Cơ học lượng tử (phương trình schrodinger đối với hạt chuyển động một chiều)

B. CƠ SỞ LÍ THUYẾT CHƯƠNG I: KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 1.1 Phương trình Schrodinger Chúng ta đã biết hàm sóng phẳng của De Broglie mô tả chuyển động của hạt tự do. Để mô tả chuyển động của hạt trong các trường lực, cần phải tìm hàm sóng mô tả chuyển động của hạt trong một trường đã cho. Hàm sóng phải xác định được hoàn toàn trạng thái của hệ Vật lí. Điều đó có nghĩa là, việc cho hàm sóng tại một thời điểm nào đó không những mô tả được những tính chất của hệ, mà còn xác định được động thái của hệ ở những thời điểm sau. Yêu cầu này biểu diễn những nguyên lí nhân quả trong cơ học lượng tử. Trong trường hợp đặc biệt khi không có trường, nghiệm của phương trình là hàm sóng phải mô tả chuyển động của hạt tự do. Do đó phương trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng De Broglie cũng như chồng chất tùy ý các sóng phẳng đó. Về mặt toán học những sự kiện nêu trên đòi hỏi giá trị của đạo hàm t  của hàm sóng theo thời gian tại thời điểm đã cho phải được xác định bằng giá trị của chính hàm sóng  tại cùng thời điểm. Thêm vào đó theo nguyên lí chồng chất, phương trình vi phân mà hàm sóng thỏa mãn phải là tuyến tính. Ta viết được:

B. CƠ SỞ LÍ THUYẾT CHƯƠNG I: KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 1.1 Phương trình Schrodinger Chúng ta đã biết hàm sóng phẳng của De Broglie mô tả chuyển động của hạt tự do. Để mô tả chuyển động của hạt trong các trường lực, cần phải tìm hàm sóng mô tả chuyển động của hạt trong một trường đã cho. Hàm sóng phải xác định được hoàn toàn trạng thái của hệ Vật lí. Điều đó có nghĩa là, việc cho hàm sóng tại một thời điểm nào đó không những mô tả được những tính chất của hệ, mà còn xác định được động thái của hệ ở những thời điểm sau. Yêu cầu này biểu diễn những nguyên lí nhân quả trong cơ học lượng tử. Trong trường hợp đặc biệt khi không có trường, nghiệm của phương trình là hàm sóng phải mô tả chuyển động của hạt tự do. Do đó phương trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng De Broglie cũng như chồng chất tùy ý các sóng phẳng đó. Về mặt toán học những sự kiện nêu trên đòi hỏi giá trị của đạo hàm t    của hàm sóng theo thời gian tại thời điểm đã cho phải được xác định bằng giá trị của chính hàm sóng  tại cùng thời điểm. Thêm vào đó theo nguyên lí chồng chất, phương trình vi phân mà hàm sóng thỏa mãn phải là tuyến tính. Ta viết được:       , ˆ , , x t L x t x t t      , (1.1) trong đó ˆ L là một toán tử tuyến tính. Để tìm dạng của L, ta xét trường hợp của hạt chuyển động tự do. Khi đó  chính là hàm sóng phẳng De Broglie.     , , , exp , x y z i x y z t N Et p x p y p z              trong đó 2 2 2 , 2 x y z p p p E m    N là một hằng số chuẩn hóa. Phép tính trực tiếp cho ta: 2 . 2 i t m        Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng: 1 ˆ , H t i       trong đó ˆ H là hamiltonien cho chuyển động tự do của hạt: 2 2 2 ˆ ˆ . 