Tổng hợp công thức và bài tập lượng giác

TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC VÀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1 2 3 4 5 6 II. Công thức cộng trừ: 1 2 3 4 5 6 7 III. Công thức góc nhân đôi: 1 2 3 4 IV. Công thức góc nhân ba: 1 2 3 4 V. Công thức hạ bậc hai: 1 2 3 4 VI. Công thức hạ bậc ba: 1 2 VII. Công thức biểu diễn qua : 1 2 3 VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng: IX. Công thức biến đổi tổng thành tích: 1

TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC VÀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

I Các hệ thức cơ bản và hệ quả:

1/ sin2a +cos2a =1

2/ tg sin

cos

a

a =

a 3/ cot g cos

sin

a

a =

a

2

1

1 tg

cos

a

2

1

1 cot g

sin

a 6/ tg cot ga a =1

II Công thức cộng - trừ:

1/ sin a b( + ) =sina.cosb sinb.cosa+

2/ sin a b( - ) =sina.cosb sinb.cosa

-3/ cos a b( + ) =cosa.cosb sina.sinb

-4/ cos a b( - ) =cosa.cosb sina.sinb+

5/ tg a b( ) tga tgb

1 tga.tgb

+

-6/ tg a b( ) tga tgb

1 tga.tgb

+ 7/ cot g a b( ) cot ga.cot gb 1

cot ga cot gb

+ ( ) cot gacot gb 1 8/ cot g a b

cot ga cot gb

+

-III Công thức góc nhân đôi:

sin2a=2sina.cosa= sina cosa+ - 1 1= - sina cosa

-2/ cos2a=cos a sin a2 - 2 =2cos a 1 1 2sin a2 - = - 2

3/ tg2a 2tga2

1 tg a

=

-4/

2 cot g a 1 cot g2a

2cot ga

-=

IV Công thức góc nhân ba:

1/ sin3a=3sina 4sin a- 3 2/ cos3a=4cos a 3cosa3

-3/

3 3

3tga tg a tg3a

1 3tg a

-=

3 2

cot g a 3cot ga cot g3a

3cot g a 1

-=

-V Công thức hạ bậc hai:

1/

2 2

2

1 cos2a tg a sin a

2 2

2

1 cos2a cot g a cos a

+

+ 3/ 2 1 cos2a

tg a

1 cos2a

-=

1 sinacosa sin2a

2

=

VI Công thức hạ bậc ba:

1/ sin a3 1(3sina sin3a)

4

4

VII Công thức biểu diễn sin x,cosx, tgx qua t tgx

2

1/ sinx 2t 2

1 t

=

2 2

1 t cosx

1 t

-= +

tgx

1 t

=

-2

1 t cot gx

2t

-=

VIII Công thức biến đổi tích thành tổng:

1

2 1

2 1 sin cos sin sin

2

     

     

     

IX Công thức biến đổi tổng thành tích:

2/ a b a b

sina sinb 2sin cos

sina sinb 2cos sin

tga tgb

cosa.cosb

+

tga tgb

cosa.cosb

cot ga cot gb

sina.sinb

+

cot ga cot gb

sina.sinb

tga cot gb

cosa.sinb

cot ga tgb

sina.cosb

+

X Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:

1

cos( ) cos   sin( ) sin  sin cos

2



sin( )  sin cos( )  cos cos sin

2



tan( )  tan tan( )  tan tan cot

2



cot( )  cot cot( ) cot cot tan

2



Góc hơn kém  Góc hơn kém

2



sin()  sin sin cos

2



cos() cos cos sin

2



 

tan() tan  tan cot

2



 

cot() cot  cot tan

2



 

XI Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt:

Góc

/ 6 p 0 30

/ 4 p 0 45

/ 3 p 0 60

/ 2 p 0 90

XII Định lý hàm số cosin:

1/ a2 =b2+ -c2 2bc.cosA

2/ b2 =c2+a2- 2ca.cosB

3/ c2 =a2+b2- 2bc.cosC

XIII Định lý hàm số sin:

sinA = sinB = sinC =

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCV Hay

a 2R sinA

b 2R sinB

c 2R sinB

ìï =

ïï

ï =

íï

ï =

ïïî

XIV Công thức tính diện tích tma giác:

