Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động chương 3 1 ts nguyễn thu hà

19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Nội dung 3.1 Mô tả hệ thống khơng gian trạng thái Phương trình trạng thái Quan hệ mơ hình trạng thái hàm truyền Quỹ đạo trạng thái 3.2 Phân tích hệ thống khơng gian trạng thái Tính ổn định Tính điều khiển Tính quan sát 3.3 Thiết kế điều khiển Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực Bộ quan sát trạng thái Bộ điều khiển phản hồi đầu 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3.1 Mô tả hệ thống không gian trạng thái 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3.1.1 Phương trình trạng thái + Khái niệm biến trạng thái Định nghĩa 3.1: Các biến trạng thái biến mang thông tin trạng thái bên hệ thống, phản ánh diễn biến, trình xảy hệ Các biến trạng thái bao gồm biến Đã biến phải đo được, biến trạng thái lúc đo mà tính tốn thơng qua tín hiệu đo khác Ví dụ : Bài tóan điều khiển vận tốc xe Biến trạng thái: quãng đường y(t), vận tốc 𝑦(t) ሶ Biến ra: vận tốc 𝑦(t) ሶ Biến vào: lực tác động u(t) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3.1.1 Phương trình trạng thái Xét hệ thống với cấu trúc cho hình vẽ và: m tín hiệu vào u1(t), u2(t),…um(t) , viết chung thành vector 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑚 r tín hiệu y1(t), y2(t),…yr(t) , viết chung lại thành vector 𝑦 𝑡 ∈ 𝑅𝑟 ; n biến trạng thái x1(t), x2(t),…xn(t) , viết chung lại thành 𝑥 𝑡 ∈ 𝑅𝑛 19/02/2020 u1(t) ⋮ ⋮ um(t) Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Hệ thống kỹ thuật x1, x2,…xn ⋮ y1(t) ⋮ yr(t) 3.1.1 Phương trình trạng thái Mơ hình trạng thái loại mơ hình tốn học có dạng: 𝑑𝑥 = A𝑥 + B𝑢 𝑦 = C𝑥 + 𝐷𝑢 ቐ 𝑑𝑡 đó: Ma trận ARnn ma trận hệ thống Ma trận BRnm ma trận điều khiển Hai ma trận CRrn DRrm ma trận đầu Hệ tuyến tính mơ tả phương trình trạng thái ba dạng sau: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3.1.1 Phương trình trạng thái • Mơ hình trạng thái tham số ma trận A, B, C, D ma trận • Mơ hình trạng thái tham số phụ thuộc t, có phần tử ma trận A, B, C, D hàm số phụ thuộc thời gian: 𝑑𝑥 ቐ 𝑑𝑡 = A(𝑡)𝑥 + B(𝑡)𝑢 𝑦 = C(t)𝑥 + 𝐷(𝑡)𝑢 • Mơ hình trạng thái tham số rải, có phần tử ma trận A,B,C,D hàm số phụ thuộc biến không gian (phụ thuộc vector tham số v): 𝑑𝑥 = A(𝑣)𝑥 + B(𝑣)𝑢 ቐ 𝑑𝑡 𝑦 = C(v)𝑥 + 𝐷(𝑣)𝑢 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3.1.1 Phương trình trạng thái + Ưu điểm hệ phương trình trạng thái: • Cho phép mô tả hệ thống mà không cần điều kiện đầu • Cho phép mơ tả hệ MIMO đơn giản so với dạng hàm truyền đạt • Cho phép khảo sát biến trạng thái cần quan tâm bên hệ thống đầu vào đầu ra, giúp ta hiểu rõ sâu đặc tính hệ 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ • Ví dụ 1: Động chiều: 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 10 Ví dụ • Cho hệ SISO với hai biến trạng thái mô tả bởi: d x  1 = x+    3  dt y = x     −1  u   Tìm hàm truyền đạt Ta có hàm truyền đạt: −1  s − −1   −1 −1 G ( s ) = C ( sI − A) B =  1  s − 3      −1 s − = =   s −    s − 5s + ( s − 2)( s − 3)  19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 17 2)Xác định mơ hình trạng thái chuẩn điều khiển từ hàm truyền • Xét hệ SISO có hàm truyền: G(s) = b0 + b1s + a0 + a1s + + bn sn B( s) = n −1 n A( s) + an −1s + s (*) • Gọi U(s) ảnh Laplace u(t), Y(s) ảnh y(t) từ hàm truyền cho ta có: b0 + b1s + + bn s n U (s) sU ( s ) Y (s) = U ( s ) = b0 + b1 + A( s ) A( s ) A( s ) s nU ( s ) + bn A( s ) Đặt n biến trạng thái x1(t), …, xn(t), ghép chung lại thành 19/02/2020  x1    x =  x   n U ( s) X (s) = , A( s) có ảnh Laplace X (s) = sU ( s) , A( s)  , X n (s) = Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động sn −1U ( s) A( s) 18 2)Xác định mô hình trạng thái chuẩn điều khiển từ hàm truyền Sẽ sX (s) = X (s)  sX (s) = X (s)  dx1 = x2 dt dx = x3 dt   sX n−1 (s) = X n (s) Cũng như: X1 ( s) =  dxn −1 = xn dt U ( s) A( s) U = a0 X1 + a1sX1 + = a0 X1 + a1 X +  a0 x1 + a1 x2 +  dxn = − a0 x1 − a1 x2 − dt + an −1sn −1 X1 + sn X1 + an −1 X n + sX n + an −1 xn + dxn =u dt − an −1 xn + u Suy ra:   dx =   dt   − a0 19/02/2020 0 − a1 −a2  0     x + u  0    −an −1  1 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 19 2)Xác định mơ hình trạng thái chuẩn điều khiển từ hàm truyền Mặt khác, từ: Y = b0 X1 + b1 X + + bn −1 X n + sbn X n cịn có: dxn ( t ) y = b0 x1 + b1 x2 + + bn −1 xn + bn dt  y==( (bb0 −− aa0bbn) x) x+1(+b (−ba1 b− )xa1b+n ) x1 + +(b +− (abn −b1 )−xa+n −b1bun ) x1 + bnu 0 n 1 n n −1 n −1 n n n Định nghĩa 3.2: Hệ SISO vói hàm truyền đạt (*) có mơ hình trạng thái chuẩn điều khiển sau:  0   0      0 dx  =  x +  u  dt   0      − a − a − a − a  n −1  1   B A   y = ( b0 − a0bn , , bn −1 − an −1bn ) x + bnu  C  19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 20 3) Xác định mơ hình trạng thái chuẩn quan sát từ hàm truyền Định nghĩa 3.3: Hệ SISO vói hàm truyền đạt 3.12 có mơ hình trạng thái chuẩn quan sát sau:  0    1 dx  = 0  dt     0    y = (0 ,   19/02/2020 − a0 − a1 − a2    b0 − a0bn    x +  u  b − a b    n −1 n −1 n   − an −1  B , , 1) x + bnu 0 0 C Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 21 Ví dụ • Hãy xác định hệ phương trình trạng thái theo chuẩn quan sát biết hàm truyền đạt G(s) = 3+𝑠 4+5𝑠+ 𝑠 Ta có a0 = 4; a1 = 5; b0 = ; b1 =1  dx  − a0   b0  = x +     u − a dt 1   b1    b  y = , x ( )   cT  19/02/2020 hay  dx  −4   3 = x +     u − dt   1   b  y = , x ( )   cT  Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 22 4) Xác định bậc tương đối hàm truyền từ mơ hình trạng thái • Xét hệ SISO có hàm truyền hợp thức chặt: G (s) = b0 + b1s + + bm s m a0 + a1s + + an s n , mn (**) Bậc tương đối hiểu hiệu r = n-m1 Định nghĩa 3.4: Bậc tương đối hệ SISO có hàm truyền (**) xác định từ mơ hình trạng thái tương ứng cơng thức sau: =  k  r − k CA B =   k = r − 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 23 Ví dụ • Cho hệ SISO với hai biến trạng thái mô tả bởi: d x  1  −1 = x + u       3 2  dt y = x Xác định bậc tương đối    Ta có hàm truyền: G(s) = 𝑠 −5𝑠+6 Như vậy, ta thấy hệ có bậc tương đối r = Giá trị trực tiếp tính từ mơ hình trạng thái sau: Xét k=0 k=1 CB =  CAB =   −1 1   = 2 2 1  0 1  −1 =80    3   Do r = k+1 = 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 24 3.1.3 Quỹ đạo trạng thái 1) Khái niệm • Quỹ đạo trạng thái hiểu nghiệm hệ phương trình vi phân: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = Ax+Bu