g wa gaw ga ga ga ga g a g a g ag a g a g g g g g g g a a a g a g a g a g a g a g a g a g a g a g a g a ga g a g a g a g a g a g a f f f f f f f f f f f v v v v c c c c v v v b b t t e e a a s d d n d fm uk rfj dtn dnm h sn m dhg dnd j dg dnd hsn sn
- Hiwatari Jun & T.V - Ôn tập Toá n thi lớp 10 (beta) - - 1) Phương trình: ax + bx + c = ( a¹ ) ≠ ⇔∆>0 ∆ > ⇔ - Phương trình có nghiệm trái dấu P < ∆ ≥ ⇔ - Phương trình có nghiệm dấu P > ∆ ≥ - Phương trình có nghiệm dương ⇔ P > S > ∆ ≥ ⇔ P > - Phương trình có nghiệm âm S < ∆ ≥ ⇔ P < - Phương trình có nghiệm đối S = Ví dụ: Cho phương trình: 2x – 5x – m + = a Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trái dấu: ∆ = b − 4ac = (−5) − 4.2(m + 3) = 25 + 8m − 24 = + 8m - Phương trình có nghiệm phân biệt - Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2 b S = x1 + x2 = − a = = 2, - Theo đònh lí Viet, ta có: P = x x = c = −m + a + 8m > ∆>0 m > −1 m > − ⇔ ⇔ −m + ⇔ ⇔ - Phương trình có nghiệm trái dấu ⇔m>3 P3 phương trình có nghiệm trái dấu b Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm âm: ∆ ≥ + 8m ≥ ⇔ P > ⇔ m + > - Phương trình có nghiệm âm S < 2, < 0( sai ) { { - Vậy giá trò m để phương trình có nghiệm âm ax + by = c 2) Hệ phương trình: a'x + b'x = c' a b c - Hệ phương trình vô nghiệm ⇔ = ≠ a' b' c' - Hệ phương trình có nghiệm ⇔ - Hệ phương trình có vôâ số nghiệm ⇔ 3) Hằng đẳng thức (a + b) = a + 2ab + b2 (a − b) = a − 2ab + b (a + b)3 = a3 + b3 + 3a 2b + 3ab (a − b)3 = a3 − b3 − 3a 2b + 3ab a − b = (a + b)(a − b) a b ≠ a' b' a b c = = a' b' c' a + b = (a + b) − 2ab = (a − b) + 2ab a − b3 = (a − b)(a + ab + b ) a + b3 = (a + b)( a − ab + b ) (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc (a + b − c ) = a + b + c + 2ab − 2ac − 2bc - Hiwatari Jun & T.V - Ôn tập Toá n thi lớp 10 (beta) 4) Tỉ số lượng giác: sin = Cung 0o Sin Cos Tag 15o 6− 6+ 2− 30o 3 1− đối huyền cos = 45o 2 2 60o 2 kề huyền 75o 6+ 6− 2+ 3 2− 3 5) Giải phương trình: ax + bx + c = ( a ≠ ) Cotag P∞ + - - đối kề 105o 6+ − 6+ 120o − 135o 2 − ∞+ P −2 − − -1 −2 + − 3 -1 tag = 90o cotag = kề đối 150o 3 − − − a Dùng công thức nghiệm: [Phương trình ax2 + bx + c = với a c trái dấu có nghiệm phân biệt] ∆ = b2 - 4ac −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a −b * ∆ = ⇒ Phương trình có nghiệm kép : x1 = x = 2a * ∆ < ⇒ Phương trình vônghiệm b Dùng công thức nghiệm thu gọn b b = 2b ' ⇒ b ' = ; ∆ ' = b'2 - ac −b '+ ∆ −b '− ∆ * ∆ ' > ⇒ Phương trình có2 nghiệm phân biệt : x1 = ; x2 = a a −b * ∆ ' = ⇒ Phương trình có nghiệm kép : x1 = x = a * ∆ ' < ⇒ Phương trình vônghiệm c Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc b S = x1 + x2 = − a * Biết : ⇒ x1 x2 c P = x1 x2 = a c * Biết : a + b + c = ⇒ x1 = x2 = a c * Biết : a − b + c = ⇒ x1 = -1và x2 = − a * ∆ > ⇒ Phương trình có2 nghiệm phân biệt : x1 = A Cá c tam giá c đặ c