Công thức Nhị thức Newton đầy đủ Thư viện Đề thi Trắc nghiệm Tài liệu học tập miễn phí Trang chủ https //vndoc com/ | Email hỗ trợ hotro@vndoc com | Hotline 024 2242 6188 Tổng hợp công thức nhị thức N[.]
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Tổng hợp cơng thức nhị thức Newton Bản quyền thuộc VnDoc Nghiêm cấm hình thức chép nhằm mục đích thương mại Tổ hợp gì? • Định nghĩa: Giả sử tập A n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho • Kí hiệu: Cnk số tổ hợp chập k n phần tử ( k n ) Ta có định lí, số tổ hợp chập k n phần tử cho ( n − 1)( n − )( n − ) ( n − k + 1) n! = k! k !( n − k ) ! Cnk = - Tính chất chập k n phần tử: Cnk ✓ Tính chất 1: ✓ Tính chất 2: Cơng thức pascal Cnk = Cnn− k , ( k n ) Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk Công thức nhị thức Newton a Định lí: Với n * với cặp số ( a , b ) ta có: n ( a + b ) = Cnk an−kbk = Cn0an + Cn1an−1b + Cn2an−2b2 + + Cnn−1a1bn−1 + Cnnbn n k =0 b Hệ Hệ quả: ( + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + + x nCnn n - Từ hệ ta rút kết sau đây: n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + ( −1) Cnn = n c Nhận xét Trong khai triển Newton ( a + b ) có tính chất sau: n Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí - Gồm n + phần tử Số mũ a giảm từ n đến số mũ b tăng từ đến n Tổng số mũ a b số hạng n - Các hệ số có tính đối xứng Cnk = Cnn− k , ( k n ) - Số hạng tổng quát: Tk +1 = Cnk ab− k b k Chú ý: ✓ Số hạng thứ T1 = T0+1 = Cn0 an ✓ Số hạng thứ k: Tk = Tk −1+1 = Cnk −1an− k +1b k −1 Các công thức liên quan đến khai triển nhị thức Newton • ( x + 1) (1 + x ) ( x − 1) • Cnk = Cnn− k • • n = Cn0 xn + Cn1 xn−1 + Cn2 x n−2 + + Cnk xn− k + Cnn−1x + Cnn n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnk x k + Cnn−1x n−1 + Cnn x n n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − + ( −1) Cnk x k + + ( −1) k n−1 Cnn−1x n−1 + ( −1) Cnn x n • Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 , ( n 1) • k.Cnk = • n ( n − 1) ! k.n ! Cnk = = = Cnk++11 k +1 ( k + 1) k !( n − k ) ! ( n + 1)( n − k )! ( k + 1)! n + n ( n − 1) ! k.n ! == = n.Cnk−−11 k !( n − k ) ! ( n − k ) ! ( k − 1) ! Một số công thức thường dùng tập • • • • • • Cnk = Cnn− k Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk k.Cnk = n.Cnk−−11 1 Cnk = Cnk++11 k +1 n+1 n = Cn + Cn1 + Cn2 + + Cnn n−1 = C + C + Cn + + C n n n 2 2 n Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 n Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí • n−1 = C + C + Cn + + C n n n−1 2 +1 n Công thức Newton mở rộng • Cnk + 2Cnk +1 + Cnk + = Cnk++22 • Cnk + 3Cnk +1 + 3Cnk + + Cnk + = Cnk++33 Dấu hiệu sử dụng nhị thức Newton n a Chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có: C i =1 n i ( i − 1) C b Biểu thức có i =1 n (i + k )C c Biểu thức có i =1 n d Biểu thức có a C k i =1 n e Biểu thức có i n dùng đạo hàm ta nhân hai vế với x k lấy đạo hàm ta chọn giá trị x = a thích hợp i − C i =1 i n i n n i n ta lấy tích phân xác định a , b thích hợp Tam giác Pascal n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 1 Tam giác Pascal thiết lập theo quy luật - Đỉnh ghi số Tiếp theo hàng thứ ghi hai số - Nếu biết hàng thứ n hàng thứ n + thiết lập cách cộng hai số liên tiếp hàng thứ n viết kết xuống hàng vị trí hai số Sau viết số đầu cuối hàng II Bài tập ví dụ minh họa nhị thức