Những bài toán quen thuộc trong hình học lớp 9

Qua cách chứng minh bài toán 1, ta có nhận xét sau: 1 Nếu ta biết số đo của một góc trong tam giác, ta có thể tính cạnh đối diện của góc đó theo hai cạnh còn lại.. Khi đó tam giác BHI c

Trong các kì thì tốt nghiệp, thi tuyển vào lớp 10 hoặc các kì thi học sinh giỏi, bài toán hình luôn là bài toán khiến cho nhiều học sinh gặp khó khăn nhất Để làm một bài toán hình đôi khi phải qua nhiều giai đoạn nên đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận tốt Ngoài ra, học sinh còn cần phải biết các bài toán cơ bản, bài toán gốc mà từ bài toán đó cho ta ý tưởng để giải các bài toán khác Sau đây tôi xin giới thiệu vài bài toán quen thuộc như thế để giúp học sinh có một

sự liên kết tốt hơn

PHẦN 1 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ ĐỊNH LƯỢNG

Bài toán 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) Nếu n 60o

b) Nếu n 120o

Qua cách chứng minh bài toán 1, ta có nhận xét sau:

1) Nếu ta biết số đo của một góc trong tam giác, ta có thể tính cạnh đối diện của góc đó theo hai cạnh còn lại Chúng ta có các công thức cụ thể đối với các trường hợp đặc biệt như đề bài Công thức tổng quát sẽ được chứng minh ở các lớp trên

2) Ngược lại, nếu ta biết ba cạnh của một tam giác ta có thể tính số đo của một góc bất kì

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ BD⊥ AC D( ∈AC) thì D thuộc đoạn AC

Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có:

( )2

2

Trong tam giác vuông ABD ta có:

n

sin sin 60

o

AD

AB

2

@

D A

b) Vẽ BD⊥ AC D( ∈AC) thì A thuộc đoạn DC

Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có:

( )2

2

Trong tam giác vuông ABD ta có:

n

sin sin 60

o

AD

AB

2

@

Từ cách chứng minh trên ta có thể chứng minh được nhận xét 1 và 2

Ví dụ 1:

a) Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và góc n 45o

BAC = Tính cạnh BC

b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và BC = 21 Tính góc số đo góc A

Sử dụng bài toán trên giải các bài toán sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh AB = a Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho BD = 2CD

Đường trung trực của đoạn AD cắt AB và AC tại E và F Tính các cạnh của tam giác AEF

Hướng dẫn giải

Đặt AF = x Khi đó FD = AF = x và CF = a – x

Trong tam giác CDF có n 60o

DCF = nên theo bài toán trên

Ta có:

( ) ( )

2

2

2

1

9 2

0

a

Tương tự ta cũng có: 21

36

D

A

B

C

a 3

a - x

x

E

F H

A

2 2 2

Từ đó tính ra được EF @

Bài 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) M là một điểm trên cung nhỏ BC

a) Chứng minh rằng MA = MB + MC

b) Chứng minh rằng tổng 2 2 2

MA +MB +MC không phụ thuộc vào vị trí của M trên cung BC Tính giá trị đó theo R

Bài 3: Cho tam giác ABC có n 60o

BAC = BD và CE là hai đường phân giác trong của tam giác Chứng minh rằng S BDC +S BEC ≥S ABC

Bài 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và AC Chứng

minh các điều sau là tương đương

1) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC

2) AM + AN + MN = a

3) AM AN 1

Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Hãy tính cạnh BC trong các trường hợp sau:

a) n 90o

b) n 60o

c) n 45o

d) n 30o

Hướng dẫn giải a) Với n 90o

BAC = thì BC là đường kính của (O) suy

ra BC = 2R

b) Trường hợp n 60o

BAC = Vẽ đường kính BC, khi

đó ta có n 90o

Và nBAC=BDCn (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

60= o

Trong tam giác vuông DBC ta có

o

BC

c) Tương tự ta cũng có BC = 2R

d) BC =RQua bài 2 ta có các nhận xét sau:

D

O

A

D

O

A

1 Mối quan hện giữa cạnh BC, góc A và bán kính đường tròn được thể hiện qua công thức

sin

BC

R

sin sin sin

R

C = B = A= (*) ( Nếu tam giác ABC nhọn)

2 Nếu góc A tù thì ta lấy A’ thuộc cung lớn BC khi đó 2

sin

BC

R

′

3 Từ công thức (*) thì ta sẽ tính dễ dàng một yếu tố trong (*) nếu biết hai yếu tố còn lại

4 Khi người ta cho độ dài cạnh theo R, ta nên tính góc đối diện cạnh đó để có thể suy ra tính

đặc biệt của bài toán

5 Sử dụng công thức (*) thử chứng công thức về diện tích:

4

ABC

abc S

R

= (**) Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC

Hướng dẫn

Trong tam giác ABC có ít nhất một góc nhọn giả sử

là góc A Vẽ đường cao AH Khi đó ta có

1 2

ABC

n 1

.sin 2

ABC

Theo bài toán 2 nhận xét 1 ta có: sinn

2

BC BAC

R

=

4

ABC

AB AC BC S

R

=

4

abc R

=

Bài toán 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Đường cao AD và đường cao BE cắt nhau tại H, M là trung điểm của BC

H

O

A

A' O

B

A

C

a) Chứng minh rằng điểm đối xứng của H qua BC và M là I và J thuộc đường tròn (O)

b) Chứng minh rằng A, O, J thẳng hàng và nBAD=nJAC

c) Chứng minh rằng AH = 2OM

d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh O, H, G thẳng hàng và GH = 2GO

Hướng dẫn giải a) + Vì I là điểm đối xứng của H qua BC nên:

,

BH =BI HI ⊥BC HD⊥BC⇒ D là trung điểm HI Khi đó tam giác BHI cân tại B có BD là đường cao nên cũng là phân giác, suy nDBI =DBHn

Mà nDBH =nDAC (Cùng phụ với nACB )

Nên nDAI =nDAC ⇒ từ giác ABIC nội tiếp (hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

Suy ra I thuộc (O) + Ta có tứ giác BHCJ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), suy ra CJ // BH và BJ// CH

Mà BH ⊥ AC CH, ⊥ AB ( H là trực tâm) nên CJ ⊥ AC BJ, ⊥ AB⇒ nACJ = nABJ =90o

Tứ giác ABJC có n n 90ABJ +ACJ = o+90o =180o nên là tứ giác nội tiếp Suy ra J thuộc đường tròn (O)

b)Ta có n 90o

ACJ = nên AJ là đường kính của (O) suy ra A, O, J thẳng hàng

c) Trong tam giác AHJ có O là trung điểm AJ, M là trung điểm của HJ nên OM là đường trung bình, do đó AH = 2OM

d) G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2MG

Xét AHGΔ và MOGΔ có:

+ nHAG=MOGn

+ AH AG( )2

~

⇒ Δ Δ ⇒ = , suy ra H, G , O thẳng hàng

Và GH AH 2 GH 2GO

D

E

G

M H

J I

O A

Qua bài toán 2 ta có các nhận xét sau:

1) Kết quả vẩn còn đúng trong trường ABC không phải là tam giác nhọn

2) Vì 3 cạnh của tam giác có vai trò như nhau nên kết quả của các câu a, b, c vẫn đúng đối nếu

ta thay BC bằng AB hay AC

3) Từ câu c ta có mối liên hệ giữa AH và

2 2

4

BC

OM = R − , nên ta có thể tính được AH trong những trường hợp cụ thể Hơn nữa nếu BC cố định thì AH có độ dài không đổi

4) Từ câu d ta thấy trong một tam giác bất kì trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng tâm G thẳng hàng và GH = 2GO Đường thẳng đi qua 3 điểm này còn được gọi là đường thẳng Euler

Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE và CF đồng qui tại H

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

b) Chứng minh OA⊥ EF

c) Gọi P, Q là hình chiếu của D trên AB và AC Chứng minh OA⊥PQ

d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF

Hướng dẩn giải

a) Ta có nBFC=BECn(=90o) nên tứ giác BFEC

nội tiếp

b) Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) Khi đó ta có: nxAB= nACB (góc giữa tia tiếp tuyến

và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó)