2 2 H T m m          Từ đó suy ra rằng, đối với chuyển động tự do của hạt: 1 ˆ ˆ . L H i   Trong cơ học lượng tử, người ta tổng quát hóa kết quả riêng biệt này sang các trường hợp khác, coi như một tiên đề, nghĩa là toán tử ˆ L luôn luôn bằng: 1 ˆ ˆ , L H i   (1.2) trong đó ˆ H là hamiltonien, phương trình (1) cho ta hàm sóng  bây giờ được viết dưới dạng: ˆ . i H t       (1.3) Đó là phương trình Schrodinger dưới dạng tổng quát nhất. Nó là một trong những tiên đề của cơ học lượng tử. Sự đúng đắn của nó đã được thưc nghiệm xác nhận. Đặc điểm quan trọng nhất của phương trình Schrodinger thể hiện ở chỗ, nó là phương trình cấp 1 của thời gian và có chứa đơn vị ảo i ở trước đạo hàm t    . Do đó hàm sóng phải là phức và phương trình có nghiệm tuần hoàn. Tất nhiên có thể chọn hàm sóng biểu diễn bởi hàm thực làm hàm sóng cho một hạt tự do, chẳng hạn dưới dạng một sóng chạy   1 cos . A pr Et     Tuy nhiên khi đó, ta không thể xây dựng được phương trình bậc nhất theo thời gian, mà nghiệm của nó là một chồng chất tùy ý của các trạng thái như vậy. Sự kiện phương trình Schrodinger chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian t    có liên quan mật thiết đến nguyên lí nhân quả trong cơ học lượng tử. Thực vây nếu phương trình Schrodinger chứa 2 2 t    , thì để xác định  tại thời điểm t nào đó, nếu chỉ biết hàm  tại thời điểm ban đầu sẽ là chưa đủ, mà cần phải biết hàm  và cả t    tại thời điểm ban đầu nữa. Biểu thức của ˆ H khi xét chuyển động của một hạt chuyển động tự do có dạng:   2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ . 2 2 x y z H p p p m m        (1.4) Đối với hệ hạt không tương tác, ˆ H của hệ bằng tổng các hamiltonien của các hạt thành phần. 2 ˆ 2 a a a H m     , (1.5) ở đây chỉ số a đánh số các hạt, a  là toán tử Laplace, trong đó việc lấy vi phân được thực hiện cho hạt thứ a. Đối với hệ hạt có tương tác với nhau:   2 1 2 ˆ , , , 2 a a a H U r r m      (1.6) số hạng thứ nhất là toán tử động năng, còn số hạng thứ hai là toán tử thế năng. Đặc biệt đối với hạt nằm trong trường ngoài:     2 2 ˆ ˆ , , , , , 2 2 p H U x y z U x y z m        (1.7) Thay các biểu thức vừa nêu của ˆ H vào (3) ta thu được phương trình sóng cho các hệ tương ứng. Cụ thể xét trường hợp hạt nằm trong trường ngoài không đổi , phương trình sóng của nó có dạng:   2 , , . 2 i U x y z t m            (1.8) 1.2 Mật độ dòng xác suất – Sự bảo toàn số hạt Hàm sóng mô tả sự chuyển đông của các hạt nói chung thay đổi trong không gian và thời gian. Tuy nhiên sự biến đổi đó không phải là tùy ý. Dùng phương trình Schrodinger, ta có thể tìm thấy một số định luật bảo toàn. Muốn vậy, xét tích phân 2 dV   . Đó là biểu thức cho ta xác suất để tìm thấy hạt trong thể tích V. Lấy đạo hàm tích phân trên theo thời gian, ta có:   * * * 2 * * 2 , 2 dV dV dV t t t mi                                (1.9) trong đó t    và * t    được lấy từ phương trình Schrodinger (1.3) và phương trình liên hợp của nó. Cuối cùng ta viết được:   * * * , 2 dV div dV t mi               (1.10) Dùng định lí Oxtrogradxki – Gau, ta có:   2 * * , 2 V S dV dS t mi                (1.11) trong đó mặt S bao thể tích V. Chúng ta đưa vào vectơ j xác định bởi hệ thức:   * * . 