CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Khái niệm +) Đa thức chia hết cho đa thức khi và chỉ khi tồn tại đa thức sao cho Tức là +) Với 2 đa thức một[.]
TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm +) Đa thức chia hết cho đa thức tồn đa thức cho Tức +) Với đa thức biến cho: ( tùy ý, tồn đa thức có bậc nhỏ bậc ) Nếu ta có phép chia hết, cịn khơng ta có phép chia có dư +) Định lý Bezout (phát biểu năm 1770 nhà toán học Pháp Étienne Bézout (1730-1783)) “Khi đa thức chia cho nhị thức dư ” +) Lược đồ Horner (Phương pháp đặt tên theo nhà toán học người Anh William George Horner, phương pháp biết đến trước Paolo Ruffini sáu trăm năm tr ước b ởi nhà toán học Trung Quốc Tần Cửu Thiều) Dạng Cho đa thức cho nhị thức ta Khi Dạng Cho đa thức theo đa thức , , Chia đa thức tìm sau: Nếu ta phép chia hết , Ta cần phân tích Hệ số sau: Bậ c … Sau lập xong lược đồ, ta lấy giá trị ô tô màu làm kết quả, tức ta tìm theo lược đồ Tính chất a) ; b) c) II Tìm dư phép chia mà không thực phép chia Đa thức chia có dạng x-a (a số) *Phương pháp: + Sử dụng định lí Bơdu +Sử dụng sơ đồ Hoocne 1.1 Định lí Bơdu a)Định lí: Số dư phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a f(a) Ví dụ: Tìm số dư phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1 Giải: Theo định lí Bơdu ta có số dư phép chia f(x) cho x+1 băng f(-1) Có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1=-3 Vậy số dư phép chia đa thức f(x) cho x+1 -3 b) Hệ +) f(x) (x-a) f(a)=0 +) Đa thức f(x) có tổng hệ số f(x) (x-1) +) Đa thức f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) (x+1) 1.2 Sơ đồ Hooc-ne a) Sơ đồ Ví dụ1 : Tìm đa thức thương dư cuả phép chia đa thức x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực phép chia GV thực mẫu: a= -5 -4 -3 Ví dụ 2:(x3-7x+6):(x+3) HS thực VD2 GV tổng quát: Với đa thức f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an Ta có sơ đồ Hoocne: a a0 a1 a2 …… an-1 an B0=a0 b1=a.b0+a1 b2=a.b1+a2 …… bn-1=a.bn-2+an-1 r=a.bn-1+an b,Chứng minh sơ đồ (Nâng cao phát triển ) c,Áp dụng sơ đồ Hooc –ne để tính giá trị đa thức f(x) x=a (Đọc SGK/68) Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên *Phương pháp Cách1: Tách đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng đa thức chia có nghiệm ) Ví dụ:Tìm dư chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1 C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1 =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1 Có x6-1 x2-1;x4-1 x2-1;x2-1 x2-1 f(x): x2 -1 dư 3x+1 C2: Có f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b với x (1) Đẳng thức (1) với x ,nên Với x=1 có f(x)=a+b=4 x=-1 có f(-1)=-a+b=-2 a=3;a=1 Vậy dư 3x+1 *Chú ý : +) an-bn a-b ( a b) an+bn a+b (n lẻ ;a -b) +) xn-1 x-1 x2n-1 x2-1 x-1; x4n-1 x4-1 x2-1; x2 +1 x3n-1 x3-1 x-1 x2+x+1 III Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức *Phương pháp : có cách C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q) C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất) C3:Sử dụng biến đổi tương đương f(x) g(x) f(x) g(x) g(x) C4:Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia B.Các dạng tập Dạng 1:Tìm dư phép chia (khơng làm tính chia) Phương pháp: Sử dụng pp phần II lí thuyết Bài1:Tìm dư phép chia x41 cho x2+1 Gv gợi ý để HS chọn phương pháp HS: x41=x41-x+x=x(x40-1)+x =x[(x4)10-1]+x =x[(x2-1)(x2+1)]10+x x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) dư x Bài 2.Tìm dư phép chia f(x) =x50+x49+ +x2+x+1 cho x2-1 Gv gợi ý để HS chọn phương pháp HS: Chọn cách xét giá trị riêng đa thức có nghiệm Bài 3.Đa thức f(x) chia cho x+1 dư , chia cho x2+1 dư 2x+3 Tìm phần dư chia f(x) cho (x+1)(x2+1) HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4 (1) f(x)=(x2+1).B(x)+2x+3 (2) f(x)=(x+1)(x2+1).C(x) +ax2+bx+c (3) =(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a =(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) Từ (2) (4) b=2;c= (4) b=2;c-a=3 ;a= Vậy đa thức dư x2+2x+ Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Xét giá trị riêng Bài 1: Với giá trị a b đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 dư HD: Vì f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 dư nên ta có: f(x)=(x+1).Q(x)+5 f(x)=(x+2).H(x)+8 Với x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5 (1) Với x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2) Từ (1) (2) ta có: a=3; b=-1 Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 dư 7; chia cho x-2 dư 5; chia cho (x-3)(x-2) thương 3x dư HD: Theo ta có: f(x)= (x-3).A(x)+7 f(x)=(x-2).B(x)+5 f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b đẳng thức tren với x nên: +Với x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5 +Với x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7 a=2; b=1 Do dư 2x+1 F(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1+3x3-15x2+20x+1 Dạng 3: Chứng minh chia hết Phương pháp: Sử dụng pp phần III lí thuyết Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1 Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1) t2+t+1 Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1 Bài 2: (x2-x9-x1945) (x2-x+1) HD: x2-x9-x1945=(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x) Có x2-x+1 x2-x+1 x9+1 x3+1 nên x9+1 x2-x+1 x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1) Bài tập nhà: Bài 1: Tìm dư chia đa thức sau: a) x43: (x2+1) x2-x+1 b) (x27+x9+x3+x):(x-1) c) (x27+x9+x3+x):(x2-1) d) (x99+x55+x11+x+7): (x+1) e) (x99+x55+x11+x+7): (x2+1) Bài 2: Chứng minh rằng: a) x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2 b) x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n số tự nhiên) c) x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n số tự nhiên) Bài 3: Cho đa thức f(x), phần dư phép chia f(x) cho x cho x-1 Hãy tìm phần dư phép chia f(x) cho x(x-1) Bi 4: Tìm đa thức f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x - th× dư 2, f(x) chia cho x + th× dư 9, f(x) chia cho x2 +x - 12 đợc thơng x2 + d Duyt ca tổ chuyên môn: Văn Lâm, ngày 14 tháng 12 năm 2014 Ngư ời thực hiện: Nguyễn Thị Thảo Đánh giá, nhận xét chuyên đề: ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………… ... Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên *Phương pháp Cách1: Tách đa thức bị chia đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng đa thức chia có nghiệm ) Ví dụ:Tìm dư chia f(x)... thức chia hết cho đa thức *Phương pháp : có cách C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q) C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia( t/chất)... C4:Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia B.Các dạng tập Dạng 1:Tìm dư phép chia (khơng làm tính chia) Phương pháp: Sử dụng pp phần II lí thuyết Bài1:Tìm dư phép chia x41 cho x2+1 Gv gợi