Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
632,12 KB
Nội dung
HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 1 Trong các kì thì tốt nghiệp, thi tuyển vào lớp 10 hoặc các kì thi học sinh giỏi, bàitoánhình luôn là bàitoán khiến cho nhiều học sinh gặp khó khăn nhất. Để làm một bàitoánhình đôi khi phải qua nhiều giai đoạn nên đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận tốt. Ngoài ra, học sinh còn cần phải biết các bàitoán cơ bản, bàitoán gốc mà từ bàitoán đó cho ta ý tưởng để giải các bàitoán khác. Sau đây tôi xin giới thiệu vài bàitoánquenthuộc như thế để giúp học sinh có m ột sự liên kết tốt hơn. PHẦN 1 CÁC BÀITOÁN CHỨNG MINH VÀ ĐỊNH LƯỢNG. Bàitoán 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) Nếu n 60 o BAC = thì 222 .BC AB AC AB AC=+− . b) Nếu n 120 o BAC = thì 222 .BC AB AC AB AC=++ Qua cách chứng minh bàitoán 1, ta có nhận xét sau: 1) Nếu ta biết số đo của một góc trong tam giác, ta có thể tính cạnh đối diện của góc đó theo hai cạnh còn lại. Chúng ta có các công thức cụ thể đối với các trường hợp đặc biệt như đề bài. Công thức tổng quát sẽ được chứng minh ở các lớp trên. 2) Ngược lại, nếu ta biết ba cạnh của một tam giác ta có thể tính số đo của một góc bất kì. Hướ ng dẫn giải: a) Vẽ ( ) BD AC D AC ⊥ ∈ thì D thuộc đoạn AC. Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có: ( ) 2 222 2 222 2. . CB DC BD AC AD BD A CACADADBD =+=− + =− ++ Trong tam giác vuông ABD ta có: n 222 11 sin sin60 22 o AD BD AB AD BAD AD AB A B += ===⇒= Do đó: 22 22 2 2. 2 BC AC AC AB AB AC AC AB AB 1 =− +=− + . @ D A B C HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 2 b) Vẽ ( ) BD AC D AC⊥∈ thì A thuộc đoạn DC. Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có: ( ) 2 222 2 222 2. . CB DC BD AC AD BD A CACADADBD =+=+ + =+ ++ Trong tam giác vuông ABD ta có: n 222 11 sin sin60 22 o AD BD AB AD BAD AD AB A B += ===⇒= Do đó: 22 22 2 2. 2 BC AC AC AB AB AC AC AB AB 1 =− +=+ + . @ Từ cách chứng minh trên ta có thể chứng minh được nhận xét 1 và 2. Ví dụ 1: a) Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và góc n 45 o BAC = . Tính cạnh BC. b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và 21BC = . Tính góc số đo góc A. Sử dụng bàitoán trên giải các bàitoán sau: Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh AB = a. Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho BD = 2CD. Đường trung trực của đoạn AD cắt AB và AC tại E và F. Tính các cạnh của tam giác AEF. Hướng dẫn giải Đặt AF = x. Khi đó FD = AF = x và CF = a – x. Vì 12 2, , 33 BD CD DB CD BC a CD a BD a=+==⇒== . Trong tam giác CDF có n 60 o DCF = nên theo bàitoán trên Ta có: ()() 2 2 22 22 2 1 . 92 11 3 11 11 0 18 2 27 27 a D FCDCDCFCF x aax ax aax x aAF a =− +⇔=− −+− ⇔−=⇔=⇒= Tương tự ta cũng có: 21 36 A Ea= Tam giác AEF có n 60 o EAF = nên ta có: D A B C a 3 a - x x E F H A B CD HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 3 22 2 .EF AE AE AF AF=− + Từ đó tính ra được EF. @ Bài 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). M là một điểm trên cung nhỏ BC. a) Chứng minh rằng MA = MB + MC. b) Chứng minh rằng tổng 222 M AMBMC++không phụ thuộc vào vị trí của M trên cung BC. Tính giá trị đó theo R. Bài 3: Cho tam giác ABC có n 60 o BAC = . BD và CE là hai đường phân giác trong của tam giác. Chứng minh rằng BDC BEC ABC SSS+≥. Bài 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a. M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và AC. Chứng minh các điều sau là tương đương. 1) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 2) AM + AN + MN = a. 3) 1 AM AN BM CN += Bàitoán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hãy tính cạnh BC trong các trường hợp sau: a) n 90 o BAC = . b) n 60 o BAC = . c) n 45 o BAC = . d) n 30 o BAC = . Hướng dẫn giải a) Với n 90 o BAC = thì BC là đường kính của (O) suy ra BC = 2R. b) Trường hợp n 60 o BAC = . Vẽ đường kính BC, khi đó ta có n 90 o BCD = . Và n n BAC BDC= (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) 60 o = Trong tam giác vuông DBC ta có n 33 sin sin60 3 22 o BC BDC BC BD R BD ===⇒== c) Tương tự ta cũng có 2BC R= . d) BC R = Qua bài 2 ta có các nhận xét sau: D O B C A D O B C A HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 4 1. Mối quan hện giữa cạnh BC, góc A và bán kính đường tròn được thể hiện qua công thức sau: 2 sin BC R A = ( Nếu A nhọn). Tương tự ta cũng có 2 sin sin sin AB AC BC R CBA === . (*) ( Nếu tam giác ABC nhọn) 2. Nếu góc A tù thì ta lấy A’ thuộc cung lớn BC khi đó 2 sin BC R A = ′ 3. Từ công thức (*) thì ta sẽ tính dễ dàng một yếu tố trong (*) nếu biết hai yếu tố còn lại. 4. Khi người ta cho độ dài cạnh theo R, ta nên tính góc đối diện cạnh đó để có thể suy ra tính đặc biệt của bài toán. 5. Sử dụng công thức (*) thử chứng công thức về diện tích: 4 ABC abc S R = (**) . Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Hướng dẫn Trong tam giác ABC có ít nhất một góc nhọn giả sử là góc A. Vẽ đường cao AH. Khi đó ta có 1 . 2 ABC SAHAC= Mà n sin A HAB BAC= suy ra n 1 sin 2 ABC SABACBAC= Theo bàitoán 2 nhận xét 1 ta có: n sin 2 BC BAC R = . Do đó 4 ABC A BACBC S R = 4 abc R = Bàitoán 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Đường cao AD và đường cao BE cắt nhau tại H, M là trung điểm của BC. H O B C A A ' O B A C HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 5 a) Chứng minh rằng điểm đối xứng của H qua BC và M là I và J thuộc đường tròn (O). b) Chứng minh rằng A, O, J thẳng hàng và n n BAD JAC= c) Chứng minh rằng AH = 2OM. d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, H, G thẳng hàng và GH = 2GO. Hướng dẫn giải a) + Vì I là điểm đối xứng của H qua BC nên: ,BH BI HI BC = ⊥ . HD BC ⊥ ⇒ D là trung điểm HI. Khi đó tam giác BHI cân tại B có BD là đường cao nên cũng là phân giác, suy n n D BI DBH = Mà n n D BH DAC= (Cùng phụ với n A CB ) Nên n n D AI DAC=⇒ từ giác ABIC nội tiếp (hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau). Suy ra I thuộc (O) + Ta có tứ giác BHCJ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), suy ra CJ // BH và BJ// CH . Mà ,BH AC CH AB⊥⊥ ( H là trực tâm) nên n n ,90 o CJ AC BJ AB ACJ ABJ⊥⊥⇒== Tứ giác ABJC có n n 90 90 180 oo o ABJ ACJ+=+= nên là tứ giác nội tiếp. Suy ra J thuộc đường tròn (O) b)Ta có n 90 o ACJ = nên AJ là đường kính của (O) suy ra A, O, J thẳng hàng. c) Trong tam giác AHJ có O là trung điểm AJ, M là trung điểm của HJ nên OM là đường trung bình, do đó AH = 2OM. d) G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2MG. Xét A HGΔ và M OGΔ có: + n n HAG MOG= + () 2 AH AG OM MG == n n ~ A HG MOG AGH OGM⇒Δ Δ ⇒ = , suy ra H, G , O thẳng hàng. Và 22 GH AH GH GO GO OM ==⇒= @ D E G M H JI O A B C HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 6 Qua bàitoán 2 ta có các nhận xét sau: 1) Kết quả vẩn còn đúng trong trường ABC không phải là tam giác nhọn. 2) Vì 3 cạnh của tam giác có vai trò như nhau nên kết quả của các câu a, b, c vẫn đúng đối nếu ta thay BC bằng AB hay AC. 3) Từ câu c ta có mối liên hệ giữa AH và 2 2 4 BC OM R=− , nên ta có thể tính được AH trongnhững trường hợp cụ thể. Hơn nữa nếu BC cố định thì AH có độ dài không đổi. 4) Từ câu d ta thấy trong một tam giác bất kì trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng tâm G thẳng hàng và GH = 2GO. Đường thẳng đi qua 3 điểm này còn được gọi là đường thẳng Euler. Bàitoán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE và CF đồng qui tại H. a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. b) Chứng minh OA EF⊥ . c) Gọi P, Q là hình chiếu của D trên AB và AC. Chứng minh OA PQ ⊥ d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Hướng dẩn giải a) Ta có nn ( ) 90 o BFC BEC== nên tứ giác BFEC nội tiếp. b) Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Khi đó ta có: n n x AB ACB= (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó). Mặt khác n n A FE ACB= (BEDC nội tiếp) Do đó n n x AB AFE= mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ax//FE. Hơn nữa OA Ax ⊥ (Ax là tiếp tuyến của (O)) Suy ra OA FE ⊥ c) Ta có FH// DP nên A FAH A PAD = (dl Thalet) Và HE // DQ nên A EAH A QAD = (đl Thalet) Suy ra A FAE A PAQ = theo hệ quả đl Thalet ta có EF // PQ mà OA EF OA PQ ⊥ ⇒⊥ F P Q D E H O A B C HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 7 Hoặc ta chứng minh không cần dựa vào câu a, ta cần chứng minh n n A PQ AC B= Trong tam giác vuông ADB có DP là đường cao nên ta có 2 . A PAB AD= Tương tự ta cũng có: 2 . A QAC AD= Suy ra n n ~ AP AQ A P AB AQ AC APQ ACB APQ ACB AC AB =⇒=⇒ΔΔ⇒= ( Tới đây thì làm giống câu b ta cũng có điều cần chứng minh) d) Tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: n n HFE HBC= Tứ giác BFHD nội tiếp nên ta có n n HFD HBC= Suy ra n n HFE HFD= , do đó FH là tia phân giác của góc n EFD . Chứng minh tương tự ta cũng có EH là phân giác của góc n F ED . Qua bài 3 ta có nhận xét sau: 1) Chứng minh tương tự câu b ta cũng có các kết quả sau: ,OB DF OC DE⊥⊥ . Đây là một bàitoán rất quenthuộc mà kết quả của nó sẽ được dùng rất nhiều để chứng minh các bàitoán khác. 2) Câu c thì tương tự câu b, câu c cho ta một tính chất của trực tâm H. Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bàitoán trên, giải các bàitoán sau: Bài 5: (LHP 2001 – 2002) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng. c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất. Bài 6: (NK 2003 – 2004 CD) Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA. b) AE kéo dài cắt (O) tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC. Xác định quĩ tích của H. Bài 7: (NK 2005 – 2006 AB) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC. a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 8 b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho n n PMB NMC= . Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng. c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác BAC đều. Bài 8: (NK 2006 – 2007 CD) Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H. Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC, AB tại M và N, n 120 o NHM = . a) Chứng minh n n A MN ABC= . Tính M N BC b) Tính A H BC . Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BE, CF, cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn (O) tại P và Q. a) Chứng minh PQ//EF. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có độ dài không đổi khi A di chuyển trên cung lớn BC của đường tròn (O). c) Tia AH lần lượt cắt BC và đường tròn (O) tại D và N. Chứng minh rằng: 9 AD BE CF DN EP FQ ++ ≥. Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M và N là trung điểm của BC và EF. Gọi I là điểm đối xứng của H qua M. a) Chứng minh MN // OA. b) Chứng minh OA. AN = AM. OM c) Đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh H là trung điểm PQ. Bài 11: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ nửa đường tròn đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng. b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui. Bài 12: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 9 a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định. Đôi khi các bàitoán người ta cho số cụ thể hoặc trường hợp đặc biệt, khi đó bàitoán sẽ có thêm nhiều tính chất khác ngoài các tính chất đã biết. Chúng ta hãy cùng giải nhữngbàitoán như thế. Bài 13: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có 3BC R= . Gọi H, I lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. a) Tính góc BAC. b) Chứng minh B, H, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi I’, O’ là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh ( ) ,IO O ′ ′ ∈ . d) Tính AH. Suy ra tam giác AOH cân. Bài 14 : Cho tam giác ABC nhọn có n 60 o BAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC. a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE. b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao? Bài 15:(NK 2004 – 2005 AB) Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Gọi P, Q là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ khi P thuộc (O). Bài 16: Cho tam giác ABC nhọn có n 45 o BAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. M. N là trung điểm của BC và AH. a) Chứng minh B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Tính BC theo R. c) Tứ giác BFOE là hình gì? d) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh OH, EF và MN đồng qui. Bài 17*: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp (O) lần lượt tại A’, B’, C’. a) Chứng minh rằng OA B C ′′ ⊥ . b) Chứng minh 4 AA BB CC AD BE CF ′′′ ++ =. c) Thử chứng minh điều sau đây 2222 9 ABC A B C S S AB BC AC R ′′′ ≥⇔++≤. HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com tangvu128@yahoo.com 10 d) Chứng minh A BC ABC SS ′′′ ≥ . e) Chứng minh trong các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất Bàitoán 5: Cho đường tròn (O;R) và I là một điểm nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua I cắt đường tròn tại A và B. a) Chứng minh rằng IA.IB = R 2 – OI 2 . b) Kết quả của câu a sẽ như thế nào nếu I nằm ngoài đường tròn. Hướng dẫn giải a) Vẽ đường kình MN của (O) qua I. Ta có: n n M AI BNI= ( góc nội tiếp cùng chắn cung MB) Suy ra: () ()()()() 22 ~. MI AI M AI BNI g g AI BI MI NI BI NI OM OI ON OI R OI R OI R OI ΔΔ ⇒=⇒= =− +=− +=− b) Tương tự như trên ta có 22 .IA IB OI R = − Nhận xét: 1) Qua bài trên ta thấy nếu I cố định thì IA. IB luôn không đổi và 22 .IA IB R IO=− . Tính chất này tuy được chứng minh khá đơn giản nhưng cũng có nhiều ứng dụng. 2) Ta thấy nếu I, A cố định và 22 ROI− không đổi thì suy ra B cũng cố định. Kết quả này cho ta ý tưởng để chứng minh các bàitoán về họ đường tròn đi qua điểm cố định. 3) Nếu I nằm ngoài đường tròn IP là tiếp tuyến của (O). Khi đó ta có IA.IB = IP 2 . Bàitoán 6: Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I, hai cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: a) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi IA.ID = IB.IC b) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD Hướng dẫn giải I N O A B M [...]... là một điểm trong đường tròn, AB và CD là hai dây cung đi qua M Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại S, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại S Khi đó OM vuông góc với SF Hãy chứng minh khẳng định này Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com 14 www.truonglang.wordpress.com HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bàitoán trên, giải các bàitoán sau: Bài 24: Cho... www.truonglang.wordpress.com HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘCBài 29 ( THTT 12/2007) Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn với A, B là hai tiếp điểm Gọi M là giao điểm của OP và AB Kẻ dây cung CD đi qua M (CD không đi qua O) Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q Tính độ lớn của góc OPQ Bài 30*: Cho tam giác ABC cân tại A Bên trong tam giác lấy... cắt DE tại H, K Chứng minh BI BH + CI CH = BC2 Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com 17 www.truonglang.wordpress.com HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Bài toán 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm thuộc cung nhỏ BC Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB a) Chứng minh rằng:H, I, K thẳng hàng b) Tìm vị trí của M sao cho IK có độ dài lớn nhất Hướng... EASQ nội tiếp SPA = ASO ta có thể chứng minh được OS tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADS Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com 13 www.truonglang.wordpress.com HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘCBàitoán 8: Cho đường tròn (O; R) DC là một dây cung cố định của (O) S là một điểm thay đổi Trên tia đối của tia DC Qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) Gọi E là giao điểm...HÌNH HỌCLỚP9 C NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Chiều ⇒) chúng ta đã chứng minh ở bài toán 5, giờ ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại Xét tam giác B + AIB = CID (đối đỉnh) IA IB = + ( IA.IC = IB.ID ) ID IC A D Suy ra ⇒ ΔAIB ~ ΔCID ( c.g.c ) ⇒ BAI... 11 www.truonglang.wordpress.com HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘCBài 21: (NK 2006 – 2007 CT) Cho đường tròn (C )tâm O, AB là một dây cung của ( C) và I là trung điểm của AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI tại P và Q Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B Bài 22: ( HSG Quận Tân Bình 2005... N thẳng hàng Trong đó M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC Hướng dẫn giải A a) Ta có KEC = AED = D A) K E 1 1 180o − BAC ABC + ACB = 2 2 2 Do đó KEC = KIC ⇒ tứ giác IEKC nội tiếp Suy ra IKC = IEC = 90 o Và KIC = IBC + ICB = N I B F M Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com 180o − BAC (tam giác ADE cân tại 2 C 16 www.truonglang.wordpress.com HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC b) Ta có... B + OED = OIS ( = 90 o ) Suy OE OD OD.OI = ⇒ OE = OI OS OS Trong tam giác vuông OBD có BI là đường cao nên: OI OD = OB 2 = R 2 R2 không đổi Suy ra E là điểm cố Do đó OE = OS định ΔOED ~ ΔOIS ⇒ A S ra E Q Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com O 12 www.truonglang.wordpress.com HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC Từ đó suy ra D luôn thuộc đường thẳng qua E và vuông góc với OS b) Ta chứng minh... của tam giác NAB thuộc một đường cố định Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com 18 www.truonglang.wordpress.com HÌNHHỌCLỚP9NHỮNGBÀITOÁNQUENTHUỘC b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm HK Bài 38: (NK 2007 – 2008 CT) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P là một điểm trên cung BC không chứa A Hạ AM, AN... = R 2 ⇒ OF = không đổi, OH suy ra F cố định c) Trong tam giác OSF có FE và SH là đường cao và cắt nhau tại M nên M là trực tâm Suy ra OM ⊥ SF B Nhận xét: 1) Câu a thực ra là áp dụng câu b của bàitoán 7 2) Nếu hiểu rõ bàitoán 7 ta có thể chứng minh được AB luôn đi qua điểm F, với F là giao điểm hai tiếp tuyến tại C và tại D của (O) 3) Bàitoán 7 và bàitoán 8 cho ta một tính chất rất hay về tiếp tuyến . là trực tâm) nên n n ,90 o CJ AC BJ AB ACJ ABJ⊥⊥⇒== Tứ giác ABJC có n n 90 90 180 oo o ABJ ACJ+=+= nên là tứ giác nội tiếp. Suy ra J thuộc đường tròn (O) b)Ta có n 90 o ACJ = nên AJ là đường. tính cạnh BC trong các trường hợp sau: a) n 90 o BAC = . b) n 60 o BAC = . c) n 45 o BAC = . d) n 30 o BAC = . Hướng dẫn giải a) Với n 90 o BAC = thì BC là đường kính của (O) suy ra. 22 2 1 . 92 11 3 11 11 0 18 2 27 27 a D FCDCDCFCF x aax ax aax x aAF a =− +⇔=− −+− ⇔−=⇔=⇒= Tương tự ta cũng có: 21 36 A Ea= Tam giác AEF có n 60 o EAF = nên ta có: D A B C a 3 a - x x E F H A B