Gọi hV là đường cao thuộc cạnh trong ABCV

a b c

p

2

+ +

= là phân nửa chu vi ABCV

S là diện tích VABC

R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp ABCV

R là bán kính đường tròn nội tiếp VABC

A

a b c

1/ 1 a 1 b 1 c

3/ abc S

4R

5/ S= p p a p b p c( - ) ( - ) ( - ) (Công thức Héron)

XV Bài tập lượng giác

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a sin 2 1

2

x  b os2 3

2

c x  c  0 1

tan 30

3

x  

d cot 5 1



  e sin 2 sin

4

x x  

  f cot 2 cot 5

g cos 2 x200 sin 60 0  x h tan cot 2

   

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a 2sin 3 3 0

6

x 

  b cos 22 x c os2x=0 c tanx1 cos x0

d 2sin2xsinx 3 0 e 4sin2 x4cosx1 0 f tanx 2cotx 3 0 

g 2cot4 x 6cot2x 4 0 h sin4x c os4xcosx 2

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) 3sinx 4cosx 5

b) 2sin 2x 2cos 2x 2

c) 3 cosx sinx 2

d) 2 1

sin 2 sin

2

x x e) cos 2x 9cosx  5 0

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a cos2xsinx 1 0

b. 3sinx 3 cosx1

c. 5cos 2x12sin 2x13

sin sin 2

2

x x

e. cos2 x sinx2

f. 4sin2 x3 3sin 2 2cosx 2x4

g. 24sin2x14cosx 21 0

j. 3sin2 x8sin cosx x8 3 9 cos  2x0

k. 2sin 3x 2 sin 6x0

l. 3 cos2x 5 sin2 x 1

n. 4cos 22x  3 1 cos  x 3 0 

o. sin2 x–10sin cosx x21cos2x0

p. cos2x sin2x 2sin 2x1

q. cos 4 sin3 cosx x x sin cos 3x x

r. sin cos 1

sin

x

XV Bài tập lượng giác có đáp án

Bài 1.Giải các phương trình:

a) 2 cot(5 ) 0

8

x   b) 2

2cos x 3 cosx0 c) 3 sin 3x cos3x2 d) sin 2x sin 2x 2cos 2 x 2

Giải.

a) 2 cot(5 ) 0

8

x    5

8 2

x   k 

5

k

x   b) 2cos2 x 3 cosx0

cos 0

k















 

  



c) 3 sin 3x cos3x2

sin 3 cos3 1

6

x  = 1  3 2

6 2

x   k   2 2

k

x    d) sin 2x sin 2x 2cos 2 x 2

 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 sin 0

tan 2 arctan 2





Bài 2.Giải các phương trình:

a) 3 tan(3 3 ) 0

5

x    3

3 5

x  k 

5 3

k

x   

b) 2sin 2x sinx 1 0 

2 2 sin 1

2 ,

sin

2 6

x

x















 











 





  





c) sin 5xcos 5x 2

1 1

sin 5 cos5 1

4

x = - 1  5 2

x   k  

20 5

k

x   

d) 3sin2xsin 2xcos2x 3

 2sin cos x x  2cos2x   0 2cos (sin x x  cos ) 0 x 

2

4

x

x













e.cos 2x3sinx 2 0

2 2

2 ,

sin

2 6

x

x





























2



k







5

k









h 2cos 2x 3cosx 1 0  4cos2x 3cosx 1 0

,

k







i.2sin2x3sin cosx x 5cos2x 0 2 nta 2 x3 nta x 5 0

5

5 tan

k x













Bài 3.Giải các phương trình:

a 3sinxsin 2x0

b.2 sinx  2cos x  2

c.sinxsin3xsin 5x0

d.sinxsin 3xsin 5x cosxcos3xcos5x

e.2sin2 x 5sin cosx x 4cos2 x2

f 2cos 22 x3sin2x 2

g.sin 22 xcos 32 x1

h.tan tan 5x x 1

i.5cos 2x 12sin 2x13

j 2sinx 5cosx4

k.2cosx3sinx2

Bài 4.Giải các phương trình:

a.tanxcotx2

b.(3 cot )  x 2  5(3 cot )  x

c.3(sin 3 x  cos ) 4(cos3 x  x  sin ) x d

4sin x  3 3sin 2 x  2cos x  4

e.sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2 f.4sin4 x12cos2 x7

Bài 5 Giải các phương trình sau :

a) 2 cot(5 ) 0

8

x   b) 2cos2 x 3 cosx0

c) 3 sin 3x cos3x2 d) sin 2x sin 2x 2cos 2 x 2

Bài giải :

a) 2 cot(5 ) 0

8

x  

 5

8 2

x   k 

5

k

x   b) 2

2cos x 3 cosx0



cos 0

3 cos

2

x

x



  2

5 2 6









 

