chương 4 giao tuyến của mặt phẳng với các mặt

* Giao tuyến của một mặt phẳng với một đa diệnthường là một hay nhiều đa giác phẳng có: cạnh làcác giao tuyến của các mặt bên của đa diện với mặt phẳng cắt và đỉnh là các giao điểm của c

4.1 Mặt phẳng cắt đa diện

4.1.1.Nhận dạng giao tuyến 4.1.2.Cách vẽ giao tuyến

4.2 Mặt phẳng cắt mặt cong

4.2.1.Nhận dạng giao tuyến 4.2.2.Cách vẽ giao tuyến: Mặt phẳng cắt mặt nón, trụ, cầu, xuyến.

Chương 4

GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

VỚI CÁC MẶT

4.1 Mặt phẳng cắt đa diện

Một cách tổng quát, giao tuyến của một mặt phẳng với một mặt đa diện là tập hợp các điểm vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt đó Tùy theotừng mặt mà giao tuyến có các dạng khác nhau.Muốn vẽ được giao tuyến, trước tiên ta phải nhậndạng được chúng

* Giao tuyến của một mặt phẳng với một đa diệnthường là một hay nhiều đa giác phẳng có: cạnh là

các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với mặt phẳng cắt và đỉnh là các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng cắt.

4.1.1 Nhận dạng giao tuyến (và xét thấy khuất)

P Q

R S

4.1.2 Cách vẽ giao tuyến

Để xác định giao tuyến của mặt phẳng cắt với đa

diện có 2 cách như sau:

- Xác định các đỉnh của giao tuyến bằng cách tìm các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng cắt và mỗi cặp đỉnh cùng thuộc một mặt của

đa diện ta sẽ được một cạnh của giao tuyến

- Xác định các cạnh của giao tuyến bằng cách tìm các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với mặt phẳng cắt.

Như vậy vấn đề vẽ giao tuyến của một mặt phẳng

với mặt đa diện về thực chất chính là vấn đề vẽ

giao tuyến của hai mặt phẳng, hoặc vẽ giao điểm của một đường thẳng với một mặt phẳng.

của đa giác giao tuyến là

các giao điểm của các

Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng chiếu bằng Q

đỉnh của giao tuyến

Ví dụ 3: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng Q(v1Q, v2Q)với lăng trụ chiếu bằng abc.

Giải: Xác định các

đỉnh của đa giác giao

tuyến là các giao điểm

Ví dụ 4: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng P với mặt

Giải: Tìm giao điểm

các cạnh của đa diện

4.2 Mặt phẳng cắt mặt cong

* Dạng giao tuyến:

Nói chung, giao tuyến của một mặt phẳng với mộtmặt cong là một đường cong phẳng Nếu mặt cong là mặt đại số bậc n thì giao tuyến là đường cong đại số bậc n Nếu mặt cong là mặt kẻ thì giao tuyến có thể là các đường thẳng (đó là các

đường sinh của mặt cong) hoặc là một đường

cong.

*Cách xác định giao tuyến (Tổng quát):

Muốn vẽ giao tuyến e của mặt phẳng Q với

2 Xác định các điểm

đặc biệt của giao tuyến e

như: điểm giới hạn phần

thấy, khuất trên các hình

chiếu; điểm cao nhất; điểm

thấp nhất; điểm gần nhất;

điểm xa nhất;…

1 Xác định dạng của giao tuyến e và đi tìm cácyếu tố xác định e ( tâm, bán kính đường tròn; trụcngắn, trục dài của elíp;… )

Để tìm các điểm thuộc giao tuyến e , ta

thường làm như sau:

Chọn mặt phẳng phụ trợ thế nào?

hai giao tuyến phụ m và g có thể xác định

chính xác

* Trường hợp đặc biệt:

- Khi mặt cắt Q là mặt phẳng chiếu thì một hình chiếu của giao tuyến e suy biến

ta gắn các điểm cần tìm của e vào các đường đặc biệt của mặt cong.

- Khi mặt trụ là mặt chiếu thì một hình chiếu của giao tuyến e suy biến và trùng với

chiếu còn lại ta gắn các điểm cần tìm của e

phẳng Q ( ví dụ: đường dốc nhất, đường bằng, đường mặt ).

Mặt khác, ta cũng có thể thực hiện như sau:

vuông góc với trục quay

hoặc các đường cong nẳm

trong mặt phẳng chiếu,

tìm các giao điểm của

những đường cong này

với MPQ chính là điểm

thuộc giao tuyến e

- Hai đường thẳng nếu mặt

phẳng cắt đường chuẩn tại

hai điểm và song song với

đường sinh của trụ

m

m

n

- Giao tuyến là một elip

hoặc một đường tròn nếu

mặt cắt không song song

với đường sinh của mặt trụ e

đường chuẩn của trụ.

-Tâm O của giao tuyến:

O=t  Q; O2  t2.

* Tìm các điểm đặc trưng

của giao tuyến bằng cách

tìm các giao điểm của

đường thẳng đặc biệt

thuộc mặt phẳng với

mặt trụ.

EF, hai điểm E, F là hai

điểm giới hạn thấy khuất

trên hình chiếu đứng của

e.

Khi đó hình chiếu đứng e1

của giao tuyến là một elip

có hai đường kính liên

hợp là A1B1 và C1D1.

4.2.2 Mặt phẳng cắt mặt nón

1.Nhận dạng giao tuyến

Giao tuyến của một mặt phẳng với mặt nón có

đường chuẩn là một đường tròn có thể là mộttrong các dạng sau:

- Một đường elip nếu mặtphẳng không đi qua đỉnh vàcắt tất cả các đường sinh.

- Một đường tròn nếu mặtphẳng đã cho song song vớimặt phẳng đáy nón

- Một Parabol nếu mặtphẳng cắt chỉ song song với

một đường sinh duy nhất.

- Một hypebol nếu mặt phẳng cắt song song với hai đường sinh của nón.

Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến của mặt

phẳng chiếu đứng Q với mặt nón

tròn xoay đỉnh S có trục là đường

thẳng chiếu bằng, với Q song song

với một đường sinh SJ

Giao tuyến của mặt phẳng với mặt cầu là mộtđường tròn có tâm là chân đường vuông góc hạ từtâm mặt cầu xuống mặt phẳng cắt.

Giải: Giao tuyến cần tìm

là đường tròn tâm I thỏa mãn

hai điểm nằm trên giới hạn thấy

khuất của giao tuyến trên hình

chiếu bằng

Giao tuyến của mặt phẳng với mặt xuyến nóichung là một đường cong phẳng bậc 4.

1.Nhận dạng giao tuyến

Trong các trường hợp sau giao tuyến của mặtphẳng với mặt xuyến là các đường tròn:

- Mặt phẳng cắt chứa trục

xuyến, cắt mặt xuyến theo

hai đường tròn(sinh) đối

xứng với nhau qua trục

- Mặt phẳng vuông

góc với trục sẽ cắt mặt

xuyến theo các đường

tròn vĩ tuyến

Để xác định các điểm

thuộc giao tuyến, ta tìm

giao điểm của các đường