mơ hình trạng thái với kích thích u(t) trạng thái đầu x(0) = x0 cho trước Tập hợp tất quỹ đạo trạng thái hệ thống gọi không gian trạng thái • Nếu u(t) = x(0)  quỹ đạo trạng thái gọi tự • Nếu u(t)  x(0) = quỹ đạo trạng thái gọi cưỡng 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 25 2) Ma trận hàm mũ + Ý nghĩa: Dùng để tìm quỹ đạo trạng thái hệ Định nghĩa 3.5: Với ma trận A  Rnxn cho trước, ma trận hàm mũ tương ứng với A định nghĩa bởi: e At  ( At ) k =  k =0 k ! + Các tính chất ma trận hàm mũ: o a) o b) o c) e At1Aet At2 = e At2 e At1 = e A(t1 + tvà2 ) e At e− At = e A(t −t ) = I de = Ae At = e At A dt Nếu A ma trận đường chéo A = diag(ai) eAt= diag ( eait) o d) e At=L−1{(sI−A)−1} 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 26 2) Ma trận hàm mũ + Cách xác định hàm eAt ▪ Sử dụng toán tử Laplace eAt=L−1{(sI−A)−1} 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 27 Ví dụ- tốn tử Laplace Ví dụ 1: Xác định ma trận hàm mũ toán tử Laplace  1 A=  Với   Theo phép biến đổi Laplace: −1 e At  s − −1  = −1{( sI − A) −1} = −1{  }= s − 3    −1  s − = {    19/02/2020    e 2t ( s − 2)( s − 3)  }=     s −3  −1 {  s −3  } s − 2 ( s − 2)( s − 3)  e3t − e 2t   3t  e  Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 28 3) Tìm quỹ đạo trạng thái Định lý 3.4: Nghiệm phương trình trạng thái tham số tính: t  At  x (t ) = e x0 +  e A(t − ) Bu ( )d   t  At   A(t − ) Bu ( )d  + Du  y (t ) = C e x0 +  e    Định lý 3.5: Khi hệ thống mơ tả mơ hình trạng thái tham số có: a) Q trình tự do: y (t ) = Ce At x t t b) Quá trình cưỡng : A(t − ) y (t ) = C  e c 19/02/2020 Bu ( )d + Du Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 29 Ví dụ • Xác định quỹ đạo trạng thái có tham số khơng phụ thuộc thời gian • Hãy xác định y(t) hệ kích thích u(t) = 1(t) từ trạng thái đầu x0 = cho hệ thống SISO có hai biến trạng thái mô tả bởi: 0 d x  −2  dt Hệ có ma trận: Khi đó:   x +    u , y = x1 −1 1  −2   0 A=  ; B =   ; C = (1 0) −   1  s + −1  ( sI − A) −1 =   s + 1  e At 19/02/2020 =  −1  s +1      s + =  s + = ( s + 2)( s + 1)    −2t  e = L−1{( sI − A) −1} =    e −t − e −2t   −t  e  Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động   ( s + 2)( s + 1)    s +1  30 Ví dụ • Vậy t  e −2(t − ) x (t ) =    0  − ( t − ) e −2( t − ) e −  =  e − (t − ) t0   − ( t − ) −2( t − ) t  e − (t − ) − e −2(t − )    e − e d    1( ) d =   − (t − )  1  e 0 e − (t − )      e −2t −t  −e + =2     − e −t  t       −2 t −t e y(t) = −e + 2 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 31 ... 19 /02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ • Ví dụ 1: Động chiều: 19 /02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ 19 /02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động. .. _ Lý thuyết điều khiển tự động 10 Ví dụ 19 /02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 11 Ví dụ 19 /02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 12 Ví dụ • Ví dụ 2: Cho hệ gồm... At=L? ?1{ (sI−A)? ?1} 19 /02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 26 2) Ma trận hàm mũ + Cách xác định hàm eAt ▪ Sử dụng toán tử Laplace eAt=L? ?1{ (sI−A)? ?1} 19 /02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết