ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY THỤY BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http //www lrc tnu edu[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY THỤY BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY THỤY BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn i Mục lục Danh mục ký hiệu iii Mở đầu Chương Bất đẳng thức hai tam giác liên quan 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Kiến thức bổ trợ 1.1.1 Các bất đẳng thức 1.1.2 Các đại lượng định lý thông dụng tam giác Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe 12 1.2.1 Giới thiệu Daniel Pedoe 12 1.2.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe 12 1.2.3 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe mở rộng 14 Tam giác trực tâm 21 1.3.1 Mô tả toán 21 1.3.2 Các kết 21 Tam giác trung tuyến 24 1.4.1 Mô tả toán 24 1.4.2 Các kết 24 Các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin 28 1.5.1 Bất đẳng thức cạnh góc tam giác 28 1.5.2 Một số hệ 29 Chương Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác 2.1 36 Dãy tam giác 36 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn ii 2.2 2.3 2.1.1 Phát biểu toán 36 2.1.2 Các kết 37 Bất đẳng thức Oppenheim nhiều tam giác 38 2.2.1 Giới thiệu 38 2.2.2 Các kết 39 Bất đẳng thức tam giác với nhiều tam giác liên quan 41 2.3.1 Bất đẳng thức diện tích cho hai tam giác có quan hệ với 41 2.3.2 Bất đẳng thức diện tích cho n tam giác 43 2.3.3 Bất đẳng thức cho góc dãy n tam giác 44 2.3.4 Bất đẳng thức bao gồm bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp 44 2.3.5 Bất đẳng thức bao gồm nửa chu vi bán kính đường trịn ngoại tiếp 45 2.3.6 Bất đẳng thức bao gồm diện tích bán kính đường tròn ngoại tiếp 46 2.3.7 Các trường hợp đặc biệt 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn iii Danh mục ký hiệu ABC Tam giác ABC a, b, c Độ dài cạnh BC, CA, AB ∆ Diện tích tam giác s Nửa chu vi tam giác ma , mb , mc Độ dài trung tuyến ứng với cạnh a, b, c wa , wb , wc Độ dài phân giác ứng với cạnh a, b, c , hb , hc Độ dài đường cao ứng với cạnh a, b, c r, R Bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp , rb , rc P a P a P 02 (a a ) P cot A Bán kính đường trịn bàng tiếp ứng với cạnh a, b, c {E} "Đẳng thức xảy tam giác ABC tam Tổng a + b + c Tổng a2 + b2 + c2 Tổng a2 a02 + b2 b02 + c2 c02 Tổng cot A + cot B + cot C giác đều" {Sn } "Đẳng thức xảy n tam giác đồng dạng" S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức liên quan đến hai hay nhiều tam giác, dãy tam giác cho biết mối quan hệ mật thiết đại lượng tam giác Các bất đẳng thức thuộc loại khó có số lượng khiêm tốn so với bất đẳng thức tam giác Cho tam giác ABC , với a, b, c cạnh, s, R, r ∆ nửa chu vi, bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp, diện tích wa , wb , wc phân giác góc, , hb , hc chiều cao Tương tự, tam giác A0 B C , độ dài cạnh đại lượng khác ký hiệu a0 , b0 , c0 , Đã có thời gian dài học giả nghiên cứu bất đẳng thức hai tam giác Hai bất đẳng thức tiếng bất đẳng thức Neuberg–Pedoe [5] a02 (b2 + c2 − a2 ) + b02 (c2 + a2 − b2 ) + c02 (a2 + b2 − c2 ) ≥ 16∆∆0 bất đẳng thức Klamkin [2] a02 + b02 + c02 ≥ (−1)n+1 (2a0 b0 cos nC + 2b0 c0 cos nA + 2c0 a0 cos nB) Gần đây, học giả Trung Quốc tìm thêm số bất đẳng thức liên quan hai tam giác (xem [5]) Chẳng hạn như, Zhang Gao chứng minh bất đẳng thức sau a2 a02 + b2 b02 + c2 c02 ≥ 16∆∆0 , a0 (b + c − a) + b0 (c + a − b) + c0 (a + b − c) ≥ S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN c √ 48∆∆0 http://www.lrc.tnu.edu.vn Mục đích đề tài luận văn tìm hiểu học tập bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác, từ hình thành số chun đề phục vụ cho cơng tác giảng dạy bồi dưỡng Tốn cho học sinh bậc THPT Trong luận văn này, tên gọi chương, mục tiểu mục tự đặt phù hợp với nội dung tương ứng Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Bất đẳng thức hai tam giác trình bày bất đẳng thức hai tam giác có liên quan đặc biệt (tam giác Trực tâm, tam giác Trung tuyến), bất đẳng thức liên quan đến đại lượng độ dài, diện tích góc hai tam giác (các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe, ) Chương 2: Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác trình bày bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác Các vấn đề trình bày chương tóm lược sau Trước hết bất đẳng thức liên quan đến dãy tam giác Bắt đầu với tam giác ABC , liên tục xây