biệt a 6) Tam giác vuông cân - ∆ABC vuông cân A ; AB = AC = a ∆ABC đồng dạng với ∆ABH đồng dạng với ∆ACH · BAC = · AHC = · AHB = 90o B H C - Hiwatari Jun & T.V - Ôn tập Toá n thi lớp 10 (beta) - - · · - BAH = · ABH = · ACH = CAH = 45o - BC = AB = AC ; a = HB = HC = AH - AH đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, tia phân giác ∆ABC BC ( BH + CH ) ( BH + AH ) (CH + AH ) - a= = BH = CH = AH = = = 2 2 2 AH BC AH + AH = - S ABC = 2 ∆ABC vuông A BC = AB BC = AC BC AB = ⇒ ∆ABC vuông cân A Chứng minh tam giác vuông cân: AC = BC AB = AC · ABC = · ABC o · ABC = 45 · ACB = 45o 7) Tam giác - ∆ABC ; AB = AC = BC = a - AH đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực tia phân giác a a a2 - CH = HB = ; AH = ; S ABC = 2 ∆ABC cân · ABC = 60o ⇒ ∆ABC Chứng minh tam giác đều: · o ACB = 60 · CAB = 60o 8) Nửa tam giác - ∆ACH ∆ABH nửa tam giác AB AC - AH = = = BH = CH 2 AB AC AH - CH = BH = = = 2 ∆AHC vuông A a C B H - AB = AC = 2CH = BH = AH 3 · · AHC ( · ACH , CAH ) = 60o ⇒ ∆AHC lànửa tam giác Chứng minh nửa tam giác đều: AH = HC AC HC = - Hiwatari Jun & T.V - Ôn tập Toá n thi lớp 10 (beta) - - 9) Góc đường tròn · AOB : góc tâm chắn » AB · ACB : góc nội tiếp chắn » AB · EAB : góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn » AB 1· · · » º ACB = EAB = AOB - · - sđHDG = sđHG -sđJI 2 1 · » » · ¼ ¼ - sđADG = sđAG -sđJA - sđEDF = sđAmF -sđAnF 2 A · · » » JKC = BKG = sđ JC + sđ BG - ( ( ) ( E ) ( ) H ) B 10) Một vài công thức cần nhớ (Hình học ): - Độ dài đường tròn: C = πR πRn o - Độ dài cung tròn: l = 180 o - Diện tích hình tròn: S = πR2 I D πR n o 360 o Ghi chú: + π : số pi + C: độ dài đường tròn + R: bán kính + l: độ dài cung + no: số đo độ cung - Diện tích xung quanh hình trụ: S xq = πR.h - Diện tích toàn phần hình trụ: S = πR.h + πR J - Diện tích hình quạt tròn: S = - Thể tích hình trụ: V = Sh + πR h m O n F G K C - Diện tích xung quanh hình nón : S xq = πRl - Diện tích toàn phần hình nón: S = πRl + πR - Thể tích hình nón: V = Ghi chú: + h: chiều cao - πR h + l: đường sinh 11) Một vài công thức cần nhớ (Đại số): Với a ≥ 0; b ≥ Với a ≥ b ≥ a + b ≤ a + b (dấu “=” xảy ⇔ a = b = 0) a - b ≥ a - b (dấu “=” xảy ⇔ a = b = 0) A + A2 - B A - A2 - B A > ; B > ; A2 > B ± 2 a+b ≥ ab (dấu “=” xảy ⇔ a = b) Bất đẳng thức Cô-si: với a ≥ , b ≥ thì: Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si: - Dạng có chứa dấu căn: a + b ≥ ab với a ≥ 0; b ≥ ≥ với a > ; b > a+b a+b - Dạng dấu (a + b)2 (a + b) ≥ 4ab ≥ ab 2 a + b ≥ 2ab B ≥ A ≥ (hay B ≥ 0) B ≥ A = B ⇔ A = B ⇔ | A | = B ⇔ A = B A = B hay A = -B A = B 2 2 ; X ≤ A ⇔ −A ≤ X ≤ A X ≥ A ⇔ X ≥ A hay X ≤ − A Công thức phức tạp: A± B = - Hiwatari Jun & T.V - Ôn tập Toá n thi lớp 10 (beta) - - f ( x) + g ( x ) = h( x) - Đặt điều kiện: f ( x ) ≥ 0, g ( x ) ≥ 0, h( x ) ≥ - Chuyển vế (2 vế phải không âm) - Bình phương