CHƯƠNG I NHỮNG CƠ SỞ CỦA NGÔN NGỮ TOÁN HỌC Ở TIỂU HỌC I Mệnh đề và các phép logic I 1 Mệnh đề Trong môn tiếng Việt ở trường phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm về câu Các câu thường gặp có t.
CHƯƠNG I NHỮNG CƠ SỞ CỦA NGƠN NGỮ TỐN HỌC Ở TIỂU HỌC I Mệnh đề phép logic I.1 Mệnh đề Trong môn tiếng Việt trường phổ thông, làm quen với khái niệm câu Các câu thường gặp chia thành hai loại: loại thứ gồm câu phản ánh tính sai thực tế khách quan Mỗi câu hiểu mệnh đề Loại thứ hai gồm câu khơng phản ánh tính sai thực tế khách quan Để kí hiệu mệnh đề ta dùng chữ a, b, c Trong logic ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp mệnh đề mà quan tâm đến tính “đúng” “sai” chúng Nếu a mệnh đề ta nói có giá trị chân lí 1, kí hiệu G(a) = 1, a mệnh đề sai ta nói có giá trị chân lí 0, kí hiệu G(a) = Chẳng hạn, câu + a = “Nước Việt Nam nằm châu Á” mệnh đề đúng, G(a) = 1; + b = “Bắc Kinh thủ đô nước Pháp” mệnh đề sai; G(b)= 0; + c = “Tháng Hai có 30 ngày” mệnh đề sai, G(c) = 0; + d = “31 số lẻ” mệnh đề đúng, G(d) = 1; + e = “Số 13 chia hết cho 3” mệnh đề sai, G(e) = 0; + x = “3 lớn 7” mệnh đề sai, G(x) = 0; + y = “Tứ giác có bốn cạnh hình vng” mệnh đề sai, G(y) = 0; Các câu + “3 cộng với mấy?” + “Bạn tốt nghiệp phổ thông năm nào?” + “Giờ học hôm thú vị quá!” + “Tất anh dũng tiến lên!” mệnh đề Nói chung, câu nghi vấn, câu mệnh lệnh câu cảm thán mệnh đề Chú ý Trong thực tế ta gặp câu mà tự chưa phản ánh tính sai thực tế khách quan nào, gắn với văn cảnh đinh (thời gian, địa điểm, ) trở thành mệnh đề (đúng sai) Nó thời gian, địa điểm lại sai thời gian, địa điểm khác Song thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai Những mệnh đề ta gọi “mệnh đề mở” Chẳng hạn: + Sinh viên năm thứ học toán + Trời mưa + Điểm chuẩn vào khoa ta năm cao năm ngối + sáng hơm Cần Thơ mệnh đề mở Ta thừa nhận luật sau logic mệnh đề a) Luật trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc sai, khơng có mệnh đề không không sai b) Luật mâu thuẫn (hay cịn gọi luật phi mâu thuẫn): khơng có mệnh đề vừa vừa sai I.2 Các phép logic Khi có hai số a b, dùng phép toán cộng, trừ, nhân, chia tác động vào hai số ta có số (gọi tổng hiệu, tích, thương hai số đó) Khi có hai mệnh đề a b, người ta xây dựng phép toán tác động vào hai mệnh đề để nhận mệnh đề Dưới ta xây dựng phép tốn I.2.1 Phép phủ định Phủ định mệnh đề a mệnh đề, kí hiệu a non a, a sai sai a Bảng chân lí phép phủ định cho bảng sau: a a 0 Ví dụ 1.1 a) Phủ định mệnh đề a = “Mỗi tuần lễ có ngày” mệnh đề a = “Mỗi tuần lễ khơng có ngày” “Khơng phải tuần lễ có ngày” Ở đây: G(a) = G( a ) = b) Phủ định mệnh đề b = “4 lớn 8” mệnh đề b =“4 không lớn 8” “4 nhỏ 8” Ở đây: G(b) = G( b ) = Chú ý: Phủ định mệnh đề có nhiều cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn: “Vàng kim loại” “Không phải vàng kim loại” “Vàng đâu có phải kim loại” “Nói vàng kim loại khơng đúng” “15 không lớn 7” “15 nhỏ 7” “Khơng phải 15 lớn 7” “15 đâu có lớn 7” “Nói 15 lớn sai” I.2.2 Phép hội Hội hai mệnh đề a, b mệnh đề c, đọc a b, kí hiệu c = a b, hai mệnh đề a, b sai trường hợp cịn lại Giá trị chân lí phép hội xác định bảng