chương 3 cơ học hệ nhiều vật

Một tài liệu rất bổ ích cho học viên đang theo học đại học và sau đại học chuyên ngành Cơ Kỹ Thuật tại các học viện và nhà trường.

3.1 SỰ ĐỊNH HƯỚNG CỦA VẬT RẮN TRONG KH.GIAN 3.2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN 3.3 CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH 3.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN 3.5 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP 3.6 ĐỘNG HỌC HỆ CÓ CẤU TRÚC KHÉP KÍN Chương 3 ĐỘNG HỌC HỆ NHIỀU VẬT NỘI DUNG 3.1 SỰ ĐỊNH HƯỚNG CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN 3.1.1 Các hệ quy chiếu 3.1.2 Một số quy ước về ký hiệu 3.1.3 Sự xác định vị trí của vật rắn trong không gian 3.1.4 Xác định hướng của vật rắn trong không gian. Ma trận côsin chỉ hướng 3.1.1 CÁC HỆ QUY CHIẾU Môn học định nghĩa hai loại hệ quy chiếu: • Hệ quy chiếu cố định (IFR): - Gắn cứng với giá 0. - Ký hiệu là OXYZ. - Vectơ đơn vị trên OX, OY, OZ: e 1 , e 2 , e 3 . - (e 1 , e 2 , e 3 ) tạo thành một tam diện thuận. • Hệ quy chiếu động (hệ quy chiếu vật, BFR): - Gắn cứng với vật chuyển động. - Ký hiệu BFR gắn với vật k là O k X k Y k Z k . - Các vectơ đơn vị trên O k X k , O k Y k , O k Z k cũng tạo thành một tam diện thuận và được ký hiệu là: k 3 k 2 k 1 ,, eee 3.1.2 MỘT SỐ QUY ƯỚC VỀ KÝ HIỆU • Điểm và tọa độ của điểm: - Ký hiệu điểm: A, B, C, (chữ hoa, không đậm). - Tọa độ điểm A trong hệ quy chiếu cố định: (x A , y A , z A ) - Tọa độ điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động O k X k Y k Z k gắn với vật k: AAA ,, zyx - Tọa độ điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động O m X m Y m Z m gắn với vật m: (km) A (km) A (km) A ,, zyx Các quy ước về ký hiệu (tiếp) • Vectơ và tọa độ của vectơ: - Vectơ xác định vị trí điểm A trong OXYZ: - Vectơ xác định vị trí điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động O k X k Y k Z k gắn với vật k: - Vectơ xác định vị trí điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động O m X m Y m Z m gắn với vật m: - Vectơ xác định vị trí gốc tọa độ O k trong hệ quy chiếu cố đinh OXYZ: - Vectơ xác định vị trí gốc tọa độ O k trong hệ quy chiếu động O m X m Y m Z m gắn với vật m: - Tọa độ vectơ gắn với vật rắn k trong hệ quy chiếu động O k X k Y k Z k gắn với vật k: - Tọa độ vectơ gắn với vật rắn k trong hệ quy chiếu cố định OXYZ gắn với vật k: (u x , u y , u z ) A OA r= A k AO r= (km) A m AO r= k0k k OO RR ≡= km km OO R= u zyx uuu ,, u 3.1.3 TÍNH XÁC ĐỊNH VỀ VỊ TRÍ CỦA VẬT TRONG KHÔNG GIAN • Xét vật rắn k trong hệ OXYZ: - Nếu biết vị trí của điểm A thuộc vật thì vị trí của vật chưa xác định: vật có thể quay quanh mọi trục đi qua A. - Nếu biết thêm vị trí của điểm B thuộc vật thì vị trí của vật cũng vẫn chưa xác định: vật có thể quay quanh đường thẳng AB. - Nếu biết thêm vị trí của điểm C nữa thuộc vật thì vị trí của vật hoàn toàn xác định. 3.1.4 MA TRẬN CÔSIN CHỈ HƯỚNG CỦA VẬT RẮN • Đặt vấn đề: - Để xác định vị trí của vật rắn trong kgian, cần biết vị trí của 1 mp nào đó gắn cứng với vật. - Do trên các vật đều gắn hệ quy chiếu vật với 3 mp tọa độ có vai trò như nhau ⇒ lấy luôn 3 mp tọa độ để xác định vị trí của vật. - Nếu chỉ quan tâm đến hướng của vật rắn thì chỉ cần biết hướng 3 vectơ đơn vị trên các trục tọa độ vật là đủ (vị trí của gốc tọa độ vật (O k ) không quan trọng). - Để xác định hướng của 3 vectơ đơn vị trên 3 trục tọa độ vật, cần biết các góc mà chúng tạo với 3 trục tọa độ. Đơn giản hơn là biết côsin của các góc này. • Những lập luận trên dẫn đến việc thành lập ma trận côsin chỉ hướng của vật rắn: MA TRẬN CÔSIN CHỈ HƯỚNG CỦA VẬT RẮN (tiếp)           = 3 k 32 k 31 k 3 3 k 22 k 21 k 2 3 k 12 k 11 k 1 .ee.ee.ee .ee.ee.ee .ee.ee.ee C           ααα ααα ααα =           = 333231 232221 131211 3 k 32 k 31 k 3 3 k 22 k 21 k 2 3 k 12 k 11 k 1 coscoscos coscoscos coscoscos ),(cos),(cos),(cos ),(cos),(cos),(cos ),(cos),(cos),(cos eeeeee eeeeee eeeeee C mnn k mn k mn k mn k mmn cos),(cos.1.1),(cos α==== eeeeeeeec           =⇔ 333231 232221 131211 ccc ccc ccc C 1. Các phần tử trên hàng thứ m của ma trận C là tọa độ trong hệ IFR của vectơ đơn vị Tương tự, các phần tử trên cột thứ n của ma trận C là tọa độ trong BFR của vectơ đơn vị e n . 2. Ma trận côsin chỉ hướng là ma trận trực giao: C T C = CC T = I 3 3. Định thức của ma trận côsin chỉ hướng bằng 1. 4. Ma trận côsin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng bằng 1. Chú ý: Ma trận côsin chỉ hướng có 3 thành phần độc lập: Các tính chất của ma trận côsin chỉ hướng k m e 0,1 0,1 0,1 332332223121 2 33 2 32 2 31 331332123111 2 23 2 22 2 21 231322122111 2 13 2 12 2 11 =++=++ =++=++ =++=++ ccccccccc ccccccccc ccccccccc 3.2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN 3.2.1 Định nghĩa và thí dụ 3.2.2 Định lý về quan hệ động học của các điểm [...]