Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong thủy văn: Phần 1 cung cấp cho bạn đọc kiến thức cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên. Phần 1 gồm có 6 chương như sau: Chương 1 một số khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất; chương 2 hàm ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng; chương 3 phân tích điều hòa quá trình ngẫu nhiên dừng và trường ngẫu nhiên đồng nhất; chương 4 biến đổi tuyến tính quá trình ngẫu nhiên dừng; chương 5 nội ngoại suy và làm trơn hàm ngẫu nhiên; chương 6 xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo.
D.l KAZAKEVITS VÀ HGDỤNG Người dịch: m S Vởn Huởn Nguyễn Thonh Sơn Phan Vởn Tõn Phạm NHẢ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Đ I KAZAKEVITS Cơ SỞ LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG THỦV VĂN Người dịch: Hiệu đính: Phan Văn Tân Phạm Văn Huân Nguyễn Thanh Sơn Nguyễn Văn Tuyên NHÀ XUẤT BẨN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI A H KA3 AKKBM1! OCHOBbI TEOPMM CJiyqAMHbIX (DYHICUHH M EE ÍIPPMMEHEHHE B r i l U ’OMI/IIOIM) l o r m i I l U l ' O M i r i O l ’O.lO III'llC kO I H 3M TE.1l.C TBO JirilllMIPA J -1971 L i g iớ i t h i ệ u Lý thuyết xác suất thơng kê tốn học nói chung lý thuvết hàm ngẫu nhiên nói riêng cơng cụ tốn học quan trọng dược sử dụng rộng rãi hiệu ngành khoa học khí tượng, thủy văn hải dương học Trong chương trình đào tạo chuyên ngành khí tượng, thủy văn hái dương học, việc ứng dụng phương pháp thông kê lý thuyết q trình ngẫu nhiên có mặt nhiều mơn học hình thức khác Tuy nhiên, ỏ nước ta chưa có tài liệu giảng dạy dùng chuyên cho ngành khí tượng thủy văn, sỏ lý thuyết xác suất thơng kê tốn học trình bày đầy đủ, hệ thỗng dễ hiểu đôi với trình độ tốn tương ứng sinh viên nhóm ngành Cuôn “Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng khí tướng thủy van” Đ I Kazakevits, người giảng dạy toán học cao cấp lý thuyết xác suất thông kê nhiều năm Trường đại học Khí tượng Thủy văn Lêningrat, tỏ đáp ứng tốt yêu cầu Ngoải ra, tác giả cuôn sách am hiếu có cơng tơng quan sơ" cơng trình ứng dụng công cụ lý thuyết hàm ngẫu nhiên nghiên cứu khí tượng, thủy văn, hải dương học; vấn để phương pháp áp dụng hợp lý hiệu quả, đặc thù thao tác với ốc tập liệu khí tượng thủy văn tính tốn, Như cn sách vừa có tính chất giáo khoa vừa chuyên khảo bố ích khơng cho sinh viên học tập mà tài liệu tham khảo cho nghiên cứu sinh người nghiên cứu Hội đồng khoa học Khoa Khí tượng Thủy văn Hải dương học định dịch nguyên sách làm giáo trình giảng dạy mơn học “Lý thuyết q trình ngẫu nhiên” cho sinh viên bậc đại học ngành khí tượng, thủy văn hải dương học Trường đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quổc gia Hà Nội Nội dung sách liên quan nhiều đến kiến thức tốn trình độ cao, dịch chắn không tránh khỏi khiếm khuyết liên quan đến dịch thuật in ấn Chúng mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc N h ùn g người dịch Lời nói đầu Trong hai chục năm gần ngưòi ta thấy cơng cụ tốn học lý thuyết hàm ngẫu nhiên sử dụng rộng rãi khí tượng học thuỷ văn học Cơ sỏ điều ý tưởng xem xét giá trị tức thòi ghi q trình trường khơng gian khí tượng thuỷ văn thể riêng biệt trình ngẫu nhiên hay trường ngẫu nhiên Cách tiếp cận cho phép không cần xét đặc điểm giá trị tức thịi riêng rẽ trường khí tượng thuỷ văn với mối phụ thuộc vào toạ độ không gian biến trình thịi gian phức tạp khơng rõ nét chuyện sang nghiên cứu sơ" tính chất trung bình tập hợp thống kê thể ứng với tập điều kiện bên cụ thể Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu tượng khí tượng thuỷ văn học có sử dụng cơng cụ lý thuyết hàm ngẫu nhiên tỏ hiệu lĩnh vực: lý thuyết rối, xây dựng phương pháp dự báo thời tiết hạn dài, phân tích khách quan trường khí tượng, đánh giá tính đại diện số liệu quan trắc, độ xác dụng cụ đo, giải vấn đề hợp lý hoá phân bơ" mạng lưới trạm khí tượng, xây dựng phương pháp dự báo dịng chảy sơng đặc trưng khí tượng thuỷ văn, nhiều vấn đề khác Đóng góp to lớn vào hướng cơng trình đặt móng A.N Kolmogorov kết nghiên cứu A.M Obukhov, A.s Monin, A.M Iaglom, M.I Iuđin, L.s Ganđin, N.A Bagrov, O.A Drozdov, E.p Borisenkov, N.A Kartvelishvili, I.M Alekhin nhà khoa học khí tượng thuỷ văn hàng đầu nước ta (Liên Xơ cũ - ND) Từ dẫn đến phải mở rộng giáo trình lý thuyết xác suất trường khí tượng thuỷ văn đưa khoá chuyên để vể sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên, điều thực lần vào năm 1961 Trường Khí tượng Thuỷ văn Leningrat Cuốn sách viết sở giáo trình lý thuyết hàm ngẫu nhiên mà tác giả giảng dạy nhiều năm cho sinh viên chuyên ngành dự báo thời tiết phương pháp sô' trị Trường Khí tượng Thuỷ vãn Leningrat, giáo trình học tập cho sinh viên nghiên cứu sinh trường đại học khí tượng thuỷ văn khoa tương ứng trường đại học tổng hợp cho rộng rãi chuyên gia khí tượng thuỷ vàn Cuốn sách sử dụng tài liệu học tập cho sinh viên kỹ sư chuyên ngành khác quan tâm đến lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng Lý biên soạn cuỏn sách xuất phát từ chỗ chưa có tài liệu giáo khoa vê lý thuyết hàm ngẫu nhiên đáp ứng cách đầy đủ nhu cầu chuyên gia sinh viên ngành khí tượng thuỷ văn Hơn nữa, thâm nhập ngày tăng lý thuyết ham ngẫu nhiên vào khí tượng học th văn học địi hỏi chuyên gia khí tượng, thuỷ văn phải nhanh chóng chủ dộng chiếm lĩnh Lý thuyết hàm ngẫu nhiên, phận lý thuyết xác suất, phát triển nhanh chóng thập niên gẩn ứng dụng rộng rãi nhiều linh vực khoa học kỹ thuật Trước hết phải kể đến ửng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên kỹ thuật vô tuvến, đặc biệt lý thuyết điểu khiển tự đọng mà nhu cầu chúng, đến lượt mình, lại thúc đẩy phát triển lý thuyết Sự ứng dụng rộng rãi lý thuyết hàm ngẫu nhiên khí tượng thuỷ văn muộn chút Do có hai loại giáo trình lý thuyết hàm ngẫu nhiên Tài liệu loại thứ trình bày chặt chẽ lý thuyết trình xác S i ấ t dựa tốn học trình độ cao (thí dụ J Dub "Các trình xác suất", I A Rozanov "Các trình ngẫu nhiên dừng") Những sách dùng cho chuyên gia vê toán nên