bài giảng ma trận

CHƯƠNG 1: MA TRẬN Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại họ c Bách Khoa T P HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 1 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau: A =         a 11 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . a i1 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . a m1 . . . a mj . . . a mn         Người ta thường ký hiệu A = (a ij ) 1im;1jn . Các số a ij (i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là M m×n (K ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau: A =         a 11 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . a i1 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . a m1 . . . a mj . . . a mn         Người ta thường ký hiệu A = (a ij ) 1im;1jn . Các số a ij (i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là M m×n (K ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau: A =         a 11 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . a i1 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . a m1 . . . a mj . . . a mn         Người ta thường ký hiệu A = (a ij ) 1im;1jn . Các số a ij (i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là M m×n (K ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa      a 1 a 2 . . . a n      được gọi là ma trận cột.  a 1 a 2 . . . a n  được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa      a 1 a 2 . . . a n      được gọi là ma trận cột.  a 1 a 2 . . . a n  được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa      a 1 a 2 . . . a n      được gọi là ma trận cột.  a 1 a 2 . . . a n  được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Mối quan hệ giữa ma trận và ma trận hàng, cột Định nghĩa Gọi A i∗ =  a i1 a i2 . . . a in  là hàng thứ i của ma trận A, 1  i  m, và gọi A ∗j =      a 1j a 2j . . . a mj      là cột thứ j của ma trận A, 1  j  n thì A =  A ∗1 A ∗2 . . . A ∗n  =      A 1∗ A 2∗ . . . A m∗      TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 4 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ví dụ Ma trận A =  1 −4 5 0 3 −2  2×3 gồm có: 2 ma trận hàng  1 −4 5  ,  0 3 −2  và 3 ma trận cột  1 0  ,  −4 3  ,  5 −2  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 5 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là a ij = 0, ∀i, j. Ví dụ A =   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   là ma trận không cỡ 3 × 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43 [...]... Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij )m×n được gọi là ma trận đối của A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 10 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij )m×n được gọi là ma trận đối của A Ví dụ B= 1 2 3 0 4 −5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) là ma trận đối của ma trận A =... ma trận A = CHƯƠNG 1: MA TRẬN −1 −2 −3 0 −4 5 TP HCM — 2011 10 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij )m×n được gọi là ma trận đối của A Ví dụ B= 1 2 3 0 4 −5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) là ma trận đối của ma trận A = CHƯƠNG 1: MA TRẬN −1 −2 −3 0 −4 5 TP HCM — 2011 10 / 43 Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ma trận bằng nhau TS Lê...Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0, ∀i, j TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 6 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là... CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 13 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n (K ), B = (bij )m×n ∈ Mm×n (K ) Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A + B = (aij + bij )m×n ∈ Mm×n (K ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN... nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông Tập hợp các ma trận vuông cỡ n × n được ký hiệu là Mn (K ) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n Ví dụ   1 2 3 A =  0 −3 −2  là ma trận vuông cấp 3 5 4 −5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 7 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma. .. 12 −15 CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Hệ quả Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 13 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Hệ quả Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận Ví dụ  ... Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n (K ), α ∈ K Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n (K ) là tích của số α với ma trận A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho... A =  0 0 0 0  là ma trận không cỡ 3 × 4 0 0 0 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 6 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông Tập hợp các ma trận vuông cỡ n × n được ký hiệu là Mn (K ) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011... CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 11 / 43 Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ma trận bằng nhau Định nghĩa Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu như chúng cùng cỡ và các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau A = (aij )m×n = B = (bij )m×n ⇔ aij = bij , ∀i, j TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 11 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận. .. với ma trận A Tính chất TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij )m×n ∈ Mm×n (K ), α ∈ K Khi đó αA = (α.aij ) ∈ Mm×n (K ) là tích của số α với ma trận A Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP HCM — 2011 12 / 43 Các phép toán trên ma trận . 0   là ma trận không cỡ 3 × 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận. 0   là ma trận không cỡ 3 × 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận. 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−a ij ) m×n được gọi là ma trận đối của A. Ví dụ B =  1 2 3 0 4 −5  là ma trận đối của ma trận A =  −1