... , θ 3 = ν 3 sin 2 2 2 2 2 2 2 ( θ0 + θ1 + θ 2 + 3 = 1) 2 Vectơ các tham số Ơle : θ = [θ0 , θ1 , θ 2 , 3 ]T  a11 A = a21  a31  a12 a22 a32 a 13  a 23   a 33   2 2 2 a11 = 2(θ0 + θ1 ) − 1 = 1 − 2(θ 2 + 3 ) 2 a12 = 2(θ1θ 2 − θ0 3 ) a 13 = 2(θ1 3 + θ0 θ 2 ) a21 = 2(θ 2 θ1 + θ0 3 ) 2 2 2 a22 = 2(θ0 + θ 2 ) − 1 = 1 − 2( 3 + θ1 ) 2 a 23 = 2(θ 2 3 − θ0 θ1 ) a31 = 2( 3 1 − θ0 θ 2 ) a32 = 2( 3 2... ν  3 − ν 2  A = (aij ) 3 3 − 3 0 ν1 2  − (ν 2 + ν 3 ) ν 1ν 2 ν 3 ν1  2   2 2 ( ~ ) 2 =  ν 1ν 2 ν − (ν 3 + ν 1 ) ν 2ν 3  2  ν 3 ν1 ν 2ν 3 − (ν 1 + ν 2 )  2   ν2  − ν1   0    a11 = a 21   a31  a 13  a 23   a 33   a12 a 22 a32 2 a11 = 1 − 2(ν 2 + ν 3 ) sin 2 (θ 2) 2 = 1 − 2(1 − ν ) sin (θ 2) 2 1 2 2 2 a22 = 1 − 2(ν1 + ν 3 ) sin 2 (θ 2) = 1 − 2(1 − ν 2 ) sin 2 (θ 2) 2 a 23 = −ν1... A = (aij ) 3 3  a11 a =  21  a31  a12 a 22 a32 a 13   a 23  a 33   Xác định trục quay và góc quay ⇔ tìm ν1, ν2, 3 và θ Theo cách biểu diễn A theo các tham số trục quay và góc quay, suy ra: [(a11 + a 22 + a 33 ) − 1] cos θ = 2 (a 21 − a12 ) (a 13 − a31 ) (a32 − a 23 ) 3 = ν2 = ν1 = 2 sin θ 2 sin θ 2 sin θ Chú ý: Do ch.động quay quanh trục cố định lặp lại vị trí ban đầu nên tồn tại nhiều góc quay... công thức trên: 4 k 4 r4 = A r  AT (A ) =  k O1 3 4 −1 k − ATRk  k  1  Chương 3 - ĐỘNG HỌC HỆ NHIỀU VẬT 3. 5 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA VẬT RẮN 3. 5.1 Khái niệm về chuyển động phức hợp 3. 5.2 Vị trí của điểm trên vật ch.động phức hợp 3. 5 .3 Vận tốc tuyệt đối của điểm 3. 5.4 Gia tốc tuyệt đối của điểm 3. 5.4 Vận tốc góc tuyệt đối trong ch.động phức hợp 3. 5.5 Gia tốc góc tuyệt đối trong ch.động phức hợp... ν1 sin , θ 2 = ν 2 sin , θ 3 = ν 3 sin 2 2 2 2 ⇒ công thức tính các thành phần của vectơ vận tốc góc trong IFR theo tham số trục quay và góc quay: 2 θ     ω1 = 2 (ν 2 ν 3 − ν 3 2 ) sin + ν1 sin θ + ν1θ 2 2 θ     ω2 = 2 (ν 3 1 − ν1ν 3 ) sin + ν 2 sin θ + ν 2 θ 2 2 θ     3 = 2 (ν1ν 2 − ν 2 ν1 ) sin + ν 3 sin θ + ν 3 2 3. 4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN 3. 4 .3 Vận tốc góc trong chuyển... diễn - Ma trận quay khi trục quay trùng trục tọa độ - Các tính chất 3. 3 .3 Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật 3. 3.4 Vận tốc góc và gia tốc góc 3. 3.5 Xác định trục quay và góc quay khi biết ma trận quay 3. 3.1 XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ CỦA ĐIỂM SAU PHÉP QUAY 2 2 ν1 + ν 2 + ν 3 = 1 2 Ban đầu 2 hệ quy chiếu OXYZ, OkXkYkZk trùng nhau ν = [ν1, ν2, 3] T - vectơ đơn vị trên trục quay ∆, θ - góc quay (dương khi cùng... ν1 sin , θ 2 = ν 2 sin , θ 3 = ν 3 sin 2 2 2 2 ⇒ công thức tính các thành phần của vectơ vận tốc góc trong BFR qua các tham số trục quay và góc quay: 2 θ     ω1 = 2 (ν 3 2 − ν 2 ν 3 ) sin + ν1 sin θ + ν1θ 2 2 θ     ω2 = 2 (ν1ν 3 − ν 3 1 ) sin + ν 2 sin θ + ν 2 θ 2 θ     3 = 2 (ν 2 ν1 − ν1ν 2 ) sin 2 + ν 3 sin θ + ν 3 2 3. 