khó dối vữi sinh viên trường khí tượng thuỷ văn tỷ sư chưa trang bị toán học đầy đủ Loại thứ hai chun khảo sách giáo khoa trình bày sở lý thuyết hàm ngẫu r.hiên tương ứng với nhu cầu lý thuyết điểu khiển tự động kỹ thuật vô tuyến Việc sử dụng sách loại đơi với chun gia khí tượng thuỷ văn bị khó khăn lý thuyết hàm ngẫu nhiên \à phương pháp lý thuyết điều khiển tự động hay kỷ thuật vô tuyến gắn chặt với nhau, khó tách biệt Ngồi ra, chưa phản ánh khía cạnh quan trọng ứng dụng lý thuyết vào khí tượng thuỷ văn học Cuốn sách nhằm hướng tới độc giả có kiên thức tốn dược trang bị mức giáo trình tốn cao cấp dành trường đại học (huyên ngành khí tượng thuỷ văn Trong trình bày, nêu buộc )hải dùng đến phương pháp khái niệm quen thuộc, chúng diễn giải cách ngắn gọn (ví dụ, sơ dẫn liệu từ lý thuyết phương trình tích phân, vài khái niệm đại sơ tuyến tính, hàm delta v.v ) Vì sơ chun gia khí tượng thuỷ văn chưa có đủ kiên thức vê lý thuyết xác suất nên chương khái quát kiến thức lý thuyết xác suắt mà sau dùng đến trình bày lý thuyết hàm ngẫu nhiên Việc trình bày chi tiết vấn đề nàv có sách giáo khoa vể lý thuyết xác suất, chẳng hạn giáo trình tiếng E.s Ventxel [4] Độc giả quen với lý thuyết xác suất bỏ qua chương Nội dung trình bày sách khơng nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hàm ngẫu nhiên, mà chủ yếu xét khía cạnh lý thuyết có ứng dụng rộng rãi khí tượng thuỷ văn học Ngồi ra, tác giả chủ yếu tập trung trình bày cho đơn giản dễ hiểu, không bị gị bó u cầu chặt chẽ tồn diện mặt toán học Cuốn sách gồm hai phần Phần thứ trình bày sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên, bên cạnh việc xét trình ngẫu nhiên chiều, ý nhiều đến trường ngẫu nhiên không gian Phần thứ hai xét sơ' tốn khí tượng, thuỷ văn giải phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên Tuy nhiên hồn tồn khơng đặt mục tiêu tổng quan hệ thơng tất cơng trình nghiên cứu giải tốn khí tượng thuỷ văn phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên Những tổng quan vể ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên khí tượng thuỷ văn tìm thấy nhiều cơng trình tác giả nước [5, 18, 20, 14, 45, 9, 57 ] Trong cuôn sách lựa chọn sô tốn khí tượng thuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ ứng dụng phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên trình bày phần đầu sách Và ỏ tập trung chủ yếu vào vấn để phương pháp luận Tác giả hy vọng sách giúp đông đảo nhà khí tượng thuỷ văn lĩnh hội ý tưởng phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tiễn khí tượng thủy văn học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới N.A Bagrov, O.A Drozdov M.I Iuđin, người có góp ý quý giá nội dung cảu trúc sách Tác giả đặc biệt cám ơn L.s Ganđin đọc toàn văn thảo nêu nhiều nhận xét giúp tác giả lưu ý chuẩn bị xuất phải đùng đến phương pháp khái niệm quen thuộc, thi chúng diễn giải cách ngắn gọn (ví dụ, sơ dẫn liệu từ lý thuvết phương trình tích phân, vài khái niệm đại sơ tuyến tính, hàm delta v.v ) Vì