2 j mi          (1.12) Khi đó (1.11) được viết thành: 2 . V S dV jdS t        (1.13) Vì V là bất kì, nên công thức (1.13) có thể được viết lại dưới dạng vi phân và ta thu được phương trình liên tục: 2 0, div j t      (1.14) trong đó 2  là mật độ xác suất, còn j được hiểu là vectơ mật độ dòng xác suất. Nó có ý nghĩa Vật lí là thông lượng trung bình của các hạt đi qua một đơn vị diện tích sau mỗi giây. Tích phân ở vế phải ở (1.13) là độ giảm xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bao bởi S sau một đơn vị thời gian. Vậy (1.13) có thể được coi như biểu thức của định luật bảo toàn số hạt. Nếu mở rộng tích phân ra toàn không gian   V   và chú ý rằng khi đó cả hàm sóng và mật độ dòng j đều tiến tới không gian trên một mặt ở xa vô cực, chúng ta thu được: * 0, d dV dt     (1.15) và đi tới kết luận: xác suất toàn phần để tìm thấy một hạt tại nơi nào đó trong không gian không phụ thuộc thời gian. Từ đó suy ra rằng số hạt là không đổi. Phương trình (1.15) cũng khẳng định rằng sự chuẩn hóa các hàm sóng không thay đổi theo thời gian. Điều xác nhận này có thể thấy từ: 2 2 C   Nhân j và 2  với khối lượng m của hạt, ta có:   2 * * , , 2 m m i m j             (1.16) m  được hiểu là mật độ khối lượng trung bình, m j là mật độ dòng khối lượng trung bình. Tương tự nhân j và 2  với điện tích e của hạt ta sẽ thu được mật độ điện tích trung bình 2 e e    và mật độ dòng điện trung bình e j . Các phương trình: 0 0 m m e e div j t div j t           (1.17) biểu diễn định luật bảo toàn khối lượng và định luật bảo toàn điện tích trong cơ học lượng tử. 1.3 Trạng thái dừng Đối với một hệ kín hay khi không có những trường ngoài biến thiên, hamiltonien ˆ H sẽ không phụ thuộc thời gian và trùng với toán tử năng lượng   ˆ H x . Khi đó phương trình Schrodinger (1.3) có dạng:       , ˆ , . x t i H x x t t       (1.18) Nghiệm của phương trình trên có thể thu được bằng cách phân ly biến x và biến t:       , . x t x t     (1.19) Thay (1.19) vào (1.18) ta thu được:           ˆ , t i x H x x t t         hay:           ˆ const. t i H x x t E t x           (1.20) Từ (1.20) ta viết được:     t i E t t       (1.21)       ˆ H x x E x    . (1.22) Nghiệm của (1.21) có dạng:   constexp . E t i t           (1.23) Từ (1.22) ta nhận thấy phương trình này trùng với phương trình của các hàm riêng của toán tử năng lượng   ˆ H x . Gọi , n n E  là các hàm riêng và trị riêng (ta xét phổ gián đoạn), ta viết được nghiệm cuối cùng có dạng:     , exp . n n n E x t x i t            (1.24) Từ đó suy ra rằng, các trạng thái đặc trưng bởi một năng lượng xác định n E thay đổi theo thời gian theo quy luật điều hòa với tần số bằng: . n n E    (1.25) Kết quả trên đã mở rộng hệ thức De Broglie n E    , thoạt đầu áp dụng cho một chuyển động tự do, sang các hệ thức tùy ý. Các trạng thái như trên được gọi là các trạng thái dừng và phương trình (1.22) được gọi là phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng. Do phương trình (1.18) là tuyến tính, nghiệm tổng quát   , n x t  có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất các trạng thái dừng có biên độ tùy ý nhưng không đổi:     , .exp . n n n n iE x t C x t             (1.26) Vì hệ là hàm trực giao, nên dễ dàng tính được:     * ,0 . n n C x x dx     (1.27) Thay nghiệm     , exp iE x t x t            vào (1.18) và chú ý đến (1.8) và (1.22), ta thu được:         2 2 0. m x E U x x        (1.28) Đó là phương trình Schrodinger xác định trạng thái dừng được mở rộng sang cho trường hợp hạt chuyển động trong một trường thế ngoài không phụ thuộc vào t. Phương trình (1.22) xác định trị riêng năng lượng của hệ ở trạng thái dừng. Trạng thái dừng với năng lượng nhỏ nhất trong tất cả những giá trị năng lượng được gọi là trạng thái cơ bản. Bây giờ chúng ta tính xác suất tìm thấy hạt   , n x t  và mật độ dòng xác suất   , n j x t cho trạng thái dừng thứ n ta có:         2 * , , , . , n n n n x t x t x t x t                   * * , , , , , 2 n n n n n i j x t x t x t x t x t m          . Thay vào hai đẳng thức trên biểu thức (1.24) của   , n x t  , ta được:     , ,0 n n x t x    (1.29)     , ,0 n n j x t j x  (1.30) Điều đó chứng tỏ, trong các trạng thái dừng, xác suất tìm thấy hạt cũng như mật độ dòng xác suất không phụ thuộc vào thời gian. Cũng từ những nhận định trên, trong các trạng thái dừng mật độ điện tích trung bình c  , mật độ dòng điện trung bình không phuộc vào thời gian. Ta cũng có thể chứng minh dễ dàng rằng trong các trạng thái dừng xác suất   F  để tìm thấy giá trị F nào đó của mọi đại lượng cơ học (không phụ thuộc rõ vào t) đều độc lập với thời gian. Thêm vào đó cả giá trị trung bình F cũng không đổi. Thật vậy, ta có:     2 F C F   trong đó   C F là biên độ khai triển của   , x t  theo các hàm riêng của   F x  của toán tử ˆ F biểu diễn đại lượng F. Đối với trạng thái dừng   , n x t  ta có thể viết được:           * * . , exp , n F n n iE t C F x x t dx x x dx                 do đó:         2 2 * const. n F C F x x dx         (1.31) Để kết thúc, ta xem mối quan hệ giữa phổ trị riêng của năng lượng trong trạng thái dừng với đặc tính chuyển động của hệ. Phổ trị riêng của năng lượng có thể gián đoạn hoặc liên tục. Trạng thái dừng của phổ gián đoạn bao giờ cũng tương ứng với chuyển động hữu hạn của hệ, nghĩa là chuyển động trong đó hệ hay một phần nào đó của hệ không đi ra xa vô cực. Thực vậy, đối với các hàm riêng của phổ gián đoạn, tích phân 2 dV   lấy trong toàn không gian là hữu hạn. Trong mọi trường hợp, điều đó có nghĩa bình phương 2  giảm đủ nhanh và bằng không tại vô cực. Nói một cách khác, xác suất của các giá trị tọa độ vô cùng đều bằng không, nghĩa là hệ thực hiện một chuyển động hữu hạn, hay như thường nói, hệ ở trong trạng thái liên kết. Đối với hàm sóng có phổ liên tục, tích phân 2 dV   phân kì. Bình phương modun hàm sóng 2  ở đây không xác định trực tiếp xác suất của các giá trị tọa độ khác nhau và chỉ được coi như một đại lượng tỉ lệ với xác suất đó. Tích phân 2 dV   bao giờ cũng phân kì, đó là do 2  tại vô cực không bằng không (hay bằng không không đủ nhanh). Do đó có thể khẳng định rằng, tích phân 2 dV   lấy theo miền không gian ở bên ngoài với một mặt kín hữu hạn, nhưng lớn tùy ý, sẽ vẫn phân kì. Điều đó có nghĩa là, trong trạng thái đang xét (hay một phần nào đó của hệ) nằm tại vô cực. 1.4 Một số tính chất tổng quát của phương trình Schrodinger Các điều kiện mà các nghiệm của phương trình Schrodinger phải thỏa mãn, có một đặc tính hết sức tổng quát. Trước hết hàm sóng  phải đơn trị và liên tục trong toàn không gian. Ngay cả khi bản thân trường   , , U x y z có mặt gián đoạn, hàm  vẫn phải liên tục. Trên mặt gián đoạn, không những hàm  , mà cả các đạo hàm của  cũng phải liên tục. Tuy nhiên , nếu sau mặt nào đó thế năng U bằng vô cùng, thì tính liên tục của các đại lượng này không xảy ra. Hạt không thể thâm nhập vào một miền không gian, tại đó U   , nghĩa là trong miền này hàm sóng ở khắp nơi phải bằng không. Để cho hàm  liên tục, thì trên biên của miền này 0   , trong trường hợp này các đạo hàm của  nói chung có bước