70 PhÇn 2 Thèng kª to¸nThèng kª to¸n hä ra ®êi g¾n liÒn víi nhu Çu thù tiÔn ña tù nhiªn x héi vµ ã lÞ h söph¸t triÓn l©u ®êi nhÊt Néi dung hÝnh ña thèng kª to¸n lµ x©y dùng ¸ ph¬ng ph¸p thuthËp, s¾p[.]
Phần Thống kê toán Thống kê toán họ đời gắn liền với nhu ầu thự tiễn tự nhiên - xà hội ó lị h sử phát triển lâu đời Nội dung hính thống kê toán xây dựng phương pháp thu thập, xếp xử lý số liệu thống kê (số liệu thống kê ó thể đặ tính định tính hoặ đặ tính định lượng) Thông qua việ phát hiện, phản ánh quy luật mặt lượng tượng, on số thống kê giúp ho việ kiểm tra, đánh giá tượng tự nhiên, vấn đề kinh tế ũng vấn đề xà hội Từ đưa định, dự báo hoạ h định hiến lượ phát triển vật, tượng đượ nghiên ứu Phần thống kê toán giới thiệu kiến thứ số toán quan trọng thống kê toán ướ lượng tham số, toán kiểm định giả thuyết thống kê toán tương quan håi quy Ch¬ng C¬ së lý thuyÕt mÉu Quá trình nghiên ứu thống kê gồm giai đoạn: thu thập số liệu, xử lý tổng hợp phân tÝ h, dù b¸o Trong thu thËp sè liƯu thêng ¸p d ng hai hình thứ hủ yếu: báo áo thống kê định kỳ điều tra thống kê Chương nhằm giới thiệu số vấn đề ần quan tâm bắt đầu làm toán thống kê, giai đoạn thu thập xử lý số liệu 3.1 3.1.1 Tỉng thĨ vµ mÉu Tỉng thĨ vµ kÝ h thí tổng thể Định nghĩa 3.1.1 Toàn tập hợp phần tử đồng theo dấu hiệu nghiên ứu định tính hoặ định lượng đượ gọi tổng thể nghiên ứu (population) (hay tổng thể hoặ tập hính) Số lượng á thể (hay phần tử) tổng thể đượ gọi kí h thướ tổng thể (size of population), thường đượ kí hiệu N Với tổng thể ta không nghiên ứu trự tiếp tổng thể mà thông qua hay nhiều dấu hiệu đặ trưng ho tổng thể đó, đượ gọi dấu hiệu nghiên ứu Cá dấu hiệu ó thể định tính hoặ định lượng (ta ũng ó thể gọi biến định tính hoặ biến định lượng) Chẳng hạn, để nghiên ứu hiều dài lúa giống lúa dấu hiệu nghiên ứu mang tính định lượng hính hiều dài bông; nghiên ứu loại bệnh xuất gia ầm đồng Bắ Bộ đặ tính mà ta quan tâm đến đặ tính mang tính định tính, x t thể gia ầm tổng thể ó hoặ không ó loại bệnh mà ta quan tâm 3.1.2 Mẫu phương pháp họn mẫu Định nghĩa 3.1.2 Một tập hợp á thể đượ lấy từ tổng thể đượ gọi mẫu (sample) Số lượng thể mẫu gäi lµ kÝ h thí mÉu (size of sample), thêng kÝ hiƯu lµ n Chó ý r»ng kÝ h thí đa mÉu thêng nhá h¬n rÊt nhiỊu so víi kÝ h thí tỉng thĨ Tõ tỉng thĨ ®· ho ta ã thĨ lÊy nhiỊu mÉu kh¸ víi ïng mét kÝ h thí 71 n Tập hợp tất ả mẫu ó thể lấy đượ từ tổng thể đượ gọi không gian mẫu (sample spa e) Thay nghiên ứu tất ả ¸ ¸ thĨ ã mỈt tỉng thĨ ta hun