vế ; Max = ± m − X ≤ ± m 10 Min = X ± m ≥ ± m 11 Điều kiện để biểu thức có nghóa: - Biểu thức có dạng A có nghóa A A - A ≥ - Biều thức có dạng có nghóa B ≠ - Biểu thức có dạng có nghóa B > B B 12) Đường thẳng song song đường thẳng cắt Hệ số góc đường thẳng Cho đường thẳng: (d1) : y = ax + b (a ≠ 0) (d2) : y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) (d1) // (d2) ⇔ a = a ' ; b ≠ b ' (d1) cắt (d2) ⇔ a ≠ a ' (d1) ≡ (d2) ⇔ a = a ' ; b = b ' (d1) ⊥ (d2) ⇔ a a ' = −1 Khi a > goác tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc nhọn Khi a < goác tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tù Nếu (d1) cắt (d2) hoành độ giao điểm nghiệm phương trình ax + b = a’x + b’ Gọi α góc tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox Nếu a > tgα = a 13) Các dạng phương trình đặc biệt: Phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) [] Nếu biết nghiệm x = x0 [] đưa phương trình tích: (x – x0)(ax2 + mx + n) = Phương trình hệ đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a ≠ 0) [] a) Phương pháp giải: - Nhận xét x = nghiệm [] - Chia vế [] cho x2 nhóm số hạng cách số hạng đầu cuối thành nhóm phương trình [] 1 2 - Đặt ẩn phụ t = x + [] ⇒ t − = x + vào phương trình [] x x - Giải phương trình trung gian để tìm t, giá trò t vào [] để tìm x b) Về nghiệm số phương trình: - Nếu x0 nghiệm phương trình [] nghiệm x0 c) Phương trình hệ đối xứng bậc 5: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = (a ≠ 0) [] có nghiệm x = -1 (vì tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ) Vì [] biến đổi thành: ( x + 1) ax + ( b − a ) x3 + ( c + a − b ) x + ( b − a ) x + a = n m Phương trình hồi quy: ax + bx + cx + mx + n = (a ≠ 0) = ÷ [] a b a) Phương pháp giải: - Nhận xét x = nghiệm [] - Chia vế [] cho x2 nhóm số hạng cách số hạng đầu cuối thành nhóm phương trình [] m 2m m2 = x + 2 vào phương trình [] - Đặt ẩn phụ t = x + [] ⇒ t − bx b b x - Giải phương trình trung gian để tìm t, giá trò t vào [] để tìm x Phương trình a + d = b + c: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m [] Phương pháp giải: - Hiwatari Jun & T.V - Ôn tập Toá n thi lớp 10 (beta) - - - Viết lại [] dười dạng: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] – m = [] - Khai triển tích đặt ẩn phụ t biểu thức vừa khai triển - Thế ẩn phụ vào phương trình [], giải phương trình, tìm giá trò t - Thế giá trò t vào biểu thức chứa ẩn phụ để tìm x Phương trình đó: (x + a)4 + (x + b)4 = c Phương pháp giải: - Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x + a) (x + b): a+b A - Đặt t = x + 14) Một số kiền thức hình học cấp 2: Trung tuyến tam giác: Trung tuyến tam giác đoạn thẳng, đầu nối đỉnh tam giác, đầu nối trung tuyến cạnh đối diện với đỉnh Ta có tam giác ABC có AM trung tuyến ⇒ MC = MB B C M - Áp dụng vào tam giác vuông: + Đònh lí