Tài liệu Bài Tập cơ học hệ nhiều vật tuyển chọn

Tài liệu bao gồm các dạng bài toán hay về cơ học hệ nhiều vật dành cho sinh viên cao đẳng, đại học và học viên cao học chuyên ngành cơ kỹ thuật.

Câu 1:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

0

sincos

0

00

010

sin0cos

sincos

cossincos

sinsin

sin0

cos

21 10

0

0

cossin

0

sincos

0

00

1

00

0

21 10 10 20

A

a

a a

R A R R

B 20 20 )

0

coscossin

sincos

cossincos

sinsin

sin0

cossin

cos0

sin

b a

b a

0

A A

sincos

sinsincos

cossin

cos

B B

a

b b

a

b

r

 Khi  = /2,  = ,  = 1,  = 2: sin = 1, cos = 0, sin = 0, cos = -1

Thay vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, -0.5, 0]T (m/s)  VA = 0.50m/s,

VB = [-0.6, -0.5, 0.3]T (m/s)  VB = 0.70 0.8367m/s 4) Tính các lực suy rộng

sincos

sinsincos

cossin

cos0

3 2 1

b b

a

b b

a

b F

F F

=M F2(asinbcoscos)F3(acosbsincos) +

+ F1bcosF2bsinsinF3bcossin

T B B A

T A

2

12

12

sincos

cos(

2

1

B 2 2 B 2

2 2 2 B

2 2

dt

d



mAa2 mB(a2b2cos2)mBb2 sin2absinab 2cos=

= M F2(asinbcoscos)F3(acosbsincos)

 mBb2 mBabsinmBb22sincos =

=F1bcosF2bsinsinF3bcossin

Câu 2:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học

a=0,5m, b =0,4m và các góc quay  = 10,  = 21

1) Viết các ma trận quay A10, A21, A20

2) Xác định các vectơ rA, rB theo  và 

3) Tính rA, rB tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi  =  rad,

 = /2 rad, = 2rad/s,  = 1rad/s

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

0

sincos

0

00

0

0cos

sin

0sincos

sinsin

sin

sincos

cossin

cos

0sin

cos

21 10

00

0

cossin

0

sincos

0

00

1000

a

a a

 rA = R20 = [0, - asin, acos]T

(1)  Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:

) 2 ( B 20 20 )

sinsin

sin

sincos

cossin

cos

0sin

coscos

sin

0

b a

coscossin

sin

b a

b a

0

A A

cossin

sincoscos

sincos

cos

B B

a

b b

a

b

r

 Khi  = ,  = /2,  = 2,  = 1: sin = 0, cos = -1, sin = 1, cos = 0

Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, 1.0, 0]T (m/s)  VA = 1.00 m/s

VB = [0, 1.4, 0]T (m/s)  VB = 1.40 m/s 4) Tính các lực suy rộng

cossin

sincoscos

sincos

cos0

3 2 1

b b

a

b b

a

b F

F F M

=M F2(acosbsincos)F3(asinbcoscos) -

- F1bcosF2bcossinF3bsinsin

T B B A

T A

2

12

12

)sinsincos

cossin

(        

=       cos   2 sin

2

12

B 2

cos(

2

1

B 2 2 B 2

2 2 2 B

2 2

dt

d



mAa2 mB(a2 b2cos2)mBb2 sin2mBabsinmBab2cos

= M F2(acosbsincos)F3(asinbcoscos),

mBb2 mBabsinmBb22sincos =

=F1bcosF2bcossinF3bsinsin,

Câu 3:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

0cossin

0sincos

0

sincos

0

00

0

sincoscos

cossin

sinsincos

sincos

21 10

0

100

0cossin

0sincos

00

0

21 10 10 20

a a

R A R R

 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:

) 2 ( B 20 20 )

0 ( B

a

00

cossin

0

sincoscos

cossin

sinsincos

sincos

0cossin

b

b a

b a

sinsin

cossinsin

coscos

B B

a

b b

a

r

 Khi  =  = /2, =  = 1: sin = 1, cos = 0, sin = 1, cos = 0

Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, -0.5, 0]T (m/s), V A = 0.50m/s,

VB = [0, -0.25, -0.25]T (m/s), V B = 2 4 0.3536m/s 4) Tính các lực suy rộng

coscossin

sinsin

cossinsin

coscos

3 2 1

b

b b

a

b b

a F F F M

=M F1(acosbcossin)F2(asinbsinsin) +

+ F1bsincosF2bcoscosF3bsin

T B B A

T A

2

12

12

)sin(

)coscossin

sinsin

B 2

2 B

2 A

2

1)

sin(

2

T

Câu 4:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

0cossin

0sincos

0

sincos

0

00

0

sincoscos

cossin

sinsincos

sincos

21 10

0

0

100

0cossin

0sincos

00

0

21 10 10 20

a a

R A R R

 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:

) 2 ( B 20 20 )

0 ( B

a

00

cossin

0

sincoscos

cossin

sinsincos

sincos

0cossin

b

b a

b a

sinsin

cossinsin

coscos

B B

a

b b

a

r

 Khi  =  = 3/2, = =3: sin =-1, cos = 0, sin =-1, cos = 0

Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, 3.0, 0]T (m/s), V A = 3.00m/s,

VB = [0, 1.2, -1.8]T (m/s), V B = 3 13 5 2.1633m/s 4) Tính các lực suy rộng

coscossin

sinsin

cossinsin

coscos

3 2 1

b

b b

a

b b

a F F F M

=M F1(acosbcossin)F2(asinbsinsin) +

+ F1bsincosF2bcoscosF3bsin

T B B A

T A

2

12

12

)sin(

)coscossin

sinsin

B 2

2 B

2 A

2

1)

sin(

2

T

Câu 5:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt

phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học a

= 5dm, b = 4dm và các góc quay  = 10,  = 21

1) Viết các ma trận quay A10, A21, A20

2) Xác định các vectơ rA, rB theo  và 

3) Tính rA, rB tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =3/2 rad,

=/2 rad, =3rad/s,  =1rad/s

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

010

sin0cos

0

sincos

0

00

cossin

sincos

0

cossinsin

sincos

21 10

sin0

0

cos0sin

010

sin0cos

00

0

21 10 10 20

 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:

) 2 ( B 20 20 )

0 ( B

sincos

0

cossinsin

sincos

cos0

sin

b a

cos

sinsinsin

b a

b

b a

cos

A A

sinsin

sin

cossinsin

coscos

B B

a

b

b b

a

r

 Khi =3/2, =/2,  =3,  =1: sin=-1, cos=0, sin=1, cos=0

Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, 0, 15]T (dm/s)  VA = 15.0dm/s,

VB = [0, -4.0, 27.0]T (dm/s)  VB = 745  27.2947dm/s 4) Tính các lực suy rộng

sinsin

sin0

cossinsin

coscos

3 2 1

b b

a

b

b b

a F F F M

=M F1(acosbcossin)F3(asinbsinsin) +

+ F1bsincosF2bsinF3bcoscos

T B B A

T A

2

12

12

)coscossin

sinsin

()sin(           

=       sin   2  sin

2

12

B 2

2 B

2 A

2

1)

sin(

Câu 6:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt

phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học a

= 4dm, b = 5dm và các góc quay  = 10,  = 21

1) Viết các ma trận quay A10, A21, A20

2) Xác định các vectơ rA, rB theo  và 

3) Tính rA, rB tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =/2 rad,

=3/2 rad, =1rad/s,  =3rad/s

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

010

sin0cos

0

sincos

0

00

cossin

sincos

0

cossinsin

sincos

21 10

sin0

0

cos0sin

010

sin0cos0

0

0

21 10 10 20

 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:

) 2 ( B 20 20 )

0 ( B

sincos

0

cossinsin

sincos

cos0

sin

b a

cos

sinsinsin

b a

b

b a

cos

A A

sinsin

sin

cossinsin

coscos

B B

a

b

b b

a

r

 Khi =/2, =3/2,  =1,  =3: sin=1, cos=0, sin=-1, cos=0

Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, 0, 4]T (dm/s)  VA = 4.0dm/s,

VB = [0, 15.0, 19.0]T (dm/s)  VB = 586 24.2074dm/s 4) Tính các lực suy rộng

sinsin

sin0

cossinsin

coscos

3 2 1

b b

a

b

b b

a F F F M

=M F1(acosbcossin)F3(asinbsinsin) +

+ F1bsincosF2bsinF3bcoscos

T B B A

T A

2

12

12

)coscossin

sinsin

()sin(           

=       sin   2  sin

2

12

B 2

2 B

2 A

2

1)

sin(

Câu 7:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học

a=6dm, b =4dm và các góc quay  = 10,  = 21

1) Viết các ma trận quay A10, A21, A20

2) Xác định các vectơ rA, rB theo  và 

3) Tính rA, rB tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =3/2 rad,

=/2 rad, =3rad/s,  =1rad/s

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

0cossin

0sincos

010

sin0cos

sin

sinsincos

cossin

sincossin

coscos

21 10

0

100

0cossin

0sincos

00

a

00

cos0

sin

sinsincos

cossin

sincossin

coscos0

cossin

b

b a

b a

cossin

coscossin

sincos

B B

a

b b

a

r

 Khi =3/2, =/2,  =3,  =1: sin=-1, cos=0, sin=1, cos=0

Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, 18.0, 0]T (dm/s)  VA = 18.00dm/s

VB = [12, 18, -4]T (dm/s)  VB = 22.00dm/s 4) Tính các lực suy rộng

cossinsin

cossin

coscossin

sincos

3 2 1

b

b b

a

b b

a F F F M

=M F1(acosbsinsin)F2(asinbcossin) +

+ F1bcoscosF2bsincosF3bsin

T B B A

T A

2

12

12

cossin

B 2

sin(

2

1

B 2 2 B 2

2 2 2 B

2

m

T

2 2

dt

d



mAa2 mB(a2 b2sin2)mBb2 sin2mBabcosmBab 2sin

= M F1(acosbsinsin)F2(asinbcossin),

mBb2 mBabcosmBb22sincos =

=F1bcoscosF2bsincosF3bsin,

Câu 8:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học

a=5dm, b =4dm và các góc quay  = 10,  = 21

1) Viết các ma trận quay A10, A21, A20

2) Xác định các vectơ rA, rB theo  và 

3) Tính rA, rB tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =/2 rad,

=3/2 rad, =1rad/s,  =3rad/s

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

010

sin0cos

0

0cos

sin

0sincos

sincos

sin

0cos

sin

sinsin

coscos

cos

21 10

sin0

0

cos0sin

010

sin0cos0

00

) 2 ( B 20 20

sincos

sin

0cos

sin

sinsin

coscos

coscos

0

sin

b a

cos

sincossin

b a

b

b a

cos

A A

cossin

sin

coscossin

sincos

B B

a

b

b b

a

r

 Khi =/2, =3/2,  =1,  =3: sin=1, cos=0, sin=-1, cos=0

Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, 0, -5.0]T (dm/s)  VA = 5.00dm/s

VB = [-4, 18, -5]T (dm/s)  VB = 185  13.6015dm/s 4) Tính các lực suy rộng

cossin

sin0

coscossin

sincos

3 2 1

b b

a

b

b b

a F F F M

=M F1(acosbsinsin)F3(asinbcossin) +

+ F1bcoscosF2bsinF3bsincos

T B B A

T A

2

12

12

cossin

(        

=       sin   2 cos

2

12

B 2

sin(

2

1

B 2 2 B 2

2 2 2 B

2 2

dt

d



mAa2 mB(a2 b2sin2)mBb2 sin2mBabcosmBab 2sin

= M F1(acosbsinsin)F3(asinbcossin),

mBb2 mBabcosmBb22sincos =

=F1bcoscosF2bsinF3bsincos,

Câu 9:

Câu hỏi:

Cho cơ hệ gồm ba vật 0, 1, 2 liên kết với nhau bằng các khớp bản lề O và A

Tại thời điểm ban đầu như biểu diễn trên hình vẽ, ba điểm O, A, B cùng nằm trong mặt

phẳng thẳng đứng OYZ của hệ quy chiếu cố định OXYZ Cho các kích thước hình học a

= 5dm, b = 3dm và các góc quay  = 10,  = 21

1) Viết các ma trận quay A10, A21, A20

2) Xác định các vectơ rA, rB theo  và 

3) Tính rA, rB tại thời điểm bất kỳ và tại thời điểm ứng với khi =3/2 rad,

= rad, =3rad/s,  =2rad/s

4) Biết mômen M tác dụng trên vật 1 có trị số và chiều không đổi, lực F=[F1, F2, F3]T

tác dụng tại điểm B trên vật 2 (F1, F2, F3 được cho trong hệ quy chiếu cố định) Tính

các lực suy rộng Q, Q gây bởi M và F

5) Giả sử khối lượng chuyển động của hệ được quy về hai chất điểm mA, mB đặt tại các điểm A và B Thiết lập hệ phương trình chuyển động của hệ dưới dạng phương trình

Lagrăng loại 2 (bỏ qua trọng lực của mA, mB)

0cossin

0sincos

0

sincos

0

00

0

sincoscos

cossin

sinsincos

sincos

21 10

0

0

100

0cossin

0sincos

00

0

21 10 10 20

a a

R A R R

 Vị trí điểm B trong hệ quy chiếu gắn với giá:

) 2 ( B 20 20 )

0 ( B

a

00

cossin

0

sincoscos

cossin

sinsincos

sincos

0cossin

sinsinsin

b

b a

b a

sinsin

cossinsin

coscos

B B

a

b b

a

r

 Khi =3/2, =,  =3,  =2: sin=-1, cos=0, sin=0, cos=-1

Thay các giá trị đã biết vào (3), (4) và xác định được:

VA = [0, -15, 0]T (dm/s)  VA = 15.0dm/s,

VB = [6, -15, 0]T (dm/s)  VB = 3 29 16.1555dm/s 4) Tính các lực suy rộng

coscossin

sinsin

cossinsin

coscos

3 2 1

b

b b

a

b b

a F F F M

=M F1(acosbcossin)F2(asinbsinsin) +

+ F1bsincosF2bcoscosF3bsin

T B B A

T A

2

12

12

sinsin

B 2

2 B

2 A

2

1)

sin(

2

T