Nhập môn lý thuyết knot

UBND TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG FÕG KHOA SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐỀ TÀI ( CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC ) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ ( Giảng Viên Tổ Hình học-Khoa Toán- Trường ĐHSP TPHCM ) SVTH: LÊ THÀNH TUẤN LONG XUYÊN, 5/2008 GVHD:PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN MỤC LỤC FÏG MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN I ĐỒNG LUÂN 1.Quan hệ đồng luân hai ánh xạ liên tục 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Định nghĩa 1.3 Minh họa khái niệm đồng luân hai ánh xạ liên tục: 1.4 Định lý Quan hệ đồng luân hai không gian tôpô II.NHÓM CƠ BẢN Khái niệm đường 1.1 Định nghĩa 1.2 Định nghĩa 10 1.3 Định nghĩa 10 Đường đóng 11 2.1.Định nghĩa 11 2.2.Tích đường đóng 11 2.3 Tính chất 12 Không gian liên thông đường 13 3.1 Định nghĩa 13 3.2 Định nghĩa 13 3.3 Tính chất 13 Nhóm 13 4.1 Định nghĩa 13 4.2 Định lý 14 Tính chất hàm tử π 15 5.1 Định lý 15 5.2 Định lý 17 5.3 Định lý 19 CHƯƠNG II: KNOT 21 I KNOT 21 II PHÉP DỊCH CHUYỂN 27 III MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT 30 IV MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT 37 V TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT 46 CHƯƠNG III : NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 50 I ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN 50 Định lý 50 Khoá Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Nhận xét 56 3.Hệ 57 II NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 58 Định nghĩa 58 Đại diện Wirtinger knot 59 2.1.Định lý Wirtinger 59 2.2.Chú ý 65 3.Ví dụ 66 3.1 Knot tầm thường 66 3.2 Knot ba 66 3.3.Knot hình số 67 Kết Luận 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………69 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN MỘT SỐ KÝ HIỆU FÂG Ký hiệu ≅ Z Giải thích quan hệ đồng luân hay tương đương đẳng cấu tập hợp số nguyên tập hợp số thực I = [ 0;1] ⊂ đoạn đơn vị f *g đường nối đường f đường g f đường đảo ngược đường f [f] lớp đường đồng luân (cố định) với f [g o f ] phép lấy tích hai lớp đường [ f ] , [ g ] [ f ] *[g] phép nối hai lớp đường [ f ] , [ g ] Id X ánh xạ đồng X π0(X ) tập thành phần liên thông đường X π ( X , x0 ) nhóm ( X , x0 ) Khóa Luận Tốt Nghiệp kết thúc phép chứng minh GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN LỜI NĨI ĐẦU FÏG Tơpơ theo quan điểm hình học ngành khoa học nghiên cứu bất biến Tơpơ, tức tính chất khơng thay đổi qua phép biến đổi liên tục Tô pô đại số nhánh lớn Tôpô mà người ta dùng cơng cụ đại số để khảo sát bất biến Tơpơ Nói cách nơm na, Tôpô đại số “bức tranh” đại số “vật thể” Tôpô Lý thuyết knot phận quan trọng Tơpơ học nói chung, Tơpơ đại số nói riêng Lý thuyết knot khởi xướng C.F.Gauss vào khoảng 18351840 Sau học trị xuất sắc Gauss J B Listing phát triển nghiên cứu đối tượng Tô pô học Trong vài ba thập niên gần đây, lý thuyết knot phát triển mạnh tìm nhiều ứng dụng nội Toán học vật lý, học Lý thuyết knot phận Tơ pơ đại số cơng cụ đại số hữu dụng nghiên cứu lý thuyết knot Bất biến knot (với tư cách khơng gian tơpơ) nhóm Các bất biến khác knot liên quan đến đa thức (đa thức Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman) Hệ bất biến knot giúp phân loại tô pô knot Chính hấp dẫn tầm quan trọng lý thuyết knot nên em định chọn làm đề tài nghiên cứu mình, hy vọng tìm hiểu nắm kiến thức knot, làm sở cho nghiên cứu sâu sau lĩnh vực Trong luận văn ta trình bày số định nghĩa knot dựa mơ tả hình học Cuối cùng, ta tiến hành xem xét bất biến knot nhóm Ngồi lời nói đầu kết luận, nội dung luận văn bao gồm ba chương : Chương I : Nhóm Trong chương ta trình bày lại số định nghĩa tôpô đại số đồng luân, nhóm bản,…Đồng thời khảo sát số tính chất hàm tử π ( X ) Chương II : Knot Phần dành để định nghĩa knot mô tả hình ảnh cụ thể thực tế ngơn ngữ hình học thơng thường Đồng thời đưa Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN số bất biến đơn giản knot số crossing knot, số link link,… Chương III : Nhóm knot Mở đầu chương ta chứng minh định lý tôpô đại sốđịnh lý Van-Kampen Từ chứng minh định lý Wirtinger làm cơng cụ để tính nhóm vài knot đơn giản Lý thuyết knot lý thuyết khó Cho đến cịn nhiều vấn đề, nhiều chỗ chưa thể chứng minh Chính đặc điểm này, đề tài nóng bỏng nhiều nhà toán học quan tâm Với kiến thức hạn chế nghiên cứu lý thuyết mới, thân em khó trách khỏi thiếu xót, mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn bè đồng môn Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tổ mơn Tốn người trực tiếp giảng dạy em năm qua để hôm em có hội thực đề tài Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh Vũ tận tình hướng dẫn truyền đạt cho em ý kiến quý báo Trong trình thực đề tài, em tham khảo số tài liệu sách số tác giả khơng có điều kiện liên hệ, thông qua em xin gửi lời cảm ơn đến tác giả Nhân dịp này, em xin cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ em để đề tài nghiên cứu hoàn thành Long Xuyên, tháng năm 2008 Tác giả Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN CHƯƠNG I : NHĨM CƠ BẢN Trong chương ta tìm hiểu quan hệ đồng luân không gian ánh xạ liên tục C [ X , Y ] Để từ đến việc giới thiệu sơ lược vấn đề tôpô đại số - nhóm Kết thúc chương việc tìm hiểu tính chất nhóm I ĐỒNG LUÂN 1.Quan hệ đồng luân hai ánh xạ liên tục 1.1 Kiến thức chuẩn bị Bổ đề dán : Giả sử không gian tôpô X hợp hữu hạn tập đóng ( n X = U F i ) f i : Fi → Y họ ánh xạ liên tục ( i = 1, n ) mà i =1 f (F F ) = f (F ∩ F ) ∀i, j = 1, n Khi ánh xạ f : X → Y xác định : f ( Fi ) = fi ,(i = 1, n) ánh xạ liên tục i i ∩ j i j j 1.2 Định nghĩa Cho X Y hai không gian tôpô Xét hai ánh xạ liên tục: f : X →Y g : X →Y (F ) Ta nói f đồng luân với g phép đồng luân F ( kí hiệu: f g ) tồn ánh xạ liên tục: ⎧⎪ F ( x,0 ) = f ( x ) F : X × I → Y (với I = [ 0,1] ) cho ⎨ ⎪⎩ F ( x,1) = g ( x ) Ví dụ: Xét X không gian tôpô, Y tập lồi R n ( tức y, z thuộc Y tồn đoạn thẳng nối y z nằm hoàn toàn Y ) Xét ánh xạ liên tục sau: f : X → Y ; cyo : X → Y x a yo Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ Khi ta có: f SVTH: LÊ THÀNH TUẤN (F ) cy o Thật vậy: Xét ánh xạ: F : X × I → Y xác định sau: F ( x, t ) = (1 − t ) f ( x ) + t yo , ∀x ∈ X , ∀t ∈ I hiển nhiên ta có: • F liên tục • F ( x,0 ) = f ( x ) • F ( x,1) = c y ( x ) o 1.3 Minh họa khái niệm đồng luân hai ánh xạ liên tục Hình (a) trường hợp f, g đồng luân Hình (b)là trường hợp f, g khơng đồng ln Hay cách hình dung khác, hai ánh xạ liên tục f, g gọi đồng luân f biến đổi cách liên tục thành g f Y X g (a) Y X f g (b) 1.4 Định lý Quan hệ đồng luân quan hệ tương đương không gian C [ X , Y ] ánh xạ liên tục từ X đến Y ( với X , Y khơng gian tơpơ ) Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Chứng minh • Ta dễ dàng chứng minh tính phản xạ tính đối xứng quan hệ đồng luân Thật : ta có f f (F ) (F ) f với F ( x, t ) = f ( x ) , ∀x ∈ X ; ∀t ∈ I g⇒g (G ) f với G ( x, t ) = F ( x,1 − t ) ∀ x∈ X,∀t ∈I Vì G(x,0) = g(x) = F(x,1) G(x,1) = f(x) = F(x,0) • Tính bắc cầu : Giả sử ta có : f (F ) (H ) g g h ta chứng minh: f (H ) h Xét ánh xạ H : X × I → Y ( x , t ) a H ( x, t ) xác định sau: ⎧ F x ,2 t , t ≤ ≤ ( ) ⎪⎪ H ( x, t ) = ⎨ ⎪G ( x,2t − 1) , ≤ t ≤ ⎪⎩ ⎛ ⎝ 1⎞ 2⎠ ⎛ ⎝ 1⎞ 2⎠ Dễ thấy H liên tục H ⎜ x, ⎟ = F ( x,1) = g ( x ) = G ( x,0 ) = H ⎜ x, ⎟ Đồng thời : H ( x,0 ) = F ( x,0 ) = f ( x ) , ∀x ∈ X ; H ( x,1) = G ( x,1) = h ( x ) , ∀x ∈ X ; Nên ta có : f (H ) h Vậy ta có điều phải chứng minh Quan hệ đồng luân hai không gian tôpô X Cho X , Y hai khơng gian tơpơ Ta nói X đồng ln với Y (kí hiệu: Y ) tồn ánh xạ f g f : X →Y g :Y → X Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN cho : • f , g liên tục • f og IdY • go f Id X Từ định nghĩa ta thấy : Nếu X Y hai không gian đồng phơi chúng hai khơng gian đồng luân Thật vậy, gọi f : X → Y song ánh liên tục ta có: Do : X f o f −1 = IdY IdY f −1 o f = Id X Id X Y Điều ngược lại nói chung khơng Chẳng hạn : Rn {0} đồng luân tồn ánh xạ f : R n → {0} g : {0} → R n thỏa mãn : g o f = Id R n xa0 0a x f o g = Id {0} R n {0} khơng đồng phơi tập hợp chúng khơng lực lượng Vì vậy, phân loại ( kiểu ) đồng luân phân loại thô phân loại đồng phôi ( đồng luân “yếu” đồng phôi ) nên bất biến đồng luân bất biến đồng phơi Chính thế, ta hy vọng dễ dàng xét bất biến đồng phôi thông qua bất biến đồng luân công cụ đại số II.NHÓM CƠ BẢN Khái niệm đường 1.1 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, x,y ∈ X, I = [ 0,1] ∈ nhiên với tôpô cảm sinh từ tôpô tự Ánh xạ liên tục f : I → X cho x = f (0) , y = f (1) gọi