η(t) nghiệm (1.3) xác định R+ Ta đặt y = x − η(t), tức y độ lệch nghiệm x với nghiệm η(t) Vì η(t) ˙ = f (t, η(t)) nên ta nhận phương trình vi phân y : y˙ = g(t, y), g(t, 0) = nên hệ phương trình y˙ = g(t, y) có nghiệm tầm thường y = ứng với nghiệm cho x = η(t) phương trình x˙ = f (t, x) Như việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm x = η(t) khơng gian Rn đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường y = Rn Do đó, khơng tính tổng qt, ta ln giả sử phương trình (1.1) có nghiệm tầm thường x = 0, tức f (t, 0) = Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định ∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) > cho từ bất đẳng thức kx(t0 )k ≤ δ suy kx(t)k < ε, với ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định tiệm cận ổn định nghiệm x(t) thỏa mãn: lim kx(t)k = t→+∞ Định nghĩa 1.3 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định mũ ∃M > 0, α > cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn: kx(t)k M kx(t0 )ke−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 Ta quy ước thay nói nghiệm tầm thường hệ (1.1) ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ) ta nói hệ (1.1) ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ) Ví dụ 1.1 Xét hệ phương trình vi phân sau Rn x(t) ˙ = αx(t), z t ≥ Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho công thức x(t) = x0 eαt , t ≥ Khi hệ ổn định (tiệm cận, mũ) α < Nếu α = hệ ổn định Ví dụ 1.2 Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = a(t)x(t), t ≥ 0, đó, a(t) : R+ → R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho Z t a(t)dt x(t) = x0 t0 Do dễ kiểm tra hệ ổn định Z t a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞, ∀t ≥ t0 t0 ổn định tiệm cận Z t lim t→∞ a(τ )dτ = −∞ t0 Để giải toán ổn định hệ phi tuyến, Lyapunov đưa hai phương pháp: - Phương pháp thứ nhất: Nội dung phương pháp nghiên cứu tính ổn định thơng qua số mũ Lyapunov thơng thường dựa vào hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt tính ổn định rút từ tính ổn định xấp xỉ tuyến tính - Phương pháp thứ hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp xem cách tiếp cận nghiên cứu tính ổn định Nội dung phương pháp dựa vào tồn lớp hàm toàn phương đặc biệt (gọi hàm Lyapunov) mà tính ổn định hệ cho kiểm tra trực tiếp qua dấu đạo hàm (dọc theo quỹ đạo xét) hàm Lyapunov tương ứng Hiện chưa có thuật tốn tổng qt để tìm hàm Lyapunov cho tất phương trình Sau chúng tơi xin trình bày kết phương pháp z Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ 2.2 Xét tính ổn định hệ : ( x˙ = 2x − y + 2z, y˙ = 5x − 3y + 3z, z˙ = −x − 2z Ta có: A= ! −1 −3 , −1 −2 phương trình đặc trưng: − λ −1 −3 − λ = −(λ + 1)3 = 0, −1 −2 − λ có nghiệm λ = −1(bội 3) Vì hệ có nghiệm λ = −1 < 0, nên hệ ổn định tiệm cận Định lý sau cho tiêu chuẩn khác tính ổn định hệ phương trình tuyến tính ơtơnơm (2.1) thơng qua phương trình Lyapunov Xét phương trình Lyapunov dạng AT P + P A = −Q, (LE) P, Q ma trận (n × n) chiều gọi cặp nghiệm (LE) Định lý 2.2 Hệ (2.1) ổn định tiệm cận với ma trận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov LE : AT P + P A = −Q, có nghiệm P đối xứng, xác định dương Chứng minh Giả sử (LE) có nghiệm ma trận P > 0, với Q > Với x(t) nghiệm tùy ý (2.1) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , ta xét hàm số V (x(t)) =< P x(t), x(t) >, t ≥ t0 Ta có d V (x(t)) =< P x, ˙ x > + < P x, x˙ > dt =< (P A + AT P )x, x > = − < Qx(t), x(t) > 15 z Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Do V (x(t)) − V (x(t0 )) = − Z t < Qx(s), x(s) > ds t0 Vì P xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0, với t ≥ t0 Z t < Qx(s), x(s) > ds ≤ V (x0 ) =< P x0 , x0 > t0 Mặt khác, Q xác định dương, nên tồn số α > cho < Qx, x >≥ αkxk2 , Do Z t kx(s)k2 ds ≤ t0 ∀x ∈ Rn , < P x0 , x0 > α Cho t → +∞ ta Z +∞ kx(s)k2 ds < +∞ (2.3) t0 Ta chứng minh Reλ < với λ ∈ λ(A) Thật vậy, giả sử có số λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ Lấy x0 ∈ Rn ứng với giá trị riêng λ0 này, nghiệm hệ (2.1) cho x1 (t) = eλ0 (t) x0 Z ∞ Z ∞ kx1 (t)k2 dt = e2Reλ0 t kx0 k2 dt = +∞, t0 t0 Reλ > 0, vơ lý với điều kiện (2.3) Ngược