BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG THẢO ĐẦY ĐỦ I ADIC VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ĐỐI VỚI MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG THẢO ĐẦY ĐỦ I-ADIC VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ĐỐI VỚI MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định- Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG THẢO ĐẦY ĐỦ I-ADIC VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ĐỐI VỚI MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 46 01 04 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÁI HOÀ e i Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đầy đủ 1.2 Phạm trù hàm tử 1.2.1 Phạm trù hàm tử 1.2.2 Hàm tử Hom 1.2.3 Hàm tử tenxơ 1.2.4 Hàm tử a-xoắn 10 1.3 Đồng điều phức đối đồng điều đối phức 11 1.3.1 Phức đối phức 11 1.3.2 Đồng cấu phức đồng cấu đối phức 12 1.4 Hàm tử giới hạn thuận 14 1.5 Hàm tử giới hạn ngược 18 1.6 Hàm tử dẫn xuất 22 1.7 1.6.1 Hàm tử dẫn xuất phải 22 1.6.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương 26 1.6.3 Hàm tử mở rộng 27 1.6.4 Hàm tử dẫn xuất trái 28 1.6.5 Hàm tử xoắn 29 Đối ngẫu Matlis 30 ĐẦY ĐỦ I-ADIC VÀ MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG e ii 32 2.1 Hàm tử dẫn xuất đầy đủ I-adic 32 2.2 Môđun đồng điều địa phương 38 ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ĐỐI VỚI MÔDUN ARTIN 41 3.1 Dãy nối dương mạnh 41 3.2 Acyclic môđun đồng điều địa phương HiI (M ) 42 3.3 Tính Artin Noether mơđun đồng điều địa phương 44 3.4 Tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương 45 KẾT LUẬN 48 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 e MỞ ĐẦU Năm 1966, A Grothendieck [7] đưa khái niệm đối đồng điều địa phương cho lớp mơđun hữu hạn sinh vành Noether giao hốn địa phương Nó đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực tốn học, đặc biệt hình học đại số đại số giao hoán Một vấn đề đặt nghiên cứu đồng điều địa phương cho lớp mơđun Artin vành giao hốn, cụ thể là: Cho I iđêan vành giao hoán R M R-môđun Biết hàm tử đầy đủ I-adic ΛI định nghĩa ΛI (M ) = lim M/I t M ←− t hàm tử cộng tính, khớp, hiệp biến phạm trù R-mơđun hữu hạn sinh R vành Noether Đáng tiếc, hàm tử ΛI không khớp trái không khớp phải phạm trù R-môđun, R vành Noether Tuy nhiên, xét dãy hàm tử dẫn xuất trái {LIi } ΛI , LI0 khớp phải tổng quát LI0 6= ΛI Do việc tính tốn hàm tử nói chung khó khăn Đối với trường hợp R vành Noether địa phương với iđêan cực đại m I iđêan hữu hạn sinh dãy R-chính quy, Matlis [14,15] rằng: LIi D(M ) ∼ = D HiI (M ) , D(−) = HomR (•, E(R/m)) hàm tử đối ngẫu t LIi (M ) ∼ lim R/I ; M = Extn−i R −→ t Vấn đề A M Simon [21], Greenlees May [6] tiếp tục nghiên cứu Mục đích tác giả [4] nghiên cứu môđun đồng điều địa e phương phạm trù môđun Artin vành Noether, với phương pháp sơ cấp đồng điều đại số giao hoán.Nguyễn Tự Cường Trần Tuấn Nam [4] đưa khái niệm môđun đồng điều thứ i HiI (M ) t HiI (M ) = lim TorR R/I ; M i ←− t Với mục đích tìm hiểu sâu đại số giao hốn, chúng tơi chọn đề tài: Đầy đủ I-adic đồng điều địa phương môđun Artin Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số phạm trù hàm tử, số kết [4] Luận văn phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận danh mục tài liệu tham khảo có chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức như: đầy đủ, phạm trù hàm tử, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, hàm tử a-xoắn, đồng điều phức đối đồng điều đối phức, hàm tử giới hạn thuận, hàm tử giới hạn ngược, hàm tử dẫn xuất phải, hàm tử đối đồng điều địa phương, hàm tử mở rộng, hàm tử dẫn xuất trái, hàm tử xoắn, đối ngẫu Matlis Chương Đầy đủ I-adic môđun đồng điều địa phương Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày hàm tử dẫn xuất trái hàm tử đầy đủ I -adic, ΛI (−) Tiếp theo chúng tơi trình