chương 6 giao tuyến của hai mặt

3 4 6 8 7 Như vậy, từ việc nhận dạng đó cho ta thấy để vẽ giao tuyến của hai đa diện ta có hai cách: 1.Xác định các điểm gẫy: Là giao điểm của các cạnh đa diện này với các mặt đa diện ki

CHƯƠNG 6GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT

6.1 Dạng giao tuyến trong các trường hợp

1.Đa diện cắt đa diện

2.Đa diện cắt mặt cong

Trong thực tế, các công trình, chi tiết kết cấu hay vật thể thường được cấu tạo nên

từ nhiều khối hình học gộp lại.

Việc biểu diễn các mặt hình học(các khối

cơ bản) đã nghiên cứu ở những bài trước.

Chương này sẽ trình bày các phương pháp xác định giao tuyến của các mặt cơ bản với nhau.

Để vẽ được giao tuyến của hai mặt, trước

tiên ta phải xác định được dạng của giao tuyến đó.

MỞ ĐẦU

6.1 Dạng giao tuyến trong các trường hợp

Hai mặt có thể là mặt đa diện hoặc mặt cong, nên ta có ba trường hợp cơ bản của giao tuyến là:

- Đa diện cắt đa diện.

- Đa diện cắt mặt cong.

Giao tuyến của hai đa

diện thường là một hay một

số đường gẫy khúc kín.

Trong đó:

- Mỗi cạnh (đoạn gẫy) củađường gẫy khúc là giao tuyếncủa một mặt của đa diện nàyvới một mặt của đa diện kia

- Mỗi đỉnh(điểm gẫy) của đường gẫy khúc là giao

điểm của một cạnh của đadiện này với một mặt của đadiện kia

1 Đa diện cắt đa diện

3 4

6 8

7

Như vậy, từ việc

nhận dạng đó cho ta

thấy để vẽ giao tuyến

của hai đa diện ta có

hai cách:

1.Xác định các điểm gẫy:

Là giao điểm của các cạnh đa

diện này với các mặt đa diện

kia – quy về bài toán đường

thẳng cắt mặt phẳng

2.Xác định các đoạn gẫy: Giao tuyến của các mặt

đa diện này với các mặt đa diện kia – quy về bài toánmặt phẳng cắt mặt phẳng

Giao tuyến của một đa diện

với một mặt cong bậc n là một

hoặc một số đường cong gẫy (khép kín) bậc n trong không gian, thực chất là tập hợp các cung phẳng bậc n.

2 Đa diện cắt mặt cong

Trong đó:

- Các cung phẳng này là giao tuyến

của các mặt đa diện với mặt cong

- Các điểm gẫy khúc của giao

tuyến chính là giao điểm của cáccạnh đa diện với mặt cong

B

C

B' C'

S

A'

Như vậy, từ việc nhận dạng

trên cho thấy để vẽ giao tuyến

của đa diện với mặt cong ta đi

tìm các điểm gẫy và các cung

phẳng của giao tuyến:

1.Xác định các cung phẳng:

Là giao tuyến của các mặt đa

diện với mặt cong – quy về bài

toán mặt phẳng cắt mặt cong

2.Xác định các điểm gẫy: Là

giao điểm của các cạnh đa diện

với mặt cong – quy về bài toán

đường thẳng cắt mặt mặt cong

3 Mặt cong cắt mặt cong

Giao tuyến của hai mặt cong

thường là một hoặc một số đường cong ghềnh Nếu hai mặtcong là các mặt đại số bậc m và n

thì giao tuyến của chúng là đường cong đại số bậc mxn.

Hình chiếu của đường cong

này nói chung cũng có bậc là mxn

Trong trường hợp đặc biệt,bậc của hình chiếu này cũng cóthể(suy biến) nhỏ hơn mxn

Xảy ra khi một trong hai mặt là lăng trụ chiếu hoặc mặt trụ chiếu.

Lăng trụ chiếu: là lăng trụ có các cạnh

bên cùng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu.

Mặt trụ chiếu: là mặt trụ có trục là đường

thẳng chiếu.

6.2 Cách xác định giao tuyến – Các ví dụ

6.2.1 Trường hợp đặc biệt (biết một hình chiếu

của giao tuyến)

Khi một trong hai mặt là lăng trụ chiếu hoặc

mặt trụ chiếu thì ta xác định được một hình chiếu

của giao tuyến, nó trùng với hình chiếu suy biến của mặt này Từ đó suy ra hình chiếu thứ hai của giao tuyến bằng cách giải bài toán về sự

liên thuộc của điểm với đa diện hoặc mặt cong

(gắn các điểm cần tìm vào các đường đặc biệtcủa mặt thứ hai (đường sinh, vĩ tuyến,…)

Sau khi tìm được các đỉnh của giao tuyến(các điểm gẫy), ta nối các điểm lại thành giao

tuyến cần tìm và xét thấy khuất trên các hình

biểu diễn

1.Cách giải

E1

F1

D’1E’1

- Hình chiếu bằng của giao tuyến suy biếnthành tam giác A2B2C2 (vì lăng trụ ABC.A’B’C’ chiếubằng )

Nhƣ vậy ta chỉ còn đi tìm hình chiếu đứng của giao tuyến và xét thấy khuất cho hình biểu diễn

nhƣ sau:

1.Tìm các điểm gẫy - giao điểm các cạnh của

đa diện này với các mặt đa diện kia

2.Nối các giao điểm và xét

thấy khuất cho giao tuyến:

Để nối các đỉnh và xét thấy

khuất nhanh và chính xác, ta khai

triển các mặt bên của lăng trụ

đứng theo cạnh AA’ và lăng trụ

ngang theo cạnh DD’ Vì ở đây,

hình chiếu bằng của giao tuyến

suy biến thành tam giác A2B2C2,

nên ta chỉ xét trên hình chiếu

đứng

Khi nối các đỉnh của giao tuyến cần lưu ý:

*Chỉ được nối hai đỉnh bằng một đoạn thẳng khi hai đỉnh đó cùng thuộc hai mặt bên nào đó của hai

đa diện

*Khi xét thấy, khuất của giao tuyến hai đa diệnchúng ta cần lưu ý:

1.Một điểm gẫy, đoạn gẫy sẽ thấy trên một hình

chiếu nào đó khi và chỉ khi nó thuộc hai mặt bên

(của hai đa diện) đều thấy trên hình chiếu đó, còn lại

là khuất

2.Đoạn thẳng nối hai giao điểm thuộc cùng một cạnh của đa diện luôn khuất

2 2

I J

1 J

1 I 1

1

1 2

2 2

K L

1 L

2 5

2 6

*Đa diện cắt mặt cong

Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của

phẳng là giao tuyến của 3

mặt này với mặt cầu là:

(BCC’B’), (AA’B’B) và

(BB’C’C)

giao tuyến thuộc hình

chiếu bằng suy biến của

lăng trụ thành tam giác

A2B2C2

- Ta chỉ cần tìm hình

chiếu đứng của giao

tuyến và xét thấy khuất

cho hình biểu diễn

*Mặt cong cắt mặt cong:

Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của

mặt nón và mặt trụ đều cótrục là đường thẳng chiếubằng

Giải: - Mặt nón và mặt trụ tròn

xoay là hai mặt cong bậc hai nên

giao tuyến là một đường cong bậc bốn có hình chiếu bằng

trùng với hình chiếu bằng củamặt trụ

5 là hai điểm nằm trên

đường bao quanh (SA,

SB) hình chiếu đứng của

nón.

Trong trường hợp tổng quát, ta chưa xác địnhđược hình chiếu nào của giao tuyến Do đó, saukhi xác định dạng giao tuyến, đi tìm các điểm chung của hai mặt và nối chúng lại với nhau.

Để tìm các điểm chung của hai mặt, ta thường

sử dụng các mặt cắt phụ trợ hoặc dùng các phép biến đổi, phương pháp chiếu phụ.

6.2.2.Trường hợp tổng quát

Phương pháp mặt cắt phụ trợ:

các giao tuyến phụ, tìm giao điểm của các giao

tuyến phụ này ta được các điểm chung của hai mặt

Mặt phụ trợ có thể là mặt phẳng hoặc mặt cong

(mặt cầu).

Các mặt phụ trợ đƣợc chọn sao cho các giao tuyếnphụ dễ vẽ và có thể xác chính xác các giao điểm củacác giao tuyến phụ

R

c

g e

6.3.Một số trường hợp đặc biệt trong

giao tuyến của hai mặt bậc hai

Mặt cong ta thường gặp trong kỹ thuật là mặt

bậc hai (nón, trụ, cầu, elipxoit,…) Giao tuyến

không suy biến của hai mặt bậc hai là đường cong

ghềnh bậc bốn có các hình chiếu không suy biến cũng là đường cong bậc 4.

Một số ví dụ về giao tuyến của hai mặt bậc hai đặc biệt.

Sau đây là một số định lý vềgiao của hai mặt bậc hai trong các

trường hợp đặc biệt Áp dụng các

định lý này ta dễ dàng hơn trong

việc xác định dạng của giao

tuyến và cách vẽ các giao tuyến

của hai mặt bậc hai

1.Định lý 1: Nếu hai mặt bậc hai đã cắt

cắt nhau theo một đường bậc hai nữa.

đường tròn đáy nên sẽ có

chung một đường bậc hai nữa

2.Định lý 2 :

Nếu hai mặt bậc hai tiếp xúc với nhau ở hai điểm và đường thẳng nối hai điểm tiếp xúc đó không thuộc một đường sinh nào trong hai mặt bậc hai đó thì giao tuyến của hai mặt bậc hai sẽ là hai đường cong bậc

Ví dụ: Tìm giao tuyến của mặt trụ tròn xoay

và mặt elipxoit tròn xoay có chung trục là mộtđường thẳng chiếu bằng

Giải: - Hai mặt tiếp xúc với nhau tại hai điểm A, B

và đoạn thẳng AB không thuộc hai mặt nên theo định

lý 2 giao tuyến của hai mặt là hai elip e, f.

Ví dụ: Tìm giao tuyến của hai mặt nón

tròn xoay và ; có hai

trục là đường thẳng

thẳng chiếu cạnh cắt

nhau tại O, cùng ngoại

tiếp mặt cầu tâm O.

3.Định lý 3:

Nếu giao của hai mặt bậc hai cùng nội tiếp (hay

của chúng là hai đường bậc hai đi qua hai giao điểm của hai đường tiếp xúc.

Giải:- Hai mặt nón

cùng ngoại tiếp mặt bậc

hai (mặt cầu):

Mặt nón (S) tiếpxúc với mặt cầu theo

BÀI TẬP LỚN 4,5,6