thuận: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền + Đònh lí đảo: Trong tam giác, đường trung tuyến nửa cạnh đối diện tam giác vuông Tia phân giác: - Tia phân giác góc tia nằm góc chia góc làm hai góc A - Phân giác tam giác đoàn thẳng có môt đầu đỉnh tam giác, đầu giao điểm tia fân giác xuất phát từ đỉnh đến cạnh đối diện - Trong tam giác, đường phân giác chia cạnh đối diện thành đoạn tỉ lệvới hai cạnh kề Ta có tam giác ABC có AM đường phân giác ⇒ Đường trung trực: A B H C BM CM = AB AC B M C - Đònh nghóa: Đường thẳng trung trực đoạn thẳng đường thẳng vuông góc với đoạn trung điểm - Đònh lí 1: Nếu điểm M nằ đường trung trực đoạn thẳng AB đường trung trực đoạn AB - Đònh lí 2:Tập hợp điểm cách đầu đoạn thẳng AB đường thẳng trung trực đoạn AB Ta có tam giác ABC có AH vừa đường cao, vừa trung tuyến, vừa phân giác, vừa trung trực (tam giác ABC cân) A Đường trung bình tam giác: - Đònh lí 1: Trong tam giác, đường thẳng qua trung điểm cạnh song song với canh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba N - Đònh lí 2: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác M song song với cạnh thứ ba nửa cạnh thứ ba - Đònh lí 3: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác gọi B C đường trung bình tam giác Tính chất ba đường trung tuyến: - Trong tam giác, ba đường trung tuyến cắt điểm Điểm gọi trọng tâm tam giác - Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm trung tuyến Tính chất đường phân giác: - Hiwatari Jun & T.V - Ôn tập Toá n thi lớp 10 (beta) - - a) Tính chất đường phân giác: Đònh lí phân giác góc: + Đònh lí thuận: Bất điểm nằm đường fân giác góc cách cạnh góc + Đònh lí đảo: Điểm cách cạnh góc nằm fân giác góc b) Tính chất phân giác tam giác: tam giác, đường fân giác cắt điểm Điểm cách cạnh tam giác Điểm gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác c) Tính chất đường phân giác tam giác: tam giác, đường fân giác chia cạnh đối diên thành đoạn tỉ lệ với cạnh kề Tính chất đường trung trực tam giác: Trong tam giác, ba đường trung trực cắt điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Điểm gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính chất đường cao tam giác: Trong tam giác, ba đường cao cắt một điểm Điểm gọi lảtrực tâm tam giác Tiên đề ƠCLIT: Từ điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho trước + Hệ 1: cho hai đường thẳng song song, đường thẳng cắt đường thẳng thứ cắt đường thẳng thứ hai + Hệ 2: hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với 10 Đònh lí Thales tam giác: + Đònh lí 1: đường thẳng song song với cạnh tam giác chắn hai cạnh thành đoạn tương ứng tỉ lệ + Đònh lí 2: đường thẳng chắn hai cạnh tam giác thành đoạn tương ứng tỉ lệ song song với cạnh thứ ba +Hệ quả: đường thẳng song song với cạnh tam giác, hợp với hai cạnh tạo thành tam giác có cạnh tỉ lệ với cạnh tam giác cho The End