Tổng hợp công thức và bài tập lượng giác

TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC VÀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1 2 3 4 5 6 II. Công thức cộng trừ: 1 2 3 4 5 6 7 III. Công thức góc nhân đôi: 1 2 3 4 IV. Công thức góc nhân ba: 1 2 3 4 V. Công thức hạ bậc hai: 1 2 3 4 VI. Công thức hạ bậc ba: 1 2 VII. Công thức biểu diễn qua : 1 2 3 VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng: IX. Công thức biến đổi tổng thành tích: 1

TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC VÀ BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC I Các hệ thức hệ quả: 1/ sin2 a + cos2 a = sin a 2/ tga = cosa cosa 3/ cot ga = sin a 4/ 1+ tg2a = cos2 a 5/ 1+ cot g2a = sin2 a 6/ tga.cot ga = II Công thức cộng - trừ: 1/ sin ( a + b) = sina.cosb + sinb.cosa 2/ sin ( a - b) = sina.cosb - sinb.cosa 3/ cos( a + b) = cosa.cosb - sina.sinb 4/ cos( a - b) = cosa.cosb + sina.sinb 5/ tg( a + b) = tga + tgb 1- tga.tgb 6/ tg( a - b) = tga - tgb 1+ tga.tgb 7/ cot g( a + b) = cot ga.cot gb - cot ga + cot gb 8/ cot g( a - b) = cot gacot gb + cot ga - cot gb III Công thức góc nhân đôi: 1/ sin2a = 2sina.cosa = ( sina + cosa) - = 1- ( sina - cosa) 2/ cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a 2tga 3/ tg2a = 1- tg2a 4/ cot g2a = cot g2a - 2cot ga IV Công thức góc nhân ba: 1/ sin3a = 3sina - 4sin3 a 3tga - tg3a tg3a = 3/ 1- 3tg3a 2/ cos3a = 4cos3 a - 3cosa cot g3a - 3cot ga cot g3a = 4/ 3cot g2a - V Công thức hạ bậc hai: 1- cos2a tg2a = 1/ sin a = 1+ tg2a 1+ cos2a cot g2a = 2/ cos a = 1+ cot g2a 3/ tg2a = 1- cos2a 1+ cos2a VI Công thức hạ bậc ba: 1/ sin3 a = ( 3sina - sin3a) 4/ sinacosa = 2/ cos3 a = sin2a ( 3cosa + cos3a) tgx VII Công thức biểu diễn sin x, cosx, tgx qua t = : 2t 1- t2 cosx = 1/ sin x = 2/ 1+ t2 1+ t2 2t 1- t2 3/ tgx = cot gx = 2t 1- t2 VIII Công thức biến đổi tích thành tổng:  cos ( a − b ) + cos ( a + b )  2 sin a.sin b =  cos ( a − b ) − cos ( a + b )  sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )  cos a.cos b = IX Công thức biến đổi tổng thành tích: a+b a- b 1/ cosa + cosb = 2cos cos 2 a+b a- b sin 2 a+b a- b sina + sinb = 2sin cos 2 a+b a- b sina - sinb = 2cos sin 2 sin ( a + b) sin ( a - b) 6/ tga - tgb = tga + tgb = cosa.cosb cosa.cosb sin ( a + b) - sin ( a - b) 8/ cot ga - cot gb = cot ga + cot gb = sina.sinb sina.sinb sin ( a - b) 9/ tga + cot ga = tga + cot gb = sin2a cosa.sinb 2/ cosa - cosb = - 2sin 3/ 4/ 5/ 7/ 9/ 10/ cot ga - tgb = cos( a + b) sina.cosb 11/ cot ga - tga = 2cot g2a X Công thức liên hệ góc (cung) liên quan đặc biệt: Góc đối Góc bù Góc phụ π  cos(−α ) = cos α sin(π − α ) = sin α sin  − α ÷ = cos α sin(−α ) = − sin α cos(π − α ) = − cos α tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α Góc π 2  π  cos  − α ÷ = sin α 2  π  tan  − α ÷ = cot α 2  π  cot  − α ÷ = tan α 2  Góc π sin(π + α ) = − sin α π  sin  + α ÷ = cos α 2  cos(π + α ) = − cos α π  cos  + α ÷ = − sin α 2  tan(π + α ) = tan α π  tan  + α ÷ = − cot α 2  cot(π + α ) = cot