dựng dãy tam giác (An Bn Cn )n∈N , với A0 B0 C0 = ABC số đo góc độ đo cạnh định nghĩa cách đệ quy An+1 = π − An π − Bn π − Cn , Bn+1 = , Cn+1 = , 2 an+1 = p cn+1 = p an (bn + cn − an ), bn+1 = p bn (cn + an − bn ), cn (an + bn − cn ) Tiếp đó, giả sử Ai , Bi , Ci (i = 0, 1, , n − 1) n tam giác với độ dài cạnh , bi , ci Xét tam giác An Bn Cn , có cạnh an , bn , cn định nghĩa phương trình a2n = n−1 X a2i , b2n S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN = n−1 X c b2i , c2n = n−1 X c2i http://www.lrc.tnu.edu.vn Sau cùng, xét bất đẳng thức tam giác ABC n tam giác Ai Bi Ci liên quan với theo hệ thức a= X w i , b = i X wi bi , c = X i w i ci , i A= X wi A i , B = i X wi Bi , C = i wi số dương cho trước với X w i Ci , i P i wi = Trong suốt trình học tập làm luận văn, bên cạnh nỗ lực học tập, nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình Thầy hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Ngọc, Trường Đại học Thăng Long Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy, cô giảng dạy lớp cao học toán K8YB trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình em học tập Trường trình làm luận văn Em xin cảm ơn thầy, cô Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường Trung học Phổ thông trường THPT Mù Cang Chải, Yên Bái nơi mà em công tác tạo điều kiện giúp đỡ động viên Xin cảm ơn bạn bè học viên lớp cao học toán K8YB quan tâm, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian học tập trình làm luận văn Sự quan tâm, động viên khích lệ gia đình nguồn động viên lớn để em hồn thành khóa luận Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Trần Huy Thụy S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức hai tam giác liên quan Chương trình bày số kiến thức bổ trợ bất đẳng thức dãy số tam giác, bất đẳng thức hai tam giác có liên quan đặc biệt (tam giác trực tâm, tam giác trung tuyến), bất đẳng thức liên quan đến đại lượng độ dài, diện tích góc hai tam giác (Các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe, Nội dung Chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [3-5] 1.1 1.1.1 Kiến thức bổ trợ Các bất đẳng thức Các bất đẳng thức đại số ứng dụng sâu rộng chứng minh bất đẳng thức hình học Trong luận văn xin trình bày lại số bất đẳng thức đại số bất đẳng thức AM − GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy - Schawrz, bất đẳng thức Chebyshev Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM −GM ).Với n số thực khơng âm a1 , a2 , , an , ta có bất đẳng thức √ a1 + a2 + + an > n a1 a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN c http://www.lrc.tnu.edu.vn Hệ 1.1 (Bất đẳng thức GM − HM ).Với số dương ta có √ n a1 a2 an > n 1 + + + a1 a2 an Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Hệ 1.2 Với số dương a1 , a2 , , an ta có 1 1 + + + n a1 a2 an > n a1 + a2 + + an Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Hệ 1.3 Với số không âm a1 , a2 , , an m = 1, 2, ta có a + a + · · · + a m m m am n + a2 + + an > n n Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schawrz) Xét hai số thực tùy ý a1 , a2 , · · · , an b1 , b2 , · · · , bn Khi ta có (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) Đẳng thức xảy a1 a2 an = = ··· = , (với quy ước mẫu b1 b2 bn tử 0) Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Chebyshev) Nếu (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) hai dãy số đồng dạng (cùng đơn điệu tăng đơn điệu giảm) a1 b1 + a2 b2 + + an bn ≥ n a + a + + a b + b + + b n n n n (1.1) Nếu (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) hai dãy ngược (một dãy đơn điệu tăng, dãy đơn điệu giảm) a1 b1 + a2 b2 + + an bn ≤ n a + a + + a b + b + + b n n S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN n c n http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2) ... Chương Bất đẳng thức hai tam giác liên quan Chương trình bày số kiến thức bổ trợ bất đẳng thức dãy số tam giác, bất đẳng thức hai tam giác có liên quan đặc biệt (tam giác trực tâm, tam giác trung... bày bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác Các vấn đề trình bày chương tóm lược sau Trước hết bất đẳng thức liên quan đến dãy tam giác Bắt đầu với tam giác ABC , liên tục xây dựng dãy tam giác. .. đầu Bất đẳng thức liên quan đến hai hay nhiều tam giác, dãy tam giác cho biết mối quan hệ mật thiết đại lượng tam giác Các bất đẳng thức thuộc loại khó có số lượng khiêm tốn so với bất đẳng thức