19/02/2020 1 Nguyễn Thu Hà Lý thuyết điều khiển tự động 2 2 Tuyến tính hóa tại điểm làm việc 2 • Tại sao cần tuyến tính hóa? – Tất cả quá trình thực tế đều là phi tuyến (ít hay nhiều) – Các mô hình tu[.]
2.2 Tuyến tính hóa điểm làm việc 19/02/2020 Nguyễn Thu Hà _ Lý thuyết điều khiển tự động • Tại cần tuyến tính hóa? – Tất q trình thực tế phi tuyến (ít hay nhiều) – Các mơ hình tuyến tính dễ sử dụng (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng) – Phần lớn lý thuyết điều khiển tự động sử dụng mơ hình tuyến tính (ví dụ hàm truyền đạt) • Tại tuyến tính hóa xung quanh điểm làm việc? – Q trình thường vận hành phạm vi xung quanh điểm làm việc (bài tốn điều chỉnh!) – Tuyến tính hóa phạm vi nhỏ giúp giảm sai lệch mơ hình – Cho phép sử dụng biến chênh lệch, đảm bảo điều kiện áp dụng phép biến đổi Laplace (sơ kiện 0) Hai phương pháp tiếp cận • Tuyến tính hóa trực tiếp phương trinh vi phân dựa theo giả thiết điểm làm việc: Giả thiết cố định • Sử dụng biến chênh lệch phép khai triển chuỗi Taylor: Đa năng, thông dụng Phép khai triển Taylor x f(x,u), x(0) y g(x,u) x0 x n ,u m y p ,g: n , f: n m x f(x,u ) f(x,u ) f x x,u Giả sử có điểm cân (x,u )hay Đặt: x x x u u u m n p Ta có: x x f(x x,u u) y y y g(x x,u u) g(x,u ) y g x x,u x x f u x,u g u x,u u u Đặt ma trận Jacobi f , x x,u A f , u x,u g , x x,u B C g , u x,u D x Thay lại ký hiệu x, u A n n B n m C p n D p m u, x Ax B u, x(0) y Cx Du y y x0 x Ví dụ bình chứa nhiệt To Fo Bình chứa nhiệt F Phương trình cân nhiệt 𝑑(𝜌𝑉𝐻) 𝑑𝑡 0 - F𝜌𝐻 = 𝐹0 𝜌𝐻 T Ví dụ bình chứa nhiệt Tại điểm làm việc: Sử dụng ký hiệu: Biến đổi Laplace cho hai vế: Ví dụ thiết bị khuấy trộn h f1 x f2 (w w2 w) A 1 (w 1x1 w 2x2 (w Ah w 2)x) w1 w2 w 1x1 w w 2x2 (w Phương trình thứ tuyến tính, cần viết lại với biến chênh lệch: ( w1 A Biến đổi Laplace cho hai vế: h s H (s) Đặt kwh ( W 1(s) A w) W 2(s) W (s)) A H (s) w2 kwh s W (s) W 1(s) W 2(s) w 2)x Khai triển chuỗi Taylor cho phương trình thứ hai: x (x x) f2 h h x f2 x (w 1x1 Ah x1 x Ah w1 (w x Ah f2 w1 x w 2x2 f2 w1 w1 (w w 2)x) h x2 (x1 x Ah w1 Ah w2 x) w (x2 f2 x1 w2 (w Ah x1 x) w w2 Ah x1 f2 x2 x2 * w 2) x w x2 w x1 w x2) Biến đổi Laplace cho hai vế: A hs X (s) w X (s) (x1 10 x) W 1(s) (x2 x) W 2(s) w X 1(s) w X 2(s) Chia hai vế cho ( Ah s w 1) X (s) vàwchuyển vế x1 x w W 1(s) x2 x w W 2(s) w1 w X 1(s) w2 w X 2(s) Ký hiệu tham số (đặc biệt quan tâm tới thứ nguyên): Ah ,kw 1x w x1 x w , kw 2x x2 x w ,kx1x w1 ,kx2x w w2 w Ta tới dạng mơ hình hàm truyền đạt quen thuộc: X (s) kw 1x W 1(s) s kw 2x W 2(s) s kx1x X 1(s) s kx2x X 2(s) s Đặt lại ký hiệu (vector): x h ,u x w ,d w1 w2 x1 , y x2 x 11 Mơ hình hàm truyền đạt trình viết gọn lại: y(s) kwh s G p (s) G p(s)u(s) G d (s)d(s) kwh s kw 1x s kwh s kw 2x s , G d (s) 0 kx1x s kx2x s Từ hai phương trình vi phân tuyến tính hóa ta tới mơ hình trạng thái: x Ax y Cx Bu Ed A Ah 0 E h 0 ,C A h x2 x w w w ,B Quan hệ hai mơ hình: G p(s) 12 C (sI A ) 1B , G d (s) C (sI A ) 1E Ah h h x1 0 x Sơ đồ khối mơ hình hàm truyền đạt 13 • Ví dụ tính tốn với thơng số cho trước: A 0.8m 2, w2 200kg/phút x 0.4,x1 h 1m ét 1.25kg/lít 0.8, x2 0.2 Từ phương trình mơ hình trạng thái xác lập: w1 w 1x1 Ta xác định giá trị lại điểm làm việc: w1 w w2 w w 2x2 (w w 2)x 100 [kg/phút] 300 [kg/phút] Thay vào ma trận truyền đạt: G p (s) 0.001 s 0.001 s , G d (s) 0.000667 3.333s 0.001 s 0 0.000667 0.333 0.667 3.333s 3.333s 3.333s 14 Tóm tắt bước tuyến tính hóa Đơn giản hóa mơ có thể, nên tách thành nhiều mơ hình độc lập Xác định rõ điểm làm việc giá trị biến q trình điểm làm việc để có mơ hình trạng thái xác lập Đối với phương trình tuyến tính, thay biến thực biến chênh lệch Tuyến tính hóa phương trình phi tuyến mơ hình điểm làm việc phép khai triển Taylor, bắt đầu với phương trình đại số sau với phương trình vi phân Đặt lại ký hiệu cho biến chênh lệch (sử dụng ký hiệu vector cần) viết gọn lại phương trình mơ hình Tính tốn lại tham số mơ hình dựa vào giá trị biến trình điểm làm việc Chuyển mơ hình tuyến tính dạng mong muốn, ví dụ biểu diễn khơng gian trạng thái hàm truyền đạt 15 ... h x2 (x1 x Ah w1 Ah w2 x) w (x2 f2 x1 w2 (w Ah x1 x) w w2 Ah x1 f2 x2 x2 * w 2) x w x2 w x1 w x2) Biến đổi Laplace cho hai vế: A hs X (s) w X (s) (x1 10 x) W 1(s) (x2 x) W 2( s) w X 1(s) w X 2( s)... w) W 2( s) W (s)) A H (s) w2 kwh s W (s) W 1(s) W 2( s) w 2) x Khai triển chuỗi Taylor cho phương trình thứ hai: x (x x) f2 h h x f2 x (w 1x1 Ah x1 x Ah w1 (w x Ah f2 w1 x w 2x2 f2 w1 w1 (w w 2) x)... mãn nguyên lý xếp chồng) – Phần lớn lý thuyết điều khiển tự động sử dụng mơ hình tuyến tính (ví dụ hàm truyền đạt) • Tại tuyến tính hóa xung quanh điểm làm việc? – Q trình thường vận hành phạm