sơ chun gia khí tượng thuỷ vàn chưa có đủ kiến thức vê lý thuyết xác suất nên chương khái quát kiến thức co lý thuyết xác suất mà sau dùng đến trình bày lý t h u y ế t hàm ngẫu nhiên Việc trình bày chi tiết vấn đẻ có sách giáo khoa lý thuyết xác suất, chẳng hạn cn giio trình tiếng E.s Ventxel [4] Độc giả quen với lý thuyết xác suất bỏ qua chương Nội dung trình bày sách khơng nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hàm ngẫu nhiên, mà chủ yếu xét khía cạnh 1> thuyết có ứng dụng rộng rãi khí tượng thuỷ văn học Ngồi lí., tác giả chủ yếu tập trung trình bày cho đơn giản dễ hiểu, không bị gị bó u cầu vê chặt chẽ tồn diện vê mặt toán học Cuốn sách gồm hai phần Phần thứ trình bày sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên, bên cạnh việc xét trình n*ầu nhiên chiểu, ý nhiều đến trường ngẫu nhiên kiỏng gian Phần thứ hai xét sơ tốn khí tượng, thuỷ văn điỢ c g iả i b ằ n g cá c p h n g p h p c ủ a lý t h u y ế t h m n g ẫ u n h iê n T u y nhiên hồn tồn khơng đặt mục tiêu tông quan hệ thôYig tất công trình nghiên cứu giải tốn khí tượng thuỷ văn phương pháp lý thuyết hàm ngẫu nhiên Những tổng qjan vậv vê ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên khí tượng tnuỷ văn có thê tìm thấy nhiều cơng trình tác giả nước [5, 18, 20, 14, 45, 9, 57 ] Trong sách lựa chọn số tốn khí tượng t.iuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ ứng dụng phương pháp bán lý thuyết hàm ngẫu nhiên trình bày phần dầu cu ơn sách Và ỏ tập trung chủ yếu vào vấn đề Ị h ươ ng p h p l u ậ n Tác giả hy vọng cuôn sách giúp dơng đảo nhà khí tượng thuỷ văn lình hội ý tưởng phương pháp lý thuyêt hàm ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tiễn khí tượng thủy văn học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới N.A Bagrov, O.A Drozdov M.I Iuđin, nhừng người có góp ý quý giá nội dung cấu trúc sách Tác giả đặc biệt cám ơn L.s Ganđin đọc toàn văn tản thảo nêu nhiều nhận xét giúp tác giả lưu ý chuẩn bị :uất bân vii MỤC LUC a ■ Lời giói th iệ u iii íiời nói đầu V Phần I Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên Chương Một sô khái niệm lý thuyết xác suất .1 1.1 Đại lượng ngẫu nhiên luật phân bô 1.2 Các đặc trưng sô đại lượng ngẫu nhiên .6 1.3 Luật phân bô Poatxông 10 1.4 Luật phân bố 11 1.5 Luật phân ho’chuẩn 13 1.6 Luật phân bô Rơle Măcxoen 17 1.7 Hệ đại lượng ngẫu nhiên luật phân bô chúng 20 1.8 Các đặc trưng sô" hệ đại lượng ngẫu nhiên 27 1.9 Các định lý đặc trưng số 30 1.10 Luật phân bô chuẩn hệ đại lượng ngẫu nhiên 33 1.11 Luật phân bô hàm đôi sô ngẫu nhiên 38 1.12 Hàm đặc trưng .45 Chương Hàm ngẫu nhiên đặc trưng chúng 51 2.1 Định nghĩa hàm ngẫu nhiên 51 2.2 Các qui luật phân bô trình nhẫu nhiên 53 2.3 Các dặc trưng trình ngẫu nhiên 55 2.4 Hệ trình ngẫu nhiên Hàm tương quan quan hệ 60 2.