sau a b ab 1 1 0 0 0 Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề liên từ “và” hay liên từ khác loại Những liên từ là: mà, nhưng, song, song le, đồng thời, vẫn, dùng dấu phẩy (,) thay cho liên từ “và” khơng dùng liên từ Ví dụ 1.2 a) “Thành phố Hà Nội thủ đô thành phố lớn nước” hội hai mệnh đề a = “Thành phố Hà Nội thủ đô nước” b = “Thành phố Hà Nội thành phố lớn nước” Rõ ràng G(a) = G(b) = nên G (a b) = b) “Lúc sáng hơm qua tơi có mặt Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh” hội hai mệnh đề a = “Lúc sáng hôm qua tơi có mặt Hà Nội” b = “Lúc sáng hơm qua tơi có mặt Thành phố Hồ Chí Minh” Rõ ràng hai mệnh đề nên G (a b) = c) “100 số tròn chục chia hết cho 3” hội hai mệnh đề a = “100 số tròn chục” b = “100 chia hết cho 3” Ở G(a) = G(b) = nên G (a b) = c) “Góc vng có số đo lớn góc nhọn nhỏ góc tù” hội hai mệnh đề a = “Góc vng có số đo lớn góc nhọn” b = “Góc vng có số đo nhỏ góc tù” Ở G(a) = G(b) = nên G (a b) = d) Cơ Nga nói thạo tiếng Anh mà khơng biết tiếng Đức hội hai mệnh đề mở a = “Cơ Nga nói thạo tiếng Anh” b = “Cơ Nga khơng biết tiếng Đức” Ví dụ 1.3 Minh vừa trẻ, đẹp trai, học giỏi mà lại có nhiều tài lẻ Chú ý: Đơi mệnh đề có liên từ “và” lại khơng có nghĩa mệnh đề hội Chẳng hạn: “Tuần vừa qua, tổ Một đạt 12 điểm 10” “Vườn nhà Tư có 300 cam ổi” I.2.3 Phép tuyển Tuyển hai mệnh đề a, b mệnh đề c, đọc a b, kí hiệu c = a b, sai hai mệnh đề a, b sai trường hợp lại Giá trị chân lí phép tuyển xác định bảng sau: a b ab 1 1 1 0 Ví dụ 1.4 a) “Mỗi năm có bốn mùa lần 10” tuyển hai mệnh đề a = “Mỗi năm có bốn mùa” b = “2 lần 10” Ở G(a) = G(b) = nên G (a b) = b) “50 số tròn chục số nguyên tố” tuyển hai mệnh đề a = “50 số tròn chục” b = “50 số nguyên tố” Ở G(a) = G(b) = nên G(a b) = c) “Tháng Năm có 28 ngày + = 10” tuyển hai mệnh đề a = “Tháng Năm có 31 ngày” b = “3 + = 10” Ở G(a) = G(b) = nên G(a b) = d) “Cơ An chưa có gia đình hay tốt nghiệp đại học” Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề liên từ “hoặc” (hay liên từ khác loại) Khi thiết lập mệnh đề tuyển nhiều mệnh đề, ta dùng dấu chấm phẩy thay cho liên từ “hoặc” Chẳng hạn: “Số có tận 0; 2; 4; chia hết cho 2” “Lớp ta hơm học Toán, Tiếng Việt, Tiếng Anh Thể dục” Liên từ “hoặc” thực tế thường dùng với hai nghĩa: loại trừ không loại trừ Phép tuyển “hoặc a b” phép tuyển loại trừ để a b a lẫn b Phép tuyển “a b” phép tuyển không loại trừ để a b a lẫn b Chẳng hạn: “Hơm Chủ nhật thứ Bảy” phép tuyển loại trừ “24 số chẵn chia hết cho 3” “Hôm Chủ nhật ngày lễ” phép tuyển không loại trừ Dưới đây, không nói thêm, ta xét phép tuyển không loại trừ I.2.4 Phép kéo theo Cho hai mệnh đề a b Mệnh đề a kéo theo b mệnh đề tạo thành theo mẫu “Nếu a b”, kí hiệu a b, sai a mà b sai trường hợp cịn lại Giá trị chân lí mệnh đề a b xác định bảng sau: a b ab 1 1 0 1 0 Ví dụ 1.5 a) “Nếu 19 số nguyên tố lần 4” mệnh đề b) “Nếu tuần có ngày năm có 10 tháng” mệnh đề sai c) “Nếu tổng góc tam giác 360 độ hình chữ nhật có hai đường chéo nhau” mệnh đề d) “Nếu + = 11 tháng Hai có 31 ngày” mệnh đề Chú ý: Mệnh đề “a kéo theo b” thường diễn đạt nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: “nếu a b” “a suy b” “có a có b” Trong logic, xét giá trị chân lí mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề Khơng phân biệt trường hợp a có phải ngun nhân để có b hay khơng, mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Trong văn học, mệnh đề kéo theo diễn đạt nhiều hình thức phong phú Chẳng hạn: “Bao bánh đúc có xương Bấy dì ghẻ thương chồng” “Chuồn chuồn bay thấp mưa, Bay cao nắng, bay vừa râm” I.2.5 Phép tương đương Cho hai mệnh đề a b Mệnh đề a tương đương b mệnh đề tạo thành theo mẫu “a b”, kí hiệu a b, hai mệnh đề a, b sai sai trường hợp cịn lại Giá trị chân lí mệnh đề tương đương xác định bảng sau: a b ab 1 1 0 0 Chú ý: Trong thực tế, mệnh đề “a tương đương b” diễn đạt nhiều hình thức khác Chẳng hạn: “a b” “a b” Cũng mệnh đề kéo theo, logic, xét giá trị chân lí mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề Khơng phân biệt trường hợp a có phải ngun nhân để có b hay khơng ngược lại, mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ví dụ 1.6 a) “Tháng 12 có 31 ngày Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời” mệnh đề b) “ < 70 chia hết cho 3” mệnh đề sai c) “Tổng góc tam giác 90 13 số nguyên tố” mệnh đề sai d) “Tháng Hai có 31 ngày x = 11” mệnh đề II Các toán suy luận logic phổ thơng Các tốn suy luận logic phổ thông thường toán suy luận đơn giản Suy luận đơn giản phép suy luận không dùng công cụ logic mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép tuyển ) Các toán suy luận đơn giản tốn giải khơng địi hỏi phải tính tốn cồng kềnh mà cần vận dụng cách sáng tạo hiểu biết thông thường thiên nhiên, đời sống xã hội thực tế lao động sản xuất để dẫn dắt từ điều kiện kết luận toán Dưới ta nghiên cứu phương pháp thường sử dụng giải toán dạng II.1 Phương pháp lập bảng Các toán giải phương pháp lập bảng thường xuất hai nhóm đối tượng (chẳng hạn tên người nghề nghiệp, vận động viên giải thưởng, tên sách màu bìa ) Khi giải ta thiết lập bảng gồm hàng cột Các cột ta liệt kê đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, cịn hàng ta liệt kê đối tượng nhóm thứ hai Dựa vào điều kiện đề bài, ta loại bỏ dần (ghi số 0) ô (là giao hàng cột) Những cịn lại (khơng bị loại bỏ) kết tốn Ví dụ 2.1 Ba người thợ hàn, thợ tiện thợ điện ngồi trò chuyện nghỉ giải lao Người thợ hàn nhận xét: - Ba làm nghề trùng với tên ba chúng ta, không làm nghề trùng với tên Bác Điện hưởng ứng: - Bác nói Bạn cho biết tên nghề nghiệp người Giải Ta thiết lập bảng sau: Nghề nghiệp Tên người hàn tiện Hàn Tiện Điện điện X (1) (2) (3) X (4) (5) (6) X (7) (8) (9) Theo đề bài, tên trùng với nghề mình, ta ghi số vào ô ; Bác Điện hưởng ứng nhận xét bác thợ hàn nên bác Điện không làm nghề hàn Ta ghi số vào số - Nhìn cột ta thấy bác thợ hàn không tên Hàn, không tên Điện Vậy bác thợ hàn tên Tiện Ta đánh dấu X vào số - Nhìn hàng ta thấy bác Điện không làm nghề hàn không làm nghề điện Vậy bác làm nghề tiện Ta đánh dấu X vào số - Nhìn hàng ô ta thấy bác Hàn không làm nghề hàn, không làm nghề tiện Vậy bác làm nghề điện Đánh dấu X vào ô số Kết luận: Bác Hàn làm thợ điện Bác Tiện thợ hàn Bác Điện làm thợ tiện Ví dụ 2.2 Trên bàn ba sách