Slide 1 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà Lý thuyết điều khiển tự động 1 3 2 Phân tích hệ thống trong không gian trạng thái Nội dung 1 Tính ổn định của hệ thống 2 Tính điều khiển được của hệ thống tại một điểm[.]
3.2 Phân tích hệ thống khơng gian trạng thái 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Nội dung Tính ổn định hệ thống Tính điều khiển hệ thống điểm trạng thái cho trước Tính quan sát hệ thống điểm trạng thái cho trước 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3.2.1 Tính ổn định + Khái niệm ổn định BIBO Từ quan hệ mơ hình trạng thái khơng có trạng thái thừa ma trận hàm truyền G(s) hệ thống: G ( s ) = C ( sI − A) −1 B+D=C ( sI − A) adj det( sI − A) B+D Định lý 3.6: Hệ khơng có trạng thái thừa, ổn định BIBO ma trận A có tất giá trị riêng nằm bên trái trục ảo, tức khi: p ( s ) = det( sI − A) đa thức Hurwitz Dùng tiêu chuẩn ổn định đại số để kiểm tra tính ổn định p(s) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động + Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov - Hàm Lyapunov Định nghĩa 3.6: Hệ gọi ổn định Lyapunov điểm cân xe sau tác động tức thời đánh bật hệ khỏi điểm cân sau hệ có khả tự quay lân cận điểm cân Nếu hệ tiến tới xe gọi ổn định tiệm cận Lyapunov xe dx Điểm cân điểm thỏa mãn: dt = Ax = Định lý 3.8: Hệ ổn định BIBO ổn định tiệm cận Lyapunov, tức quỹ đạo trạng thái tự có hướng tiến gốc tọa độ kết thúc 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3.2.2 Phân tích tính điều khiển + Tại lại cần phải hiểu biết tính điều khiển • Nhiệm vụ điều khiển tìm tín hiệu điều khiển mang lại cho hệ thống chất lượng mong muốn, tức phải tìm tín hiệu thỏa mãn chất lượng đề số tín hiệu có khả đưa hệ thống từ điểm trạng thái ban đầu x0 (tùy ý) tới điểm trạng thái đích xT • Nếu tồn tín hiệu điều khiển làm việc ta nói hệ thống điều khiển điểm trạng thái x0 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động + Khái niệm điều khiển hoàn toàn Định nghĩa 3.7: Một hệ thống tuyến tính, liên tục gọi điều khiển tồn tín hiệu điều khiển đưa từ điểm trạng thái ban đầu x0 (tùy ý) gốc tọa độ khoảng thời gian hữu hạn • Chú ý: Nếu hệ tuyến tính điều khiển điều khiển hồn tồn, nghĩa ln tồn tín hiệu điều khiển u(t) đưa hệ từ x0 (tùy ý) tới xT (tùy ý) khoảng thời gian hữu hạn 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động +Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển Định lý 3.10 (Hautus): Cần đủ để hệ tuyến tính khơng có trạng thái thừa điều khiển là: Rank(sI−A, B) = n với sC Định lý 3.11 (Kalman): Cần đủ để hệ tuyến tính khơng có trạng thái thừa điều khiển là: Rank( B, AB, A B, , A n −1 B ) = n • Trong MATLAB: P = ctrb(A,B) → rank(P) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ (Áp dụng tiêu chuẩn Hautus) Cho hệ thống có mơ hình: d x a 0 x 0 = + u dt b x B A Suy ra: 0 s − a Rank( sI − A, B) = Rank s − b • Như s=a thì: Rank( sI − A, B) = hệ khơng điều khiển 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động Ví dụ (Áp dụng tiêu chuẩn Kalman) Cho hệ thống có mơ hình: d x a 0 x 0 = + u dt b x B A Ta có: a AB = = b b B A 0 0 Vậy: Rank(B, AB) = Rank t0 để điểm trạng thái x(t0) = x0 xác