Cuốn sách này gồm có 11 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 gồm có 4 chương với những nội dung chính sau: chương 1 một số khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất; chương 2 hàm ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng; chương 3 phân tích điều hòa quá trình ngẫu nhiên dừng và trường ngẫu nhiên đồng nhất; chương 4 biến đổi tuyến tính quá trình ngẫu nhiên dừng.
Đại học quốc gia hà nội Trờng đại học khoa học tự nhiên Đ I KAZAKEVITS sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng khí tợng thủy văn Ngời dịch: Phan Văn Tân Phạm Văn Huấn Nguyễn Thanh Sơn Hiệu đính: Nguyễn Văn Tuyên Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội ! " " !/ &)%&3* &(!! )#+/s%3-,+%".!s ! '((!$ % %! ! (&$ * &(&#& !! ! (&$ * &(&#& !/ )"& ! * #4)*& # %!% ( Lời giới thiệu Lý thuyết xác suất thống kê toán học nói chung lý thuyết hàm ngẫu nhiên nói riêng công cụ toán học quan trọng đợc sử dụng rộng rÃi hiệu ngành khoa học khí tợng, thủy văn hải dơng học Trong chơng trình đào tạo chuyên ngành khí tợng, thủy văn hải dơng học, việc ứng dụng phơng pháp thống kê lý thuyết trình ngẫu nhiên có mặt nhiều môn học thể dới hình thức khác Tuy nhiên, cho ®Õn ë n−íc ta ch−a cã mét tµi liƯu giảng dạy dùng chuyên cho ngành khí tợng thủy văn, sở lý thuyết xác suất thống kê toán học đợc trình bày đầy đủ, hệ thống nhng dễ hiểu trình độ toán tơng ứng sinh viên nhóm ngành Cuốn Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng khí tợng thủy văn Đ I Kazakevits, ngời đà giảng dạy toán học cao cấp lý thuyết xác suất thống kê nhiều năm Trờng đại học khí tợng thủy văn Lêningrat, tỏ đáp ứng tốt yêu cầu Ngoài ra, tác giả sách am hiểu có công tổng quan số công trình ứng dụng công cụ lý thuyết hàm ngẫu nhiên nghiên cứu khí tợng, thủy văn, hải dơng học; vấn đề phơng pháp đợc áp dụng hợp lý hiệu quả, nh đặc thù thao tác với tập liệu khí tợng thủy văn tính toán, Nh− vËy cuèn s¸ch võa cã tÝnh chÊt gi¸o khoa vừa chuyên khảo bổ ích cho sinh viên học tập mà tài liệu tham khảo cho nghiên cứu sinh ngời nghiên cứu Hội đồng khoa học Khoa Khí tợng thủy văn hải dơng học định dịch nguyên sách làm giáo trình giảng dạy môn học Lý thuyết trình ngẫu nhiên cho sinh viên bậc đại học ngành khí tợng, thủy văn hải dơng học Trờng đại học khoa học tự nhiên Nội dung sách liên quan nhiều đến kiến thức toán trình độ cao, dịch chắn không tránh khỏi khiếm khuyết liên quan đến dịch thuật in ấn Chúng mong nhận đợc ý kiến đóng góp bạn đọc Những ngời dịch Lời nói đầu Trong hai chục năm gần ngời ta thấy công cụ toán học lý thuyết hàm ngẫu nhiên đợc sử dụng rộng rÃi khí tợng học thuỷ văn học Cơ sở điều ý tởng xem xét giá trị tức thời ghi đợc trình trờng không gian khí tợng thuỷ văn nh thể riêng biệt trình ngẫu nhiên hay trờng ngẫu nhiên Cách tiếp cận nh cho phép không cần xét đặc điểm giá trị tức thời riêng rẽ trờng khí tợng thuỷ văn với mối phụ thuộc vào toạ độ không gian biến trình thời gian phức tạp không rõ nét chuyển sang nghiên cứu số tính chất trung bình tập hợp thống kê thể ứng với tập điều kiện bên cụ thể Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu tợng khí tợng thuỷ văn học có sử dụng công cụ lý thuyết hàm ngẫu nhiên tỏ hiệu lĩnh vực: lý thuyết rối, xây dựng phơng pháp dự báo thời tiết hạn dài, phân tích khách quan trờng khí tợng, đánh giá tính đại diện số liệu quan trắc, độ xác dụng cụ đo, giải vấn đề hợp lý hoá phân bố mạng lới trạm khí tợng, xây dựng phơng pháp dự báo dòng chảy sông đặc trng khí tợng thuỷ văn, nh