Một tài liệu rất bổ ích cho học viên đang theo học đại học và sau đại học chuyên ngành Cơ Kỹ Thuật tại các học viện và nhà trường.
Trang 13.1 SỰ ĐỊNH HƯỚNG CỦA VẬT RẮN TRONG KH.GIAN 3.2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN
3.3 CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
3.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
Trang 23.1 SỰ ĐỊNH HƯỚNG CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN
3.1.1 Các hệ quy chiếu
3.1.2 Một số quy ước về ký hiệu
3.1.3 Sự xác định vị trí của vật rắn trong không gian 3.1.4 Xác định hướng của vật rắn trong không gian.
Ma trận côsin chỉ hướng
Trang 33.1.1 CÁC HỆ QUY CHIẾU
Môn học định nghĩa hai loại hệ quy chiếu:
• Hệ quy chiếu cố định (IFR):
- Gắn cứng với giá 0
- Ký hiệu là OXYZ
- Vectơ đơn vị trên OX, OY, OZ: e1, e2, e3
- (e1, e2, e3) tạo thành một tam diện thuận
• Hệ quy chiếu động (hệ quy chiếu vật, BFR):
k 2
k
e
Trang 43.1.2 MỘT SỐ QUY ƯỚC VỀ KÝ HIỆU
• Điểm và tọa độ của điểm:
- Ký hiệu điểm: A, B, C, (chữ hoa, không đậm)
- Tọa độ điểm A trong hệ quy chiếu cố định:
(xA, yA, zA)
- Tọa độ điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động
OkXkYkZk gắn với vật k:
A A
(km), y , z x
Trang 5Các quy ước về ký hiệu (tiếp)
• Vectơ và tọa độ của vectơ:
- Vectơ xác định vị trí điểm A trong OXYZ:
- Vectơ xác định vị trí điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động OkXkYkZk gắn với vật k:
- Vectơ xác định vị trí điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động OmXmYmZm gắn với vật m:
- Vectơ xác định vị trí gốc tọa độ Ok trong hệ quy chiếu
m A
k 0
x u u
u
Trang 63.1.3 TÍNH XÁC ĐỊNH VỀ VỊ TRÍ CỦA VẬT TRONG KHÔNG GIAN
Trang 73.1.4 MA TRẬN CÔSIN CHỈ HƯỚNG CỦA VẬT RẮN
• Đặt vấn đề:
- Để xác định vị trí của vật rắn trong kgian, cần biết vị trí của 1 mp nào đó gắn cứng với vật
- Do trên các vật đều gắn hệ quy chiếu vật với 3 mp tọa
độ có vai trò như nhau ⇒ lấy luôn 3 mp tọa độ để xác định vị trí của vật
- Nếu chỉ quan tâm đến hướng của vật rắn thì chỉ cần biết hướng 3 vectơ đơn vị trên các trục tọa độ vật là đủ (vị trí của gốc tọa độ vật (Ok) không quan trọng)
- Để xác định hướng của 3 vectơ đơn vị trên 3 trục tọa
độ vật, cần biết các góc mà chúng tạo với 3 trục tọa độ Đơn giản hơn là biết côsin của các góc này
• Những lập luận trên dẫn đến việc thành lập ma trận côsin chỉ hướng của vật rắn:
Trang 8MA TRẬN CÔSIN CHỈ HƯỚNG CỦA VẬT RẮN (tiếp)
k 3 1
k 3
3
k 2 2
k 2 1
k 2
3
k 1 2
k 1 1
k 1
.e e e
e e
e
.e e e
e e
e
.e e e
e e
e C
α
α α
α
α α
31
23 22
21
13 12
11
3
k 3 2
k 3 1
k 3
3
k 2 2
k 2 1
k 2
3
k 1 2
k 1 1
k 1
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
) , ( cos )
, ( cos )
, ( cos
) , ( cos )
, ( cos )
, ( cos
) , ( cos )
, ( cos )
, ( cos
e e e
e e
e
e e e
e e
e
e e e
e e
e C
mn n
k m n
k m n
k m n
k m
mn = e e = e e cos ( e , e ) = 1 1 cos ( e , e ) = cos α
31
23 22
21
13 12
11
c c
c
c c
c
c c
c
C
Trang 91 Các phần tử trên hàng thứ m của ma trận C là tọa độ
trong hệ IFR của vectơ đơn vị
Tương tự, các phần tử trên cột thứ n của ma trận C là tọa
độ trong BFR của vectơ đơn vị en
2 Ma trận côsin chỉ hướng là ma trận trực giao:
C T C = CC T = I 3
3 Định thức của ma trận côsin chỉ hướng bằng 1.