 

c) 3 sin 3x cos3x2

sin 3 cos3 1

2 x 2 x  Sin (3 )

6

6 2

x   k   2 2

k

x    d) sin 2 x sin 2x 2cos 2x 2

 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0  sin 0

tan 2

x x





 arctan 2

x k







 

Bài 6 giải phương trìnhlượng giác :

a) 3 tan(3 3 ) 0

5

x    3

3 5

x  k 

5 3

k

x   

b) 2sin 2x sinx 1 0  

sin 1

1 sin

2

x x



 

2 2 2 6 7 2 6













 

 

 

c) sin 5xcos 5x 2 1 sin 5 1 cos5 1

2 x 2 x  Sin (5 )

4

x = - 1

x   k   3 2

20 5

k

x   

d) 3sin 2x sin 2x cos 2x  3 cos 0

tan 1

x x



  2

4









 

 

Bài 7 Giải các phương trình sau:

a 2sinx 1 0  b 2cosx 3 0 c cos 2x 3sinx 2 0  d

3 sinx cosx 2

Giải:

a)sin sin

6



2 6 5 2 6



 



 

  











b)cos cos

6



6

 x  k  c)2sin2x3sinx1 0

sin 1

1

sin

2









x

x

2 2 2 6 5 2 6















 





  





  



d) 3sin 1cos 2

2 x 2 x 2

12 11

2 12

















Bài 8 Giải các phương trình sau:

a 2sinx 3 0 b 2cosx 1 0  c cos 2x 3sinx 2 0  d.

3 sinxcosx 2

Giải:

a)sin sin

3



2 3 2 2 3



 



 

  











b)cos cos

3



3

 x  k  c)2sin2x3sinx1 0

sin 1

1

sin

2









x

x

2 2 2 6 5 2 6



 





  





  















d) 3sin 1cos 2

2 x2 x 2

2 12 7 2 12



 





  











Bài 9 Giải các phương trình sau:

a 2sinx 1 0  b 2cosx 2 0 c 2 cos2x -3cosx +1 =0 d 3 sinx cosx 2 Giải:

a)sin sin

6



2 6 5 2 6



 



 

  











b)cos cos

4



4

 x  k  c)4cos2x 3cosx1 0

cos 1

1

cos

4







 



x

x

2

1 arccos 2

4







 

   



x k





d) 3sin 1cos 2

2 x 2 x 2 5

2 12 11

2 12











 





  



Bài 10 Giải Phương trình

a 3 sinx cosx 2 b cos 2x 3sinx 2 0 

c cos2x + sinx +1=0

Giải:

a/ 3sin 1cos 2

2 x 2 x 2 sin sin

5 2 12 11

2 12











 





  



b 2sin2 x3sinx1 0

sin 1

1 sin

2









x

x 

2 2 2 6 5 2 6















 





  





  



c

4

6











 





  



Bài 11 Giải các pt.

a.cos 2x 3sinx 2 0  b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0

c.2 cos2x -3cosx +1 =0

Giải:

2sin 3sin 1 0

 x x  

sin 1

1 sin

2









x

x 

2 2 2 6 5 2 6















 





  





  



btsinx cos ,x  2 t 2 => sin cos 1 2

2

t

x x 

PT  t212 11 0t  =>

1 11

t

t loại









2 2







 





 















  



2

2 3

x k

Bài 12

a Giải các Phương trình sau:2cos x 1 0

3



  

b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0

Giải:

3





  



 

    



b/ tsinx cos ,x  2 t 2

2

1

sin cos

2

t

x x 

PT  t212 11 0t 

1

11

t

t loại









2 2







 





 