4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN 3. 4.4 Ma trận chuyển cấp bốn... 3 ) sin 2 (θ 2) = 1 − 2(1 − ν 2 ) sin 2 (θ 2) 2 a 23 = −ν1 sin θ + 2ν 2 ν 3 sin 2 (θ 2) a31 = −ν 2 sin θ + 2ν 3 1 sin 2 (θ 2) a12 = −ν 3 sin θ + 2ν1ν 2 sin (θ 2) a32 = ν1 sin θ + 2ν 3 2 sin 2 (θ 2) a 13 = ν 2 sin θ + 2ν1ν 3 sin 2 (θ 2) 2 a 33 = 1 − 2(ν1 + ν 2 ) sin 2 (θ 2) 2 2 a21 = ν 3 sin θ + 2ν 2ν1 sin (θ 2) 2 2 = 1 − 2(1 − ν 3 ) sin 2 (θ 2) BIỂU DIỄN MA TRẬN QUAY (tiếp) • Biểu diễn theo các tham số... T u ~  So sánh các công thức trên và rút ra: ω = 2GG T      ω1  2(θ0 θ1 − θ1θ0 − 3 2 + θ 2 3 )       ω = ω2  = 2(θ0 θ 2 − θ 2 θ0 − θ1 3 + 3 1 )        3  2(θ0 3 − 3 0 − θ 2 θ1 + θ1θ 2 )      Kiểm tra trực tiếp cũng thấy: ω = 2Gθ 3. 4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN 3. 4 .3 Vận tốc góc trong chuyển động tổng quát (tiếp) • Biểu diễn vận tốc góc trong IFR (tiếp):... QUAY Ma trận quay của vật rắn là chuyển vị của ma trận côsin chỉ hướng của nó ⇒ ma trận quay có tất cả các tính chất của ma trận côsin chỉ hướng  a11 A e1k = a 21   a31  a12 a 22 a32 a 13  1  a11  a 23  0 = a 21      a 33  0  a31      TC1: Các cột của ma trận quay là tọa độ trong hệ quy chiếu cố định của các vectơ đơn vị trên hệ tọa độ động gắn với vật khảo sát TC2: Ma trận . hướng k m e 0,1 0,1 0,1 33 233 22 231 21 2 33 2 32 2 31 33 133 21 231 11 2 23 2 22 2 21 231 322122111 2 13 2 12 2 11 =++=++ =++=++ =++=++ ccccccccc ccccccccc ccccccccc 3. 2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN 3. 2.1 Định. QUAY           νν− ν−ν νν− = 0 0 0 ~ 12 13 23 ν           ν+ν−νννν ννν+ν−νν ννννν+ν− = )( )( )( ) ~ ( 2 2 2 132 13 32 2 1 2 32 1 132 1 2 3 2 2 2 ν           == × 33 3 231 232 221 131 211 33 ij )( aaa aaa aaa aA )2(sin2sin )2(si n2sin )2(si n2sin )2(si n)1(21 )2(sin)(21 2 1 232 1 2 31 2 13 2 2 131 2 22 1 22 3 2 211 θνν+θν= θνν+θν= θνν+θν−= θν−−= θν+ν−= a a a a )2(sin)1(21 )2(sin)(21 )2(sin2sin )2(sin2sin )2(sin2sin )2(sin)1(21 )2(s. Ơle: 2 sin, 2 sin, 2 sin, 2 cos 33 22110 θ ν=θ θ ν=θ θ ν=θ θ =θ )1( 2 3 2 2 2 1 2 0 =θ+θ+θ+θ )(211)(2 )(2 )(2 )(2 )(211)(2 )(2 )(2 )(2 )(211)(2 2 2 2 1 2 3 2 033 10 233 2 20 133 1 1 032 23 2 1 2 3 2 2 2 022 30 1221 2 031 13 302112 2 3 2 2 2 1 2 011 θ+θ−=−θ+θ= θθ+θθ= θθ−θθ= θθ−θθ= θ+θ−=−θ+θ= θθ+θθ= θθ+θθ= θθ−θθ= θ+θ−=−θ+θ= a a a a a a a a a           = 33 3 231 232 221 131 211 aaa aaa aaa A Vectơ