tài liệu toán cao cấp 1 k55mf nguyenvantien0405

• Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng[r]

(1)

Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến

HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 3

Khái niệm hàm hai biến • Định nghĩa:Cho khơng gian:

• Ánh xạ:

• Được gọi hàm hai biến xác định tập hợp D

• Mỗi cặp (x,y)∈ 𝐷tương ứng với số thực z

• x, y biến độc lập; z biến phụ thuộc

:

, ,

f D R

x y z f x y

2 , : ,

R x y x y R va D R

Khái niệm hàm ba biến • Định nghĩa:Cho khơng gian:

• Ánh xạ:

• Được gọi hàm ba biến xác định tập hợp D

• Mỗi cặp (x,y,z)∈ 𝐷tương ứng với số thực u

• x, y, z biến độc lập; u biến phụ thuộc

:

, , , ,

f D R

x y z u f x y z

3 , , : , ,

R x y z x y z R va D R

Tập xác định hàm hai biến • Tập xác định hàm số tập hợp tất

cặp (x,y) cho giá trị biểu thức f(x,y) số thực

• Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau:

) ,

) , ln

a f x y y x b f x y x y

Tập xác định hàm ba biến • Tập xác định hàm số tập hợp tất

cặp (x,y,z) cho giá trị biểu thức f(x,y,z) số thực

Đạo hàm riêng

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D • Xem y số ta hàm biến theo

x

• Lấy đạo hàm hàm số ta đạo hàm riêng theo biến x

• Ký hiệu:

• Tương tự ta đạo hàm riêng theo biến y

'x z

(2)

Đạo hàm riêng

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D • Các đạo hàm riêng z theo x,y:

• Lấy đạo hàm riêng theo biến đạo hàm hàm biến xem biến lại số

0

0 0 0

0

0 0 0

0

, , ,

' lim

, , ,

' lim

x x x

y y y

f x y f x y f x y z

z

x x x x

f x y f x y f x y z

z

y y y y

Ví dụ • Cho hàm số

• Đạo hàm riêng theo x (xem y số)

• Đạo hàm riêng theo y (xem x số) 3

z x xy y

3

'y

z xy y

2

'x 3

z x y

Vi phân hàm nhiều biến • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng

z’x; z’y

• Khi biểu thức:

• Được gọi vi phân toàn phần hàm hai biến cho

• Ý nghĩa:

'x 'y

dz z dxz dy

Ví dụ • Hàm số

• Có vi phân tồn phần

3

z x y xy

   

3 2

dz x y dx x y dy

Đạo hàm riêng cấp 2

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng z’x; z’y

• Đây đạo hàm riêng cấp

• Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp

• Các đạo hàm riêng cấp

   

2

'' '' ''

' '

xx xy

x x y

yx yy y

x y

x x

y y

z z z z z

  

Đạo hàm riêng cấp 2

• Các đạo hàm riêng cấp cịn ký hiệu là:

• Ví dụ: Các đạo hàm riêng của:

2 2

2; ; ;

z z z z

x x y y x y

   

     

3

zx y xy

2

' '

" " " "

x y

xx xy

yy

z x y z y x

z x z

z z

    

 

  

(3)

Đạo hàm riêng cấp 2 • Bài tập: Tính đhr cấp hàm số:

) y ) xy ) ln x

a z x b z e c z

y  

    

 

Vi phân cấp 2

• Vi phân cấp hàm hai biến z=f(x,y) biểu thức có dạng:

• Chú ý:

2

2 2

" xy" "

x y

d zz dx  z dxdyz dy

   

2

2 2

' '

" " " " " " "

x y

xx xy yx yy

xy

x y

d z d dz d z dx z dy

d z z dx z dxdy z dydx z dy d z z dx z dxdy z dy

  

   

  

Ví dụ • VD1 Vi phân cấp hàm số:

•

• VD2 Tính vi phân cấp hàm số:

 

2 2 3

2

) ln )

) z sin

a z x y b z xy x y

c x y

   

 

3

zx y xy

2 6 2 2

d z xdx  dxdy dy

Cực trị hàm hai biến_Cực đại • Khái niệm:cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định

trên D

• Xét điểmM0(x0; y0) ∈ 𝐷

• Nếu điểm M(x,y) nằm quanh M0và M≠ M0ta có:

• Thì M0gọi điểm cực đại hàm số    0  ,  0, 0

f M  f M hay f x y  f x y

Cực trị hàm hai biến_Cực tiểu • Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định

trên D

• Xét điểmM0(x0; y0) ∈ 𝐷

• Nếu điểm M(x,y) nằm quanh M0và M≠ M0ta có:

• Thì M0gọi điểm cực tiểu hàm số    0  ,  0, 0

f M  f M hay f x y  f x y

Khái niệm cực trị

• Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị

• Ví dụ: Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 điểm M01; ∈ 𝐷 = 𝑅2

• Ta có:

• Vậy

• M0là điểm cực tiểu hàm số

   

     

0

2

2 2

1;

, 2

f M f

f M f x y x y x x y

 

         

(4)

Cực trị hàm nhiều biến • Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực

tiểu hàm nhiều biến

• Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,…,xn) xác định có đạo hàm riêng theo tất biến độc lập D

• Điểm điểm:

• Cực đại khi? • Cực tiểu khi?

1

( , , , n)

M x x x D

Điều kiện cần để có cực trị • Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác định có đạo

hàm riêng theo tất biến độc lập D đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm

thì

• Điểm thỏa mãn điều kiện gọi làđiểm dừngcủa hàm số

• Hàm số đạt cực trị điểm dừng

• Đây làđiều kiện cần, chưa phải làđiều kiện đủ

1 ( , , ,n)

M x x x D

1

( , , , n) , 1, 2, , i

f

x x x i n

x

  



Ma trận Hess

• Giả sử hàm sốnbiến số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm

riêng cấp Khi đó, ma trận vuông cấpn

gọi ma trận Hess hàm số Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp liên tục

ma trận Hess ma trận đối xứng

1 1 2 2

1

n

n n n n

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

f f f

H

f f f

                       

Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ • Ma trận Hess hàm biến • ma trận

2 5 4

2 5 3

2 4 3 4

6 12 15 12 12 20 15 20 20

x y z x y z x y z H x y z x y z x y z x y z x y z x y z

 

 

  

 

 

3

( , , )

f x y z x y z

Điều kiện đủ cực trị • Giả sử

• điểm dừng hàm số f(x1,x2,…,xn) điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp hai liên tục

• Đặt:

1

( , , , n)

M x x x D

2

( , , , ) ( , 1, 2, , )

ij n

i j

f

a x x x i j n

x x 

 

 

Điều kiện đủ để có cực trị • Ma trận Hess:

• Xét định thức chính:

11 12 21 22

1

n n

n n nn

a a a

H

a a a

           

11 12 11 12

21 22 21 22

11 12 11

21

1 2

, , , , ,

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a

D a D D D

a a

a a a a a a

(5)

Tiêu chuẩn xét cực trị

• i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 M điểm cực tiểu hàm số

• ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)nDn>0 M điểm cực

đại hàm số

• iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)iD

i>0 ) tồn k cho

Dk=0 chưa thể kết luận cực trị địa phương

của hàm số Hàm số đạt cực trị không đạt cực trị điểm M Muốn có kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác

• iv) Trong trường hợp khác M khơng phải điểm cực trị

Áp dụng cho hàm biến • Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp

liên tục M0(x0, y0) điểm M0(x0, y0) điểm dừng hàm số

• Ta đặt:

2

0 0

2

2 0

2

( ; y ) B ( ; y )

( ; y )

f f

A x x

x x y

A B

f

C x AC B

B C

y

 

 

  



    



Áp dụng cho hàm biến • i) Nếu A>0, ∆>0 M0là điểm cực tiểu

• ii) Nếu A<0, ∆>0 M0là điểm cực đại

• iii) Nếu ∆<0 M0khơng điểm cực trị

• iv) Nếu ∆=0 chưa có kết luận

Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Các bước tìm cực trị hàm biến • Tìm tập xác định

• Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp • Giải hệ pt tìm điểm dừng

• Tính đhr cấp điểm dừng • Xét dấu định thức cấp

• Kết luận điểm cực trị tính cực trị (nếu có)

' '

x y

z z

    

Ví dụ • Tìm cực trị hàm số

• Đ/S: cực tiểu M(1;1)

3

( , ) 3

f x y   x y xy

Ví dụ • Tìm cực trị hàm số

• Đ/S: cực tiểu M(1;-2;1/2)

3 2

( , , ) 2 2 3 1.

(6)

Bài tập • Tìm cực trị hàm số:

4 2 5

2

3

) )

8

) )

)

a z x y x xy y b z xy x y x

c z y d z x xy y x y

x y e z x y xy

                  

Hàm nhiều biến kinh tế • Hàm sản xuất

• Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm lợi ích • Hàm cung, hàm cầu

Hàm sản xuất • Hàm sản xuất hàm dạng:

Q=Q(K,L)

• K vốn, L lao động

• Hàm Cobb-Douglas hàm sản xuất dạng: • a, α, β số dương

,

QaK L 

Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm tổng chi phí hàm TC=TC(Q) tính theo yếu tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

• WKlà giá thuế đơn vị vốn, WLlà giá thuế đơn vị lao động, C0là chi phí cố định

• Hàm tổng doanh thu hàm TR=PQ=PQ(K,L) P giá thị trường sản phẩm • Hàm tổng lợi nhuận hàm TT=TR-TC

Hàm lợi ích

• Người ta dùng biến lợi íchuđể biểu diễn mức độ ưa thích người tiêu dùng tổ hợp hàng hóa cấu tiêu dùng Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi giỏ hàng Giả sử cấu người tiêu dùng có mặt hàng giỏ hàng ba số thực (x,y,z) Hàm lợi ích cho tương ứng giỏ hàng với giá trị u=u(x,y,z)

Hàm cung, hàm cầu

• Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng P1, P2,…,Pn Khi

• Hàm cung:

• Hàm cầu:

1

( , , , )

i

S i n

Q S P P P

1

( , , , ) i

D i n

(7)

Cực trị hàm kinh tế – VD1 • Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm

Biết hàm cầu loại sản phẩm xí nghiệp đơn vị thời gian là:

• hàm tổng chi phí xét đơn vị thời gian

• Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

1 2

1

1230 1350 ,

14 14

P P P P

Q    Q   

2

1 1 2

( , )

C Q Q Q Q Q Q

Cực trị hàm kinh tế – VD2 • Cho hàm lợi nhuận công ty

sản phẩm là:

• đó𝜋là lợi nhuận,Rlà doanh thu,Clà chi phí,Llà lượng lao động, w tiền lương cho lao động,Klà tiền vốn,rlà lãi suất tiền vốn,Plà đơn giá bán sản phẩm

• Giả sửQlà hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng: • Ta tìmL, Kđể lợi nhuận đạt tối đa cho trường

hợp w = 1, r = 0,02, P = 3.

w

R C PQ L rK

    

1/3. 1/3

QL K

Cực trị hàm kinh tế – VD3 • Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp

sản xuất loại sản phẩm là:

• Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa

• Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3=200

2 2

1 300 1200 20

Q Q Q Q Q Q Q

       

Cực trị hàm kinh tế – VD4 • Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm

Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm sau:

• Với hàm chi phí kết hợp là:

• Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa

1 1300 675 0,

Q  p Q   p

2

1 2

CQ  Q Q Q

Đáp án • Ta có:

1

2

250; 1050

100; 1150

Q p

 

Cực trị hàm kinh tế – VD5 • Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm

ở hai sở với hàm chi phí tương ứng là:

• Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1,2

• Hàm cầu ngược sản phẩm cơng ty có dạng:

• A) Xác định lượng sản phẩm cần sx sở đề tối đa hóa lợi nhuận

• B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, tính độ co giãn cầu theo giá

2

1 128 0, 1; 156 0,1

TC   Q TC   Q

1

600 0,1 ; 600

(8)

Đáp án • A) Q1=600; Q2=1200

• B) Hệ số co giãn cầu theo giá: -13/6

Cực trị hàm kinh tế – VD6 • Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

• Giả sử giá thuê đơn vị vốn 6$, giá thuê đơn vị lao động 4$ Giá bán sản phẩm 2$

• Tìm mức sử dụng vốn lao động để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa

• Đáp số: K=1/36; L=1/16

 

0,5 0,5

0;

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	1,23 MB