4 Ma trận côsin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng bằng 1 Chú ý: Ma trận côsin chỉ hướng có 3 thành phần độc lập:
Các tính chất của ma trận côsin chỉ hướng
k m
e
0,
1
0,
1
0,
1
33 23 32
22 31
21
2 33
2 32
2 31
33 13 32
12 31
11
2 23
2 22
2 21
23 13 22
12 21
11
2 13
2 12
2 11
=+
+
=+
+
=+
+
=+
+
=+
+
=+
+
c c c
c c
c c
c c
c c c
c c
c c
c c
c c c
c c
c c
c c
Trang 103.2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN
3.2.1 Định nghĩa và thí dụ
3.2.2 Định lý về quan hệ động học của các điểm
Trang 113.2.1 ĐỊNH NGHĨA & THÍ DỤ CH.ĐỘNG TỊNH TIẾN
• Một vật rắn được gọi là thực hiện một chuyển động tịnh tiến nếu như mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc vật luôn dịch chuyển song song với chính nó
• Nói cách khác, chuyển động tịnh tiến không làm thay đổi phương của các đoạn thẳng gắn cứng với vật
• Thí dụ:
- Thanh truyền trong cơ cấu hình bình hành
- Chuyển động của ụ động trên băng trượt của máy tiện
- Ch.động tương đối giữa các khâu tạo nên khớp tịnh tiến
Trang 123.2.2 ĐỊNH LÝ VỀ QUAN HỆ ĐỘNG HỌC CỦA CÁC ĐIỂM
• Các điểm khác nhau trên vật rắn ch.động tịnh tiến có:
- Quỹ đạo chuyển động như nhau
- Vectơ vận tốc như nhau
- Vectơ gia tốc như nhau
⇒ Đối với vật chuyển động tịnh tiến, chỉ cần quan tâm đến quỹ đạo, chuyển vị, vận tốc và gia tốc của một điểm là đủ
Trang 133.3 CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
3.3.1 Xác định vị trí của điểm sau phép quay
3.3.4 Vận tốc góc và gia tốc góc
3.3.5 Xác định trục quay và góc quay khi biết ma trận quay
Trang 143.3.1 XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ CỦA ĐIỂM SAU PHÉP QUAY
1
2 3
2 2
2
1 + ν + ν =
ν
Trang 15Xác định vị trí của điểm sau phép quay
r ν
r ν r
ν r
ν
r ν
) sin
~ ( sin
) (
sin sin
2
sin ) (
2 2
sin 2
1 sin 1
sin )
( 2
sin 2
90 sin HP
sin ) (
a a
a
r r
r = + ∆ ∆r = PkP = Pk H + HP
Trang 16• Công thức xác định vị trí của điểm sau phép quay:
Xác định vị trí của điểm sau phép quay (tiếp)
r A r
ν ν
I
r = + θ + ) sin θ 2 =
~ ( 2 sin
3trong đó:
) ,
( 2
sin )
~ ( 2 sin
• Quan hệ giữa các cách biểu diễn của cùng một vectơ
trong hai hệ quy chiếu IFR và BFR:
=
Trang 17• Công thức tổng quát của ma trận quay:
3.3.2 MA TRẬN QUAY
) ,
( 2
sin )
~ ( 2 sin
Trang 18• Biểu diễn theo các tham số trục quay và góc quay:
BIỂU DIỄN MA TRẬN QUAY
−
ν
− ν
ν ν
−
=
0 0
0
~
1 2
1 3
2 3
− ν
ν ν
ν
ν ν ν
+ ν
− ν
ν
ν ν ν
ν ν
+ ν
−
=
) (
) (
)
( )
~ (
2 2
2 1 3
2 1
3
3 2
2 1
2 3 2
1
1 3 2
1
2 3
2 2 2
31
23 22
21
13 12
11
3 3
ij)
(
a a
a
a a
a
a a
a a
A
) 2 ( sin ) 1
( 2 1
) 2 ( sin ) (
2
1
2 2
1
2 2
3
2 2 11
θ ν
ν + θ ν
−
=
θ ν
−
−
=
θ ν
+ ν
−
=
a
) 2 ( sin 2
sin
) 2 ( sin 2
sin
) 2 ( sin 2
sin
) 2 ( sin ) 1
( 2 1
) 2 ( sin ) (
2 1
2
2 1
3 2
31
2 3
2 1
23
2 2
2
2 2
3
2 1 22
θ ν
ν + θ ν
=
θ ν
ν + θ ν
−
=
θ ν
ν + θ ν
−
=
θ ν
−
−
=
θ ν
+ ν
−
=
a a a a
To slide 25
Trang 19Các tham số Ơle:
2
sin
, 2
sin
, 2
sin
, 2
0
θ ν
= θ