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng 64 2.6 Tính egodic trình ngẫu nhiên dừng 71 2.7 Hàm cấu trú c .74 2.8 Giới hạn trình ngẫu nhiên 76 2.9 Đạo hàm hàm ngẫu nhiên 77 2.10 Tích phân hàm ngẫu nhiên 83 2.11 2.12 2.13 2.14 Các hàm ngẫu nhiên phức 85 Trường ngẫu nhiên đặc trứng 88 Trường ngẫu nhiên đồng đẳng hướng 91 Trường véctơ ngẫu nhiên 95 Chương Phân tích điều hịa q trình ngẫu nhiên dừng trường ngẫu nhiên đồng 99 3.1 Các trình dừng có phơ rời rạc 101 3.2 Các q trình dừng có phổ liên tục 105 3.3 Phân tích điều hồ trường ngẫu nhiên đồng 117 Chương Biến đổi tuyến tính q trình ngẫu nhiên dừng 123 4.1 Biến đối hàm ngẫu nhiên toán tử tuyến tín h 123 4.2 Biến đối tuyến tính dạng phơ 126 4.3 Mật độ phố phép biến đôi tuyến tính q trình ngẫu nhiên dừng 130 4.4 Nghiệm dừng phương trình vi phản tuyến tính có hệ sơ" sô" 132 Chương Nội ngoại suy làm trơn hàm ngẫu nhiên 141 5.1 Đặt to án 141 5.2 Nội, ngoại suy tuyến tính tơi ưu làm trơn hàm ngẫu nhiên cho sô điểm hữu h n 145 5.3 Ngoại suy tuyến tính tối ưu làm trơn trình ngẫu nhiên cho khoảng vơ h n .151 5.4 Làm trơn trình ngẫu nhiên cho khoảng vô h n (-oo,+oo) 157 5.5 Ngoại suy làm trơn hàm ngẫu nhiên cho khoảng (-00,t) nhờ sử dụng phương pháp lý thuyết hàm biến phức 159 5.6 Ngoại suy làm trơn trình ngẫu nhiên biểu diễn hàm tương quan dạng tổng hàm m ũ 173 Chương Xác định đặc trưng hàm ngẫu nhiêntheo số liệu thực nghiệm 181 6.1 Các đặc trưng thống kê hàm ngẫu nhiên 181 6.2 Các đặc trưng thống kê hàm ngẫu nhiên có tính Egođic 184 X x [*, ('/) + y, Ơ/) - mx(/,) - (/,)] = = K (', , t , ) + R y ụ J , / ,) + R xy (/,, t , ) + /?>t (/, (6 ) Trong thực tế quan trắc khí tượng thủy văn, thông thường người ta thừa nhận sai số đo không liên quan với giá trị thực đại lượng đo sai sô" ứng vối giá trị khác đối số không liên hệ với nhau, tức (6.3.5) * * ( ',’'/) = W / ) = ° ’ j * l, y = / (6.3.6) Khi công thức (6.3.5) viết dạng Rx{tj,/,) j * ỉ , ơ2A tj) + ỉ ( íj ) j = l (6.3.7) Từ công thức (6.3.7) suy rằng, trường hợp xét, sai sô' đo không ảnh hưởng tối giá trị thông kê hàm tương quan trình ngẫu nhiên tj * tị, làm tăng giá trị thông kê phương sai nhận từ (6.3.7) tj =t/, lên lượng phương sai sai số đo ơy(tj) Khi đó, theo (6.1.6), giá trị thơng kê hàm tương quan chuẩn hoá xác định sau < ' '8 ) Từ (6.3.8) thấy rằng, sai số đo làm giảm giá trị thống kê hàm tương quan chuẩn hố Đơi với q trình ngẫu nhiên dừng x ụ ) , Y{t), hàm tương quan phụ thuộc vào tham sô" T= t / - t j , phương sai ơj,ơy đại lượng khơng đổi, (6.3.8) viết thành dạng r.(r)= RAr) Chia tử thức mẫu thức (6.3.9) cho 190 (6 ) cr; + ơ; , ta có r ( r ) = r ( r ) ——— , 14" Ỏ (6.3.10) (lo r ( r ) giá trị thực hàm tương quan chuẩn hố, cịn * ơv ơ; s - "2 * Khi T —> 0, hàm tương quan chuẩn hố tiến tới đơn vị, ĩ\( ĩ) ■-> , điểu cho phép xác đinh đai lương ỗ ]+S Ta dựng đồ thị hàm f: (r ) , giá trị X= T0 ngoại suy nỏ đến điểm T = Nêu Tq nhỏ có thê tiên hành ngoại suy phương pháp dồ thị Ngồi ra, thực điều cách xấp xỉ hàm ỉ (r) biểu thức giải tích, sau tính giá trị biểu thức = Sử dụng đẳng thức (6.3.10), ta xác định dược đại lượng l + ố = —— r(0) (6.3.11) Bây giò giá trị bị hạ thấp hàm tương quan chuẩn hố thơng