Đang tải... (xem toàn văn)
TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG CHƯƠNG 3 Phép biến đổi Laplace Nội Dung Chính • Mở Đầu • Biến đổi Laplace • Các tính chất của biến đổi Laplace • Phép biến đổi Laplace ngược • Các ứng dụng của biến đổi Laplace Mở[.]
TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG CHƯƠNG 3: Phép biến đổi Laplace Nội Dung Chính • Mở Đầu • Biến đổi Laplace • Các tính chất biến đổi Laplace • Phép biến đổi Laplace ngược • Các ứng dụng biến đổi Laplace Mở Đầu • Tại lại cần phép biến đổi Laplace ? - Phân tích miền tần số với biến đổi Fourier hữu dụng trọng việc nghiên cứu tín hiệu hệ thống LTI * Tích chập miền thời gian => Phép nhân miền tần số - Vấn đề: Nhiều tín hiệu khơng có biến đổi Fourier x(t)=exp(at)u(t), a>0 x(t)=tu(t) - Biến đổi Laplace giải vấn đề * Nó tồn cho hầu hết tín hiệu thơng thường * Tuân theo tính chất tương tự biến đổi Fourier * Nó khơng mang ý nghĩa vật lý nào, cơng cụ tốn học tạo điều kiện cho việc phân tích -Biến đổi Fourier cho ta cách biểu diễn tín hiệu miền tần số Nội Dung Chính • Mở đầu • Biến đổi Laplace • Các tính chất biến đổi Laplace • Phép biến đổi Laplace ngược • Các ứng dụng biến đổi Laplace BIẾN ĐỔI LAPLACE: BIẾN ĐỔI LAPLACE HAI PHÍA • Biến đổi Laplace hai phía: + X B (s) = x(t ) exp(−st )dt , s = + j − -𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 giá trị phức -s thường gọi tần số phức -Ký hiệu : X B ( s ) = L x(t ) x(t ) X B ( s) • Miền thời gian miền phức S -x(t) : hàm thời gian t → x(t) gọi tín hiệu miền thời gian -XB (s) : hàm s→ XB (s) gọi tín hiệu miền s Miền s gọi miền tần số phức BIẾN ĐỔI LAPLACE • Miền thời gian miền s: - x(t) : hàm thời gian t → x(t) gọi tín hiệu miền thời gian -XB (s) : hàm s→ XB (s) gọi tín hiệu miền s *Miền s gọi miền tần số phức - Bằng cách chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền s, đơn giản hóa nhiều việc phân tích hệ thống LTI - Phân tích hệ thống miền s: Chuyển đổi tín hiệu miền thời gian sang miền s biến đổi Laplace Thực biểu diễn việc phân tích hệ thống miền s Chuyển kết miền s miền thời gian BIẾN ĐỔI LAPLACE: BIẾN ĐỔI LAPLACE HAI PHÍA • Ví dụ : -Tìm biến đổi Laplace hai phía của: x(t)=exp(-at)u(t) • Miền hội tụ : -Phạm vi s mà biến đổi Laplace tín hiệu hội tụ -Biến đổi Laplace chứa thành phần : *Biểu thức toán học biến đổi Laplace *Miền hội tụ BIẾN ĐỔI LAPLACE: BIẾN ĐỔI LAPLACE HAI PHÍA • Ví dụ : -Tìm biến đổi Laplace hai phía của: x(t)=exp(-at)u(t) BIẾN ĐỔI LAPLACE: BIẾN ĐỔI LAPLACE HAI PHÍA • Ví dụ - Tìm biến đổi Laplace hai phía của: x(t)=3exp(-2t)u(t)+4exp(t)u(-t) BIẾN ĐỔI LAPLACE: BIẾN ĐỔI LAPLACE MỘT PHÍA • Biến đổi Laplace phía: + X ( s) = x(t ) exp( − st )dt 0− - 0- : Giá trị x(t) t=0 xem xét - Hữu ích xử lí tín hiệu nhân hệ thống nhân *Tín hiệu nhân :x(t)=0,t0 Re{s}>0 10 cos2𝜔0 𝑡u(t) Re{s} >0 For all x 𝑠 + 2𝜔02 𝑠(𝑠 + 4𝜔02 ) For all x 𝑛! (𝑠 + 𝑎)𝑛+1 Re{s} >0 exp[-at] 11 sin2𝜔0 𝑡u(t) 𝛿(𝑡) 𝛿(𝑡 − 𝑎) 𝑡 𝑛 u(t) 𝑛! 