đường X nối x y ( hình vẽ ) Điểm x gọi điểm đầu, y gọi điểm cuối Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN α (3) = β α ( 2) α (1) α (0) = α Đặt γ k đường nối p với α ( l −1) ( sk ) δ k đường nối α ( l −1) ( sk ) với α ( l ) ( sk ) Khi γ k/ = γ k ∗ δ k đường nối p với α ( l ) ( sk ) α ( l ) ( sk ) α ( l ) ( sk −1 ) δ k −1 δ k α ( l −1) (s ) α α ( l ) ( sk +1 ) ( l −1) δ k +1 (s ) α k ( l −1) (s ) k +1 k −1 γ k −1 γk γ k +1 p Ngoài δ k −1 ∗ α [(sl ) k −1 , sk ] ∗δk α [(sl −1),s ] k −1 k Mặt khác : H ([ sk −1 , sk ] × [tl −1 , tl ]) ⊂ U m nên γ k −1 ∗ α [(sl −1), s ] ∗ γ k ∈ L (U m , p ) k −1 γ / k −1 ∗α (l ) [ sk −1 , sk ] ∗ γ ∈ L (U m , p ) Do : ⎡γ k/−1 ∗ α [(sl ) ⎣ k / k k −1 , sk ] ∗ γ k/ ⎤⎦ = ⎡⎣γ k −1 ∗ δ k −1 ∗ α [(sl ) k −1 , sk ] Um ∗ δ k ∗ γ k ⎤⎦ Um = ⎡⎣γ k −1 ∗ α [(sl −1),s ] ∗ γ k ⎤⎦ k −1 k Khóa Luận Tốt Nghiệp Um 55 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ ( SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Kết hợp (ϕ1 ) ta có : ϕ γ k/−1 ∗ α [(sl ) k −1 , sk ] ) ( ) ∗ γ k/ = ϕ γ k −1 ∗ α [(sl −1),s ] ∗ γ k k −1 k Từ ta có : ϕ (α ( l −1) ) = ϕ (α ( l ) ) , ∀l > hay ϕ (α ) = ϕ ( β ) ( theo cách đặt ϕ (α ) ) Vậy ( I ) Đặt φ : π ( X , p ) → G [α ] a ϕ (α ) Từ ( I ) ( II ) ta suy φ đồng cấu nhóm Từ ( III ) ta có: ( ( )) = φ ([α ]) = ϕ (α ) = φ ([α ] ) , ∀α ∈ L (U , p ) Hay φ o j ([α ] ) = φ ([α ] ) φ jm [α ]U m m m Um m m Um Um Vậy φ o jm = φm , ∀m = 1, Vậy định lý chứng minh xong. Nhận xét 2.1 Một sơ đồ giao hoán: thoả mãn định lý Van-Kampen gọi sơ đồ Amalgate i1 H1 j1 G K i2 H2 j2 2.2.Trong sơ đồ giao hoán dạng trên, ta lấy: G = H1 ∗ H N N = {i1 ( k −1 ) i2 ( k ) , k ∈ K } ⊂ H1 ∗ H Đồng thời ta lấy j1 , j2 thoả jm ( h ) = hN , ∀h ∈ H m với m = 1, Thì sơ đồ trở thành sơ đồ Amalgate Chứng minh Xét sơ đồ sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp 56 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN H1 i1 j1 K φ1 φ G j2 i2 H2 G φ2 đó, i1 , i2 , j1 , j2 , G cho ∀k ∈ K , ta thấy rằng: ( j1 ( i1 ( k ) ) = i1 ( k ) N = i2 ( k ) i1 ( k ) i2 ( k ) −1 ) −1 N = i2 ( k ) N = j2 ( i2 ( k ) ) Vậy j1 o i1 = j2 o i2 hay sơ đồ giao hoán Xét G nhóm với φm : H m → G đồng cấu nhóm thoả φ1 o i1 = φ2 o i2 Ta xây dựng φ Đặt φ1 ∗ φ2 : H1 ∗ H → G Do φ1 ,φ2 đồng cấu nên φ1 ∗ φ2 đồng cấu Mặt khác, φ1 o i1 = φ2 o i2 nên: φ1 ∗ φ2 ( i1 ( k −1 ) i2 ( k ) ) = φ1 ( i1 ( k −1 ) )φ2 ( i2 ( k ) ) = φ1 ( i1 ( k ) ) φ2 ( i2 ( k ) ) = eG −1 nên i1 ( k −1 ) i2 ( k ) ∈ ker (φ1 ∗ φ2 ) N ⊂ ker (φ1 ∗ φ2 ) Từ ta nhận φ cảm sinh từ φ1 ∗ φ2 sau: φ : H1 ∗ H N → G hN a φ1 ∗ φ2 ( h ) Ngoài ra: φ ( jm ( h ) ) = φ ( hN ) = φ1 ∗ φ2 ( h ) = φm ( h ) , ∀h ∈ H m Do nên ta có điều phải chứng minh. Hệ Với giả thiết định lý Van-Kampen Nếu ta lấy nhóm G = π (U1 , p ) ∗ π (U , p ) N Khóa Luận Tốt Nghiệp 57 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ { ( với N = i1 [α ] −1 SVTH: LÊ THÀNH TUẤN ) i ([α ]) ,[α ] ∈ π (U I U , p ) } 1 ta có: π ( X , p ) ≅ G Chứng minh Xét sơ đồ: π (U1 , p ) i1 j1 π (U1 I U2 , p ) φ1 π1 ( X , p) j2 i2 π (U , p ) φ φ' G φ2 Từ định lý Van-Kampen nhận xét trên, ta xây dựng: φ : π ( X , p ) → G cho φm = φ o jm , ∀m = 1,2 φ ' : G → π ( X , p ) cho jm = φ ' o φm , ∀m = 1, X ét φ o φ ' : G → G ta có: Vậy φ o φ ' = IdG Tương tự ta có: φ ' o φ = Idπ ( X , p ) Vậy π ( X , p ) ≅ G hay nói cách khác: π ( X , p ) ≅ {π (U1 , p ) ∗ π (U , p ) ; i1 ([α ]) = i2 ([α ]) ,[α ] ∈ π (U1 I U , p )} II NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT Định nghĩa Cho knot K, nhóm knot K nhóm π ( R \ K ) Ví dụ: nhóm knot tầm thường π ( R \ S ) Ta chứng minh π ( R \ S ) ≅ Z hay nói cách khác nhóm knot tầm thường nhóm xyclic vơ hạn Thật vậy, S ta lấy hướng định Khi ta xác định hướng đường đóng p cố định R \ S sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp 58 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN p p Ta thấy đường đóng f p R \ S có ba loại là: • Khơng vịng qua S • Vịng qua S theo chiều vặn vào đinh ốc • Vịng qua S theo chiều vặn đinh ốc Do ta đặt: { } A0 = ⎡⎣c p ⎤⎦ A1 = {[ f n ] , n ∈ N ∗ } A2 = {[ f − n ] , n ∈ N ∗} đó: • c p đường đóng p • f n đường đóng xoắn quanh S theo chiều vặn vào đinh ốc n lần • f − n đường đóng xoắn quanh S theo chiều vặn đinh ốc n lần Thì dễ dàng thấy rằng: π ( R \ S ) ≅ A0 U A1 U A2 ≅ Z Đại diện Wirtinger knot 2.1 Định lý Wirtinger Giả sử K knot định hướng có n crossing m cung a1 , a2 , a3 , , am liên thứ tự cho trước Tại crossing c đặt rc sau: aj rc = a a ak −1 k −1 j Khóa Luận Tốt Nghiệp ak ak aj rc = ak a −j 1ak−1 59 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khi đó, định lý Wirtinger phát biểu sau: Với knot K nhóm K đẳng cấu với nhóm G xác định sau: G = a1 , a2 , , am ; r1 , r2 , , rn Chứng minh Khơng tính tổng quát, ta giả sử K knot có cung nằm mặt phẳng z = cung nằm mặt phẳng z = sau : z =1 z=0 Gọi N’ khối trụ lân cận K Giả sử N’ nhận cạnh K làm trục có đường kính đáy 2δ với 2δ < Khi dễ thấy: π ( R \ K ) ≅ π ( R \ N ') Vì nên ta thay việc tính π ( R \ K ) việc tính π ( R \ N ' ) Đặt U1 = {( x, y, z ) | z > 0} \ N ' Khóa Luận Tốt Nghiệp 60 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN U = {( x, y, z ) | z < δ } \ N ' Dễ thấy U1 U không gian liên thông đường U1 U U = R \ N ' Khi theo định lý Van-Kampen ta có: π ( R \ N ') = π (U1 ) ∗ π (U ) N { } với N = i1 ([α ]) = i2 ([α ]) , [α ] ∈ π (U1 I U ) a Bây ta tính π (U1 ) π (U ) Gọi cung nằm z = A1 , A2 , , Am Các cung nằm z = B1 , B2 , , Bn Thấy rằng, U1 nửa không gian bị khoét m ống trụ lân cận A1 , A2 , , Am Ngồi U1 cịn có rãnh ống trụ lân cận B1 , B2 , , Bn tạo , nhiên rãnh khơng làm ảnh hưởng đến π (U1 ) Bi p xi xj Ai Aj Ak U1 xk Lấy p ∈U1 I U , ta thấy đường đóng p U1 có dạng: - Hoặc khơng vịng qua lỗ hổng U1 ta dễ thấy đường đóng co rút đường đóng p - Hoặc có vịng qua lỗ hổng U1 Đặt đường đóng x1 , x2 , , xm tương ứng với lỗ hổng A1 , A2 , , Am Khóa Luận Tốt Nghiệp 61 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Đồng thời giả sử đường đóng xi vịng quanh Ai (hay cung ) theo chiều vặn vào đinh ốc (và từ vòng lên trên) Khi ta có tương ứng 1-1 xi Dễ thấy U1 đồng phôi với hình bó hoa gồm m vịng trịn dán với p p p Thật vậy, giả sử có đường đóng bao quanh hai lỗ hổng tích hai đường đóng hai lỗ hổng α (s) γ α = α [0,s] ∗ γ ∗ γ ∗ α [ s ,1] p Do nên π (U1 ) ≅ x1 , x2 , , xm ≅ a1 , a2 , , am Mặt khác ta có π (U ) tầm thường z=0 Khóa Luận Tốt Nghiệp 62 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Vậy π (U1 ) ∗ π (U ) ≅ a1 , a2 , , am (1) b Bây ta xét tập quan hệ N { = { i ([α ]) = 1, [α ] ∈ π (U Ta có : N = i1 ([α ]) = i2 ([α ]) , [α ] ∈ π (U1 I U ) 1 } } I U ) (vì π (U ) tầm thường ) = { [α ] = 1, [α ] ∈ π (U1 I U ) } (vì i1 đồng cấu nhúng ) (×) Ta xác định π (U1 I U ) Thấy U1 I U phần không gian bị khoét n lỗ hổng n crossing K z =δ z=0 Khi tương tự cách tính π (U1 ) ta có: π (U1 I U , p ) ≅ l1 , l2 , , ln li đường đóng lỗ hổng thứ i theo chiều vặn vào đinh ốc Xét crossing thứ c, ta ln có hai dạng sau: • Dạng 1: aj ak Do lc ∈ L (U1 I U , p ) nên lc nằm cung , a j , ak K Tại cung , a j , ak , ta có đường đóng xi , x j , xk (đã xác định trên) sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp 63 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN xk xj xi aj xk p ak Ta thấy lc xi xk−1 x −j xk Thật vậy: xk−1 x −j xi aj aj p p xk ak ak • Dạng 2: Xét tương tự ta có: xk xj ak xi aj xk Khóa Luận Tốt Nghiệp p 64 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Do: xk x ak ak −1 j xi aj x Nên lc aj −1 k p p xi xk x −j xk−1 Vậy ta có: [l ] c hay [lc ] [l ] ⎡⎣ xi xk−1 x −j xk ⎤⎦ c ⎡⎣ xi xk x −j xk−1 ⎤⎦ ⎡⎣ xi xkε x −j xk− ε ⎤⎦ với ε dấu crossing thức Do xi có tương ứng 1-1 nên kết hợp với (×) ta có: { } N = akε a −j 1ak−ε = 1;(ai , a j , ak ) laø cá c cung tạ o nh mộ t crossing = r1 , r2 , , rn (2) Từ (1) (2) theo định lý Van-Kampen ta có: π ( R \ N ' ) ≅ a1 , a2 , , am r1 , r2 , , rn hay viết cách khác: π ( R \ N ' ) ≅ a1 , a2 , , am ; r1 , r2 , , rn Vậy: π ( R \ K ) ≅ a1 , a2 , , am ; r1 , r2 , , rn 2.2 Chú ý a.G thương nhóm tự a1 , a2 , , am với tập quan hệ r1 , r2 , , rn b Thực tế, dễ dàng thấy n quan hệ r1 , r2 , , rn ta cần tối đa (n- 1) quan hệ đủ; ta lấy tích tự (n-1) quan hệ sinh quan hệ cuối Khóa Luận Tốt Nghiệp 65 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN c.