lại, giả sử A ma trận ổn định, tức Reλ < với λ ∈ λ(A) Với ma trận Q đối xứng, xác định dương, xét phương trình ma trận sau ˙ Z(t) = AT Z(t) + Z(t)A, ∀t ≥ t0 , (2.4) Z(t0 ) = Q Nhận thấy hệ (2.4) có nghiệm riêng T Z(t) = eA t QeAt Đặt Z t P (t) = Z(s)ds < ∞, t0 16 z Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính xác định Q đối xứng nên P đối xứng Mặt khác, lấy tích phân hai vế phương trình (2.4) từ t đến t0 ta có Z(t) − Q = AT P + P A, ∀t ≥ t0 Cho t → +∞ để ý Z(t) → t → +∞ A ổn định, nên ta −Q = AT P + P A, hay ma trận đối xứng P, Q thỏa mãn (LE) Ta chứng minh P ma trận xác định dương Thật vây, ta có Z ∞ T < P x, x >= < QeA t x, eAt x > dt t0 Do Q > eAt không suy biến nên < P x, x >> 0, x 6= Định lý chứng minh Ví dụ 2.3 Xét tính ổn định hệ: x˙ = − 21 x + 2y − 3z, y˙ = −x − 41 y + 3z, z˙ = x − 2y − 16 z Ta có: − 21 −3 A = −1 − 41 , −2 − 16 Chọn ma trận : Q= ! 0 , 0 ta thấy Q ma trận đối xứng, xác định dương Thay vào phương trình Lyapunov LE: AT P + P A + Q = 0, ta tìm nghiệm P P= ! 0 , 0 17 z Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính P hàm đối xứng, xác định dương nên hệ ổn định tiệm cận theo Lyapunov Điều phải chứng minh 2.1.2 Bài tốn ổn định hóa Xét hệ điều khiển mơ tả hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (2.5) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển, u(.) thuộc lớp hàm khả tích bậc hai đoạn hữu hạn [0, s], ∀s ≥ lấy giá trị Rm , f : R+ × Rn × Rm → Rn hàm vectơ cho trước giả thiết thỏa mãn f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ Định nghĩa 2.1 Hệ điều khiển (2.5) gọi ổn định hóa tồn hàm h(x) : Rn → Rm cho với u(t) = h(x(t)) hệ phương trình vi phân sau (thường gọi hệ đóng, closed- loop system): x(t) ˙ = f (t, x(t), h(x(t)), ∀t ≥ 0, (2.6) ổn định tiệm cận Hàm u(t) = h(x(t)) thường gọi hàm điều khiển liên hệ ngược Xét hệ tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), ∀t ≥ 0, (2.7) A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m ma trận hàm Định lý 2.3 Hệ tuyến tính (2.7) ổn định hóa tồn ma trận A + BK ma trận ổn định, tức phần thực giá trị riêng (A + BK) âm Chứng minh Lấy điều khiển liên hệ ngược u(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n , ta có hệ đóng x(t) ˙ = [A + BK]x(t), t ≥ Do theo Định lý 2.1, hệ đóng ổn định Reλ(A + BK) < Ví dụ 2.4 Xét tính ổn định hóa hệ điều khiển sau −1 x(t) ˙ = x(t) + −3 u(t), t ≥ 18 z Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Theo định nghĩa, ta tìm ma trận điều khiển ngược K = (k1 , k2 ) cho ma trận −1 A + BK = + −3 (k1 , k2 ) ma trận ổn định, t.l phần thực giá trị riêng ma trận âm Ta có − k1 − k2 A + BK = −3k − 3k Do ta chọn k1 = 2, k2 = K = (2, 2) và: −1 A + BK = −6 −2 , giá trị riêng ma trận A + BK −1, −2, suy hệ ổn định hóa hàm điều khiển liên hệ ngược x u(t) = (2, 2) x1 = 2x1 (t) + 2x2 (t) Định lý sau cho tiêu chuẩn ổn định hóa khác hệ (2.7) Định lý 2.4 Hệ tuyến tính (2.7) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng, xác định dương P, Q thỏa mãn phương trình ma trận sau: AT P + P A − P BB T P + Q = 0, ma trận điều khiển liên hệ ngược là: u(t) = − B T P x(t), t ≥ (2.8) Chứng minh Xét hàm liên hệ ngược (2.8), ta có hệ đóng : x(t) ˙ = [A − BB T P ]x(t), t ≥ (2.9) Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng (2.9): V˙ (x(t)) =< P x(t), x(t) >, t ≥ Ta chứng minh hàm Lyapunov chặt cho hệ (2.9) theo Định lý 1.3, hệ đóng ổn định tiệm cận Thật vậy, dễ thấy điều kiện (i), (ii) Định nghĩa 1.4 thỏa mãn: λmin (P )kxk2 ≤ V (x) ≤ λmax (P )kxk2 19 z ... trận tuyến tính Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày ứng dụng hệ khơng ơtơnơm tốn ổn định hóa hệ điều khiển Đóng góp chúng tơi luận văn trình bày cách hệ thống toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính. .. trình vi phân tuyến tính Chương trình bày số kết tính ổn định hệ phương trình vi phân Nội dung chương trình bày điều kiện cần đủ tính ổn định hệ tuyến tính khơng ôtônôm Để chứng minh, sử dụng phương... cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển, tính ổn định mà Lyapunov đề xướng trước thể tầm quan trọng phát triển liên tục tốn học.Vì lý vừa phân tích mà tính ổn định