Giải Toán 7 Bài tập cuối chương 8 Chân trời sáng tạo Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo trang 84 tập 2 Bài 1 Cho tam giác ABC cân tại Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng ∆BEC = ∆CFB b[.]
Giải Toán Bài tập cuối chương Chân trời sáng tạo Giải Toán Chân trời sáng tạo trang 84 tập Bài Cho tam giác ABC cân Hai đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh ∆BEC = ∆CFB b) Chứng minh ∆AHF = ∆AHE c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng Gợi ý đáp án: a) ∆ ABC cân AB = AC BE CF hai đường cao ∆ ABC => ∆BEC ∆CFB tam giác vuông E F + Xét ∆BEC vuông E ∆CFB vng F có: BC chung => ∆BEC = ∆CFB (góc nhọn cạnh góc vng) b) Theo a: ∆BEC =∆CFB => EC = FB Có AF = AB - FB AE= AC - EC Mà AB = AC, EC = FB => AF = AE BE CF hai đường cao cắt H => ∆AFH ∆AEH tam giác vuông F E + Xét ∆AFH vuông F ∆AEH vng E có: AH chung AF = AE => ∆AFH = ∆AEH (cạnh huyền cạnh góc vuông) c) H giao điểm đường cao BE CF tam giác ABC => H trực tâm ∆ABC => AH ⊥ BC (1) Có I trung điểm BC => AI đường trung tuyến ∆ ABC Xét ∆ABI ∆ACI có: AB = AC AI chung IB = IC (I trung điểm BC) => ∆ABI = ∆ACI (c.c.c) Có => AI ⊥ BC (2) Từ (1) (2) => A, I, H thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A, vẽ đường cao AH Trên tia đối tia HA lấy điểm M cho H trung điểm AM a) Chứng minh tam giác ABM cân b) Chứng minh ∆ABC = ∆MBC Gợi ý đáp án: a) Có AH đường cao ∆ABC => AH ⊥ BC hay AM ⊥ BH => ∆BHA ∆AHM tam giác vuông H Xét ∆BHA ∆BHM vng H có: BH chung AH = HM => ∆BHA = ∆BHM (hai cạnh góc vng) => BA = BM => ∆ABM cân B b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM hay Xét ∆ABC ∆MBC có: BC chung AB = BM => ∆ABC = ∆MBC (c.g.c) Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB, AC), vẽ đường cao AH Trên tia đối HC lấy điểm D cho HD = DC a) Chứng minh AC = AD b) Chứng minh Gợi ý đáp án: a) Ta có AH đường cao ∆ABC => ∆AHD ∆AHC tam giác vuông H Xét ∆AHD ∆AHC vng H có: AH chung HD = HC => ∆AHD ∆AHC (hai cạnh góc vng) => AC = AD b) + ∆ABC vuông A nên ∆ABH vuông H nên + Có AC = AD => ∆ ACD cân A Mà Bài Cho tam giác vuông ABC vuông A (AB < AC) Trên cạnh BC lấy điểm N cho BA = BN Kẻ BE ⊥ AN (E thuộc AN) a) Chứng minh BE tia phân giác góc ABN b) Kẻ đường cao AH tam giác ABC Gọi K giao điểm AH với BE Chứng minh NK // CA c) Đường thẳng BK cắt AC F Gọi G giao điểm đường thẳng AB NF Chứng minh tam giác GBC cân Gợi ý đáp án: a) Xét ∆ABE ∆NBE vuông E có: AB = BN BE chung => ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền cạnh góc vng) => BE tia phân giác góc ABN b) Xét tam giác ABN có: AH BE hai đường cao cắt K => K trực tâm tam giác ABN => NK ⊥ AB mà AC ⊥ AB => NK // AC c) Xét ∆FBN ∆ FBA có: BN = BA (chứng minh trên) BF chung => ∆FBN ∆FBA (c.g.c) mà ∆ FBA vuông A => ∆ FBN vuông N => BN ⊥ FN hay BN ⊥ GN => ∆ BNG vuông N Xét tam giác vng ∆BNG ∆BAC có BN = BA chung => ∆BNG = ∆BAC (góc nhọn cạnh góc vng) => BG = BC => ∆ BCG cân B Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH Đường trung