nhiều vấn đề khác Đóng góp to lớn vào hớng công trình đặt móng A.N Kolmogorov nh kết nghiên cứu A.M Obukhov, A.S Monin, A.M Iaglom, M.I Iuđin, L.S Ganđin, N.A Bagrov, O.A Đrozđov, E.P Borisenkov, N.A Kartvelishvili, I.M Alekhin nhà khoa học khí tợng thuỷ văn hàng đầu nớc ta (Liên Xô cũ ND) Từ dẫn đến phải mở rộng giáo trình lý thuyết xác suất trờng khí tợng thuỷ văn đa khoá chuyên đề sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên, điều đợc thực lần vào năm 1961 Trờng khí tợng thuỷ văn Leningrat Cuốn sách đợc viết sở giáo trình lý thuyết hàm ngẫu nhiên mà tác giả đà giảng dạy nhiều năm cho sinh viên chuyên ngành dự báo thời tiết phơng pháp số trị Trờng khí tợng thuỷ văn Leningrat, giáo trình học tập cho sinh viên nghiên cứu sinh trờng đại học khí tợng thuỷ văn khoa tơng ứng trờng đại học tổng hợp nh cho rộng rÃi chuyên gia khí tợng thuỷ văn Cuốn sách đợc sử dụng nh tài liệu học tập cho sinh viên kỹ s chuyên ngành khác quan tâm đến lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng Lý biên soạn sách nh xuất phát từ chỗ cha có tài liệu giáo khoa lý thuyết hàm ngẫu nhiên đáp ứng cách đầy đủ nhu cầu chuyên gia sinh viên ngành khí tợng thuỷ văn Hơn nữa, thâm nhập ngày tăng lý thuyết hàm ngẫu nhiên vào khí tợng học thuỷ văn học đòi hỏi chuyên gia khí tợng, thuỷ văn phải nhanh chóng chủ động chiếm lĩnh Lý thuyết hàm ngẫu nhiên, phận lý thuyết xác suất, đà phát triển nhanh chóng thập niên gần đợc ứng dụng rộng rÃi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Trớc hết phải kể đến ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên kỹ thuật vô tuyến, đặc biệt lý thuyết điều khiển tự động mà nhu cầu chúng, đến lợt mình, lại thúc đẩy phát triển chÝnh lý thut nµy Sù øng dơng réng r·i cđa lý thuyết hàm ngẫu nhiên khí tợng thuỷ văn muộn chút Do có hai loại giáo trình lý thuyết hàm ngẫu nhiên Tài liệu loại thứ trình bày chặt chẽ lý thuyết trình xác suất dựa toán học trình độ cao (thí dụ nh J Dub "Các trình xác suất", I A Rozanov "Các trình ngẫu nhiên dừng") Những sách dùng cho chuyên gia toán nên khó sinh viên trờng khí tợng thuỷ văn nh kỹ s cha đợc trang bị toán học đầy đủ Loại thứ hai chuyên khảo sách giáo khoa trình bày sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên tơng ứng với nhu cầu lý thuyết điều khiển tự động kỹ thuật vô tuyến Việc sử dụng sách loại chuyên gia khí tợng thuỷ văn bị khó khăn lý thuyết hàm ngẫu nhiên phơng pháp lý thuyết điều khiển tự động hay kỹ thuật vô tuyến gắn chặt với nhau, khó tách biệt đợc Ngoài ra, cha phản ánh đợc khía cạnh quan trọng ứng dụng lý thuyết vào khí tợng thuỷ văn học Cuốn sách nhằm hớng tới độc giả có kiến thức toán đợc trang bị mức giáo trình toán cao cấp dành trờng đại học chuyên ngành khí tợng thuỷ văn Trong trình bày, buộc phải dùng đến phơng pháp khái niệm quen thuộc, chúng đợc diễn giải cách ng¾n gän (vÝ dơ, mét sè dÉn liƯu tõ lý thuyết phơng trình tích phân, vài khái niệm đại số tuyến tính, hàm delta v.v ) Vì số chuyên gia khí tợng thuỷ văn cha có đủ kiến thức lý thuyết xác suất, chơng khái quát kiến thức lý thuyết xác suất mà sau dùng đến trình bày lý thuyết hàm ngẫu nhiên Việc trình bày chi tiết vấn đề đà có sách giáo khoa lý thuyết xác suất, chẳng hạn giáo trình tiếng E.S Ventxel [4] Độc giả đà quen với lý thuyết xác suất bỏ qua chơng Nội dung trình bày sách không nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hàm ngẫu nhiên, mà chủ yếu xét khía cạnh lý thuyết có ứng dụng rộng rÃi khí tợng thuỷ văn học Ngoài ra, tác giả chủ yếu tập trung trình bày cho đơn giản dễ hiểu, không bị gò bó yêu cầu chặt chẽ toàn diện mặt toán học Cuốn sách gồm hai phần Phần thứ trình bày sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên, bên cạnh việc xét trình ngẫu nhiên chiều, đà ý nhiều đến trờng ngẫu nhiên không gian Phần thứ hai xét số toán khí tợng, thuỷ văn đợc giải phơng pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên Tuy nhiên hoàn toàn không đặt mục tiêu tổng quan hệ thống tất công trình nghiên cứu giải đà toán khí tợng thuỷ văn phơng pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên Những tổng quan nh ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên khí tợng thuỷ văn tìm thấy nhiều công trình tác giả nớc [5, 18, 20, 14, 45, 9, 57 ] Trong sách lựa chọn số toán khí tợng thuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ ứng dụng phơng pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên đà trình bày phần đầu sách Và tập trung chủ yếu vào vấn đề phơng pháp luận Tác giả hy vọng sách giúp đông đảo nhà khí tợng thuỷ văn lĩnh hội ý tởng phơng pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tiễn khí tợng thủy văn học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới N.A Bagrov, O.A Đrozđov M.I Iuđin, ngời đà có góp ý quý giá nội dung cấu trúc sách Tác giả đặc biệt cám ơn L.S Ganđin đà đọc toàn văn thảo nêu nhiều nhận xét giúp tác giả lu ý chuẩn bị xuất Phần - Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên Chơng Một số khái niệm lý thuyết xác suất 1.1 Đại lợng ngẫu nhiên luật phân bố Đại lợng ngẫu nhiên đại lợng mà tiến hành loạt phép thư cïng mét ®iỊu kiƯn nh− cã thĨ lần nhận đợc giá trị giá trị khác hoàn toàn trớc đợc Ngời ta chia đại lợng ngẫu nhiên thành hai dạng đại lợng ngẫu nhiên rời rạc đại lợng ngẫu nhiên liên tục Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc đại lợng ngẫu nhiên mà giá trị liệt kê đợc, tức đánh số thứ tự tập số tự nhiên Ngợc lại, đại lợng ngẫu nhiên liên tục đại lợng ngẫu nhiên mà giá trị phủ đầy đoạn trục số, đánh số đợc Ví dụ đại lợng ngẫu nhiên rời rạc số điểm gieo xúc xắc Đại lợng ngẫu nhiên với lần thí nghiệm nhận sáu giá trị: 1, 2, 3, 4, Đại lợng ngẫu nhiên đợc xem rời rạc nhận giá trị nguyên, giá trị hữu tỷ Khi tập giá trị đại lợng ngẫu nhiên vô hạn Đại lợng ngẫu nhiên liên tục đại lợng ngẫu nhiên mà kÕt qu¶ thÝ nghiƯm cã thĨ nhËn bÊt kú giá trị số thực khoảng vài khoảng Ví dụ nhiệt độ không khí, áp suất không khí độ lệch chúng so với trung bình chuẩn nhiều năm, thành phần vectơ vận tốc gió coi đại lợng ngẫu nhiên liên tục Sai số dụng cụ đo xem đại lợng ngẫu nhiên Thông thờng, sai số đại lợng ngẫu nhiên dạng liên tục Ta qui ớc ký hiệu đại lợng ngẫu nhiên chữ hoa: A, B, C, X, Y giá trị chúng chữ in thờng tơng ứng: a, b, c, x, y Giả sử đại lợng ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn víi x¸c st p1, p2, , pn Khi đà liệt kê đợc giá trị mà đại lợng ngẫu nhiên có cho trớc xác suất mà giá trị nhận, ta hoàn toàn xác định đợc đại lợng ngẫu nhiên Hệ thức xác lập mối liên hệ giá trị đại lợng ngẫu nhiên xác suất tơng ứng chúng gọi luật phân bố đại lợng ngẫu nhiên Đối với đại lợng ngẫu nhiên rời rạc, luật phân bố cho dới dạng bảng mà hàng giá trị có đại lợng ngẫu nhiên xi, hàng khác xác suất tơng ứng pi x1 x2 x3 … xn p1 p2 p3 … pn Khi ®ã số lợng giá trị đại lợng ngẫu nhiên hữu hạn vô hạn, tổng xác suất hàng thứ hai bảng, giống nh tổng xác suất nhóm đầy đủ kiện xung khắc, pi = Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục lập bảng tơng tự nh vậy, liệt kê đợc giá trị Ngoµi ra, nh− chóng ta cã thĨ thÊy sau nµy, xác suất đại lợng ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị cụ thể không, xác suất mà nhận giá trị khoảng vô bé xung quanh giá trị khác không Để đặc trng đầy đủ cho đại lợng ngẫu nhiên, loại rời rạc lẫn loại liên tục, ngời ta sử dụng luật phân bố tích phân, gọi hàm phân bố Chơng Biến đổi tuyến tính trình ngẫu nhiên dừng 4.1 Biến đổi hàm ngẫu nhiên toán tử tuyến tính Giả sử hàm (t ) nhận đợc từ hàm f (t ) b»ng c¸ch thùc hiƯn mét sè phÐp toán L ký hiệu qui ớc phép toán này, tức L qui tắc, theo hàm f (t ) biến đổi thành (t ) Trong toán học, ngời ta gọi qui tắc, theo tập hàm đợc ánh xạ sang tập hợp hàm khác, toán tử Ta nói rằng, hàm (t ) kết tác dụng toán tử L lên hàm f (t ) , tức ϕ(t ) = L{ f (t )} (4.1.1) Trong kỹ thuật vô tuyến ứng dụng kỹ thuật khác, ngời ta thờng gọi hàm f (t ) tác dụng lối vào, hàm (t ) tín hiệu ra, L toán tử hệ làm biến đổi tác dụng lối vào Toán tử L đợc gọi tuyến tính, thoả mÃn hai điều kiện sau: L{cf (x )} = cL{ f (x )} (4.1.2) tức kết tác dụng toán tử lên tÝch cđa hµm f (t ) vµ mét thõa sè không đổi c tích thừa số với kết tác dụng toán tử lên f (t ) L{ f1 (t ) + f (t )} = L{ f1 (t )} + L{ f (t )} (4.1.3) tức kết tác dụng toán tử lên tổng hai hàm tổng kết tác dụng toán tử lên hàm riêng biệt Toán tử không thoả mÃn điều kiện gọi to¸n tư phi tun VÝ dơ, to¸n tư vi phân toán tử tuyến tính thoả mÃn đẳng thức d {cf1 (t )} = c d { f1 (t )} dt dt vµ d { f1 (t ) + f (t )} = d { f1 (t )} + d { f (t )} dt dt dt Toán tử lấy tích phân toán tử tuyến tính Toán tử nhận đợc tác dụng liên tiếp số toán tử tuyến tính toán tử tuyến tính Toán tử lấy kỳ vọng toán học hàm ngẫu nhiên toán tử tuyến tính Ví dụ toán tử phi tuyến phép toán nâng lên luỹ thừa, toán tử lấy phơng sai hàm ngẫu nhiên Nếu hàm ngẫu nhiên Y (t ) kết tác dụng toán tử tuyến tính L lên hàm ngẫu nhiên X (t ) có kỳ vọng toán học mx (t ) hàm tơng quan Rx (t1 ,t2 ) , tức th× Y (t ) = L{X (t )} (4.1.4) m y (t ) = L{mx (t )} (4.1.5) R y (t1 ,t2 ) = L(t1 )L(t ){Rx (t1 ,t2 )} (4.1.6) nghĩa m y (t ) nhận đợc cách tác dụng toán tử L lên mx (t ) , R y (t1 ,t2 ) nhận đợc cách tác dụng hai lần toán tử L lên hàm Rx (t1 ,t2 ) , theo đối số thø nhÊt t1, sau ®ã theo ®èi sè thø hai t2 Thùc vËy, m y (t ) = M [L{X (t )}] (4.1.7) Toán tử L tác dụng lên biến t, toán tử tìm kỳ vọng toán học tiến hành lấy trung bình tung độ hàm ngẫu nhiên (khi cố định t) theo tập hợp tất giá trị đại lợng ngẫu nhiên X (t ) , toán tử tuyến tính Vì vậy, đổi chỗ trật tự tác dụng toán tử M L cho nhau, tức m y (t ) = L{M [X (t )]} = L{mx (t )} , điều đà chứng minh cho ®¼ng thøc (4.1.5) 131 TiÕp theo [( {[ ][ ]} R y (t1 ,t2 ) = M Y (t1 ) − m y (t1 ) Y (t2 ) − m y (t2 ) = )( )] = M L(t1 ){X (t1 )} − L(t1 ){mx (t1 )} L(t ){X (t2 )} − L(t 21 ){mx (t2 )} = [ = M L(t1 )L(t ){ [X (t1 ) − mx (t1 )] [ X (t2 ) − mx (t2 )] } = = L(t1 )L(t ){M [ [X (t1 ) − mx (t1 )] [X (t2 ) − mx (t2 )] ] } = = L(t1 )L(t ){ Rx (t1 ,t2 ) } Các công thức đà trình bày chơng kỳ vọng toán học hàm tơng quan đạo hàm tích phân hàm ngẫu nhiên trờng hợp riêng (4.1.5) (4.1.6) Việc biết Dx (t ) cha đủ để nhận đợc phơng sai D y (t ) trình ngẫu nhiên Y (t ) Trớc hết cần phải tìm hàm tơng quan R y (t1 ,t2 ) theo công thức (4.1.6), sau vào t1 = t2 = t Để tìm đặc trng hàm ngẫu nhiên, kết tác dụng toán tử phi tuyến lên hàm ngẫu nhiên X (t ) , biết mx (t ) Rx (t1 ,t2 ) cha đủ, trờng hợp này, qui luật phân bố hàm X (t ) đóng vai trò quan trọng Đối với toán tử phi