Chuyên đề 10 Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến Những tính chất cần nhớ 1) Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại thì 2) Đảo lại nếu hai đường thẳng cắt nhau tại và thì bốn đi[.]
Chuyên đề 10: Bài toán tiếp tuyến, cát tuyến Những tính chất cần nhớ: 1) Nếu hai đường thẳng chứa dây cắt 2) Đảo lại hai đường thẳng bốn điểm đường tròn cắt thuộc đường tròn D B A M A O C M C O D B 3) Nếu tiếp tuyến cát tuyến B A M C 4) Từ điểm nằm ngồi đường tròn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến , trung điểm năm điểm nằm đường tròn A D H C O K B 5) Từ điểm tuyến nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến A D K C O B Ta có: Tương tự ta có: mà Chú ý: Những tứ giác quen thuộc nên suy ta ln có: cát NHỮNG BÀI TỐN TIÊU BIỂU Bài 1: Từ điểm nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi giao điểm Vẽ dây qua Chứng minh a) b) tứ giác nội tiếp phân giác góc Giải: A D C K M O I B a) Để chứng minh khó khăn tứ giác nội tiếp việc góc Ta phải dựa vào tính chất cát tuyến , tiếp tuyến Ta có: tứ giác nội tiếp Mặt khác tứ giác nội tiếp nên Từ suy hay a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác suy nên ta có: tứ giác nội tiếp Ta có phân giác góc Bài 2: Từ điểm nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi giao điểm Chứng minh a) tứ giác nội tiếp b) Đường thẳng chứa phân giác góc Giải: A A D C K O M O M K C B a) Vì D B tiếp tuyến nên ta có: Mặt khác tam giác suy hay b) vuông nên tứ giác nội tiếp tứ giác nội tiếp nên Mặt khác ta có: Trường hợp 1: Tia thuộc nửa mặt phẳng chứa Hai góc (h1) có góc phụ với tương ứng nên Trường hợp 2: bờ tia phân giác góc mà Tia thuộc nửa mặt phẳng chứa bờ có tia phân giác góc Suy Đường thẳng (h2) tương tự ta chứa phân giác góc Bài Từ điểm nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi trung điểm Vẽ dây qua Chứng minh Giải: A D H C O K F B Để chứng minh Ta có Mặt khác ta chứng minh ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung phân giác góc nên Vì trịn đường kính ) nằm đường nên Bài Từ điểm nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi trung điểm Đường thẳng qua song song với cắt Chứng minh Giải: A C D H I K O F B Ta có Mặt khác chắn cung nên suy tứ giác nội tiếp Do Mặt khác ta có nằm đường trịn đường kính nên Từ suy Mà Nhận xét: Mấu chốt toán nằm vấn đề minh ta chứng minh Thay chứng Bài 5: Cho đường tròn dây cung Gọi điểm đối xứng với qua Kẻ tiếp tuyến với đường tròn Tiếp tuyến đường K tròn cắt Gọi giao điểm thứ hai với đường tròn Chứng minh Giải: B C O A D I Ta cần chứng minh: Mặt khác ta có: hay nên ta chứng minh Thật theo tính chất ta có: Tứ giác mà nội tiếp nên Hay Bài Từ điểm nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi giao điểm Vẽ dây qua Chứng minh Giải: A C K D H M B O F Kẻ Ta chứng minh được: tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên mà Mặt khác ta có: Từ suy Chú ý: hình thang cân có hai đáy Bài 7: Từ điểm nằm đường tròn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi giao điểm Kẻ vng góc với cắt Chứng minh a) b) tứ giác nội tiếp tiếp tuyến đường tròn Giải: E a) Theo tốn 2, ta có tứ giác nội tiếp nên Do góc phụ với chúng nhau: Suy H C K tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc) c) Cũng theo toán 2, D A nội tiếp M B O Mặt khác tròn tứ giác nội tiếp nên Từ dễ chứng minh thuộc đường tiếp tuyến đường tròn Bài 8) Từ điểm nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Vẽ đường kính Các dây cắt theo thứ tự Chứng minh Giải: A D C K G M O N I Ta vẽ hình trường hợp nằm khác phía trường hợp khác chứng minh tương tự Để chứng minh Ta có , ta chứng minh , cần chứng minh phải có Ta chứng minh đường kính, ta có , ta kẻ giác nội tiếp, suy (1) Các , muốn Chú ý đến Ta có là tứ Sử dụng 2, ta có tứ giác nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy có nên Ta lại HS tự giải tiếp Bài Từ điểm nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi trung điểm Chứng minh Giải: E D A H C K Kẻ Theo , O M , cắt B tiếp tuyến đường trịn quen thuộc 3, ta có Từ (1) (2) suy tứ giác nội tiếp, suy Do hai góc bù với chúng nhau: (g.g) nên , nên theo toán (2) ... tính chất cát tuyến , tiếp tuyến Ta có: tứ giác nội tiếp Mặt khác tứ giác nội tiếp nên Từ suy hay a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác suy nên ta có: tứ giác nội tiếp Ta có phân giác góc Bài 2:... giác mà nội tiếp nên Hay Bài Từ điểm nằm đường tròn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi giao điểm Vẽ dây qua Chứng minh Giải: A C K D H M B O F Kẻ Ta chứng minh được: tứ giác nội tiếp (bài toán... hình thang cân có hai đáy Bài 7: Từ điểm nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến cát tuyến đến Gọi giao điểm Kẻ vng góc với cắt Chứng minh a) b) tứ giác nội tiếp tiếp tuyến đường tròn Giải: E