HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI 10 18173/2354 1059 2021 0001 Natural Sciences, 2021, Volume 66, Issue 1, pp 3 11 This paper is available online at http //stdb hnue edu vn CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ GAUSS BONNET Đ[.]
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Natural Sciences, 2021, Volume 66, Issue 1, pp 3-11 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1059.2021-0001 CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ GAUSS-BONNET ĐỊA PHƯƠNG Trần Đức Anh Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt Chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ ngắn gọn cho định lí Gauss-Bonnet, định lí đặc sắc Hình học vi phân, nêu lên mối liên hệ tính hình học vi phân tính tơpơ, nhiên, kết lại bị bỏ qua Chương trình dành cho sinh viên Khoa Toán-Tin, học viên cao học Chứng minh dựa hồn tồn vào định lí Stokes Từ khóa: Gauss-Bonnet, độ cong Gauss, độ cong trắc địa, hình học vi phân, dạng liên kết, định lí Stokes Mở đầu Định lí Gauss-Bonnet kết đặc sắc hình học vi phân cổ điển, nêu lên mối liên hệ tính hình học vi phân mặt khả vi (hay đa tạp hai chiều) với đặc trưng tơpơ Do tính chất quan trọng định lí mà khóa học Hình học vi phân giới đề cập tới định lí Trước đây, khoa Tốn-Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội sử dụng giáo trình [1] tác giả Đồn Quỳnh, đó, nội dung định lí Gauss-Bonnet đề cập tới Hiện nay, chương trình đào tạo thay đổi kể từ Khóa 64 (năm 2014), nhiều môn học phải thay đổi lại thời lượng kiến thức, nên số mục trở thành kiến thức tự đọc bỏ qua, có định lí Gauss-Bonnet Giáo trình [2] đời nhằm phục vụ nhu cầu Mặc dù giáo trình [2] trình bày theo tinh thần [1] với nhiều diễn giải gọn gàng dễ hiểu cho sinh viên, nhiên, định lí Gauss-Bonnet khó tiếp cận với đại trà sinh viên học viên cao học gặp khó khăn đọc chứng minh Điều ảnh hưởng phần tới việc tiếp thu tốn học trình độ cao nhiều học viên cao học Trong viết này, viết lại đầy đủ chứng minh định lí Gauss-Bonnet, phiên địa phương (cũng phiên quan trọng nhất, phiên tồn cục hệ quả), đồng thời giải thích chi tiết kí hiệu tính tốn, chỗ khó mà người học gặp Ngày nhận bài: 10/3/2021 Ngày sửa bài: 19/3/2021 Ngày nhận đăng: 26/3/2021 Tác giả liên hệ: Trần Đức Anh Địa e-mail: ducanh@hnue.edu.vn Trần Đức Anh Nội dung nghiên cứu 2.1 Kiến thức chuẩn bị Trước phát biểu định lí Gauss-Bonnet địa phương, ta cần chuẩn bị số kiến thức Các khái niệm sử dụng lấy từ giáo trình [1, 2] Định nghĩa 2.1 Cho S mặt quy định hướng R3 c : [0, l] → S ánh xạ liên tục từ đoạn [0, l] vào S Ta nói c cung tham số đơn, đóng, quy khúc nếu: (i) c(0) = c(l), (ii) Với t1 6= t2 ∈ [0, l), ta có c(t1 ) 6= c(t2 ) (iii) Tồn phân hoạch = t0 < t1 < t2 < < tk = l [0, l] cho c quy đoạn [ti , ti+1 ] với i = 0, 1, , k − Trong đó, quy nghĩa khả vi đạo hàm c′ (t) 6= ~0 với t Ảnh c, tức tập hợp c [0, l] , gọi đường cong đơn quy khúc Tại điểm ti , tính quy c đoạn, nên tồn đạo hàm trái phải ti , kí hiệu c′ (ti −) c′ (ti +) lưu ý hai vector 6= ~0 Nếu hai vector c′ (ti −) 6= c′ (ti +) c(ti ) gọi đỉnh c Do S mặt định hướng được, nên góc c′ (ti −), c′ (ti +) góc định hướng có số đo góc θi nằm (−π, π) Góc θi gọi góc ngồi c đỉnh c(ti ) Giả sử c : [0, l] → S làmột đường cong quy khúc nằm tham số hóa r : U → S, tức ảnh c [0, l] ⊂ r(U ), U tập mở R2 Mỗi điểm U kí hiệu (u, v), vector ru′ , rv′ vector đạo hàm riêng r theo u, v Do S định hướng được, nên ta địi hỏi r phải tương thích với hướng S, tức ru′ ∧ rv′ xác định trường pháp tuyến S, hay góc định hướng ru′ rv′ phải góc dương, ngược chiều kim đồng hồ Khi đó, đoạn [ti , ti+1 ], ta định nghĩa hàm liên tục ϕi : [ti , ti+1 ] → R ′ ′ cho ϕ(t) ≡ ru , c (t) (mod 2π) với t ∈ (ti , ti+1 ), đó, ta hiểu vector ru′ vector phương trục hồnh xác định điểm c(t) Hàm ϕi (t) gọi hàm góc c Định lí sau cần thiết chứng minh định lí Gauss-Bonnet Định lí 2.1 (Định lí quay tiếp tuyến, hay cịn gọi Umlaufsatz) Với kí hiệu trên, ta có: k−1 k−1 X X θi = ±2π ϕi (ti+1 ) − ϕi (ti ) + i=0 i=0 Trong đó, dấu cộng hay trừ phụ thuộc vào hướng c Cụ thể hướng dương hướng ngược chiều kim đồng hồ, hướng âm thuận chiều kim đồng hồ Độc giả tham khảo chứng minh định lí trang 250 396 [3] trang 24-26 [4] Bây giờ, ta phát biểu định lí Gauss-Bonnet địa phương sau: Định lí 2.2 (Định lí Gauss-Bonnet địa phương) Cho S ⊂ R3 mặt quy định hướng Giả sử D ⊂ S miền đơn vi phôi với đĩa mở R2 có biên ∂D đường cong Chứng minh định lí Gauss-Bonnet địa phương đơn quy khúc, tham số hóa c : [0, l] → S Giả sử c định hướng dương θ0 , θ1 , , θk−1 góc ngồi c kí hiệu kg độ cong trắc địa c S K độ cong Gauss S Khi ta có: Z l kg ds + ZZ KdS + D k−1 X θi = 2π i=0 2.2 Một số kết cần thiết cho chứng minh Ta tiếp cận chứng minh định lí Gauss-Bonnet thơng qua định lí Stokes, đây, ta phát biểu định lí Stokes dạng cần thiết cho chứng minh Định lí 2.3 (Định lí Stokes) Cho S đa tạp hai chiều compact có bờ định hướng ω 1-dạng vi phân khả vi S Khi đó, Z Z dω ω= S ∂S Chứng minh định lí xem trang 161-162 [5] trang 59-60 [6] Ta nhắc lại định nghĩa tích phân dạng vi phân trường hợp cụ thể có ích chứng minh định lí Gauss-Bonnet Giả sử ∂S tham số hóa tồn cục c : I → ∂S I khoảng đoạn R, tức S = c(I) ∂S\c(I) gồm hữu hạn điểm Ta yêu cầu thêm c phải tương thích với hướng ∂S Khi đó, Z Z ω = ω(c′ (t))dt I ∂S Tương tự, giả sử r : U → S tham số hóa tồn cục tương thích với hướng S, Z Z dω(ru′ , rv′ )du dv dω = S U Trong trường hợp khơng có tham số hóa tồn cục ta bắt buộc phải sử dụng phân hoạch đơn vị, công thức tính tốn cốt yếu * Ý tưởng chứng minh Định lí 2.2 RR Đầu tiên, ta chuyển đổi tích phân D KdS thành tích phân theo 2-dạng vi phân, kí hiệu tạm η Sau đó, ta tìm nguyên dạng η, tức 1-dạng vi phân ω cho η = dω Từ áp dụng định lí Stokes kết thúc chứng minh Định nghĩa 2.2 Cho c : I → S cung tham số quy từ khoảng I ⊂ R vào mặt quy định hướng S ⊂ R3 kí hiệu n trường pháp tuyến đơn vị xác định hướng S Giả sử c tham số hóa tự nhiên, tức |c′ (s)| = với s ∈ I kí hiệu t(s) = c′ (s), n(s) = n(c(s)), g(s) = n(s) ∧ t(s) Khi đó, ba {t, g, n} gọi trường mục tiêu Darboux dọc c Độ cong trắc địa c điểm c(s), kí hiệu kg (s), kg (c(s)) cần làm rõ điểm c(s), cho công thức kg (s) = t′ (s), g(s) Trần Đức Anh Định nghĩa 2.3 Cho U1 , U2 , , Un trường mục tiêu khả vi Rn kí hiệu D đạo hàm trường vector Rn , cịn gọi liên thơng Rn Định nghĩa D sau: Cho α vector tiếp xúc tới Rn điểm p ∈ Rn , cho X trường vector quanh p Giả sử ρ : I → Rn cung tham số khả vi thỏa mãn ρ(t0 ) = p ρ′ (t0 ) = α với t0 ∈ I Khi đó, d X(ρ(t)) ∈ Tp Rn Dα X = dt t=t0 Thay viết Dα X, ta viết DX ngầm hiểu có vector tiếp xúc α Bây giờ, đạo hàm trường mục tiêu U1 , U2 , , Un , ta thu DUi = n X ωij Uj j=1 ωji 1-dạng vi phân, gọi dạng liên kết tới trường mục tiêu U1 , U2 , , Un Định lí 2.4 (Phương trình cấu trúc Rn ) Cho U1 , U2 , , Un trường mục tiêu Rn kí hiệu θ , θ , , θ n trường đối mục tiêu tương ứng (tức θ i 1-dạng vi phân Rn thỏa mãn θ i (Uj ) = δij với δij kí hiệu Kronecker) Khi ta có hai phương trình sau, gọi phương trình cấu trúc Rn (a) n X ωji ∧ θ j với i = 1, 2, , n dθ i = − j=1 (b) dωji = − n X ωki ∧ ωjk với i, j k=1 Chứng minh định lí xem trang 61-63 [1] 2.3 Chứng minh Định lí 2.2 RR * Bước Chuyển đổi tích phân D KdS thành tích phân dạng vi phân Giả sử U1 , U2 trường mục tiêu trực chuẩn S tương thích với hướng S Nhắc lại: n trường pháp tuyến đơn vị xác định hướng S Khi đó, ta mở rộng tập xác định U1 , U2 , n lên tập mở chứa S cho U1 , U2 , n trường mục tiêu trực chuẩn tập mở R3 Khi đó, ta thu dạng liên kết ωji trường mục tiêu coi U3 = n kí hiệu α vector tiếp xúc Khi đó, theo định nghĩa dạng liên kết, ta có ωji (α) = hDα Uj , Ui i Do Ui , Uj vng góc với i 6= j nên = Dα hUi , Uj i = hDα Ui , Uj i + hUi , Dα Uj i Do đó, dạng liên kết ωji = −ωij , tức có tính phản đối xứng Chứng minh định lí Gauss-Bonnet địa phương Tiếp theo ta có DU1 n = ω31 (U1 )U1 + ω32 (U1 )U2 DU2 n = ω31 (U2 )U1 + ω32 (U2 )U2 Do đó, độ cong Gauss K = ω31 (U1 )ω32 (U2 ) − ω31 (U2 )ω32 (U1 ) = (ω31 ∧ ω32 )(U1 , U2 ) Như ta suy ω31 ∧ ω32 = Kθ ∧ θ , mà θ ∧ θ lại dạng diện tích tắc (Thuật ngữ theo Giáo trình [1] trang 166, đồng thời xem thêm trang 248, mục 2.2.1.) S, nghĩa Z Z ZZ D D D ω31 ∧ ω32 Kθ ∧ θ2 = KdS = ω32 ω31 ∧ * Bước Tìm nguyên dạng Theo phương trình cấu trúc thứ hai Định lí 2.4, ta có: dω21 = −ω31 ∧ ω23 = ω31 ∧ ω32 Như vậy, ω21 nguyên dạng ω31 ∧ ω32 Do đó, tích phân Z Z ZZ dω2 = KdS = ∂D D D ω21 = Z l ω21 (c′ (t))dt Để tiện trình bày, ta giả sử c tham số hóa tự nhiên, tức |c′ (s)| = với s ∈ [0, l], viết lại tích phân ZZ D KdS = Z D dω21 = Z ∂D ω21 = Z l ω21 (c′ (s))ds ω21 (c′ (s)) * Bước Xác định mối liên hệ với độ cong trắc địa c c(s) ′ Do vector c (s) vector đơn vị, nên ta viết c′ (s) = cos ϕ(s)U1 (c(s)) + sin ϕ(s)U2 (c(s)) với ϕ(s) hàm góc Định nghĩa 2.1 Lưu ý ϕ định nghĩa đoạn [si , si+1 ] khơng phải tồn [0, l] Khi đó, ta có t′ (s) = c′′ (s) = ϕ′ (s) − sin ϕ(s)U1 (c(s)) + cos ϕ(s)U2 (c(s)) + | {z } =g(s) + cos ϕ(s)Dc′ (s) U1 + sin ϕ(s)Dc′ (s) U2 = ϕ′ (s)g(s) + cos ϕ(s) ω12 (c′ (s))U2 (c(s)) + ω13 (c′ (s))n(s) + ′ ′ + sin ϕ(s) ω2 (c (s))U1 + ω2 (c (s))n(s) Trần Đức Anh Do đó, độ cong trắc địa kg (s) = t′ (s), g(s) = ϕ′ (s) + ω12 (c′ (s)) Như ω21 (c′ (s)) = ϕ′ (s) − kg (s) * Bước Kết thúc chứng minh Ta có: Z l ω21 (c′ (s))ds = Z l (ϕ′ (s) − kg (s))ds Theo Định lí 2.1, ta có Z l ′ ϕ (s)ds = 2π − k−1 X θi i=0 với θi góc ngồi c (xem Định nghĩa 2.1) Do ta chứng minh xong định lí Gauss-Bonnet địa phương 2.4 Bình luận giải thích thêm số kí hiệu tính tốn 2.4.1 Tầm quan trọng định lí Gauss-Bonnet địa phương R Từ định lí này, ta chứng minh định lí Gauss-Bonnet (tồn cục), cụ thể tích phân S KdS, với S đa tạp hai chiều compact có hướng, đặc trưng Euler S Để chứng minh điều đó, ta cần kết khó tơpơ, đa tạp hai chiều tam giác phân (xem Định lí 2.3.A.1, trang 37-39 [7]) Định lí cho phép chứng minh tổng góc n−giác mặt phẳng (n − 2)π Thật vậy, mặt phẳng, độ cong Gauss K ≡ cạnh đa giác đường trắc địa nên độ cong trắc địa ≡ Ta suy tổng góc ngồi n−giác 2π, mà có n góc Do đó, tổng góc n−giác nπ − 2π = (n − 2)π Nhờ định lí này, nhiều phần kiến thức quan trọng Mơn hình học nhóm biến đổi [8] trở nên dễ hiểu hơn, ví dụ áp dụng định lí Gauss-Bonnet cho mơ hình hình học khác hình học elliptic, hyperbolic, hình học đĩa nửa phẳng Poincare Điều đặc biệt có ý nghĩa, mơn học mang tinh thần học thuật đại 2.4.2 Giải thích kí hiệu tích phân R kg ds Giáo trình [1] [2] quy ước: cung tham số tham số hóa tự nhiên ta sử dụng chữ R s để kí hiệu tham số Điều vơ tình gây lẫn lỗn với tích phân kg ds trên, khiến người học nghĩ phải chuyển tham số hóa tự nhiên tính tích phân Thực chất, ds phần tử độ dài, tức độ đo xác định đường cong Ta phác lại cách định nghĩa độ dài đường cong Giả sử ta có cung tham số c : I → Rn với I khoảng R Xét đoạn [a, b] ⊂ I Khi đó, độ dài cung tham số c từ c(a) tới c(b) định nghĩa