θ ν
= θ
θ ν
= θ
θ
= θ
) 1
3
2 2
2 1
2
0 + θ + θ + θ =
θ
)(
211)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(
211)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(
211)(
2
2 2
2 1
2 3
2 0 33
1 0 2
3 32
2 0 1
3 31
1 0 3
2 23
2 1
2 3
2 2
2 0 22
3 0 1
2 21
2 0 3
1 13
3 0 2
1 12
2 3
2 2
2 1
2 0 11
θ+θ
−
=
−θ
+θ
=
θθ+θθ
=
θθ
−θθ
=
θθ
−θθ
=
θ+θ
−
=
−θ
+θ
=
θθ+θθ
=
θθ+θθ
=
θθ
−θθ
=
θ+θ
−
=
−θ
+θ
=
a a a a a a a a a
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
A
Vectơ các tham số Ơle :
T 3 2
BIỂU DIỄN MA TRẬN QUAY (tiếp)
• Biểu diễn theo các tham số Ơle (Euler):
Trang 20• Biểu diễn theo các ma trận G và L:
−θ
θ
−
θθ
θ
−θ
−
θ
−θ
θθ
−
=
0 1
2 3
1 0
3 2
2 3
0 1
θ
−θ
−
θ
−θ
θθ
−
θθ
−θ
θ
−
=
0 1
2 3
1 0
3 2
2 3
0 1
0 Lθ
Gθ
I LL
Trang 21• Trục quay trùng với OY:
• Trục quay trùng với OX:
• Trục quay trùng với OZ:
θ
− θ
=
cos sin
0
sin cos
0
0 0
sin
0 1
0
sin 0
0
0 cos
sin
0 sin
cos
A
MA TRẬN QUAY KHI TRỤC QUAY TRÙNG TRỤC TỌA ĐỘ
Trang 22CÁC TÍNH CHẤT CỦA MA TRẬN QUAY
Ma trận quay của vật rắn là chuyển vị của ma trận côsin chỉ hướng của nó ⇒ ma trận quay có tất cả các tính chất của ma trận côsin chỉ hướng
33 32
31
23 22
21
13 12
11 k
1
00
1
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
e A
TC1: Các cột của ma trận quay là tọa độ trong hệ quy chiếu cố định của các vectơ đơn vị trên hệ tọa độ động gắn với vật khảo sát
TC2: Ma trận quay là ma trận trực giao
TC3: Định thức của ma trận quay bằng 1 (detA = 1).
Trang 23• Vận tốc:
3.3.3 VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CỦA ĐIỂM TRÊN VẬT RẮN
r A r
A r
d dt
d
)(
,
θ = θθ
d dt
d
• Gia tốc:
r A
r A
r
V = = = θθ
dt d
r A
A r
A
A r
=
θ
θ θ
dt
d dt
d d
d dt
d dt
d dt
d dt
r A
A
θ+
(
d d
Trang 24• Vận tốc góc:
3.3.3 VẬN TỐC GÓC & GIA TỐC GÓC CỦA VẬT RẮN
• Gia tốc góc:
T 3 2
[ν ν νθ
=θ
=
θ
=ω
A ω
ω A
ω
ω , - vectơ vận tốc góc xác định trong BFR và IFR
T 3 2
1 2
2
] ,
,
θ
= θ
ε
dt
d dt
d
ε A ε
A ε
ε A
ε
ε ,
Trang 25• Biết ma trận quay ⇔ biết tất cả các phần tử aik của nó:
3.3.5 XÁC ĐỊNH TRỤC QUAY & GÓC QUAY BIẾT MA TRẬN A
Xác định trục quay và góc quay ⇔ tìm ν1, ν2, ν3 và θ
Theo cách biểu diễn A theo các tham số trục quay và
góc quay, suy ra:
Chú ý: Do ch.động quay quanh trục cố định lặp lại vị trí
ban đầu nên tồn tại nhiều góc quay khác nhau
31
23 22
21
13 12
11
3 3
ij)
(
a a
a
a a
a
a a
a a
A
2
]1)
)
( 21 12
3
a a
To slide 18
Trang 263.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.4.1 Phương trình chuyển động tổng quát
3.4.2 Vận tốc, gia tốc trong chuyển động tổng quát 3.4.3 Vận tốc góc trong chuyển động tổng quát
3.4.4 Ma trận chuyển cấp bốn
Trang 27• Theo Charles, ch.động tổng quát
3.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.4.1 Phương trình chuyển động tổng quát
r = [x, y, z]T - vectơ xác định vị trí điểm kh.sát trong IFR
Rk - vectơ xác định gốc tọa độ động trong IFR
Ak - ma trận quay tuyệt đối của vật khảo sát k.
- vectơ xác định vị trí điểm kh.sát trong BFR
r A R
r = k + k
T
] , , [x y z
=
r
u A
u = k
• Chú ý:
Trang 283.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.4.2 Vận tốc, gia tốc trong chuyển động tổng quát
Do r = [x, y, z]T là vectơ xác định vị trí điểm kh.sát trong IFR nên vận tốc và gia tốc của điểm khảo sát được xác định như sau:
T
],,[x y z
=
r
T k
Trang 293.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.4.3 Vận tốc góc trong chuyển động tổng quát
• Định nghĩa tổng quát của vận tốc góc:
ab - vị trí của đoạn thẳng trên vật
rắn khảo sát tại thời điểm t ⇔ vectơ
u trong IFR và vectơ u* trong BFR,
a'b' - vị trí của đoạn thẳng đó tại thời
điểm (t+dt),
a'b" //=ab ⇒ ∠b'a'b"=dθ - góc quay,
Vectơ chuyển vị góc dθ⊥mp(b'a'b")
và thuận chiều góc quay dθ
Gia số vectơ của u là du có các đặc
điểm:
- Vuông góc với tích có hướng dθ×u,
- Có trị số du = |u|.|dθ|
u θ
u u
u
θ u
u θ
d
d
90 sin
dt d
Trang 303.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.4.3 Vận tốc góc trong chuyển động tổng quát
• Biểu diễn vận tốc góc trong IFR:
So sánh các công thức trên và rút ra:
,
~ u
ω u
ω
u = × = u = A u
,2
T
T G L G L G L L
G
A = + = = ATA = AAT = I3 ,
Sử dụng các công thức:
u G G u
G θ θ G u
G G u
G θθ
I G
u G L L G u
A LG
L G u
A A L G u
L G
u
T T
T T
T
T 4
T T
T T
T T T
2)
(2
2)
(2
)(
2)
(2
Trang 313.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.4.3 Vận tốc góc trong chuyển động tổng quát (tiếp)
• Biểu diễn vận tốc góc trong IFR (tiếp):
Thay biểu thức của các tham số Ơle vào các thành phần của vectơ vận tốc góc ω:
⇒ công thức tính các thành phần của vectơ vận tốc góc trong IFR theo tham số trục quay và góc quay:
2
sin
, 2
sin
, 2
sin
, 2
θ
θν+θν
+
θν
ν
−νν
=ω
θν+θν
+
θν
ν
−νν
=ω
θν+θν
+
θν
ν
−νν
=ω
2 1
2 2
1 3
2 2
2 3
1 1
3 2
1 1
2 2
3 3
2 1
sin2
sin)(
2
sin2
sin)(
2
sin2
sin)(
2
Trang 323.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.4.3 Vận tốc góc trong chuyển động tổng quát (tiếp)
• Biểu diễn vận tốc góc trong BFR:
Nhân trực tiếp 2 ma trận theo công thức trên dẫn đến:
Đã có:
Nhưng do:
θ G LG θ
G GL
ω A
ω = T = ( T)T(2 ) = 2 T
0 Lθ
θθ I
G
GT = 4 − T , =nên:
θ L θ
Lθθ θ
L θ
θθ I
L θ
G G L
−θθ+θθ
−θθ
θθ
−θθ+θθ
−θ
ω
)(
Trang 333.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.4.3 Vận tốc góc trong chuyển động tổng quát (tiếp)
• Biểu diễn vận tốc góc trong BFR (tiếp):
Thay biểu thức của các tham số Ơle vào các thành phần của vectơ vận tốc góc :
⇒ công thức tính các thành phần của vectơ vận tốc góc trong BFR qua các tham số trục quay và góc quay:
2
sin
, 2
sin
, 2
sin
, 2
+
θν
ν
−νν
=ω
θν+θν
+
θν
ν
−νν
=ω
θν+θν
+
θν
ν
−νν
=ω
2 2
1 1
2 3
2 2
2 1
3 3
1 2
1 1
2 3
2 2
3 1
sin2
sin)(
2
sin2
sin)(
2
sin2
sin)(
2
Trang 343.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
] , , [x y z
0 0
1
, 1
1
, 1
Ok 23
22 21
Ok 13
12 11
3 1
k k
4 k 4
4
Z a
a a
Y a
a a
X a
a a
z y
x z
r r
r
r
Lúc này, có thể viết lại công thức trên:
Trang 353.5 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA VẬT RẮN
3.5.1 Khái niệm về chuyển động phức hợp
3.5.2 Vị trí của điểm trên vật ch.động phức hợp
3.5.3 Vận tốc tuyệt đối của điểm
3.5.4 Gia tốc tuyệt đối của điểm
3.5.4 Vận tốc góc tuyệt đối trong ch.động phức hợp 3.5.5 Gia tốc góc tuyệt đối trong ch.động phức hợp
Chương 3 - ĐỘNG HỌC HỆ NHIỀU VẬT