tuyến, nhận đợc kết tơng đối đơn giản nhng số trờng hợp riêng Trong trờng hợp tác dụng toán tử tuyến tính lên hàm X (t ) có qui luật phân bố chuẩn, hàm ngẫu nhiên Y (t ) = L{X (t )} cịng tu©n theo qui lt ph©n bè chuẩn, tính chất tuyến tính toán tư L, hµm Y (t ) cã thĨ chØ nhËn đợc nhờ tổ hợp tuyến tính số hữu hạn vô hạn tung độ hàm X (t ) Nh−ng tõ lý thuyÕt x¸c suÊt ta biết rằng, tổ hợp tuyến tính đại lợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn phụ thuộc độc lập tu©n theo qui luËt ph©n bè chuÈn Do vËy, trờng hợp X (t ) hàm ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân bố chuẩn, Y (t ) tuân theo qui luật phân bố chuẩn ®Ỉc tr−ng m y (t ) , R y (t1 ,t2 ) tìm đợc hoàn toàn xác định Nếu X(t) hàm ngẫu nhiên phân bố chuẩn, Y(t) qui luật phân bè víi X(t) Qui lt ph©n bè chn cịng sÏ không đợc bảo toàn toán tử L không tuyến tính 132 4.2 Biến đổi tuyến tính dới dạng phổ Ta h·y biĨu diƠn phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh d−íi dạng phổ Muốn vậy, ta sử dụng khái niệm hàm delta Dirac, hàm đợc sử dụng rộng rÃi toán học Hàm delta (t ) hàm có tÝnh chÊt sau: 0 δ(t ) = ∞ 1) t0 (4.2.1) t =0 tức (t ) không với giá trị t khác không, điểm t = tăng lên vô hạn 2) Tích phân hàm delta toàn miền vô hạn đơn vÞ ∞ ∫ δ(t ) dt = (4.2.2) −∞ Hàm delta hàm theo nghĩa thông thờng, mà hàm tợng trng Theo nghĩa xác, hàm có tính chất (4.2.1) (4.2.2) không tồn Tuy nhiên xét hàm (t) theo nghĩa giống nh giới hạn hàm thông thờng Ta lấy hàm Gauss làm ví dụ f (t ) = e 2πσ − t2 2σ , hàm này, hệ thức (4.2.2) đợc thoả mÃn Hình 4.1 Ta giảm đại lợng xuống, đồ thị hàm nhọn (trong nguyên viết đồ thị giÃn ND) (hình 4.1), giá trị cực đại f (0) = tăng, miền giá trị khác không hàm thu πσ 133 hĐp l¹i LÊy giíi h¹n 0, ta nhận đợc hàm có tính chất hàm delta Sử dụng khái niệm giới hạn biểu diễn hàm delta dới dạng tích phân Tơng ứng với mục 1.12, mật độ phân bố đại lợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn đợc biểu diễn nh phép biến đổi ngợc Fourier hàm đặc trng Theo (1.12.25), hàm có dạng g (ω) = e − ω2 σ 2 Do tính chẵn hàm nên ta có đẳng thức e πσ − t2 2σ ∞ − = e − iωt e ∫ 2π − ∞ ω2 σ 2 dω (4.2.3) LÊy giíi h¹n hai vế đẳng thức (4.2.3) ta nhận đợc biểu diễn tích phân hàm delta ( t ) = e − iωt dω ∫ 2π − (4.2.4) Nếu xét hàm delta đối số t , với số xác định, t≠τ 0 δ(t − τ ) = ∞ t=τ (4.2.5) ∞ ∫ δ(t − τ) dt = (4.2.6) Đối với hàm f (t ) liên tục t = , ta có đẳng thức ∞ ∫ f (τ) δ(t − τ) dτ = f (t ) (4.2.7) Điều đợc suy cách đơn giản nh sau, không thật chặt chẽ: Vì (t ) khác t = , nên tích phân (4.2.7) khác kho¶ng [t − ε ,t + ε] , víi ε > bÐ tuú ý Tõ ®ã: ∞ ∫ f (τ )δ(t − τ )dτ = −∞ t +ε ∫ f (τ)δ(t − τ)dτ t −ε t +ε ∞ t −ε −∞ = f (t ) ∫ δ(t − τ )dτ = f (t ) ∫ δ(t − τ )dτ = f (t ) 134 Ký hiÖu g (t , ) kết tác dụng toán tử tuyến tính L lên hàm delta (t ) điểm cố định g (t , ) = L{δ(t − τ)} (4.2.8) Nhê hµm g (t , ) này, ta biểu thị kết tác dụng toán tử L đà cho lên hàm f (t ) cho đoạn [a,b] Tác dụng toán tử tuyến tính L lên hai vế đẳng thức (4.2.7), ta đợc b L{ f (t )} = g (t , τ) f (τ) dτ (4.2.9) a Nh− vËy, hµm ϕ(t ) = L{ f (t )} , lµ kết tác dụng toán tử tuyến tính L lên hàm f (t ) , đợc biểu diễn d−íi d¹ng b ϕ(t ) = ∫ g (t , τ ) f (τ ) dτ (4.2.10) a Hµm g (t , ) , kết tác dụng toán tử L lên hàm delta (t ) , đợc gọi hàm trọng lợng (Trong kỹ thuật vô tun ng−êi ta gäi nã lµ hµm chun xung) NÕu hàm f (t ) đợc cho khoảng vô hạn (−∞, +∞) th× cã thĨ viÕt ϕ(t ) = ∞ ∫ g (t , τ) f (τ) dτ (4.2.11) −∞ Trong trờng hợp riêng, toán tử L dừng hàm trọng lợng phụ thuộc vào hiệu t − τ Khi ®ã cã thĨ viÕt ∞ ϕ(t ) = ∫ g (t − τ) f (τ) dτ (4.2.12) Tích phân (4.2.12) đợc gọi tích phân chập cđa hµm f (t ) vµ g (t ) Ký hiƯu S f (ω) vµ S ϕ (ω) lµ biến đổi Fourier (mật độ phổ) tơng ứng hàm f (t ) (t ) Khi ta cã: f (t ) = ∞ ∫ S f (ω) e iωt dω (4.2.13) −∞ 135 ϕ(t ) = S () e it d (4.2.14) Đặt biểu thức vào (4.2.12), ta nhận đợc iωt ∫ Sϕ (ω) e dω = −∞ ∞ iωτ ( ) g t − τ ∫ S f (ω) e dω dτ ∫ − ∞ (4.2.15) Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân hai lớp làm phép đổi biến t =1, ta đợc it S (ω) e dω = −∞ ∞ − iωτ1 iωt ( ) ( ) S ω e g τ e d τ dω f 1 ∫ ∫ − ∞ −∞ ∞ (4.2.16) Ký hiÖu G () biến đổi Fourier (mật độ phổ) hàm träng l−ỵng g (t ) ∞ G (ω) = g (t ) e − iωt dt ∫ 2π − (4.2.17) Tích phân móc vuông (4.2.16) 2G(), tõ ®ã cã thĨ viÕt ∞ ∫ [Sϕ (ω) − S f (ω) 2πG(ω) ] e iωt dω = (4.2.18) Điều chứng tỏ rằng, biến đổi ngợc Fourier hµm S ϕ (ω ) − S f (ω ) π G (ω ) b»ng 0, vµ đẳng thức sau cần đợc thoả mÃn Hàm Sϕ (ω) = S f (ω) 2πG (ω) L(ω) = 2πG (ω) = ∞ ∫ g (t ) e it dt (4.2.19) (4.2.20) đợc gọi hàm truyền toán tử tuyến tính L Từ có thĨ viÕt (4.2.19) d−íi d¹ng Sϕ (ω) = S f (ω)L(ω) (4.2.21) Nh− vËy, mËt ®é phỉ S ϕ (ω) , kết việc tác dụng toán tử tuyến tính L lên hàm f (t ) , tích mật độ phổ S f () hàm f (t ) hàm truyền L() toán tử 136 4.3 Mật độ phổ phép biến đổi tuyến tính trình ngẫu nhiên dừng Bây ta xét trình ngẫu nhiên dừng X (t ) có kỳ vọng toán học hàm tơng quan Rx (t ) cho trớc Và giả sử trình ngẫu nhiên Y (t ) khác kết tác dụng toán tử tuyến tính dừng L lên trình ngẫu nhiên X (t ) Y (t ) = L{X (t )} (4.3.1) Khi ta biểu diễn trình ngẫu nhiên Y (t ) dới dạng Y (t ) = ∞ ∫ g (t − τ)X (τ)dτ (4.3.2) −∞ với g (t ) hàm trọng lợng Thật vậy, thể yi (t ) trình ngẫu nhiên Y (t ) , kết tác dụng toán tử L lên hàm không ngẫu nhiên xi (t ) , thể tơng ứng trình ngẫu nhiên X (t ) , ®èi víi chóng hƯ thøc (4.3.2) lµ ®óng, ®ã tập tất thể Trong trờng hợp toán tử tuyến tính L đợc cho dới hình thức biến đổi thực đó, nguyên tắc cần thoả mÃn khả thực đợc mặt vật lý, mà theo phản ứng biến đổi lên tác dụng lối vào xuất trớc bắt đầu có tác động xảy ra, tức hàm trọng lợng g (t ) cần phải đồng t < Xuất phát từ đó, biến đổi thực, công thức (4.3.2) cần phải viết d−íi d¹ng Y (t ) = t ∫ g (t − τ)X (τ)dτ (4.3.3) −∞ Thùc hiƯn phÐp ®ỉi biÕn t =1, ta đợc Y (t ) = ∫ g (τ )X (t − τ )dτ víi g (t ) = t < (4.3.4) Ta xác định hàm tơng quan trình ngẫu nhiªn Y (t ) 137 Ry (t1 ,t2 ) = M [Y (t1 )Y (t2 )] = ∞ ∞ = M ∫ g (τ1 )X (t1 − τ1 )dτ1 ∫ g (τ )X (t2 − τ )dτ = ∞ ∞ = ∫ g (τ1 ) ∫ g (τ )M [X (t1 − τ1 )X (t2 − τ )]dτ dτ1 = ∞ ∞ = ∫ g (τ1 )∫ g (τ )Rx (t2 − t1 − τ + τ1 ) dτ dτ1 (4.3.5) Tõ ®ã thÊy r»ng, hàm tơng quan Ry (t1 ,t2 ) phụ thuộc vµo hiƯu t2 − t1 =τ, tøc lµ Y (t ) trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng ∞ ∞ 0 Rx (τ ) = ∫ g (τ1 )∫ g (τ )Rx (τ − τ + ) d d1 Ta xác định mật độ phổ trình ngẫu nhiên Sy () = = ∞ ∞ (4.3.6) Y (t ) ∞ R y (τ )e − iωτ dτ = 2π −∫∞ ∞ e − iωτ ∫ g (τ1 )∫ g (τ )Rx (τ − τ + τ1 ) dτ dτ1 dτ 2π −∫∞ 0 (4.3.7) Thay ®ỉi thứ tự tích phân tích phân ba lớp làm phép đổi biến + = t, ta nhận đợc tích ba tích phân líp Sy (ω) = ∞ ∞ ∞ g (τ1 )eiωτ1 dτ1 ∫ g (τ )e − iωτ dτ ∫ Rx (t )e − iωt dt (4.3.8) 2π ∫0 −∞ ∞ Rx (t )e it dt = S x () mật độ phổ trình Khi thừa số ngẫu nhiên X (t ) Tích phân ∫ g (τ2 )e 138 − iωτ dτ = L() hàm truyền toán tử L Vì hàm trọng lợng nhận giá trị thực, nên tích phân g (1 )e i1 d1 = L * () đại lợng liên hợp phức hàm truyền Nh vậy, công thức (4.3.8) cã thĨ viÕt d−íi d¹ng: Sy (ω) = L(ω)L * (ω)Sx (ω) (4.3.9) Sy (ω) = L(ω) Sx (ω) (4.3.10) hay Do vậy, mật độ phổ kết biến đổi trình ngẫu nhiên dừng X (t ) nhê to¸n tư tun tÝnh dõng L b»ng tÝch mËt độ phổ trình ngẫu nhiên bình phơng modul hàm truyền toán tử 4.4 Nghiệm dừng phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số số Để làm ví dụ cho toán tử tuyến tính ta xét phơng trình vi phân tuyến tính có hệ sè h»ng sè an = bm d n y (t ) d n −1 y (t ) dy (t ) + a + + a1 + a0 y (t ) = n −1 n n −1 dt dt dt d m x(t ) d m −1x(t ) dx(t ) + b + + b1 + b0 x(t ) m − m m −1 dx dt dt (4.4.1) Nh đà biết từ lý thuyết phơng trình vi phân tuyến tính có vế phải, nghiệm tổng quát phơng trình (4.4.1) tổng nghiệm tổng quát y( t ) phơng trình tơng ứng nghiệm riêng phơng trình không Nghiệm y( t ) xác định dao động tự hay dao động riêng trình xét, không phụ thuộc vào hàm x(t ) Trên thực tế thờng gặp trình ổn định, dao động tự tắt dần theo thời gian Nếu xét thời điểm xa so với thời điểm ban đầu, dao động tự thực tế không tồn tại, ta đặt y( t ) = Khi đó, toán dẫn tới việc tìm dao động cỡng y (t ) gây nên 139 x(t ) Ngời ta gọi trình nh ổn định để phân biệt với trình chuyển tiếp mà tồn dao động tự Ta ký hiệu toán tử vi phân chữ p, tức p= d d2 dn , p = , ., p n = n dt dt dt (4.4.2) Khi ®ã cã thĨ viết phơng trình (4.4.1) dới dạng ký hiệu (a p + a p + + a p + a )y(t ) = = (b p + b p + + b p + b )x(t ) n n m n −1 m n −1 m −1 m o o (4.4.3) Đặt an p n + an −1 p n −1 + + a1 p + ao = An ( p ) bm p m + bm −1 p m −1 + + b1 p + bo = Bm ( p ) (4.4.4) ta viết (4.4.3) dới dạng ký hiệu gọn y (t ) = BiÓu thøc Bm ( p ) x(t ) An ( p ) (4.4.5) Bm ( p ) toán tử phơng trình vi phân (4.4.1) đợc An ( p ) viÕt d−íi d¹ng ký hiƯu Cã thể nói hàm y (t ) kết tác dụng toán tử lên hàm x(t ) Vì phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số không đổi thoả mÃn nguyên lý chồng chất, tức x(t ) tổng số hàm nghiệm y (t ) tổng nghiệm hạng tử riêng rẽ, nên toán tử xét tuyến tính Và đó, từ điều đà trình bày mục 4.2, tìm nghiệm y (t ) , kết việc tác dụng toán tử tuyến tính (4.4.5) lên hàm x(t ) , theo công thøc (4.2.12) d−íi d¹ng: y (t ) = ∞ ∫ g (t − τ) x(τ) dτ , (4.4.6) −∞ nÕu biết trớc hàm trọng lợng g (t ) , nghiệm phơng trình vi phân (4.4.1), hàm delta (t ) đóng vai trò x(t ) Nh vậy, để tìm nghiệm y (t ) phơng trình (4.4.1) cần tìm nghiệm phơng trình: 140 g (t ) = Bm ( p ) δ(t − τ ) An ( p ) (4.4.7) giá trị t cố định đặt hàm g (t ) tìm đợc vào (4.4.6) Thuận tiện tìm nghiệm y(t ) dới dạng phổ sử dụng công thức liên hệ (4.2.21) mật độ phổ hàm x(t ) y (t ) Khi cần phải tìm hàm truyền L() toán tử Bm ( p ) An ( p ) Để tìm hàm truyền L() , ta xem x(t ) dao động ®iỊu hoµ x(t ) = eiωt (4.4.8) Khi ®ã, theo (4.4.6), nghiệm y (t ) đợc viết dới dạng y (t ) = ∞ ∫ g (t − τ)e iωτ dτ = =e ∞ ∫ g (τ)e ∫ g (τ)e iω(t − τ ) dτ = −∞ −∞ iωt ∞ − iωτ dτ = eiωt L(ω) (4.4.9) −∞ Ta thay (4.4.8) (4.4.9) vào (4.4.1) Vì : d k i t e = (iω)k eiωt dt k [ (4.4.10) ] d k iωt e L(ω) = (iω)k L(ω)eiωt k dt (4.4.11) nªn ta cã : [a (iω) + a (iω) + + a (iω) + a ]L(ω) e = [b (iω) + b (iω) + + b (iω) + b ] e n n m n −1 m n −1 m −1 m −1 iω t o 1 o i ωt = (4.4.12) Tõ ®ã ta nhËn đợc biểu thức hàm truyền L() = bm (iω)m + bm −1 (iω)m −1 + + b1 (iω) + b0 an (iω)n + an −1 (iω)n −1 + + a1 (iω) + a0 (4.4.13) Khi sö dơng ký hiƯu (4.4.4) cã thĨ viÕt L(ω) = Bm (i) An (i) (4.4.14) 141 Nh vậy, để xác định hàm truyền, thay cho toán tử vi phân p, cần phải đặt vào toán tử phơng trình vi phân đại lợng i Khi thay biểu thức tìm đợc hàm truyền vào (4.2.21), ta nhận đợc biểu thức mật độ phổ S y () nghiệm phơng trình vi ph©n S y (ω) = Bm (iω) S x () An (i) (4.4.15) S x () mật độ phổ hàm x(t ) Bây ta xét trờng hợp x(t ) phơng trình (4.1.4) trình ngẫu nhiên dừng X (t ) có kỳ vọng toán học hàm tơng quan Rx ( ) Ta xác định hàm tơng quan trình ngẫu nhiên Y (t ) nghiệm phơng trình (4.4.1) Vì Y(t) kết tác dụng toán tử tuyến tính Bm ( p ) lên hàm An ( p ) ngẫu nhiên dừng X (t ) , nên từ điều đà trình bày mục 4.3, Y (t ) hàm ngẫu nhiên dừng Khi đó, mật độ phổ hàm ngẫu nhiên X (t ) Y (t ) , xảy hệ thức (4.3.10) Đặt giá trị tìm đợc hàm truyền phơng trình vi phân (4.4.14) vào (4.3.10) ta đợc B (i) S y (ω) = m S x (ω) An (iω) (4.4.16) Khi biÕt mËt ®é phỉ S y (ω) , ta tìm đợc hàm tơng quan R y ( ) hàm ngẫu nhiên Y (t ) theo c«ng thøc R y (τ ) = ∞ ∫ S y (ω)e iωτ dω (4.4.17) −∞ C¸c vÝ dơ : Với giả thiết định, chuyển động chiều (hình chiếu trục cho trớc) mặt phẳng ngang phần tử dòng khí đợc mô tả phơng trình m 142 dv(t ) + bv(t ) = F (t ) dt (4.4.18) v(t ) hình chiếu xung vận tốc phần tử trục đà cho, F (t ) hình chiếu lực tác động lên phần tử ảnh hởng rối khí quyển, thành phần bv(t ) đặc trng cho lực ma sát Nếu chia (4.4.18) cho khối lợng phần tử m, phơng trình đợc viết d−íi d¹ng dv(t ) + αv(t ) = F1 (t ) dt (4.4.19) Phơng trình (4.4.19) phơng trình Lanjeven Ta sÏ cho r»ng lùc F1 (t ) lµ hµm ngẫu nhiên dừng thời gian mà mật độ phổ S f () nhận giá trị số, tức "ồn trắng" S f () = c = const (4.4.20) Nh− ta ®· chØ (xem mục 3.2, ví dụ 1), mật độ phổ số toàn dải tần số, phơng sai trình ngẫu nhiên trở nên vô hạn Giả thiết mật độ phổ có dạng đờng cong (hình 4.2) thay đổi khoảng [T, T] cách gần xem số Khi tần số tiến đến vô hạn, S () tiến đến nhanh, đảm bảo tính hội tụ tích phân S ()d Hình 4.2 Ta tìm hàm tơng quan trình ngẫu nhiên V (t ) , nghiệm phơng trình (4.4.9) chế độ ổn định Muốn vậy, ta xác định hàm truyền phơng trình (4.4.9) viết dới dạng ký hiệu 143 F1 (t ) p+α V (t ) = (4.4.21) Đối với phơng trình (4.4.21), hàm truyền đợc viết d−íi d¹ng L(ω) = iω + α (4.4.22) Từ ta nhận đợc mật độ phổ Sv() nghiƯm V(t) d−íi d¹ng Sv (ω) = S f (ω) iω + α (4.4.23) hay c (4.4.24) ω + α2 Tõ c«ng thøc (4.4.24) thÊy r»ng, S v () giảm tăng, dải tần số lớn, trị số S f () khác giá trị c mà ta đà thừa nhận, điều S v () = không quan trọng Khi biết mật độ phổ S v () ta tìm đợc hàm tơng quan Rv ( ) Trong ví dụ 1, mơc 3.2 ta ®· thÊy r»ng mËt ®é phỉ S (ω) = σ2α π ω2 + α ( ) tơng ứng với hàm tơng quan R( ) = σ 2e −α τ πc σ 2α , ta nhËn = c , tõ ®ã σ = α π đợc hàm tơng quan nghiệm phơng trình (4.4.19) dới dạng So sánh với (4.4.24) ta thấy Rv ( ) = π c −α τ e α (4.4.25) Trong môc 2.9, ta đà chứng tỏ trình ngẫu nhiên có hàm tơng quan dạng (4.4.25) không khả vi cần làm xác ý nghĩa phơng trình (4.4.19) Tính không khả vi trình V (t ) hệ việc ta nhận F (t ) "ồn trắng" có mật độ phổ không đổi 144 ... hợp hàm ngợc đơn trị X = (Y ) = (Y b ) a (1. 11. 16) Đạo hàm hàm ngợc bằng: ' ( y ) = a (1. 11. 17) Tõ ®ã, thÕ (1. 11. 16) (1. 11. 17) vào công thức (1. 11. 8) g(y) ta nhận đợc g(y) = y b f a a (1. 11. 18)... (1. 11. 11) g(y)dy = f (x1 )dx1 + f (x )dx2 + + f ( xn )dxn (1. 11. 12) Trong trờng hợp x = ( y ) hàm đa trị, ta nhận đợc công thức g(y): dx dx1 dx + f ( x2 ) + + f ( xn ) n , dy dy dy (1. 11. 13)... nªn theo (1. 11. 14) ta cã: g ( y ) = f (x1 ) ? ?1? ?? ( y ) + f ( x2 ) ψ′2 ( y ) (1. 11. 20) V×: ? ?1? ?? ( y ) = y ,ψ′2 ( y ) = − (1. 11. 21) y nªn [ ( y )+ f (− y )] y > f g(y) = y 0 (1. 11. 22) y