sang nghiên ứu phận tổng thể mẫu mẫu phải đại diện á h khá h quan ho tổng thể Ta quan tâm đến phương pháp lấy mẫu sau đây: a) Lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại: Đó phương pháp lấy mẫu á h đánh số á thể tổng thể từ đến N Rút ngẫu nhiên n thể đưa vào mẫu theo hai á h sau - Mẫu ngẫu nhiên đơn giản: Từ tổng thể kí h thướ giản N người ta dùng á h rút thăm đơn n phần tử mẫu theo bảng số ngẫu nhiên u điểm phương pháp ho ph p thu đượ mẫu ó tính đại diện ao, ho ph p suy rộng kết qu¶ đa mÉu ho tỉng thĨ víi mét sai sè xá định Nhượ điểm phương pháp phải ó đượ toàn danh sá h tổng thể nghiên ứu, mặt hi phí họn mẫu lớn - Mẫu ngẫu nhiên hệ thống: Là loại mẫu ngẫu nhiên đà đượ đơn giản hoá á h họn, hỉ ó phần tử đượ họn á h ngẫu nhiên, sau dựa danh sá h đà đượ đánh số tổng thể để họn phần tư tiÕp theo vµo mÉu theo mét thđ t nµo Nhượ điểm phương pháp dễ mắ sai sè hƯ thèng danh s¸ h đa tỉng thĨ không đượ xếp á h ngẫu nhiên mà lại theo trật tự hủ quan b) Lấy mẫu ngẫu nhiên ó hoàn lại: Đánh số á thĨ tỉng thĨ tõ ®Õn N Rót ngẫu nhiên từ tổng thể thể, ghi đặ tính thể trả thể tổng thể, đặ tính vừa ghi lại đượ oi phần tử mẫu Việ xá định phần tử mẫu ũng đượ làm tương tự Từ phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên ó hoàn lại ta thấy xá suất để thể ó mặt mẫu 1/N Mỗi thể ó thể ó mặt nhiều lần mÉu DƠ thÊy, víi kÝ h thí n, sè lỵng mẫu trường hợp lấy mẫu không hoàn lại hợp lấy ó hoàn lại AnN , số lượng mẫu trường n AN = N n Khi N lín h¬n rÊt nhiỊu so víi n AnN N n , việ lấy mẫu hoàn lại không hoàn lại ho ta kết sai lệ h không đáng kể ) Lấy mẫu theo lớp: Chia tổng thể làm k lớp Rồi từ lớp lấy ngẫu nhiên số thể đưa vào mẫu Nếu số lượng á thĨ ë líp thø Ni ni ≈ mÉu đa líp ni nên thỏa mÃn điều kiện n N i Ni số thể đượ họn vào d) Lấy mẫu theo hu kì: Trong việ kiểm tra hất lượng sản phẩm ông nghiệp đượ sản xuất theo dây huyền, việ lấy mẫu ngẫu nhiên gặp khó khăn tốn k m Phương pháp lấy mẫu theo hu kú tá ã hiƯu qu¶ nỊn s¶n xuất ông nghiệp đại Cứ sau hu kỳ gồm T sản phẩm lấy sản phẩm để đưa vào mẫu Để tránh trùng lặp hu kỳ sản xuất sản phẩm tốt, xấu d©y hun víi hu kú lÊy mÉu, ta ã thĨ thay đổi hu kỳ T đợt lấy mẫu với m đí h mẫu phải đại diện ¸ h kh¸ h quan nhÊt ho tỉng thĨ C¸ ph¬ng pháp lấy mẫu phương pháp phổ biến việ thu thập liệu Việ lấy mẫu tốt, xấu theo nghĩa ó khá h quan hay không ảnh hëng rÊt lín ®Õn viƯ ®a kÕt ln ã hính xá hay không đặ tính ó mặt tỉng thĨ Chó ý 3.1.3 Tõ kÕt qu¶ tËp mẫu ó đượ ta ó thể suy kết qu¶ ho tỉng thĨ bëi vËy bao giê ịng ã thể mắ phải sai lầm định Độ sai lệ h lớn hay b ph thuộ vào phương pháp xây dựng mẫu kí h thướ mẫu Độ hính xá thống kê thường đượ gọi độ tin ậy (degree of onfiden e) đa kÕt ln, kÝ hiƯu lµ γ NÕu gäi α lµ tØ lƯ sai sãt (hay mø ý nghÜa) đa kÕt ln th× 3.1.3 α = − Mẫu ngẫu nhiên Sau đây, mẫu đượ hiểu mẫu ó lặp lại đượ lấy theo phương pháp ngẫu nhiên đơn giản Giả sử đặ trưng biến X thể tổng thể biến ngẫu nhiên, òn đượ gọi biến ngẫu nhiên gố , ó hàm phân phối xá suất F (x) Ta tiến hành ph p lấy mẫu ngẫu nhiên ó kí h thướ thấy n Gọi Xi biến ngẫu nhiên hỉ giá trị X thể thứ i mẫu, ta Xi biến ngẫu nhiên ó ùng phân phối xá suất với X Với mẫu thể Xi ó giá trị xá định xi Do việ lấy mẫu độ lập nên dÃy X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độ lập Định nghĩa 3.1.4 nhiên độ lËp X1 , X2 , , Xn đượ thành lập từ biến ngẫu nhiên X ó ùng quy luật phân phối xá suất với Giả sử Mẫu ngẫu nhiên (random sample) kí h thướ n tập hợp n biến ngẫu X , ký hiệu W = (X1 , X2 , , Xn ) X1 nhận giá trị x1 , X2 nhận giá trị x2 , , Xn nhận giá trị xn Tập hợp n giá trị x1 , x2 , , xn tạo thành giá trị mẫu ngẫu nhiên, hay òn gọi lµ mÉu thĨ, ký hiƯu w = (x1 , x2 , , xn ) VÝ d 3.1.5 X t tổng thể tập sinh viên Việt Nam, biến ngẫu nhiên gố sinh viên X t mẫu ã kÝ h thí mÉu, ®ã W n = 10, gọi Xi hiều ao sinh viên thứ i = (X1 , X2 , , X10 ) mẫu ngẫu nhiên Thự ph p thử mẫu ngẫu nhiên trên, tứ tiến hành đo hiều ao đượ mẫu thể X hiều ao 10 sinh viên họn vào mÉu ta thu x1 = 1, 50; x2 = 1, 52; x3 = 1, 60; x4 = 1, 65; x5 = 1, 70; x6 = 1, 81; x7 = 1, 63; x8 = 1, 77; x9 = 1, 55, x10 = 1, 58 (đơn vị m t), số (1, 50; 1, 52; 1, 60; 1, 65; 1, 70; 1, 81; 1, 63; 1, 77; 1, 55; 1, 58) lµ mét mÉu thĨ (hay mét thĨ hiƯn) đa mÉu ngÉu nhiªn Chó ý 3.1.6 (X1 , X2 , , X10 ) Với á h xây dựng mẫu ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn ña mÉu ó ùng dạng phân phối xá suất với biến ngẫu nhiên gố X , tứ ó ùng hàm phân phối xá suất số đặ trưng 3.2 3.2.1 F (x) mà tham số đặ trưng húng ũng tham X , tứ là: E(X1 ) = E(X2 ) = · · · = E(Xn ) = E(X) (3.1) V (X1 ) = V (X2 ) = · · · = V (Xn ) = V (X) (3.2) Cá phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên Sắp xếp số liệu thự nghiệm Để khai thá xử lý thông tin hứa đựng dÃy số liệu ta ần xếp số liệu nhằm nhận đặ trưng dÃy số liệu Thông thường ta xếp số liệu theo thứ tự tăng dần DÃy số liệu ưu điểm dÃy số liệu ban đầu, ta ó thể dễ dàng nhận biết giá trị nhỏ giá trị lớn số liệu mẫu, biết đượ biên độ dao động số liệu mẫu Với á h xếp ta dễ dàng nhận biết số liệu ó mặt mẫu lần số liệu đượ xếp liền Một số phương pháp thường đượ dùng để xếp số liệu sau a) Phương pháp liệt kê Liệt kê tất ả phần tử mẫu Chẳng hạn, với mẫu ỡ n, ta ã thÓ viÕt x1 = 2, 5; x2 = 2, 6; , xn = 3, Nhượ điểm á h xếp không mô tả đượ mẫu ỡ lớn, tính toán phứ tạp, không khoa họ b) Phương pháp dùng bảng tần số bảng tần suất Giả sử từ tổng thể biến ngẫu nhiên gố trị X rút mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n, giá trị x1 xuất với tần số n1 , giá x2 xuất hiƯn víi tÇn sè n2 , , giá trị xk xuất với tần số nk , lú sau xi đà đượ xếp theo trình tự tăng dần giá trị thể mẫu, ta ó thể mô tả mẫu thể bảng phân phối tần số thự nghiệm sau xi ni víi x1 n1 x2 n2 xi ni xk nk n1 + n2 + + nk = n Dòng ghi giá trị ó thể ó mẫu theo thứ tự tăng dần, dòng ghi tần số tương ứng Tần số mẫu số thể ó đặ tính X = xi mẫu Bảng tần số ho ta nhiều thông tin dÃy số liệu đượ xếp theo thứ tự tăng dần Ngoài thông tin ó đượ dÃy số liệu xếp theo thứ tự tăng dần, qua bảng tần số ta ó thể biết đượ số liệu ó mặt nhiều nhất, số liệu ó mặt mẫu Gọi fi = ni , (i = 1, , k) tần suất thể ó đặ tính xi mẫu, ta ó bảng phân n phối tần suÊt thù nghiÖm nh sau xi fi x1 f1 x2 f2 xi fi xk fk víi f1 + f2 + + fk = Ngoµi thông tin ó đượ bảng tần số mẫu, ta òn biết đượ tỷ lệ phần trăm đóng góp số liệu mẫu Ví d 3.2.1 Gặt ngẫu nhiên 100 điểm trồng lúa vùng, ta thu đượ số liệu đượ xếp thành bảng sau: Năng suất(tạ/ha) Số điểm gặt tương ứng 21 24 10 20 25 26 28 32 34 30 15 10 10 Bảng phân phối tần suất thự nghiệm: xi fi 21 24 25 26 28 32 34 0, 0, 0, 0, 15 0, 0, 0, 05 Những phương pháp ó ưu điểm mô tả đượ mẫu ỡ lớn, nhượ điểm khó mô tả đượ mẫu liên t Khi kí h thướ mẫu lớn đặ tính định lượng tổng thể biến ngẫu nhiên liên t người ta thường dùng phương pháp sau ) Phương pháp phân khoảng Phân hia sè liƯu theo líp víi ïng mét ®é réng để thuận tiện ho việ phân tí h xử lý số liệu Giả sử số liệu Chia khoảng xmin giá trị nhỏ nhất, xmax giá trị lớn (xmin , xmax ) thành k khoảng á h với độ rộng khoảng h= xmax xmin , k Người ta hứng minh đượ số khoảng đượ họn tối ưu theo ông thứ : k = 1+3, 322 lg n Ta ã b¶ng sau (gäi bảng gh p lớp) Khoảng Tần số liệu khoảng x0 x1 n1 x1 x2 n2 xk−1 − xk nk ni số thể ó đặ tính X thỏa mÃn xi−1 X xi , i = 1, 2, , n ó mẫu Phương pháp ó ưu điểm mô tả đượ liệu, khoảng àng dầy àng hính xá , tính toán máy tính thuận lợi Ví d 3.2.2 Tiến hành đo ngẫu nhiên 100 ây bạ h đàn trồng