nhảy. Nếu trường   , , U x y z không bằng vô cùng, thì hàm sóng cũng phải hữu hạn trong toàn miền không gian. Giả sử min U là giá trị cực tiểu của hàm   , , U x y z . Vì hamiltonien của hạt là tổng của toán tử động năng ˆ T và thế năng U, nên giá trị trung bình của năng lượng trong một trạng thái tùy ý bằng E T U   . Nhưng tất cả các trị riêng của toán tử năng lượng ˆ T (trùng với hamiltonien của hạt tự do) đều dương; do đó tất cả trị trung bình 0 T  . Hiển nhiên ta có min U U do đó cả min E U . Vì bất đẳng thức này đúng với mọi trạng thái bất kỳ, nên rõ ràng nó đúng với mọi trị riêng của năng lượng. min n E U  (1.32) Bây giờ chúng ta xét một hạt chuyển động trong một trường có   , , U x y z bằng không tại vô cực. Dễ dàng nhận thấy, phổ các trị riêng âm của các năng lượng khi đó sẽ gián đoạn, nghĩa là tất cả trạng thái với 0 E  đều là các trạng thái liên kết ở trong một trường bằng không tại vô cực. Thực vậy trong các trạng thái dừng có phổ liên tục, tương ứng với chuyển động vô hạn, hạt nằm tại vô cực. Nhưng tại những khoảng cách đủ lớn để có thể bỏ qua được sự cố có mặt của trường, thì chuyển động của hạt có thể coi như tự do, mà trong chuyển động tự do thì năng lượng của hạt chỉ có thể dương. Ngược lại các trị riêng dương lập thành một phổ liên tục và tương ứng với chuyển động vô hạn, với 0 E  phương trình Schrodinger (trong trường lực đang xét) nói chung không có nghiệm để cho tích phân 2 dV   hội tụ. Cần chú ý rằng, trong cơ học lượng tử, khi chuyển động là hữu hạn, hạt có thể ở cả trong những miền không gian, tại đó E U  , xác suất 2  tìm thấy hạt mặc dù tiến nhanh đến không khi đi sâu vào một miền như thế, nhưng tại tất cả những khoảng cách hữu hạn xác suất đó vẫn cứ khác không. Về mặt này có một sự khác biệt căn bản so với cơ học cổ điển, tại đây hạt không thể nào thâm nhập vào một miền E U  . Lí do là vì, E U  động năng của hạt sẽ âm, vận tốc của hạt sẽ là ảo. [...]... không liên kết: Khi chuyển động của các hạt bị giới hạn, ta nói trạng thái của hạt không liên kết (chuyển động tự do) Trên sơ đồ thế năng Hình 1 có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt a) Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảng U1  E  U 2 Chuyển động của hạt là vô hạn về phía x   Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa x  x3 và x   Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên... xung lượng của hạt là đại lượng ảo Đây là điều không thể xảy ra theo cơ học cổ điển Thực ra vấn đề xảy ra ở đây không có gì mâu thuẫn cả Cơ học lượng tử cho rằng năng lượng của hạt không thể là tổng động năng và thế năng của hạt vì theo nguyên lí bất định Heisenberg thì xung lượng (động năng) và tọa độ (thế năng) của hạt không đồng thời xác định Năng lượng của hạt chính là trị riêng của toán tử Hamilton...  , với n  0 , 1, 2 … (2.74) 2  Công thức (2.74) chứng tỏ năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn Năng lượng thấp nhất của dao động tử ứng với n  0 là: 1 Eo   , (2.75) 2 được gọi là “năng lượng không” Năng lượng này có liên quan đến dao động của các hạt (nguyên tử, ion, …) ở nút mạng tinh thể Theo cơ học lượng tử thì ngay cả khi nhiệt độ tiến đến không độ tuyệt đối các hạt vẫn... … Nói chung số nút là số lượng tử n Đồ thị các hàm sóng và xác suất tìm hạt tương ứng với bốn mức năng lượng thấy