kê hiệu chỉnh lại nhân chúng với đại lượng + vừa tìm Đê hiệu chỉnh giá trị bị tăng phương sai thõng kê, cần phải lấy giá trị nhận ầ: chia cho 1+ s theo cơng thức o2 =^í~ * l+s Giá trị thông kê hàm cấu trúc B:(ĩ) xác định (6.3.12) /}_(r) = — - £ [ z ,( / + r ) - z , ( r ) ] = = tĩ ,=1 (0 -.y ,(0 ]2 = = B J t ) + ỉỉv( t ) + [ R J ) + R„(0 )- Rxy( r ) - Rỵx( r )] (6.3.13) Cũng dựa trơn giả thiết tính khơng tương quan sai sô đo đại lượng đo tính khơng tương quan với sai sơ thời điểm í khác nhau, ta nhận (6.3.14) B: ự ) = B x ( t ) + Ị Như giá trị thống kê hàm cấu trúc bị tăng lên lượng hai lần phương sai sai số Vì Bx(0) = nên 5,(0) = 2ơỊ Từ tìm đại lượng 2ơị cách ngoại suy đồ thị hàm cấu trúc B:(ĩ) đến điểm X= Sau xác định Ị, hiệu chỉnh giá trị nhận hàm cấu trúc cách trừ chúng cho 2aị Hàm cấu trúc chuẩn hố đượcxác định theocơng thức Ị,(ĩ)= 5.(00) =A ílL 2R:(0) (6.3.15) Do đó, giá trị thong kê hàm cấu trúc chuẩn hố xác định theo cơng thức 2f> - Ế ỉ h i * 2ơx +2ơy 2ơ ; + Ị \ + (6.3.Ì6) ỏ Cơng thức đặc trưng cho sai lệch hàm cấu trúc gây nên sai sô' đo Chúng ta xét ảnh hưởng sai sơ' đo số liệu ban đầu đến độ xác đặc trưng thống kê tính phương pháp lấy trung bình theo tập hợp thể Các sai sô" đo ảnh hưởng đến độ xác đặc trưng thống kê hàm ngẫu nhiên dừng egođic đặc trưng xác định cách lấy trung bình theo thể với độ dài đủ lớn Ảnh hưởng hạn c h ế sô" lượng th ể Khi xác định đặc trưng thống kê hàm ngẫu nhiên cách lấy trung bình theo tập thể hiện, có số lượng hạn chế thể hiện, thường khơng lớn Như biết thơng kê tốn học, độ xác việc xác định đại lượng phụ thuộc vào sô' lượng thể Dối với đại lượng ngẫu nhiên phân bô' gần chuẩn, sai sơ' bình phương trung bình ơ, hệ sơ" tương quan xác định theo công thức ơr = - U Ì , V/7-1 192 (6.3.17) r g iá trị thực củ a hệ sô tương q u a n , n sô" lượng q u a n trắ c độc lậ p T công thức n y ta th ấ y rằ n g , đ i lượng a r p hụ thuộc đ n g kể vào giá trị c ủ a hệ sô tương q u an K ý h iệ u y=— = r ryjn - ’ (6 18 ) ta n h ậ n được: 01 - VỚI r = 0.9 th ì y = - ~ = r , V A7 - - với r = 0.5 Ỵ = ~~F== ■, - - vối r = 0,1 9,9 y = - j = = • -1 Đ iề u n y cho th ấ y , g iá trị th ô ĩig kê củ a hệ số tương q u an cặp lát cắt hàm ngẫu nhiên liên hệ chặt chẽ VỚI tin cậ y so vói trường hợp t cắ t liê n hệ yếu Đ ô i VỚI n h ữ n g q u t r ì n h n g ẫ u n h iê n g ặ p tr o n g k h í tư ợ n g th ủ y v ă n , mối liên hệ t n g q u a n th n g g iả m k h n h a n h kh i t h a m số T tă n g N h v ậ y , cá c giá trị R ( ĩ ) n h ậ n theo sô' liệ u thực n g h iệ m c h ín h xá c v i n h ữ n g t r ị sô" X n h ỏ v í t t in c ậ y k h i X lớ n X u ấ t p h t từ đó, k h i xấp xỉ g iá trị n h ậ n củ a h m tương q u a n R ( ĩ ) b ằn g b iểu thức g iả i tích cầ n p h ải đ ạt p h ù hợp tốt giá trị thực n g h iệ m v giá tr ị m trơn tạ i nh ữ n g X kh ô n g lớn, cho rằ n g sa i lệ ch tạ i nh ữ n g trị số X lớn c h ủ yếu n g ẫ u n h iê n Đ ố i với n h ữ n g h m n g ẫ u n h iê n dừng, g iá tr ị c ủ a h m tương q u a n c h ín h