khu rừng tái sinh sau 10 năm, ta thu đượ số liệu đượ xếp thành bảng sau: Chiều ao (m) Sè ©y 3.2.2 3, − 4, 4, − 5, 5, − 5, 5, − 6, 6, − 6, 10 20 30 25 15 Hàm phân phối thự nghiệm ña mÉu Cho mÉu ngÉu nhiªn (X1 , X2 , , Xn ) lÊy tõ biÕn ngÉu nhiên X ó hàm phân phối F (x); F (x) hưa biết nên ta ăn ứ vào mẫu để tìm hàm số gần với F (x) Định nghĩa 3.2.3 ngẫu nhiên Hàm phân phối thự nghiệm mẫu (hay hàm phân phối mẫu) biÕn X , kÝ hiƯu lµ Fn (x), lµ mét hàm số theo biến số thự x đượ xá ®Þnh nh sau: Fn (x) = ®ã m , n xR (3.3) m số phần tử mẫu ó trị số nhỏ x (Xi < x) Với á h xây dựng hàm Fn (x) rõ ràng sau lấy mẫu phân phối đượ xá định hoàn toàn Theo (3.3), Fn (x) tần suất biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ x ứng với n ph p thử độ lập nên việ định nghĩa Fn (x) (3.3) tương đương với việ định nghĩa luật phân phối Pn xá ®Þnh bëi: Pn (X = Xi ) = (i = 1, 2, , n) n (3.4) Như rõ ràng hàm phân phối mẫu ũng hàm phân phối xá suất ỡ mẫu tăng vô hạn hàm phân phối thự nghiệm Fn (x) tiến dần đến hàm phân phối xá suất F (x) tổng thể Do ó thể dùng hàm phân phối thự nghiệm mẫu để biểu diễn á h gần quy luật phân phối xá suất Ví d 3.2.4 F (x) đa tỉng thĨ §iỊu tra mø độ sâu bệnh ánh đồng ngô, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 500 hố , hố ó ây Kết kiểm tra sau Số ây bị bÖnh Sè hè 242 185 73 H·y lập hàm phân phối thự nghiệm Giải: Theo định nghĩa ta ó hàm phân phối mẫu đượ xá định + Víi x < th× Fn (x) = 0; + Víi < x ≤ th× Fn (x) = 242 = 0, 484; 500 242 + 185 427 + Víi ≤ x < th× Fn (x) = = = 0, 854; 500 500 + Víi x ≥ th× Fn (x) = x < 0; 0, 484 < x ≤ 1; VËy Fn (x) = 0, 854 ≤ x < 2; x ≥ 3.2.3 Biểu diễn số liệu biểu đồ Phương pháp thường đượ dùng thống kê mô tả Sau thu thập đượ số liệu vào mẫu xếp số liệu thành bảng tần số, bảng tần suất hay bảng gh p lớp, người ta biểu diễn ¸ sè liƯu ®ã b»ng biĨu ®å ®Ĩ minh häa mật độ phân bố tượng ngẫu nhiên dựa sở mẫu ngẫu nhiên đà ho Có nhiều loại biểu đồ để biểu diễn số liệu thống kê biểu đồ hình tròn, hình ột, biểu ®å ®êng, biĨu ®å h×nh bË thang, Việ sử d ng loại biểu đồ để biểu diễn số liệu ho thí h hợp ph thuộ vào đặ tính đặ trưng mà ta nghiên ứu (biến định tính hay biến định lượng), ph thuộ vào phương pháp xếp số liệu m đí h nghiên ứu hủ thể a) Biểu đồ tần số Nếu số liệu đượ xếp phân loại theo tần số người ta thường dùng loại biểu đồ sau để biểu diễn: - Biểu đồ tần số hình ột gồm nhiều hình hữ nhật, đặ tính ứng với ột hình hữ nhật, đáy ột trùng với tr hoành biểu thị đặ tính tương ứng, tr tung biểu thị tần số độ ao ột hình hữ nhật thể tần số đặ tính - Biểu đồ đường tần số hay đa giá tần số đường nối điểm (x1 , n1 ), (x2 , n2 ), , (xk , nk ) Ví d 3.2.5 Để nghiên ứu hất lượng họ tập sinh viên năm thứ trường đại họ , người ta thống kê điểm tổng kết theo xÕp lo¹i A, B, C, D đa 400 sinh viên năm thứ đượ họn ngẫu nhiên từ danh sá h thu đượ bảng số liệu sau Đánh giá TÇn sè A B C D 35 260 93 12 HÃy vẽ biểu đồ hình tròn hình ột biểu diễn kết họ tập 400 sinh viên Giải Ta ó thể tổng hợp số liệu bảng dạng bảng thống kê sau để thuận tiƯn ho viƯ biĨu diƠn ¸ sè liƯu b»ng biĨu đồ hình tròn Đánh giá Tần số Tần suất Phần trăm Gó tròn A B C D 35 260 93 12 400 35/400 = 0, 09 260/400 = 0, 65 93/400 = 0, 23 12/400 = 0, 03 1, 00 9% 65% 23% 3% 100% 0, 09 × 360 = 32, 4o 234o 82, 8o 10, 8o 360o Tæng sè 300 250 200 150 100 50 35 A C 32% 260 D A 9% 3% fi B 93 65% 12 B C D xi Hình 3.1: Biểu đồ tần số hình ột Hình 3.2: Biểu đồ hình tròn b) Biểu đồ tần suất Nếu liệu xếp phân loại theo tần suất hay tỷ lệ phần trăm người ta thường dùng loại biểu đồ sau để biểu diễn: - Biểu đồ hình tròn biểu đồ gồm nhiều hình quạt, hình quạt biểu diễn tỷ lệ phần trăm đặ tính so với toàn đặ tính thu đượ mẫu n2 n1 ), (x2 , ), , n n ni nk → pi n → ∞, (xk , ) Gọi pi = P (X = xi ), theo định nghĩa thống kê xá suất n n điều nghĩa n lớn tung độ biểu đồ đường tần suất xấp xỉ tung độ biểu đồ - Biểu đồ đường tần suất hay đa giá tần suất đường nối điểm (x1 , đường xá suất ần tìm Do biểu đồ đường tần suất giúp ta hình dung dạng hàm mật độ ña biÕn ngÉu nhiªn VÝ d 3.2.6 X H·y vÏ đa giá tần suất bảng số liệu kiểm tra kết thi môn toán 20 họ sinh: xi ni 8 Giải Ta ó bảng tần suất xi fi 0, 0, 0, 0, 25 0, 05 Biểu đồ đường tần suất ó dạng hình 3.3 fi 0, 0, 0, 0, 1 xi H×nh 3.3: Biểu đồ đường tần suất Tá động trự quan hai loại biểu đồ ó Biểu đồ hình tròn đượ dùng để biểu thị mối quan hệ loại đặ tính với toàn bộ; biểu đồ hình ột đượ dùng để nhấn mạnh số lượng thự tần số đặ tính ó mẫu thông qua độ ao ột Hai loại biểu đồ ũng đượ dùng để mô tả số liệu biến định lượng Nhiều người ta phải tập hợp số liệu biến định lượng nhóm đà đượ phân loại tổng thể Chẳng hạn, người ta ó thể nghiên ứu thu nhập trung bình người dân theo nhóm giới tính, nghề nghiệp hoặ theo vùng địa lý quố gia Trong trường hợp đó, húng ta ó thể dùng đồ thị hình tròn hoặ hình ột để mô tả số liệu thu thập đượ 3.3 3.3.1 Cá đặ trưng mẫu ngẫu nhiên Hàm thống kê Để nghiên ứu biến ngẫu nhiên gố X tỉng