Mặt khác nAFE= nACB (BEDC nội tiếp)

Do đó nxAB= nAFE mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ax//FE

Hơn nữa OA⊥ Ax (Ax là tiếp tuyến của (O))

Suy ra OA⊥FE

c) Ta có FH// DP nên AF AH

AP = AD (dl Thalet)

Và HE // DQ nên AE AH

AQ = AD (đl Thalet) Suy ra AF AE

AP = AQ theo hệ quả đl Thalet ta có EF // PQ mà OA⊥EF ⇒OA⊥PQ

F

P

Q

D

E

H

O A

Hoặc ta chứng minh không cần dựa vào câu a, ta cần chứng minh nAPQ= nACB

Trong tam giác vuông ADB có DP là đường cao nên ta có 2

Tương tự ta cũng có: 2

Suy ra AP AB AQ AC AP AQ APQ~ ACB nAPQ nACB

câu b ta cũng có điều cần chứng minh)

d) Tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: nHFE=HBCn

Tứ giác BFHD nội tiếp nên ta có nHFD=HBCn

Suy ra nHFE=HFDn, do đó FH là tia phân giác của góc nEFD

Chứng minh tương tự ta cũng có EH là phân giác của góc nFED

Qua bài 3 ta có nhận xét sau:

1) Chứng minh tương tự câu b ta cũng có các kết quả sau: OB⊥DF, OC ⊥DE Đây là một bài toán rất quen thuộc mà kết quả của nó sẽ được dùng rất nhiều để chứng minh các bài toán khác

2) Câu c thì tương tự câu b, câu c cho ta một tính chất của trực tâm H

Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bài toán trên, giải các bài toán sau:

Bài 5: (LHP 2001 – 2002)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC

a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành

b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB,

AC Chứng minh N, H, E thẳng hàng

c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất

Bài 6: (NK 2003 – 2004 CD)

Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC Hai đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA

b) AE kéo dài cắt (O) tại H’ Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC Xác định quĩ tích của H

Bài 7: (NK 2005 – 2006 AB)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A) Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC

b) Gọi N là giao điểm của BH và AC P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho nPMB=NMCn Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng

c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI Chứng minh rằng tam giác BAC đều

Bài 8: (NK 2006 – 2007 CD)

Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC, AB tại

M và N, n 120o

a) Chứng minh nAMN = nABC Tính MN

BC

b) Tính AH

BC Bài 9:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE, CF, cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn (O) tại P và Q

a) Chứng minh PQ//EF

b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có độ dài không đổi khi A di chuyển trên cung lớn BC của đường tròn (O)

c) Tia AH lần lượt cắt BC và đường tròn (O) tại D và N Chứng minh rằng:

9

DN + EP+ FQ ≥

Bài 10:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại

H Gọi M và N là trung điểm của BC và EF Gọi I là điểm đối xứng của H qua M

a) Chứng minh MN // OA

b) Chứng minh OA AN = AM OM

c) Đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC tại P, Q Chứng minh H là trung điểm PQ Bài 11:

Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R) Vẽ nửa đường tròn đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng

b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui

Bài 12:

Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định

b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định

Đôi khi các bài toán người ta cho số cụ thể hoặc trường hợp đặc biệt, khi đó bài toán sẽ có thêm nhiều tính chất khác ngoài các tính chất đã biết Chúng ta hãy cùng giải những bài toán như thế

Bài 13:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có BC =R 3 Gọi H, I lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

a) Tính góc BAC

b) Chứng minh B, H, I, O, C cùng thuộc một đường tròn

c) Gọi I’, O’ là điểm đối xứng của I và O qua BC Chứng minh I O′ ′∈, ( )O

d) Tính AH Suy ra tam giác AOH cân

Bài 14:

Cho tam giác ABC nhọn có n 60o

BAC= nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H Gọi N là trung điểm của AC

a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE

b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao?

