ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phùng Hải Minh TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP CÁC HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2017 z ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phùng Hải Minh TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP CÁC HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phùng Hải Minh TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP CÁC HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỖ ĐỨC THUẬN Hà Nội - Năm 2017 z i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thang thời gian, tính khả vi, tính khả tích 1.2 Hàm mũ thang thời gian 12 1.3 Khái niệm tính ổn định 15 1.4 Hệ chuyển mạch 19 1.5 Tính ổn định hệ chuyển mạch 21 Chương Tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thang thời gian 26 2.1 Phát biểu toán 26 2.2 Trường hợp hệ riêng ổn định 28 2.3 Trường hợp hệ Ac ổn định hệ Ad không ổn định 35 2.4 Trường hợp hệ Ac không ổn định hệ Ad ổn định 42 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 z ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Đỗ Đức Thuận Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học, Đại học Khoa học tự nhiên, q thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2015-2017 có cơng lao giảng dạy tác giả suốt thời gian học tập trường Nhận dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017 Học viên Phùng Hải Minh z Danh mục ký hiệu Ac Ma trận hệ liên tục Ad Ma trận hệ rời rạc Bδ Hình cầu tâm O bán kính δ ∆f Sai phân hàm f ep (t, s) Hàm mũ suy rộng p f∆ ∆-đạo hàm hàm f Hmin Đường tròn Hilger nhỏ Hµ(t) Đường trịn Hilger ứng với hàm hạt µ(t) K Lớp hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt K∞ Lớp hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt không bị chặn µ(t) Hàm hạt µ(t) = σ(t) − t Pa,b Thang thời gian R(T, Mn (R)) Lớp hàm hồi quy rd-liên tục ρ(t) Toán tử nhảy lùi σ(t) Toán tử nhảy tiến S(T) Miền ổn định mũ thang thời gian T S(T) Miền ổn định mũ thang thời gian T Spec(A) Phổ ma trận A T Thang thời gian tổng quát ξh (z) Phép biến đổi trụ z Lời nói đầu Lý thuyết hệ động lực thang thời gian T quan tâm ý nhiều thể tương tác lý thuyết hệ liên tục hệ rời rạc Nó cho phép phân tích tính ổn định hệ động lực miền thời gian không R Khi T = R, phương trình động lực thang thời gian rút gọn thành phương trình vi phân liên tục thơng thường Khi T = hZ (h số thực), chúng rút gọn thành phương trình sai phân thơng thường Bên cạnh hai trường hợp này, cịn có nhiều thang thời gian thú vị khác với bước thời gian khơng (ví Pn dụ thang T = {tn }n∈N gồm số điều hòa tn = k=1 k1 ) Tính ổn định mũ tìm cho hệ tuyến tính sử dụng thang thời gian hàm mũ Một số mở rộng cho hệ động lực thời gian biến đổi, phương trình động lực với nhiễu cấu trúc tổng quát hệ điều khiển hữu hạn chiều phi tuyến thang thời gian nghiên cứu Tuy nhiên, tính chất khơng dễ dàng mở rộng cho lớp hệ chuyển mạch Hệ chuyển mạch hệ liên quan động lực liên tục động lực rời rạc Chúng bao gồm số hữu hạn hệ quy tắc rời rạc để đưa chuyển mạch hệ Chúng nghiên cứu rộng rãi hai thập kỉ gần chúng miêu tả lớp rộng hệ vật lý hệ thống kỹ thuật Hầu hết phương pháp để phân tích tích ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính khơng thể áp dụng cho hệ phát triển (evolving) miền thời gian liên tục rời rạc Từ nhận xét bên trên, báo [9], tác giả phân tích tính ổn định cho trường hợp đặc biệt hệ chuyển mạch tuyến tính mà hệ động lực chuyển mạch hệ tuyến tính liên tục hệ tuyến tính rời rạc chu kỳ thời gian định Có nhiều ứng dụng liên quan tới z hệ chuyển mạch Một ví dụ cụ thể hệ khuếch đại (cascaded system) bao gồm điều chỉnh thời gian liên tục (continuous-time plant), tập điều khiển thời gian rời rạc chuyển mạch điều khiển Thật ra, tính chất thời gian chúng biểu diễn đường thẳng liên tục (tức R) hay đường rời rạc (tức Z) Trong số tài liệu trước đây, số điều kiện ổn định đưa cho hệ chuyển mạch tuyến tính mà xác định hai hệ tiến triển miền thời gian liên tục miền thời gian rời rạc với chu kỳ cố định Tính ổn định giải tích dựa hàm Lyapunov bậc Tuy nhiên, mở rộng cho lớp hệ lớn tiến triển miền thời gian không không tầm thường Để giải vấn đề này, lý thuyết hệ động lực thang thời gian tùy ý T dường thích hợp Tính giải tích hệ chuyển mạch thang thời gian tùy ý trình bày [6, 1] sử dụng hàm Lyapunov chung bậc bốn Theo cách tương tự, tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính mà bao gồm tập hệ tuyến tính liên tục ổn định hệ tuyến tính rời rạc ổn định với hàm hạt cố định nghiên cứu [7] Tuy nhiên, việc tìm hàm Lyapunov cho hệ chuyển mạch không đơn giản Ngồi ra, phương pháp tiếp cận [6, 7] khơng áp dụng hệ riêng biệt không ổn định tiệm cận Do tầm quan trọng đặc biệt lý thuyết mà nhiều nhà tốn học nước ngồi Việt Nam dành nhiều thời gian công sức cho việc nghiên cứu tính ổn định giải tích hệ chuyển mạch Trong khn khổ luận văn chúng tơi xin trình bày đề tài: “Tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thang thời gian” Luận văn tổng hợp từ báo [9] F Z Taousser, M Defoort M Djemai với số giáo trình lý thuyết hệ động lực thang thời gian, hệ chuyển mạch thang thời gian Mục đích luận văn mở rộng kết cho miền thời gian không T = Pak ,bk tạo hợp khoảng rời với độ dài biến thiên ak khoảng cách biến thiên bk Hệ nghiên cứu chuyển mạch hệ động lực liên tục hệ rời rạc với hàm hạt bị chặn Mỗi hệ liên tục z rời rạc khơng ổn định Sử dụng tính chất hàm mũ thang thời gian, số điều kiện đưa để đảm bảo tính ổn định mũ lớp hệ điều kiện hàm hạt bị chặn hệ ổn định mũ Các kết mở rộng khảo sát hệ rời rạc không ổn định hệ liên tục khơng ổn định Ngồi Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày tóm tắt khái niệm nêu ví dụ thang thời gian, ∆-đạo hàm, hàm mũ thang thời gian, khái niệm hệ chuyển mạch thang thời gian, khái niệm tính ổn định Chương 2: Tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thang thời gian Ở chúng tơi trình bày ba định lý nêu điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch thang thời gian Pak ,bk ba trường hợp khác Bao gồm trường hợp hệ ổn định mũ trường hợp hệ rời rạc không ổn định hệ liên tục không ổn định Mặc dù cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn cịn nhiều khiếm khuyết Trong trình đọc dịch tài liệu, viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017 Học viên Phùng Hải Minh z Chương Kiến thức chuẩn bị Trong Chương chúng tơi trình bày số kiến thức sơ sở liên quan hệ chuyển mạch bao gồm khái niệm thang thời gian, ∆-đạo hàm, ∆-tích phân, khái niệm tính ổn định dựa vào tài liệu [2, 9] Sau đó, dựa vào tài liệu [8], chúng tơi trình bày lại khái niệm hệ động lực liên tục, hệ động lực rời rạc để dẫn tới khái niệm hệ chuyển mạch định nghĩa mở rộng tính chất liên quan 1.1 Thang thời gian, tính khả vi, tính khả tích Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Một thang thời gian T tập đóng khác rỗng tùy ý R Do đó, tập số thực R, tập số nguyên Z, tập số tự nhiên N, tập số tự nhiên khơng âm N0 ví dụ thang thời gian Trong tập số hữu tỉ Q, tập số vô tỉ R\Q, tập số phức C, khoảng mở (0, 1) thang thời gian Định nghĩa 1.1.2 ([2]) Cho T thang thời gian, với t ∈ T, ta định nghĩa toán tử nhảy tiến (forward jump) toán tử nhảy lùi (backward jump) sau: Toán tử nhảy tiến σ(t) : T → T định nghĩa σ(t) := inf{s ∈ T : s > t} Toán từ nhảy lùi ρ(t) : T → T định nghĩa ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} z Ta quy ước: t = max T σ(t) = t, t = T ρ(t) = t Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Ánh xạ µ : T → R+ xác định µ(t) = σ(t) − t, t∈T gọi hàm hạt thang thời gian T Định nghĩa 1.1.4 ([2]) Điểm t ∈ T gọi điểm: cô lập phải (right-scattered) σ(t) > t; trù mật phải (right-dense) t < sup T σ(t) = t; cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t; trù mật trái (left-dense) t > inf T ρ(t) = t; điểm vừa cô lập phải vừa cô lập trái gọi điểm cô lập; điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi điểm trù mật Nếu thang thời gian T có phần tử lớn m điểm cô lập trái ta đặt Tk = T\{m}, ngược lại đặt Tk = T Chẳng hạn, [a, b]k = [a, b] b trù mật trái [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] b cô lập trái Ví dụ 1.1.5 Ta xét hai trường hợp T = R T = Z (i) Nếu T = R ta có với t ∈ R σ(t) = inf{s ∈ R : s > t} = inf{t, ∞} = t tương tự ρ(t) = t Cho nên điểm t ∈ R điểm trù mật Hàm hạt µ trở thành µ(t) ≡ với t ∈ R (ii) Nếu T = Z ta có với t ∈ Z σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = inf{t + 1, t + 2, t + 3, } = t + tương tự ρ(t) = t − Cho nên điểm t ∈ Z điểm lập Hàm hạt µ trường hợp µ(t) ≡ với t ∈ Z z ... thang thời gian, khái niệm tính ổn định Chương 2: Tính ổn định lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thang thời gian Ở chúng tơi trình bày ba định lý nêu điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch thang thời gian. .. bên trên, báo [9], tác giả phân tích tính ổn định cho trường hợp đặc biệt hệ chuyển mạch tuyến tính mà hệ động lực chuyển mạch hệ tuyến tính liên tục hệ tuyến tính rời rạc chu kỳ thời gian định. .. HỌC TỰ NHIÊN Phùng Hải Minh TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP CÁC HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA