Luận văn vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số banach

LỜI CÁM ƠN Tôi xin được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy khoa Toán – Tin trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho lớp Toán giải tích khóa K21 Xin được cảm ơn quý th[.]

LỜI CÁM ƠN Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy khoa Toán – Tin trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy cho lớp Tốn giải tích khóa K21 Xin cảm ơn quý thầy Hội đồng khoa học đọc cho ý kiến xác đáng Cám ơn phòng Sau đại học giúp đỡ tơi nhiều suốt q trình học tập trường Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến TS Nguyễn Văn Đơng, người thầy tận tụy hết lịng hướng dẫn, tạo điều kiện mặt giúp hoàn thành luận văn Phong cách làm việc khoa học, lòng nhiệt huyết yêu nghề thầy hành trang vốn quý cho chúng tôi, người theo nghề giáo MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.2 Một số kiến thức tôpô – giải tích hàm Chương ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NÓ 11 2.1 Đại số Banach giao hoán phép biến đổi Gelfand 11 2.2 Đại số Banach hữu hạn sinh phổ nối hữu hạn phần tử 27 Chương HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 35 3.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động không gian phép biến đổi Gelfand 35 3.2 Định lý hàm ẩn đại số Banach 40 3.3 Vài kết biên Shilov 46 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một đối tượng lý thuyết đại số Banach giao hốn việc nghiên cứu xem biểu diễn đại số đại số hàm liên tục không gian compact Sự biểu diễn tạo điều kiện cho việc ứng dụng kết lý thuyết hàm vào lý thuyết đại số Banach Việc nghiên cứu ứng dụng giải tích phức vào lý thuyết đại số Banach quan tâm nhiều nhà toán học giới Weiner, Lévy, Shilov, Rossi, Arens, Caderon, Hormander… Tôi chọn đề tài nhằm tìm hiểu sâu giải tích phức số ứng dụng đại số Banach Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức xem xét số ứng dụng đại số Banach Cụ thể luận văn trình bày lại kết sau + Mô tả biểu diễn đại số giao hoán qua hàm liên tục theo biểu diễn Gelfand + Chứng minh hàm chỉnh hình nhiều biến phức tác động lên không gian biến đổi Gelfand Đồng thời áp dụng kết để chứng minh định lý hàm ẩn đại số Banach + Chứng minh biên Shilov xác định điều kiện địa phương Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các đại số Banach, phép biến đổi Gelfand, biên Shilov, định lý hàm ẩn, hàm chỉnh hình nhiều biến phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu thêm hàm chỉnh hình nhiều biến ứng dụng đại số Banach Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đại số Banach giao hoán phép biến đổi Gelfand Chương Hàm chỉnh hình đại số Banach số ứng dụng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương ta trình bày lại số kiến thức liên quan đến giải tích phức nhiều biến, tơpơ, giải tích hàm sử dụng cho chương sau 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.1.1 Hàm nhiều biến phức tập D ⊂  n ánh xạ f từ D vào mặt phẳng phức  , giá trị hàm f điểm z ∈ D kí hiệu f ( z ) Định nghĩa 1.1.2 Hàm l :  n →  gọi  − tuyến tính (tương ứng  − tuyến tính) i) l ( z + z ') = l ( z ) + l ( z '), ∀z, z ' ∈ n ii) l (λ= z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n (tương ứng ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ) Hàm  − tuyến tính l :  n →   − tuyến tính l (iz ) = il ( z ), ∀z ∈ n Trong trường hợp l (λ= z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ta nói l  − phản tuyến tính Chẳng hạn hàm z → z j  − tuyến tính, hàm z → z j  − phản tuyến tính Mọi hàm  − tuyến tính l :  n →  viết dạng l= ( z ) l '( z ) + l ''( z ) với l '( z ) = l ( z ) − il (iz ) l ( z ) + il (iz ) , l '  − tuyến tính, l ''  − phản , l ''( z ) = 2 tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Hàm f : Ω →  , với Ω tập mở  n , gọi  2n − khả vi (tương ứng  n − khả vi) z ∈Ω tồn ánh xạ  − tuyến tính l :  n →  (tương ứng  − tuyến tính) cho f ( z + h)= f ( z ) + l (h) + ϕ (h) với ϕ ( h) h → h → Hàm l tồn gọi  2n − đạo hàm (tương ứng n − đạo hàm) f z ký hiệu f '( z ) Nếu f  2n − khả vi a ánh xạ l thỏa điều kiện định nghĩa kí hiệu d a f gọi vi phân f a Đặc biệt, f  2n − khả vi a da f = ∂ a f + ∂ a f ∂ a f ánh xạ  − tuyến tính ∂ a f ánh xạ  − phản tuyến tính Ta lại có = da f Bằng cách viết ∂f n ∂f ∑ ( ∂x (a)dx + ∂y i i =1 i (a )dyi ) i zj = x j + iy j , z j = x j − iy j , j = 1, , n dz j = dx j + idy j , d z j = dx j − idy j , j = 1, , n Suy dz j + d z j dz j − d z j , dy j = 2i dx j = = da f Khi n  ∂f j =1  ∑  ∂x j  dz + d z j (a)  j    ∂f  dz − d z j (a)  j +   2i  ∂y j         ∂f ∂f  ∂f n  ∂f − + + ( a ) i ( a ) dz ( a ) i ( a )    d z j ∑ ∂x ∑ j ∂y j ∂y j j  ∂x j =j =   j  = = n n j =1 với ∂f ∑ ∂z (a )dz j + j ∂f (a)d z j ∂z j ∂f ∂f ∂f  ∂f , (a )dz j = −i  ∂z j  ∂x j ∂y j j =1 ∂z j n ∂a f = ∑    ∂f ∂f  ∂f ∂f , (a)d z j = +i  ∂y j ∂ z j  ∂x j j =1 ∂ z j n ∂a f = ∑    Do tính phân tích ánh xạ d a f = ∂ a f + ∂ a f nên ∂ a f , ∂ a f suy Tổng quát f  2n − khả vi Ω df = ∂f + ∂ f với n ∂f ∂f dz j ∂ a f = dzj ∑ j =1 ∂z j j =1 ∂ z j n ∂a f = ∑ Vậy hàm f  n − khả vi z ∈  n f  2n − khả vi z thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann ∂f ( z ) = 0, ∀j = 1, , n , nghĩa ∂z j df ( z ) = ∂f ( z ) Định nghĩa 1.1.14 i) Hàm f : Ω →  , Ω mở  n gọi chỉnh hình z f  n − khả vi lân cận z ii) Ánh xạ f : Ω →  m , Ω mở  n gọi chỉnh hình z f j chỉnh hình z , ∀j =1, , n , f = ( f1 , , f m ) iii) Nếu f chỉnh hình z ta nói ∂f đạo hàm riêng f theo biến ∂z j zj Định lý 1.1.5 Cho Ω tập mở  n Một ánh xạ  2n − khả vi f : Ω →  chỉnh hình Ω thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann ∂f = 0, ∀j = 1, , n ∂z j Ký hiệu H (Ω) tập hợp tất cà hàm chỉnh hình Ω Định nghĩa 1.1.6 Cho Ω tập mở  n với n ≥ Một hàm f : Ω →  gọi chỉnh hình theo biến chỉnh hình với biến biến cịn lại cố định Điều có nghĩa với z1ο , z2ο , , zοj −1 , zοj +1 , znο hàm g : V →  hàm zj chỉnh hình, với V = {z j ∈  : ( z1ο , z2ο , , zοj −1 , z j , zοj +1 , znο ) ∈ Ω} g ( z j ) = f ( z1ο , z2ο , , zοj −1 , z j , zοj +1 , znο )  g( z j ) Định lý 1.1.7 Hàm f liên tục đa đĩa đóng P(a, r ) chỉnh hình biến P(a, r ) biểu diễn tích phân bội Cauchy   f ( z) =    2π i  n ∫ (ζ Γ f (ζ )d ζ 1d ζ d ζ n , ∀z ∈ P(a, r ) − z1 )( ζ − z ) ( ζ n − z n ) Định lý 1.1.8 Giả sử hàm f liên tục đa đĩa đóng P(a, r ) chỉnh hình biến P(a, r ) z ∈ P(a, r ) tồn khai triển lũy thừa dạng ∞ f(z )= ∑ cα ( z − a ) α α =0   với cα =    2π i  n f (ζ )d ζ ∫ (ζ − a )α +1 hội tụ chuỗi hội tụ chuẩn tắc Γ Giả sử Ω ⊂  n Ω ' ⊂  m hai miền (mở liên thông) Các biến Ω viết z = ( z1 , , zn ) , biến Ω ' viết w = ( w1 , , wn ) Một ánh xạ G : Ω → Ω ' mô tả m hàm = w1 g= g m ( z1 , , zn ) ( z1 , , z n ), , wm Ánh xạ G gọi ánh xạ chỉnh hình m hàm g1 , , g m hàm chỉnh hình Ω Nếu f ( w) = f ( w1 , , wm ) hàm xác định Ω ' hợp thành f ( G ( z ) ) hàm Ω Định lý 1.1.9 Nếu f ( w) hàm chỉnh hình theo biến Ω ' G : Ω → Ω ' ánh xạ chỉnh hình hợp thành f ( G ( z ) ) hàm chỉnh hình Định lý 1.1.10 (nguyên lý đồng nhất) Nếu f,g hàm chỉnh hình miền f ( z ) − g ( z ) = 0, ∀z ∈ U , U mở khác rỗng, U ⊂ D , f (= z ) g ( z ), ∀z ∈ D D ⊂ n Định lí 1.1.11 (ngun lý mơđun cực đại) Nếu f chỉnh hình theo biến miền D ⊂  n có điểm a ∈ D cho f ( z ) ≤ f (a) với z lân cận mở a f= ( z ) f (a ), ∀z ∈ D Định lí 1.1.12 (định lý Liouville) Nếu f chỉnh hình bị chặn  n f = const Định lý 1.1.13 (định lý hàm ẩn) Cho f j ( w, z ), j = 1, , m hàm chỉnh hình lân cận ( w0 , z )  m ×  n với ( w, z ) = ( w1 , , wm , z1 , , zn ) Giả sử f j ( w0 , z= j 1, , m ) 0,= det(∂f j / ∂wk ) mj ,k =1 ≠ điểm ( w0 , z ) Khi hệ phương trình f j ( w,= z ) 0,= j 1, , m xác định hàm chỉnh hình w( z ) lân cận điểm z thỏa mãn w( z ) = w0 Ta nhắc lại tập a − điểm hàm chỉnh hình biến phức miền Định lý 1.1.14 Cho G miền  , f : G →  hàm chỉnh hình khác a} mà ta gọi a − điểm G Khi đó, ∀a ∈  tập hợp f −1 (a) := {z ∈ G : f ( z) = f , tập rời rạc, đóng tương đối G Đặc biêt, với K tập compact, K ⊂ G tập f −1 (a) ∩ K , a ∈  tập hữu hạn Dẫn đến f −1 (a) tập không đếm Định lý 1.1.15 Tập không điểm hàm chỉnh hình khác miền G tập rời rạc đóng (tương đối) G Các kiến thức phần xem chứng minh chi tiết [4], [11] 1.2 Một số kiến thức tơpơ – giải tích hàm Định nghĩa 1.2.1 Khơng gian tôpô X gọi liên thông X không biểu diễn dạng hợp hai tập mở khác rỗng, rời Do phần bù tập mở tập đóng nên khơng gian X liên thơng thỏa mãn hai điều kiện sau i) X không biểu diễn dạng hợp hai tập đóng, khác rỗng, rời ii) X khơng có tập thực khác rỗng vừa mở vừa đóng Định nghĩa 1.2.2 Khơng gian tơpơ X gọi hồn tồn khơng liên thơng (totally disconnected space) với x, y ∈ X tồn phân hoạch A ∪ B cho x ∈ A, y ∈ B Trong khơng gian hồn tồn khơng liên thơng, thành phần liên thơng gồm có điểm Bổ đề 1.2.3 (bổ đề Borel – Lesbesgue) Nếu A tập compact không gian tơpơ X phủ mở A có phủ hữu hạn Định lý 1.2.4 Cho X khơng gian compact Hausdorff hồn tồn khơng liên thơng Khi X có sở tơpơ gồm tập vừa mở vừa đóng Bổ đề 1.2.5 (bổ đề Urysohn) Cho X không gian chuẩn tắc, A B hai tập đóng rời X Khi đó, tồn hàm liên tục f : X → [ 0;1] cho f ( x) = 0, ∀x ∈ A ... số ứng dụng đại số Banach Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức xem xét số ứng dụng đại số Banach Cụ thể luận văn trình bày lại kết sau + Mô tả biểu diễn đại số. .. thêm hàm chỉnh hình nhiều biến ứng dụng đại số Banach Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đại số Banach giao hoán phép biến đổi Gelfand Chương Hàm chỉnh hình đại. .. 11 2.2 Đại số Banach hữu hạn sinh phổ nối hữu hạn phần tử 27 Chương HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 35 3.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động khơng gian phép biến đổi