Bài 15:(NK 2004 – 2005 AB)

Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác Gọi P, Q

là điểm đối xứng của I và O qua BC Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ khi P thuộc (O) Bài 16:

Cho tam giác ABC nhọn có n 45o

BAC = nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H M N là trung điểm của BC và AH

a) Chứng minh B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn

b) Tính BC theo R

c) Tứ giác BFOE là hình gì?

d) Gọi M là trung điểm của AH Chứng minh OH, EF và MN đồng qui

Bài 17*:

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp (O) lần lượt tại A’, B’, C’

a) Chứng minh rằng OA⊥B C′ ′

b) Chứng minh AA BB CC 4

9

ABC A B C

d) Chứng minh S ABC ≥S A B C′ ′ ′

e) Chứng minh trong các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất

Bài toán 5:

Cho đường tròn (O;R) và I là một điểm nằm trong đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua I cắt đường tròn tại A và B

a) Chứng minh rằng IA.IB = R 2 – OI 2

b) Kết quả của câu a sẽ như thế nào nếu I nằm ngoài đường tròn

Hướng dẫn giải

a) Vẽ đường kình MN của (O) qua I

Ta có: nMAI =BNIn ( góc nội tiếp cùng chắn cung MB) Suy ra:

( ) ( )( ) ( )( ) 2 2

b) Tương tự như trên ta có 2 2

IA IB =OI −R

Nhận xét:

1) Qua bài trên ta thấy nếu I cố định thì IA IB luôn không đổi và 2 2

IA IB= R −IO Tính chất này tuy được chứng minh khá đơn giản nhưng cũng có nhiều ứng dụng

2) Ta thấy nếu I, A cố định và 2 2

R −OI không đổi thì suy ra B cũng cố định Kết quả này cho ta ý tưởng để chứng minh các bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định 3) Nếu I nằm ngoài đường tròn IP là tiếp tuyến của (O) Khi đó ta có IA.IB = IP 2

Bài toán 6:

Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I, hai cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau tại O Chứng minh rằng:

a) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi IA.ID = IB.IC

b) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD

Hướng dẫn giải

I

N

O A

B M

Chiều ⇒ chúng ta đã chứng minh ở bài toán 5, giờ ta chỉ cần chứng )

minh chiều ngược lại

Xét tam giác + nAIB=CIDn (đối đỉnh) + IA IB(IA IC IB ID )

Suy ra ⇒ ΔAIB~ΔCID c g c( . )⇒ BAIn =nDCI, suy ra tứ giác ABCD nội tiếp(hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

b) Chứng minh tương tự câu a

Nhận xét:

1) Chiều suy ra thực chất là kết quả của bài 5

2) Bài 6 cho ta một ý tưởng để chứng minh tứ giác nội tiếp, thực ra đó là một cách để chứng minh tứ giác nội tiếp nhưng trong trình bày chúng ta không được sử dụng Nếu

ta chỉ nghĩ tới việc chứng minh các góc bằng nhau thì sẽ rất khó khăn và hạn chế về ý tưởng, nhưng khi ta nghĩ tới việc chứng minh các hệ thức về độ dài thì sẽ có nhiều hướng hơn để chứng minh

Sử dụng các bài toán trên chứng minh các bài toán sau:

Bài 18:

Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và CD

a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

b) Đường tròn (H; HA) cắt AB và AC tại P, Q Chứng minh PBCQ nội tiếp

c) Chứng minh OA⊥ PQ với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 19:

Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và CD vuông góc nhau M là một điểm thuộc bán kính OA Kẻ dây DE qua M, tiếp tuyến tại E cắt AB tại F, FD cắt (O) tại N

a) Chứng minh tứ giác FEMN nội tiếp

b) Chứng minh tứ giác FCON nội tiếp

Bài 20: (NK 2003 – 2004 CT)

a) Cho đường tròn (C ) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C ) tại M, N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O

b) Cho đường tròn (C ) tâm O và một đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn I là điểm di động trên (d) Đường tròn đường kính IO cắt (C ) tại M, N Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

I

D A

C

B