Đồng thời, có tập quan hệ r1 , r2 , , rn nghĩa quan hệ akε a −j 1ak−ε = viết lại: = ak− ε a j akε nên đơi ta giảm bớt số lượng phần tử tập sinh a1 , a2 , , am Ví dụ 3.1 Knot tầm thường ( Unknot ) a Vậy π ( R \ S ) ≅ a ≅ Z 3.2 Knot ba ( Trefoil knot ) a3 a1 a2 Ta có quan hệ: a1 = a2 a3a2−1 a2 = a3a1a3−1 a3 = a1a2 a1−1 Từ định lý Wirtinger ta có: π ( R \ K ) ≅ a1 , a2 , a3 ; a1 = a2 a3a2−1 , a2 = a3a1a3−1 Thấy rằng: a1 = a2 a3 a2−1 Suy ra: a2 = a3a2 a3a2−1a3−1 Hay a2 a3a2 = a3a2 a3 Vậy cuối ta có: π ( R \ K ) ≅ a2 , a3 ; a2 a3a2 = a3a2 a3 Khóa Luận Tốt Nghiệp 66 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN 3.3 Knot hình số a c b d Ta có quan hệ: a = c −1dc (1) b = dad −1 (2) c = a −1ba (3) d = bcb −1 (4) Ta chọn (2),(3),(4) quan hệ cần dùng.Thấy rằng: (4) ⇒ db = bc Từ (3) ⇒ bc = ba −1ba ⇒ db = ba −1ba ⇒ b −1db = a −1ba (*) Lấy (2) thay vào (*) ta được: da −1d −1ddad −1 = a −1dad −1a ⇒ da −1dad −1 = a −1dad −1a ⇒ ada −1da = dad -1ad Vậy : π ( R \ K ) ≅ a, d ; ada −1da = dad -1ad Trong chương này, tính số nhóm vài knot đơn giản knot tầm thường, knot ba hay knot hình số thông qua công cụ hữu hiệu định lý Wirtinger Việc tính số nhóm knot khác tương tự phức tạp ( có thời gian em nghiên cứu tiếp nhóm knot ) Khóa Luận Tốt Nghiệp 67 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN KẾT LUẬN FÂG ƒ Qua khoá luận ta biết phần Tôpô đại số lý thuyết đồng luân, nhóm bản,…Đồng thời ta thấy ứng dụng toán học vào đời sống thực thơng qua việc khảo sát nhóm knot ƒ Trong khóa luận ta chứng minh phương pháp tính nhóm knot Ta biết nhóm vấn đề tương đối Tôpô đại số nên có nhiều nhà tốn học quan tâm Chính lẽ đó, khơng có đại diện Wirtinger mà cịn cách khác để tính nhóm knot Khơng vậy, người ta cịn dùng đa thức để khảo sát tính bất biến knot ƒ Do tính hạn chế thời gian kiến thức nên em khơng thể trình bày hết muốn trình bày, em hy vọng thầy giúp đỡ việc nghiên cứu thêm cịn dang dỡ đằng sau luận văn ƒ Em xin chân thành cảm ơn thầy hội đồng phản biện theo dõi luận văn em Khóa Luận Tốt Nghiệp 68 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN TÀI LIỆU THAM KHẢO Colin.C Adams The knot book Đậu Thế Cấp NXBGD Tơpơ Đại Cương Nguyễn Văn Đồnh NXBĐHSP Giáo trình nhập mơn tơpơ Hồng Xn Sính NXBGD Đại số đại cương Lê Văn Chua 2007 Bài giảng: Lý thuyết nhóm Trần Phi Thồn Năm 2001 Nhóm vài ứng dụng Luận văn tốt nghiệp cử nhân ngành Toán Khoa sư phạm - Trường ĐHAG Nguyễn Hồng Anh Năm 2007 Nhóm knot Khoá luận tốt nghiệp cử nhân Tốn - Tin trường ĐHSP TPHCM \\ y y [[ Khóa Luận Tốt Nghiệp 69 ... niên gần đây, lý thuyết knot phát triển mạnh tìm nhiều ứng dụng nội Toán học vật lý, học Lý thuyết knot phận Tô pô đại số cơng cụ đại số hữu dụng nghiên cứu lý thuyết knot Bất biến knot (với tư... Do ta có S knot Ta gọi S knot tầm thường ( unknot ) 1.4 Nhận xét • Một knot đường đóng R • Mọi knot R đồng phôi với Một vài knot thường gặp: Knot ba Knot hình số Vấn đề đặt làm biết knot có hình... liên thơng hai knot tương tự tích hai số nguyên dương Nếu phép nhân Z + : ∀x ∈ Z + : x.1 = x lý thuyết knot ta có tích knot K với knot tầm thường knot K Các thành phần knot tích gọi knot thừa số