Newton Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton: Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí a ( a + 2b ) ( b a − ) 1 c x − x 10 Hướng dẫn giải 5 a Khai triển Newton ( a + 2b ) = C5k a 5− k ( 2b ) = C5k a 5− k k.b k k k =0 ( a + 2b ) = C50 a + C51a 2b + + C55 32b ( b Khai triển Newton a − ( a− ) k =0 ) 6 = C6k a6− k k =0 = C60 a6 + C61a5 + C62 a4 + + C66 ( ) ( ) k c Khai triển Newton 10 10 10 −1) k 10 − k 1 k 10 − k −1 k 10 − k ( k x − x = C10 x x = C10 x k = C10 ( −1) x x k =0 k =0 k =0 10 k k Ví dụ 2: Tìm hệ số x khai triển biểu thức ( − 2x ) 10 Hướng dẫn giải 10 10 k Ta có: f ( x ) = (1 − x ) = C10 110−k ( −2 x ) = Cnk ( −2 ) x k 10 k =0 k k k =0 Số hạng chứa x khai triển ứng với k = Khi hệ số số hạng chứa x : C10 ( −2 ) = −15360 n 2 Ví dụ 3: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau: x − biết x rằng: Cnn−1 + Cnn−2 = 78, x Hướng dẫn giải Ta có: Cnn−1 + Cnn−2 = 78, n n! n! + = 78 ( n − 1) !(n − n + 1)! ( n − ) ! ( n − + ) ! Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí n! n! + = 78 ( n − 1) !(1)! ( n − ) ! ( ) ! n+ n ( n − 1) n = 12 (TM ) = 78 n2 + n − 156 = n = −13 ( L ) Do biểu thức khai triển 12 12 2 x − = C12k x x k =0 ( ) 12 − k k k 12 12 k k 2 k 36 − k k 36 − k − = C x − ( −2 ) 12 ( ) = C12 x k =0 x k =0 x Số hạng không chứa x ứng với k: 36 − k = k = 9 Số hạng không chưa x là: C12 ( −2 ) = −112640 1 Ví dụ 4: Xét khai triển: 2x + x 20 a Viết số hạng thứ k + khai triển b Số hạng khai triển không chứa x c.Xác định hệ số x khai triển Hướng dẫn giải 20 k 20 20 20 − k 1 k k 20 − k 20 − k x + = C x = x ( ) C 20 20 x k =0 x k =0 Số hạng không chứa x khai triển ứng với k là: 20 − k = k = 10 10 210 Số hạng không chứa x khai triển là: C 20 Số hạng chứa x khai triển ứng với k là: 20 − k = k = 8 Vậy số hạng chứa x khai triển có hệ số là: C 20 212 ( −1) C n 1 1 Ví dụ 5: Tính tổng: S = Cn0 − cn1 + Cn3 − Cn4 + + ( n + 1) n Hướng dẫn giải Ta có: S = ( −1) C n 1 1 Cn − cn + Cn − Cn + + n + n Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí ( −1) Vì k k +1 C k n ( −1) = k k +1 Cnk++11 n k k −1 n+1 1 k k +1 S= −1) Cn+1 = ( ( −1) Cn+1 − Cn+1 = ( n + 1) k = ( n + 1) k =0 ( n + 1) III Bài tập tự luyện Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton: a ( + 2x ) 20 b x + 3x c ( 11 x − 4x + d ( n + 2m ) ) 1 Bài 2: Xét khai triển 3x + x 30 a Tìm số hạng không chứa x khai triển b Hệ số số hạng chứa x khai triển c Số hạng thứ 11 khai triển Bài 3: Tính tổng: S = C20n + C22n + C24n + C26n + + C22nn Bài 4: Tổng hệ số nhị thức Newton khai triển ( + x ) 64 Số hạng 3n 2n không chứa x khai triển 2nx + 2nx Bài 5: Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển ( + x ) có hai hệ n số liên tiếp có tỉ số 7:15 Xem thêm tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 ... n n n−1 2 +1 n Cơng thức Newton mở rộng • Cnk + 2Cnk +1 + Cnk + = Cnk++22 • Cnk + 3Cnk +1 + 3Cnk + + Cnk + = Cnk++33 Dấu hiệu sử dụng nhị thức Newton n a Chứng minh đẳng thức hay bất... hai số Sau viết số đầu cuối hàng II Bài tập ví dụ minh họa nhị thức Newton Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton: Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com... 10 Hướng dẫn giải 5 a Khai triển Newton ( a + 2b ) = C5k a 5− k ( 2b ) = C5k a 5− k k.b k k k =0 ( a + 2b ) = C50 a + C51a 2b + + C55 32b ( b Khai triển Newton a − ( a− ) k =0 ) 6 = C6k