giáo khoa: Văn, Toán Địa lí bọc ba màu khác nhau: xanh, đỏ, vàng Cho biết bọc bìa màu đỏ đặt hai Văn Địa lí, Địa lí màu xanh mua ngày Bạn xác định sách bọc bìa màu Giải: Ta có bảng sau: Tên sách Màu bìa xanh đỏ vàng Văn Tốn X Địa lí (1) (2) (3) X (4) (5) (6) X (7) (8) (9) Theo đề “cuốn bìa màu đỏ đặt hai Văn Địa lí” Vậy sách Văn Địa lí khơng bọc màu đỏ Toán phải bọc màu đỏ Ta ghi số vào ô 6, đánh dấu X vào ô Mặt khác, “cuốn Địa lí bìa màu xanh mua ngày” Điều có nghĩa Địa lí khơng bọc màu xanh Ta ghi số vào - Nhìn cột thứ tư, ta thấy Địa lí khơng bọc màu xanh khơng bọc màu đỏ Vậy Địa lí bọc màu vàng Ta đánh dấu X vào - Nhìn vào cột ô ta thấy Văn không bọc màu đỏ, không bọc màu vàng Vậy Văn bọc màu xanh Ta đánh dấu X vào ô Kết luận: Cuốn Văn bọc màu xanh, Toán bọc màu đỏ, Địa lí bọc màu vàng Ví dụ 2.3 Trên bàn có bốn hộp kín đánh số thứ tự 1; 2; Trong hộp đựng bốn loại quả: đào, mận, bưởi cam Ba bạn Lộc, Đạt Thanh tham gia trị chơi sau: Mỗi bạn đốn hộp đựng gì, đốn hộp phần thưởng Lộc đốn trước: - Hộp thứ đựng cam, hộp thứ hai đựng mận, hộp thứ ba đựng bưởi hộp thứ tư đựng đào Đạt đoán tiếp: - Hộp thứ đựng đào, hộp thứ hai đựng bưởi, hộp thứ ba đựng cam hộp thứ tư đựng mận Cuối Thanh đoán: - Hộp thứ đựng mận, hộp thứ hai đựng cam, hộp thứ ba đựng đào hộp thứ tư đựng bưởi Kết thúc chơi, ban giám khảo công bố ba bạn không đạt phần thưởng Bạn cho biết hộp đựng Giải: Ta thiết lập bảng ghi vào bảng theo lập luận sau Theo đề ta có: - Lộc không phần thưởng Vậy hộp thứ không đựng cam, hộp thứ hai không đựng mận, hộp thứ ba không đựng bưởi hộp thứ tư không đựng đào Ta ghi số vào ô 4; 6; 11 13 - Đạt không phần thưởng Vậy hộp thứ không đựng đào, hộp thứ hai không đựng bưởi, hộp thứ ba không đựng cam hộp thứ tư không đựng mận Ta ghi tiếp số vào ô 1; 7; 12 14 - Thanh không phần thưởng, lập luận ta ghi tiếp số vào ô 2; ; 15 Quả Hộp đào mận bưởi cam 0 X (1) (2) (3) (4) X 0 (5) (6) (7) (8) X 0 (9) (10) (11) (12) 0 X (13) (14) (15) (16) Nhìn hàng thứ hai ta thấy hộp thứ không đựng đào, không đựng mận, khơng đựng cam Vậy đựng bưởi Ta đánh dấu X vào ô Tương tự ta được: hộp thứ hai đựng dấu (đánh dấu X vào ô 5), hộp thứ ba đựng mận (đánh dấu X vào ô 10) hộp thứ tư đựng cam (đánh dấu X vào 16) Ví dụ 2.4 Giờ Văn cô giáo trả kiểm tra Bốn bạn Tuấn, Hùng, Lan, Quân ngồi bàn đạt điểm trở lên Giờ chơi Phương hỏi điểm bốn bạn - Tuấn trả lời: “Lan khơng đạt điểm 10, Qn khơng đạt điểm cịn Hùng khơng đạt điểm 8” - Hùng nói: “Mình khơng đạt điểm 10, Lan khơng đạt điểm cịn Tuấn Qn không đạt điểm 8” Bạn cho biết người đạt điểm Giải: Ta lập bảng ghi bảng theo lập luận Tên Điểm 10 Tuấn Hùng Lan Quân X 0 X (1) (2) (3) (4) X 0 (5) (6) (7) (8) 0 X (11) (12) (9) (10) Theo Tuấn ta ghi số vào ô ; ; 10 Theo Hùng ta ghi số vào ô ; ; 12 Vì bốn bạn đạt điểm trở lên, nên nhìn vào cột 2, ta kết luận Tuấn đạt điểm 10 Tương tự với cột 3; ta kết luận Hùng đạt điểm 9, Lan đạt điểm cịn Qn đạt điểm 10 Ví dụ 2.5 Năm người thợ tên Da, Điện, Hàn, Tiện Sơn làm năm nghề khác trùng với tên năm người đó, khơng có tên trùng với nghề Bác thợ da lấy em gái bác Da Tên bác thợ da trùng với nghề anh vợ