định cách xác thơng qua vector tín hiệu vào u(t), y(t) khoảng thời gian [t ,T] b) Quan sát hoàn toàn thời điểm t0, với T> t0 , điểm trạng thái x(t0) = x xác định cách xác từ vector tín hiệu vào u(t), y(t) khoảng thời gian [t 0,T] 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 12 +Các tiêu chuẩn xét tính quan sát Định lý 3.12: Cho hệ tham số khơng có trạng thái thừa Các phát biểu sau tương đương: a) Hệ quan sát b) sI − A Rank =n 1969) C c) với s, I ma trận đơn vị (Hautus C CA Rank =n CAn −1 (Kalman, 1961) Trong MATLAB: Q = obsv(A,C) → rank(Q) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 13 Ví dụ Cho đối tượng có mơ hình trạng thái −1 dx = x + u ; y = x1 dt −4 x1 x = x2 x 3 Hãy kiểm tra tính điều khiển nhờ tiêu chuẩn Kalman a) Hãy kiểm tra tính quan sát đối tượng nhờ tiêu chuẩn Hautus Giải: a) Tính điều khiển Ta có: −1 1 A = ; B = ; C = (1 0); −4 0 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 14 Ví dụ Tính ma trận: −1 −1 A B = = ; A2B = = ; −4 −3 −4 −3 −10 Suy : 1 P = ( B A B A2 B ) = 1 −3 −10 Rank(P)=3 vây hệ thống điều khiển 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 15 Dùng Matlab • Dùng Matlab để tính ma trận, lập trình mfile A=[1 -1;0 0;1 -4 3]; B=[1;1;0]; C=[1 0]; D=A*B E=A*A*B P=[B D E] rank(P) • Dùng trực tiếp câu lệnh để tính P = ctrb(A,B) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 16 Ví dụ b) Tính quan sát theo Hautus s 0 −1 s − −2 sI − A = s − = s −1 0 s −4 −1 s − với s s − − sI − A rank s −1 = = C −1 s − 3 1 0 Vậy hệ thống không quan sát 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 17 Ví dụ Cho đối tượng có mơ hình trạng thái 1 −1 dx = −4 x + u dt 1 − ; y = x3 x1 x = x2 x 3 a) Hãy kiểm tra tính điều khiển nhờ tiêu chuẩn Hautus b) Hãy kiểm tra tính quan sát đối tượng nhờ tiêu chuẩn Kalman Giải: a) Tính điều khiển theo Hautus Ta có: 1 1 −1 A = −4 ; B = ; C = (0 1); −1 1 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 18 Ví dụ −1 s 0 1 s −1 sI − A = s − −4 = −2 s − 0 s −1 s − −1 −1 s −1 rank ( sI − A, B ) = −2 s − = s − với s Vậy hệ thống điều khiển b) Tính quan sát theo Kalman Tính tốn ma trận Ta có 1 1 1 1 CA = ( 0 1) −4 = ( −1 ) ; CA = ( −1 ) −4 = ( −4 ) ; −1 −1 C 0 1 rank CA = −1 = −4 CA 19/02/2020 ->hệ thống không quan sát Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 19 Dùng Matlab • Dùng Matlab tính ma trận, dùng m file A=[1 1;2 -4;-1 3]; B=[-1;0;1]; C=[0 1]; D=C*A E=C*A*A Q=[C ;D; E] rank(P) • Dùng trực tiếp câu lệnh để tính Q=obsv(A,C) 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 20 ... thái tự có hướng tiến gốc tọa độ kết thúc 19/ 02/ 2 020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 3. 2. 2 Phân tích tính điều khiển + Tại lại cần phải hiểu biết tính điều khiển • Nhiệm vụ điều khiển. .. a ) 2 2 0 P = 0 1 −a − a ( a − a ) 2 2 det(P)0 suy rank(P) =3 hệ thống điều khiển 19/ 02/ 2 020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động 10 3. 2 .3 Phân tích tính... tồn tín hiệu điều khiển làm việc ta nói hệ thống điều khiển điểm trạng thái x0 19/ 02/ 2 020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động + Khái niệm điều khiển hoàn toàn Định nghĩa 3. 7: Một hệ