hạt nhất định diễn tả ở Hình 16 Hình 16: Hàm sóng (đồ thị a) và xác suất tìm hạt (đồ thị b) của hạt dao động điều hòa ứng với bốn mức năng lượng khác nhau 2.2 Phương trình Schrodinger trong chuyển động 2 – 3 chiều Bây giờ ta xét trường hợp hạt chuyển động trên một mặt phẳng hai chiều hoặc... giải phương trình Schrodinger cho các chuyển động này ta dùng phương pháp tách biến bằng cách giả sử các chuyển động trên các chiều là độc lập nhau Hệ quả của điều này là năng lượng trong chuyển động nhiều chiều bằng tổng năng lượng của các chuyển động một chiều và hàm sóng bằng tích phân các hàm sóng của các chuyển động một chiều Vì vậy, ta sẽ sử dụng các kết quả của bài toán của chuyển động một chiều... của dao động Trước hết ta xét trường hợp dao động tử điều hòa Tại các điểm lùi x   xc tử điều hòa một chiều với thế năng có hạt có năng lượng toàn phần E dạng parabol đối xứng (Hình 15): 1 U  x   m 2 x 2 2 Theo quan điểm cổ điển hạt sẽ chuyển động dao động với biên độ phụ thuộc vào cơ năng ban đầu E Cơ năng này có thể cung cấp cho hạt dưới dạng thế năng (độ lệch ban đầu), dưới dạng động năng... biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục x Hình 1: Dạng thế năng U  x  trong trường hợp tổng quát b) Trường hợp E  U 2 : Hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía  x    Phổ năng lượng của hạt là liên tục và suy biến bậc 2 Điều này ứng với một giá trị năng lượng của phương trình (2.2) có hai hàm riêng, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo... thế năng và động năng ban đầu Nếu bỏ qua mọi sự hao hụt về năng lượng thì trong quá trình chuyển động, động năng và thế năng có sự thay đổi nhưng tổng của chúng là một đại lượng không thay đổi và bằng năng lượng ban đầu Đối với giá trị bất kì của E sẽ có hai giới hạn của biên độ dao động, được xác định bởi x   xc (điểm lùi cổ điển) Sau đây ta sẽ giải bài toán dao động tử điều hòa lượng tử bằng phương... ra alpha, hoạt động của diode tunnel, … Hình 14: Hàng rào thế có dạng bất kì 2.1.8 Dao động tử điều hòa lượng tử Dao động điều hòa là một dạng dao động rất quan trọng trong vật lí nói chung và vật lí chất rắn nói riêng Đó là dao động của các ion hoặc nguyên tử quanh vị trí cân bằng trong mạng tinh thể, dao động của các nguyên tử trong phân tử, … Bài toán về dao động về điều hào lượng tử được ứng dụng... thu 2 được biểu thức năng lượng của hạt trong giếng thế  22 2 En  n  n 2 Eo , 2 2mL (2.16)  22 là năng lượng của hạt ứng với n  1 và được gọi là năng lượng 2mL2 ở trạng thái cơ bản trong đó Eo  Như vậy hạt ở trong giếng thế có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng Eo , 4 Eo , 9 Eo , 16 Eo , … Vì năng lượng của hạt chỉ là động năng nên vận tốc của hạt chỉ có những giá trị nhất . DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 2.1 Chuyển động một chiều 2.1.1 Các tính chất của chuyển động một chiều Phương trình Schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều. hamiltonien cho chuyển động tự do của hạt: 2 2 2 ˆ ˆ . 2 2 H T m m          Từ đó suy ra rằng, đối với chuyển động tự do của hạt: 1 ˆ ˆ . L H i   Trong cơ học lượng tử, người ta. phương trình của cơ học cổ điển không thay đổi khi đảo chiều thời gian, nghĩa là chỉ đổi dấu của t. Trong cơ học lượng tử, sự đối xứng đối với hai chiều thời gian thể hiện ở chỗ phương trình