Khóa luận nhập môn lý thuyết knot (chuyên ngành hình học

GVHD:PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN MỤC LỤC FÏG MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN I ĐỒNG LUÂN 1.Quan hệ đồng luân hai ánh xạ liên tục 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Định nghĩa 1.3 Minh họa khái niệm đồng luân hai ánh xạ liên tục: 1.4 Định lý Quan hệ đồng luân hai không gian tôpô II.NHÓM CƠ BẢN Khái niệm đường 1.1 Định nghĩa 1.2 Định nghĩa 10 1.3 Định nghĩa 10 Đường đóng 11 2.1.Định nghĩa 11 2.2.Tích đường đóng 11 2.3 Tính chất 12 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Nhận xét 56 3.Hệ 57 II NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 58 Định nghĩa 58 Đại diện Wirtinger knot 59 2.1.Định lý Wirtinger 59 2.2.Chú ý 65 3.Ví dụ 66 3.1 Knot tầm thường 66 3.2 Knot ba 66 3.3.Knot hình số 67 Kết Luận 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………69 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN MỘT SỐ KÝ HIỆU FÂG Ký hiệu ≅ Z Giải thích quan hệ đồng luân hay tương đương đẳng cấu tập hợp số nguyên tập hợp số thực I = [ ]⊂ 0;1 f *g đoạn đơn vị f đường đảo ngược đường f đường nối đường f đường g [f ] GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN LỜI NĨI ĐẦU FÏG Tơpơ theo quan điểm hình học ngành khoa học nghiên cứu bất biến Tơpơ, tức tính chất khơng thay đổi qua phép biến đổi liên tục Tô pô đại số nhánh lớn Tơpơ mà người ta dùng công cụ đại số để khảo sát bất biến Tơpơ Nói cách nơm na, Tơpơ đại số “bức tranh” đại số “vật thể” Tôpô Lý thuyết knot phận quan trọng Tơpơ học nói chung, Tơpơ đại số nói riêng Lý thuyết knot khởi xướng C.F.Gauss vào khoảng 18351840 Sau học trị xuất sắc Gauss J B Listing phát triển nghiên cứu đối tượng Tô pô học Trong vài ba thập niên gần đây, lý thuyết knot phát triển mạnh tìm nhiều ứng dụng nội Toán học vật lý, học Lý thuyết knot phận Tô pơ đại số cơng cụ đại số hữu dụng nghiên cứu lý thuyết knot Bất biến knot (với tư cách không gian tơpơ) nhóm Các bất biến khác knot liên quan đến đa thức (đa thức Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman) Hệ bất biến knot giúp phân loại tơ pơ knot Chính hấp dẫn tầm quan trọng lý thuyết knot nên em định chọn làm đề tài nghiên cứu mình, hy vọng tìm hiểu nắm kiến thức knot, làm sở cho nghiên cứu sâu sau lĩnh vực Trong luận văn ta trình bày số định nghĩa knot dựa mơ tả hình học Cuối cùng, ta tiến hành xem xét bất biến knot nhóm Ngồi lời nói đầu kết luận, nội dung luận văn bao gồm ba chương : Chương I : Nhóm Trong chương ta trình bày lại số định nghĩa tôpô đại số (đồng ln, nhóm bản,…Đồng thời khảo sát số tính chất hàm X) tử π Chương II : Knot Phần dành để định nghĩa knot mơ tả hình ảnh cụ thể thực tế ngơn ngữ hình học thơng thường Đồng thời đưa Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN số bất biến đơn giản knot số crossing knot, số link link,… Chương III : Nhóm knot Mở đầu chương ta chứng minh định lý tơpơ đại sốđịnh lý Van-Kampen Từ chứng minh định lý Wirtinger làm cơng cụ để tính nhóm vài knot đơn giản Lý thuyết knot lý thuyết khó Cho đến nhiều vấn đề, nhiều chỗ chưa thể chứng minh Chính đặc điểm này, đề tài nóng bỏng nhiều nhà tốn học quan tâm Với kiến thức hạn chế nghiên cứu lý thuyết mới, thân em khó trách khỏi thiếu xót, mong đóng góp ý kiến q thầy bạn bè đồng môn Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn q thầy tổ mơn Tốn người trực tiếp giảng dạy em năm qua để hơm em có hội thực đề tài Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh Vũ tận tình hướng dẫn truyền đạt cho em ý kiến quý báo Trong trình thực đề tài, em tham khảo số tài liệu sách số tác giả khơng có điều kiện liên hệ, thơng qua em xin gửi lời cảm ơn đến tác giả Nhân dịp này, em xin cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ em để đề tài nghiên cứu hoàn thành Long Xuyên, tháng năm 2008 Tác giả Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN Trong chương ta tìm hiểu quan hệ đồng luân không gian ánh xạ liên tục C [ X ,Y] Để từ đến việc giới thiệu sơ lược vấn đề tơpơ đại số - nhóm Kết thúc chương việc tìm hiểu tính chất nhóm I ĐỒNG LUÂN 1.Quan hệ đồng luân hai ánh xạ liên tục 1.1 Kiến thức chuẩn bị Bổ đề dán : Giả sử không gian tôpô X hợp hữu hạn tập đóng ( n X = U F i ) f : Fi → Y họ ánh xạ liên tục ( i = 1,n ) mà i =1 i GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN (F ) Khi ta có: f c y o Thật vậy: Xét ánh xạ: F : X × I → Y xác định sau: ( ) = (1 − t ) f ( x ) ++t.yo ,∀ x ∈ X ,∀ t∈ I F x,t hiển nhiên ta có: • • • F liên tục ( ) = f (x) F x,0 F ( x,1) = c y ( ) x o 1.3 Minh họa khái niệm đồng luân hai ánh xạ liên tục GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Chứng minh • Ta dễ dàng chứng minh tính phản xạ tính đối xứng quan hệ đồng luân Thật : ta có (F ) ( ) = f ( x ), ∀x ∈ X ; ∀t ∈ I f f với F x,t (F ) (G ) f g ⇒ g f với G ( x,t ) = F ( x,1− t ) Vì G(x,0) = g(x) = F(x,1) x X, t I ∀ ∈ ∀∈ G(x,1) = f(x) = F(x,0) • Tính bắc cầu : (F ) (H ) (H ) Giả sử ta có : f g g h ta chứng minh: f h Xét ánh xạ H : X × I → Y GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN cho : • f , g liên tục • f o g IdY • g o f IdX Từ định nghĩa ta thấy : Nếu X Y hai không gian đồng phôi chúng hai khơng gian đồng ln Thật vậy, gọi f : X → Y song ánh liên tục ta có: f o f −1 = IdY IdY f −1 o f = IdX Id X Do : X Y Điều ngược lại nói chung khơng Chẳng hạn : Rn { 0} đồng luân n tồn ánh xạ f : Rn → {0} g : {0}→ R xa0 0ax thỏa mãn : g o f = Id R n R khơng đồng phơi tập hợp chúng khơng GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN f I X x y Ví dụ : x,y ∈ n Ánh xạ liên tục f : I → đường n n : cho f (t) = t(2− t) y + (1− t)x Định nghĩa Cho ánh xạ f : I → X đường X nối x y Đường f : I → X 10