α π  cot  + α ÷ = − tan α 2  XI Bảng giá trị hàm số lượng giác góc cung đặc biệt: Góc p/ sin 00 cos 3/ tg 3/ cotg || Hàm số p/ 300 1/ XII Định lý hàm số cosin: 1/ a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA 2/ b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB 3/ c2 = a2 + b2 - 2bc.cosC 450 2/ 2/ 1 p/ 600 3/ 1/ 900 || 3/ A c B b a XIII Định lý hàm số sin: a b c = = = 2R sinA sinB sinC Với R bán kính đường tròn ngoại tiếp VABC ìï a = 2R sinA ïï ï Hay í b = 2R sinB ïï ïï c = 2R sinB î XIV Công thức tính diện tích tma giác: Gọi hV đường cao thuộc cạnh VABC a+b+c phân nửa chu vi VABC S diện tích VABC R bán kinh đường tròn ngoại tiếp VABC R bán kính đường tròn nội tiếp VABC p= p/ C 1 1/ S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 2/ S = ab.sinC = bc.sinA = ca.sinB 2 abc 3/ S = ; 4/ S = p.r 4R 5/ S = p( p - a) ( p - b) ( p - c) (Công thức Héron) XV Bài tập lượng giác Bài Giải phương trình sau: a d g sin x = b π  cot  − x ÷ = 8  e cos ( x + 200 ) = sin ( 600 − x ) cos2 x = − π  sin x = sin  x − ÷ 4  h c f tan ( x + 300 ) = − π  π  cot  x + ÷ = cot  − x ÷ 3  4  π π   tan  x + ÷ = − cot  x − ÷ 6 3   Bài Giải phương trình sau: a π  2sin  3x + ÷− = 6  d 2sin x + sin x − = g cot x − cot x + = b e cos 2 x − cos2x=0 4sin x + cos x − = h sin x − cos x = cos x − Bài Giải phương trình sau: a) 3sin x + cos x = b) 2sin x − cos x = − c) cos x − sin x = c ( tan x + 1) cos x = f tan x + cot x − = d) sin x + sin x = e) cos x + cos x + = Bài Giải phương trình sau: a cos x + sin x + = b 3sin x + cos x = c 5cos x − 12sin x = 13 d sin x + sin x = e cos x − sin x = f 4sin x + 3sin 2x −2cos x = g 24sin x + 14cosx − 21 = h π  π  tan  + x ÷+ cot  + x ÷+ = 6  6  i π π   sin  x − ÷+ cos  x − ÷ = 3 3   j 3sin x + 8sinxcosx + − cos x = k 2sin x + sin x = l cos x − sin x = m π π   sin  x − ÷ + 3cos  x − ÷ = 3 3   n 4cos x −2 o sin x –10sinxcosx + 21cos x = p cos x − sin x − 2sin 2x = q cos 4x + sin3x.cosx = sinx.cos 3x ( ( ) ) − cosx + = r sinx + cosx = sinx XV Bài tập lượng giác có đáp án Bài 1.Giải phương trình: π a) cot(5 x − ) = b) cos x + cos x = c) sin x − cos x = d) sin x + sin x + cos x = Giải π a) cot(5 x − ) = ⇔ x − π π = + kπ ⇔ x =π + kπ b) cos x + cos x = π   cos x = x = + kπ  ⇔ ⇔ ,k ∈¢ cos x = − 5π  x=± + k 2π   c) sin x − cos x = ⇔ sin x − cos x = 2 π ⇔ sin (3 x − ) = ⇔ 3x − π π 2π k 2π = + k 2π ⇔ x = + d) sin x + sin x + cos x = ⇔ sinx ( cosx – sinx ) = x = kπ  sin x =  ⇔ ⇔  tan x =  x = arctan + kπ Bài 2.Giải phương trình: a) tan(3 x + 3π )=0 ⇔ 3x + 3π = kπ ⇔ x=− π kπ + π   x = + k 2π   sin x = π   b) 2sin x − sin x −1 = ⇔  ⇔  x = − + k 2π , k ∈ ¢ sin x = −    x = 7π + k 2π  c) sin x + cos x = − ⇔ 1 sin x + cos x = −1 2 x=− π ⇔ sin (5 x + ) = - ⇔ 5x + 3π k 2π + 20 d) 3sin x + sin x + cos x = ⇔ 2sin x cos x − 2cos x = ⇔ 2cos x(sin x − cos x) = π   x = + k 2π cos x =  ⇔ ⇔  tan x =  x = π + kπ   e cos x + 3sin x − = ⇔ − 2sin x + 3sin x − = ⇔ 2sin x − 3sin x + = π  x = + k 2π    sin x = π  ⇔ ⇔  x = + k 2π , k ∈ ¢ sin x =   5π x = + k 2π  f sin x + cos x = ⇔ ⇔ sin x cos sin x + cos x = 2 π π π π ⇔ sin( x + ) = sin + cos x sin = 6 π π π   x + = + k π x = + k 2π   12 ⇔ ⇔ ,k ∈¢ π π π x + = x = + k 2π + k 2π   12 g sin x − cos x = ⇔ sin x − cos x = 2 π π = − + k 2π ⇔ ⇔ sin x cos π π π π ⇔ sin( x − ) = sin − cos x sin = 6 π π 5π    x − = + k2  x = 12 + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈¢ π π 11 π x − = x = + k 2π + k 2π   12 h 2cos x − 3cos x + = ⇔ 4cos x − 3cos x − = x = k 2π  cos x =    ⇔ ,k ∈¢ 1⇔ cos x = −  x = ± arccos(− ) + k 2π   4 i 2sin x + 3sin x cos x − 5cos x = ⇔ 2ta n x + 3ta n x − = π  x = + kπ  tan x =  ⇔ ,k ∈¢ 5⇔  tan x = −  x = arctan(− ) + kπ   Bài 3.Giải phương trình: a 3sin x + sin x = b sinx − 2cos x = c sin x + sin x + sin x = d sin x + sin x + sin x = cos x + cos3 x + cos5 x e 2sin x − 5sin x cos x − 4cos x = f 2cos 2 x + 3sin x = g sin 2 x + cos x = h tan x.tan x = i 5cos x − 12sin x = −13 j 2sin x − 5cos x = k 2cos x + 3sin x = Bài 4.Giải phương trình: a tan x + cot x = 2 b (3 + cot x) = 5(3 + cot x) c 3(sin x − cos x) = 4(cos3 x − sin x) d 4sin x + 3 sin x − 2cos x = e sin x + sin 2 x + sin x + sin x = f 4sin x + 12cos x = Bài Giải phương trình sau : π a) cot(5 x − ) = b) cos x + cos x = c) sin x − cos x = d) sin x + sin x + cos x = Bài giải : π a) cot(5 x − ) = ⇔ 5x − π π = + kπ ⇔ x =π + kπ b) cos x + cos x = cos x = ⇔ cos x = − π + kπ ⇔ 5π x=± + k 2π x= c) sin x − cos x = π π π 2π k 2π + sin x − cos 3x = ⇔ Sin (3 x − ) = ⇔ x − = + k 2π ⇔ x = 6 2 d) sin x + sin x + cos x = ⇔ sinx ( cosx – sinx ) = x = kπ ⇔ x = arctan + kπ Bài giải phương trìnhlượng giác : ⇔ sin x = tan x = a) tan(3 x + 3π )=0 ⇔ 3x + 3π π kπ = kπ ⇔ x = − + 5 π + k 2π π ⇔ x = − + k 2π 7π x= + k 2π x= sin x = b) 2sin x − sin x −1 = ⇔ c) sin x + cos x = − ⇔ 5x + sin x = − π ⇔ Sin (5 x + ) = - 1 sin x + cos x = −1 2 π π 3π k 2π = − + k 2π ⇔ x = − + 20 d) 3sin x + sin x + cos x = ⇔ cos x = tan x = π + kπ ⇔ π x = + kπ x= Bài Giải phương trình sau: a 2sin x − = b cos x − = c cos x + 3sin x − = sin x − cos x = Giải: π  x = + k 2π  π a) sin x = sin ⇔   x = 5π + k 2π  b) cos x = cos π π ⇔ x = ± + k 2π 6 c) −2sin x + 3sin x − = sin x =  sin x =  π   x = + k 2π   x = π + l 2π    x = π + l 2π  d) sin x − cos x = 2 5π   x = 12 + k 2π   x = 11π + k 2π  12 d Bài Giải phương trình sau: b cos x − = a 2sin x − = c cos x + 3sin x − = d sin x + cos x = Giải: π  x = + k 2π  π a) sin x = sin ⇔   x = 2π + k 2π  b) cos x = cos π π ⇔ x = ± + k 2π 3 c) −2sin x + 3sin x − = sin x =  sin x =  π   x = + k 2π   x = π + k 2π    x = π + k 2π  d) sin x + cos x = 2 π   x = 12 + k 2π   x = 7π + k 2π  12 Bài Giải phương trình sau: a 2sin x − = b cos x − = c cos2x -3cosx +1 =0 d sin x − cos x = Giải: π  x = + k 2π  π a) sin x = sin ⇔   x = 5π + k 2π   x = k 2π   x = ± arccos  − ÷+ k 2π   4 π π b) cos x = cos ⇔ x = ± + k 2π 4 d) c) cos x − 3cos x − = cos x =  cos x = −  sin x − cos x = 2 5π   x = 12 + k 2π   x = 11π + k 2π  12 Bài 10 Giải Phương trình b cos x + 