xác hố b ằng cách tín h c h ú n g cho nh ữ n g trị s ố X giống n h a u lấ y trê n nhữ ng đoạn k h c n h a u c ủ a k h o ả n g b iê n th iê n củ a đôi sô t , v sa u lâ y tru n g b ìn h ch ú n g T ro n g trường hợp n ày s a i sô" b ìn h phương tru n g b ìn h củ a c h ú n g g iảm M ức độ g iảm củ a sa i sổT n y c n g đ n g kể t c ắ t củ a h m n g ẫ u n h iê n nhữ ng đoạn c ủ a k h o ả n g b iế n th iê n t , m trê n ta tín h trị sô r ( ĩ ) đê lấ y tr u n g b ìn h , cà n g liên hệ với n h a u K h i để ý đ ến đ iểu đó, cầ n lặp lạ i việc tín h tốn r ( r ) q u a k h o ả n g biến th iê n đủ lớn củ a th a m sô t cho m ôi liê n hệ tương 193 q u a n giữ a t c ắ t tro n g nh ữ n g kh o ản g trở nên k h ô n g đ n g kể N ế u cá c hệ sô" tương q u a n th a m gia vào p hép lấ y tr u n g b ìn h tín h trê n nh ữ n g đ o ạn thực tê độc lập với n h a u , th ì ciã b iết, sa i sơ" b ìn h phương tr u n g b ìn h r g iảm đ i y[k lầ n , với k sô' g iá t r ị r ( r ) đem lấ y tr u n g b ìn h B â y ta xét s a i sô" x u ấ t h iệ n k h i xác đ ịn h đ ặc trư ng th ố n g k ê b ằ n g cá c h lấ y tru n g b ìn h theo m ột th ể h iệ n Ảnh hưởng hạn ch ế khoảng ghi th ể K h i x c đ ịn h cá c đ ặ c trư n g thống kê củ a h m n g ẫ u n h iê n dừng có t í n h e g o đ ic b ằ n g c c h lấ y t r u n g b ìn h th e o m ộ t th ể h iệ n sè x u ấ t h iệ n s a i s ố c h ủ n g ta c h ỉ có m ộ t b ả n g h i th ể h iệ n tr ê n m ột k h o ả n g b iế n t h iê n h ữ u h n n o c ủ a đối sô' m k h ô n g p h ả i trê n to àn k h o ả n g vô h n K h i đó, m ỗi đ ặ c trư n g th ô n g kê m ột đ i lượng n g ẫ u n h iê n v ta q u a n tâ m tỏi mức độ s a i lệch củ a đ i lượng n y k h ỏ i giá trị thực c ủ a V ì v ậ y , đương n h iê n ta lấ y b ìn h phương tru n g b ìn h độ lệch c ủ a cá c g iá t r ị có th ể c ủ a đặc trư ng thống kê so VỚ I g iá tr ị thực m thước đo độ c h ín h xác c ủ a đ ặc trư ng th ốn g kê n y G iả sử g iá t r ị thự c c ủ a đ ặc trư ng a , g iá tr ị th ố n g kê củ a nhận việc lấy trung bình theo thể n h ữ n g g iá tr ị có th ể c ủ a đ i lượng n g ẫu n h iê n A , k h i để m thước đo độ c h ín h x ác ngư òi ta d ù n g đ i lượng (6 19 ) K h i xác đ ịn h g iá trị thống kê k ỳ vọng toán học in x b ằng cách lấy tru n g b ìn h theo m ột th ể h iệ n h àm ng ẫu n h iê n kh o ản g [o, t cho ] theo (2 1) th ì đ i lượng (6 3.19 ) xác đ ịn h dạn g 00 194 x ụ ) / I ( ) * 00 m x g iá trị thực củ a k ỳ vọng toán học c ủ a h m n g ẳ u n h iê n X ( t ) y /? v( /? “ = ^ t ( r ) h m tương q u a n c ủ a T a b iến đổi tích p h â n h a i lớp (6 3.20 ) r / = 7J ~ / Jj /?r(/3 - /, )í//,ư /2 = J J/? t ( /, 00 T h a y b iế n /, ) d t dt, (6 ) 0Lo - / I “ T t íc h p h â n bên tro n g 7*-' / (6 2 ) dt •M lấ y tích rp h n từ p h ầ n 7, -ta -được ng n r T T Tr (6 3 ) J = T \ R x { T ) d T - \ ĩ R x{ T ) d r - ị í R xỢ - t ) d t 0 S a u k h i t h a y T - = X tích p h â n cu i c ù n g c ủ a (6 3 ) T (6 3.2 ) J = \ Ợ - T ) R x{T)dT T h ế (6 ) vào (6 3.20 ), cu ố i cù n g ta có T/ _\ /? (r)