𝑠 exp[-at]u(t) 𝑡 𝑛 exp[-at]u(t) cos 𝜔0 𝑡 𝑢(𝑡) , 𝑛 = 1,2, … 𝑛+1 𝑠+𝑎 𝑛! (𝑠 + 𝑎)𝑛+1 𝑠 𝑠 + 𝜔02 Transform ROC Re{s} >0 12 exp[-at] cos 𝜔0 𝑡 𝑢(𝑡) 𝑠+𝑎 (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔02 Re{s} > -a Re{s} > -a 13 exp[-at] sin 𝜔0 𝑡 𝑢(𝑡) 𝜔0 (𝑠 + 𝑎)2 +𝜔02 Re{s} > -a Re{s} > -a 14 t cos 𝜔0 𝑡 𝑢(𝑡) 𝑥 − 𝜔02 (𝑥 +𝜔02 )2 Re{s} >0 Re{s} >0 15 t sin 𝜔0 𝑡 𝑢(𝑡) 2𝜔0 𝑠 (𝑥 +𝜔02 )2 Re{s} >0 NỘI DUNG CHÍNH • Mở đầu • Biến đổi Laplace • Các tính chất biến đổi Laplace • Phép biến đổi Laplace ngược • Các ứng dụng biến đổi Laplace CÁC TÍNH CHẤT: TUYẾN TÍNH • Tính tuyến tính: - Nếu x1(t) ↔X1 (s) - Khi : x2(t)↔X2(s) ax1 (t ) + bx2 (t ) aX ( s) + bX ( s) Miền hội tụ giao miền hội tụ hai tín hiệu gốc • Ví dụ : -Hãy tìm biến đổi Laplace [ A+Bexp(-bt)]u(t) CÁC TÍNH CHẤT: DỊCH THỜI GIAN • Dịch thời gian - Nếu x(t)↔X(s) t0 >0 - Khi : x(t-t0 )u(t-t0 )↔ X(s)exp(-st0 ) Miền hội tụ khơng thay đổi CÁC TÍNH CHẤT: DỊCH TRÊN MIỀN S • DỊCH miền s - Nếu x(t)↔X(s) - Khi Re(s)>σ Re(s)>σ+Re(s0) y(t)=x(t)exp(s0t)↔X(s-s0) • Ví dụ : -Hãy tìm biến đổi Laplace x(t)= A exp(-ɑt)cos(ω0t)u(t) CÁC TÍNH CHẤT: CO GIÃN THỜI GIAN • CO giãn thời gian: - Nếu x(t)↔X(s) - Khi x(at ) Re{s}>σ1 s X a a • Ví dụ : - Hãy tìm biến đổi Laplace x(t)=u(at) Re{s}>a σ1 CÁC TÍNH CHẤT: ĐẠO HÀM TRÊN MIỀN THỜI GIAN • Đạo hàm miền thời gian : - Nếu g(t)↔G(s) - Khi : dg (t ) sG ( s ) − g (0− ) dt d g (t ) s 2G ( s ) − sg (0− ) − g (0 − ) dt d n g (t ) s nG ( s ) − s n −1 g (0− ) − − sg n −2 (0− ) − g n −1 (0 − ) n dt • Ví dụ: -Hãy tìm biến đổi Laplace g(t)=(sin2 ωt)u(t), g(0-)=0 CÁC TÍNH CHẤT: ĐẠO HÀM TRÊN MIỀN THỜI GIAN • Ví dụ : - Hãy sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân : y´´(t)+3y´(t)+2y(t)=0, y(0-)=3 y´(0-)=1 ... x(t) : hàm thời gian t → x(t) gọi tín hiệu miền thời gian -XB (s) : hàm s→ XB (s) gọi tín hiệu miền s *Miền s gọi miền tần số phức - Bằng cách chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền s,... số phức -Ký hiệu : X B ( s ) = L x(t ) x(t ) X B ( s) • Miền thời gian miền phức S -x(t) : hàm thời gian t → x(t) gọi tín hiệu miền thời gian -XB (s) : hàm s→ XB (s) gọi tín hiệu miền s... Mở đầu • Biến đổi Laplace • Các tính chất biến đổi Laplace • Phép biến đổi Laplace ngược • Các ứng dụng biến đổi Laplace CÁC TÍNH CHẤT: TUYẾN TÍNH • Tính tuyến tính: - Nếu x1(t) ↔X1 (s) - Khi