3sin x − = a sin x − cos x = c cos2x + sinx +1=0 Giải: a/ 5π   x = 12 + k 2π π π   sin  x − ÷ = sin ⇔ 11π x= + k 2π 6   12 sin x − cos x = 2 b −2sin x + 3sin x − = sin x =  sin x =  π   x = + k 2π  π ⇔  x = + l 2π    x = 5π + l 2π  π   x = + kπ  c  π x = + kπ  Bài 11 Giải pt a cos x + 3sin x − = b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= c.2 cos2x -3cosx +1 =0 Giải: a −2sin x + 3sin x − = sin x = ⇔  sin x =  b t = sin x − cos x, − ≤ t ≤ π   x = + k 2π  π ⇔  x = + l 2π    x = π + l 2π  => sin x.cos x = − t2 PT ⇔ −t + 12t − 11 = t = =>  t = 11 ( loaïi ) π  x = + k 2π  =>   x = π + k 2π  x = k 2π c  π x = ± + k 2π  Bài 12   π a Giải Phương trình sau: cos  x + ÷+ =  b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= Giải: π a/ π π 2π  x = + k2π   ⇔ 2cos  x + ÷+ = ⇔ cos  x + ÷ = − = cos 3 3    x = −π + k2π b/ t = sin x − cos x, − ≤ t ≤ − t2 sin x.cos x = PT ⇔ −t + 12t − 11 = t =  t = 11 ( loaïi ) => π   x = + k 2π   x = π + k 2π [...]... 11π + k 2π  12 Bài 10 Giải Phương trình b cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 a 3 sin x − cos x = 2 c cos2x + sinx +1=0 Giải: a/ 5π   x = 12 + k 2π π π   sin  x − ÷ = sin ⇔ 11π x= + k 2π 6 4   12 3 1 2 sin x − cos x = 2 2 2 b −2sin x + 3sin x − 1 = 0 2 sin x = 1  sin x = 1  2 π   x = 2 + k 2π  π ⇔  x = + l 2π  6   x = 5π + l 2π 6  π   x = 4 + kπ  c  π x = + kπ  6 Bài 11 Giải các... c) −2sin 2 x + 3sin x − 1 = 0 sin x = 1  sin x = 1  2 π   x = 2 + k 2π   x = π + l 2π  6  5  x = π + l 2π  6 d) 3 1 2 sin x − cos x = 2 2 2 5π   x = 12 + k 2π   x = 11π + k 2π  12 d Bài 8 Giải các phương trình sau: b 2 cos x − 1 = 0 a 2sin x − 3 = 0 c cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 d 3 sin x + cos x = 2 Giải: π  x = + k 2π  π 3 a) sin x = sin ⇔  3  x = 2π + k 2π  3 b) cos x = cos... 3 3 c) −2sin 2 x + 3sin x − 1 = 0 sin x = 1  sin x = 1  2 π   x = 2 + k 2π   x = π + k 2π  6  5  x = π + k 2π 6  d) 3 1 2 sin x + cos x = 2 2 2 π   x = 12 + k 2π   x = 7π + k 2π  12 Bài 9 Giải các phương trình sau: a 2sin x − 1 = 0 b 2 cos x − 2 = 0 c 2 cos2x -3cosx +1 =0 d 3 sin x − cos x = 2 Giải: π  x = + k 2π  π 6 a) sin x = sin ⇔  6  x = 5π + k 2π  6  x = k 2π   x =... 5x + sin x = − 1 2 π ⇔ Sin (5 x + ) = - 1 4 1 1 sin 5 x + cos 5 x = −1 2 2 π π 3π k 2π = − + k 2π ⇔ x = − + 4 2 20 5 d) 3sin 2 x + sin 2 x + cos 2 x = 3 ⇔ cos x = 0 tan x = 1 π + kπ 2 ⇔ π x = + kπ 4 x= Bài 7 Giải các phương trình sau: a 2sin x − 1 = 0 b 2 cos x − 3 = 0 c cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 3 sin x − cos x = 2 Giải: π  x = + k 2π  π 6 a) sin x = sin ⇔  6  x = 5π + k 2π  6 b) cos x = cos π... π ⇔  x = + l 2π  6  5  x = π + l 2π  6 => sin x.cos x = 1 − t2 2 PT ⇔ −t + 12t − 11 = 0 2 t = 1 =>  t = 11 ( loaïi ) π  x = + k 2π  2 =>   x = π + k 2π  x = k 2π c  π x = ± + k 2π 3  Bài 12   π a Giải các Phương trình sau: 2 cos  x + ÷+ 1 = 0 3  b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 Giải: π a/ π π 1 2π  x = + k2π   ⇔ 2cos  x + ÷+ 1 = 0 ⇔ cos  x + ÷ = − = cos 3 3 3 2 3  