bày định nghĩa mơđun đồng điều địa phương số tính chất Chương Đồng điều địa phương mơđun Artin Trong chương trình bày số tính chất đồng điều địa phương cho lớp mơđun Artin, cụ thể dãy nối dương mạnh, tính Acyclic, tính Artin Noether, tính triệt tiêu khơng triệt tiêu môđun đồng điều địa phương Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi e suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 20 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện e Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đầy đủ Nội dung phần trình bày theo tài liệu [16] cho R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Một vành lọc R vành R với họ (Rn )n≥0 nhóm R thoả điều kiện: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn với n > 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m với n, m > Ví dụ 1.1.2 Giả sử R vành Lấy R0 = R Rn = với n > Khi đó, ta kiểm tra định nghĩa (Rn )n>0 lọc vành R gọi lọc tầm thường Cho I iđêan R Khi (I n )n>0 lọc R gọi lọc I -adic Cho (Rn )n>0 vành lọc R S vành R Khi (Rn ∩ S)n>0 lọc cảm sinh S e Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành lọc với lọc (Rn )n>0 Một R-môđun M lọc R-môđun M với họ {Mn }n≥0 R-môđun M thoả mãn điều kiện: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn với n > 0; (iii) Rn Mm ⊂ Mn+m với n, m > Ví dụ 1.1.4 Cho M R-môđun R có lọc tầm thường Khi M có lọc tầm thường định nghĩa M0 = M Mn = với n > Cho I iđêan R xét lọc I -adic R Định nghĩa lọc I -adic M cách lấy Mn = I n M Khi M R-mơđun lọc Cho M R-môđun lọc Lọc (Mn )n>0 M xác định tơpơ M tương ứng với nhóm abel M mà (Mn )n sở lân cận cận Tôpô gọi tôpô cảm sinh lọc (Mn )n>0 Cho M R-môđun với lọc (Mn )n>0 Với tôpô định nghĩa c Một dãy (xn ) phần tử M gọi lọc, M có bao đầy đủ M dãy Cauchy với k ∈ N, tồn n0 cho xm − xn ∈ Mk c M tập lớp tương với m, n > n0 Khi đó, bao đầy đủ M đương dãy Cauchy phần tử môđun M ứng với quan hệ tương đương định nghĩa sau: (xn ) ∼ (yn ) với m tồn n0 cho xn − yn ∈ Mm , với n > n0 Định nghĩa 1.1.5 Tôpô định nghĩa M lọc I -adic gọi c gọi bao đầy đủ I-adic tôpô I-adic bao đầy đủ M c R b Cho M R-môđun I iđêan R Cho M đầy đủ I -adic tương ứng M R Định nghĩa phép nhân b lên M c xác định vô hướng R (an )(xn ) = (an xn ) e (an ) dãy Cauchy R (xn ) dãy Cauchy c R b-mơđun M Với phép tốn cộng phép nhân vơ hướng M 1.2 Phạm trù hàm tử Trong phần này, R vành giao hoán có đơn vị Nội dung phần trình bày theo [5], [15], [17] 1.2.1 Phạm trù hàm tử Định nghĩa 1.2.1.1 Một phạm trù K cho bởi: (K1 ) Một lớp vật Ob(K) mà phần tử Ob(K) gọi vật phạm trù K (K2 ) Với hai vật tuỳ ý A, B ∈ Ob(K) xác định tập hợp M orK (A, B) gọi tập hợp cấu xạ từ A đến B cho với hai cặp khác vật (A, B) 6= (C, D) MorK (A, B) ∩ MorK (C, D) = ∅ (K3 ) Với ba vật A, B, C ∈ Ob(K) có ánh xạ MorK (A, B) × MorK (B, C) −→ MorK (A, C) (f, g) 7→ gf gọi phép nhân cho tiên đề sau thoả mãn: (i) Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa với ba cấu xạ f ∈ Mor(A, B), g ∈ Mor(B, C) h ∈ Mor(C, D) (hg)f = h(gf ) (ii) Với A ∈ Ob(K) tồn cấu xạ 1A ∈ Mor(A, A), gọi cấu xạ đồng nhất, cho với B ∈ Ob(K), với f ∈ Mor(A,B), ta có f 1A = f 1B f = f, với 1B ∈ M or(B, B) e ... {Mi }i? ? ?I họ R -môđun V? ?i cặp i, j ∈ I cho i j, đặt ? ?i, j : Mi → Mj R -đồng cấu giả sử ? ?i? ??u kiện sau thoả mãn: (i) ? ?i, i = idMi v? ?i i ∈ I; e 15 (ii) ? ?i, k = µj,k ◦ ? ?i, j v? ?i i j k Khi họ R-mơđun {Mi... kh? ?i niệm môđun đồng ? ?i? ??u thứ i HiI (M ) t HiI (M ) = lim TorR R /I ; M i ←− t V? ?i mục đích tìm hiểu sâu đ? ?i số giao hốn, chúng t? ?i chọn đề t? ?i: Đầy đủ I- adic đồng ? ?i? ??u địa phương mơđun Artin. .. = {idMi }i? ? ?I Khi lim lim Mi −→ idMi = id→ − i i Cho M = {Mi , ? ?i, j } N = {Ni , ? ?i, j } hai hệ thuận tập định hướng I = { 0i }i? ? ?I , 0i : Mi → Ni đồng cấu khơng Khi lim −→ 0i = đồng cấu không i