trực cạnh BC cắt AC M, cắt BC N a) Chứng minh b) Kẻ MI ⊥ AH (I thuộc AH), gọi K giao điểm AH với BM Chứng minh I trung điểm AK Gợi ý đáp án: a) M, N thuộc đường trung trực BC => MB = MC, NB = NC => ∆ MBC cân M, N trung điểm BC => MN đường trung tuyến ∆ MBC cân M Xét ∆ MBN ∆ MCN có: MB = MC BN = NC MN chung => ∆ MBN = ∆ MCN (c.c.c) ∆ AHC vng góc H Hay ∆ MNC vng góc N (MN đường trung trực BC) Mà Từ (1) (2) ta có: b) Kẻ MI ⊥ AH AH ⊥ BC => IM // BC (góc so le trong) (2 góc đồng vị) Mà ∆MBC cân M nên Xét ∆MIK ∆MIA vuông I có: MI chung (chứng minh trên) => ∆MIK = ∆MIA (góc nhọn cạnh góc vng) => IK = IA => I trung điểm AK Bài Cho tam giác nhọn MNP Các trung tuyến ME NF cắt G Trên tia đối tia FN lấy điểm D cho FN = FD a) Chứng minh ∆ MFN = ∆ PFD b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H cho F trung điểm HG Gọi K trung điểm PD Chứng minh điểm M, H, K thẳng hàng Gợi ý đáp án: a) ME, NF trung tuyến ∆MNP => E trung điểm PN, F trung điểm PM Xét ∆ MFN ∆ PFD có FN = FD (2 góc đối đỉnh) FM = FP (F trung điểm PM) => ∆MFN = ∆PFD (c.g.c) b) + Trong ∆MNP trung tuyến ME NF cắt G => G trọng tâm ∆MNP Mà FG = FH (F trung điểm HG); FN = FD + Xét tam giác PDM có: Mà FD đường trung tuyến ∆PDM => H trọng tâm ∆PDM => MH đường trung tuyến ∆PDM (1) K trung điểm PD => MK đường trung tuyến ∆PDM (2) Từ (1) (2) => M, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vng A có tia phân giác (D thuộc BC) Gọi E trung điểm AC a) Chứng minh DE = DB b) AB cắt DE K Chứng minh tam giác DCK cân B trung điểm đoạn thẳng AK c) AD cắt CK H Chứng minh AH ⊥ CK Gợi ý đáp án: a) Xét ∆ABD ∆AED có AD chung (AD đường phân giác) AB = AE => ∆ ABD = ∆ AED (c.g.c) => BD = ED b) + Chứng minh tam giác DCK cân Theo a: ∆ ABD = ∆ AED nên Ta có: Mà Xét ∆CDE ∆KDB có: (2 góc đối đỉnh) DE = DB (chứng minh câu a) (chứng minh trên) => ∆CDE = ∆KDB (g.c.g) => DC = DK => ∆DCK cân D + Chứng minh B trung điểm đoạn thẳng AK Ta có: ∆CDE = ∆KDB nên EC = KB Mà E trung điểm AC nên Mà => KB = AB Mà A, B, K thẳng hàng => B trung điểm AK c) B trung điểm AK Mà => AK = AC Xét ∆KAH ∆CAH có: AK = AC (AD đường phân giác AH chung => ∆KAH = ∆CAH (c.g.c) ) Mà => AH ⊥ HC hay AH ⊥ CK Bài Ở hình 1, cho biết AE = AF BC Gợi ý đáp án: => ∆ ABC cân A => AB = AC => A thuộc đường trung trực BC (1) Ta có: FC = AC - AF EB = AB - AE Mà AB = AC, AE= AF => FC = CB Xét ∆ FCB ∆ EBC có: BC chung Chứng minh AH đường trung trực FC = CB (chứng minh trên) => ∆FCB = ∆EBC (c.g.c) => ∆HCB cân H => HC = HB => H thuộc đường trung trực BC (2) Từ (1) (2) => AH đường trung trực BC Bài Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc C cắt AB M Từ B kẻ BH vng góc với đường thẳng CM (H thuộc CM) Trên tia đối HC lấy điểm E cho HE = HM a) Chứng minh tam giác MBE cân b) Chứng minh c) Chứng minh EB ⊥ BC Bài 10 Trên đường thẳng a lấy điểm phân biệt I, J, K (J I K) Kẻ đường thẳng b vng góc với a J, b lấy điểm M khác điểm J Đường thẳng qua I vng góc với MK cắt b N Chứng minh KN vng góc với MI.