thĨ, nÕu hØ rót mét mÉu ngÉu nhiªn (X1 , X2 , , Xn ) hỉ ó vài kết luận sơ rời rạ X , giá trị Xi mẫu ó quy luật phân phối xá suất với X , song quy luật lại hưa đượ xá định hoàn toàn Nhưng tổng hợp ¸ biÕn ngÉu nhiªn X1 , X2 , , Xn lại theo luật số lớn húng lộ quy luật làm sở để nhận định biến ngẫu nhiên gố tổng thĨ ViƯ tỉng hỵp mÉu X (X1 , X2 , , Xn ) đượ thự dạng hàm giá trị X1 , X2 , , Xn ña mẫu đượ gọi hàm thống kê (statisti al fun tion) hay thống kê, ký hiệu G = f (X1 , X2 , , Xn ) Víi mÉu thÓ (x1 , x2 , , xn ) th× g = f (x1 , x2 , , xn ) giá trị thể mà thống kê G = f (X1 , X2 , , Xn ) nhËn t¬ng øng víi mÉu ®· ho Nh vËy, vỊ thù hÊt thèng kê hàm biến ngẫu nhiên, ũng biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối xá suất định ũng ó tham số đặ trưng kỳ vọng, phương sai, Cá thống kê ùng với quy luật phân phối xá suất húng sở để suy rộng thông tin mẫu ho dấu hiệu nghiên ứu tổng thể 3.3.2 Trung bình mẫu Giả sử từ tổng thể biến ngẫu nhiên gố kÝ h thí X , ta lËp mét ngÉu nhiªn (X1 , X2 , , Xn ) ã n Định nghĩa 3.3.1 Một thống kê đượ gọi trung bình mẫu (sample mean) trung bình số họ giá trị mẫu, kí hiệu Chú ý 3.3.2 thể X, tứ X đượ xá định X = n n P Xi i=1 (i) Khi thù hiƯn mét ph p thư ®èi víi mÉu ngÉu nhiªn, nã sÏ nhËn mét mÉu (x1 , x2 , , xn ), trung bình mẫu ũng nhận giá trị thể, kí hiệu x (ii) Trung bình mẫu thống kê nên ũng biến ngẫu nhiên, ó tham số đặ trưng tương ứng kì vọng toán, phương sai Nếu biến ngẫu nhiên gố kì vọng toán X ó E(X) phương sai V (X) E(X) = E(X); V (X) = V (X) σ(X) ; σ(X) = √ n n Vậy biến ngẫu nhiên gố phân phối theo quy luật nào, trung bình mẫu vọng toán kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên gố , ßn ph¬ng sai (3.5) X ịng ã kú V (X) nhỏ n lần so với phương sai biến ngẫu nhiên gố , nghĩa giá trị ó thể ó X ổn định quanh kì vọng toán giá trị ó thể ó X ... 120 120 − 125 125 − 130 xi 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97, 1 02, 107, 1 12, 117, 122 , 127 , P ni 16 18 17 16 = 100 ui −6 −5 −4 −3 ? ?2 −1 ni ui ni u2i −6 36 0 −8 32 −15 45 −16 32 −16 16 0 17 17 32 64 27 ... xi ni 10 12 x, s2 , s, s? ?2 , s′ Gi¶i: Ta lập bảng tính sau đây: ni 12 P = 30 xi 10 ni xi ni x2i 20 80 72 4 32 56 448 P 40 P 400 = 1 92 = 1368 1 92 = 6, 4; 30 s2 = x2 − (x )2 = 45, − 6, 42 = 4, 64;... giá Tần số Tần suất Phần trăm Gó tròn A B C D 35 26 0 93 12 400 35/400 = 0, 09 26 0/400 = 0, 65 93/400 = 0, 23 12/ 400 = 0, 03 1, 00 9% 65% 23 % 3% 100% 0, 09 × 360 = 32, 4o 23 4o 82, 8o 10, 8o 360o