thông qua xấp xỉ đường gấp Chứng minh định lí Gauss-Bonnet địa phương khúc Tức là, xét phân hoạch a = t0 < t1 < t2 < < tk = b, ta tính tổng độ dài k−1 X −−−−−−−→ |c(ti )c(ti+1 )| i=0 Khi bước nhảy phân hoạch trở nên nhỏ giá trị tổng tiến tới giới hạn giới hạn gọi độ dài c từ c(a) tới c(b) Nhiều giáo trình (trong có [1, 2]) định nghĩa độ dài nêu cơng thức chứng minh, nên người học nhiều không hiểu chất kí hiệu tính tốn −−−−−−−→ Ta xét phần tử |c(ti )c(ti+1 )| = |c(ti+1 ) − c(ti )| Theo cơng thức Taylor, ta có |c(ti+1 ) − c(ti )| ≈ |c′ (ti )|(ti+1 − ti ) Đại lượng ti+1 − ti số gia kí hiệu dt Như vậy, kí hiệu dt tích phân khơng phải số cụ thể, mà đại diện cho số gia ti+1 − ti , tức đại diện cho trình Do đó, độ dài c từ c(a) tới c(b) tích phân Z b |c′ (t)|dt a Như vậy, |c′ (t)|dt đại diện cho độ dài đường gấp khúc kí hiệu ds Đấy chất kí hiệu ds tích phân khơng liên quan tới tham số hóa tự nhiên 2.4.3 Giải thích kí hiệu tích phân R S KdS Cũng giống trên, kí hiệu dS khơng liên quan tới mặt S kí hiệu dS phần tử diện tích mặt, tức độ đo mặt S Cách xác định chất thơng qua việc xấp xỉ mặt S tứ giác Cụ thể sau: Giả sử r : U → S tham số hóa Do U tập mở R2 nên ta chia U thành lưới hình chữ nhật nhỏ Khi đó, diện tích r(U ) xấp xỉ thơng qua diện tích tứ giác mà đỉnh ảnh lưới U qua r Tuy nhiên, ta khơng có tứ giác nghĩa, khơng có đảm bảo tính đồng phẳng điểm R3 Vì vậy, việc xấp xỉ diện tích thực cách chia đơi "tứ giác" thành tam giác, tính diện tích bình thường Ta giả sử (x, y) nút lưới, (x + h, y), (x, y + k), (x + h, y + k) nút lân cận tạo thành hình chữ nhật R2 , với h, k nhỏ Diện tích tam giác dựng ba điểm r(u, v), r(u + h, v), r(u, v + k) −−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−−→ |r(u, v)r(u + h, v) ∧ r(u, v)r(u, v + k)| ≈ |hru′ (u, v) ∧ krv′ (u, v)| 2 = hk|ru′ ∧ rv′ | Các đại lượng h, k số gia du, dv Do đó, phần tử diện tích dS có biểu diễn qua tham số r dS = |ru′ ∧ rv′ |du dv Điều giải thích cách định nghĩa tích phân mặt quy nêu giáo trình [2] trang 108 [1] trang 166 Các định nghĩa nêu nhiều giáo trình nước ngồi khơng làm bật chất định nghĩa ... tham khảo chứng minh định lí trang 250 396 [3] trang 24-26 [4] Bây giờ, ta phát biểu định lí Gauss- Bonnet địa phương sau: Định lí 2.2 (Định lí Gauss- Bonnet địa phương) Cho S ⊂ R3 mặt quy định hướng... cần thiết cho chứng minh Ta tiếp cận chứng minh định lí Gauss- Bonnet thơng qua định lí Stokes, đây, ta phát biểu định lí Stokes dạng cần thiết cho chứng minh Định lí 2.3 (Định lí Stokes) Cho... (xem Định nghĩa 2.1) Do ta chứng minh xong định lí Gauss- Bonnet địa phương 2.4 Bình luận giải thích thêm số kí hiệu tính tốn 2.4.1 Tầm quan trọng định lí Gauss- Bonnet địa phương R Từ định lí này,