Luận văn nghiên cứu didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11

1 Mục lục Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Phương pháp luận nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương Công cụ vectơ thể sách giáo khoa Vai trị cơng cụ vectơ dự định tác giả sách giáo khoa Vai trị cơng cụ vectơ khối logos Vai trị cơng cụ vectơ khối praxis 13 Kết luận 26 Chương Công cụ vectơ tri thức soạn giảng tri thức thực dạy 28 Vai trị cơng cụ vectơ tri thức soạn giảng thực dạy 28 1.1 Liên quan đến công nghệ - lý thuyết 28 1.2 Liên quan tới kỹ thuật 30 1.3 Điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng công cụ vectơ 34 1.4 Kết luận 35 Đánh giá giáo viên lời giải dùng kỹ thuật vectơ 36 2.1 Giới thiệu thực nghiệm 36 2.1.1 Mục đích thực nghiệm 36 2.1.1.1 Thực nghiệm dành cho giáo viên 36 2.1.1.2 Thực nghiệm dành cho học sinh 36 2.1.2 Kế hoạch thực nghiệm 36 2.1.2.1 Phiếu xin ý kiến giáo viên 36 2.1.2.2 Phiếu điều tra học sinh 36 2.2 Phiếu xin ý kiến giáo viên trường phổ thông 37 2.2.1 Phân tích tiên nghiệm 37 2.2.2 Phân tích hậu nghiệm 39 2.2.2.1 Chấm điểm lời giải học sinh 39 2.2.2.2 Nhận xét giáo viên lời giải 40  Lý giáo viên chọn lời giải 41 2.2.3 Kết luận 42 2.3 Phiếu điều tra học sinh 43 2.3.1 Phân tích tiên nghiệm 43 2.3.1.1 Câu hỏi thực nghiệm 43 2.3.1.2 Kiến thức liên quan 43 2.3.1.3 Phân tích tiên nghiệm câu 43 Biến dạy học 43 Những chiến lược quan sát câu 43 2.3.1.4 Phân tích tiên nghiệm câu 44 Biến dạy học 44 Những chiến lược quan sát câu 44 2.3.2 Phân tích hậu nghiệm 46 2.3.2.1 Phân tích hậu nghiệm câu 46 Kết học sinh 46 Phân tích kết thu 46 2.3.2.2 Phân tích hậu nghiệm tốn 47 Kết học sinh 47 Phân tích kết thu 48 2.3.3 Kết luận 48 Kết luận 49 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 52 Phụ lục 54 Lời giải tập 5, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91 54 Các tập dùng phương pháp vectơ tác giả khơng sử dụng 54 Các kiểu nhiệm vụ nhóm 55 Phiếu xin ý kiến giáo viên 61 Phiếu thực nghiệm học sinh 64 Kết phiếu thực nghiệm học sinh 65 Kết câu phiếu xin ý kiến giáo viên 66 Mở đầu Lý chọn đề tài Sách Hình học 11 nâng cao có tập sau: Bài tập 5, trang 91 Trong không gian cho tam giác ABC a) Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) có ba số x, y, z mà x + y + z =     cho OM = x OA + y OB + z OC với điểm O     b) Ngược lại, có điểm O không gian cho OM = x OA + y OB + z OC , x + y + z = điểm M thuộc mp(ABC) Bài tập điều kiện cần đủ để bốn điểm đồng phẳng phát biểu ngôn ngữ vectơ Nó cho thấy ngồi quan hệ vng góc khơng gian, vectơ cịn can thiệp hiệu vào quan hệ khác Trong chương trình hành, vectơ giảng dạy lớp 10 (vectơ mặt phẳng) lớp 11 (vectơ không gian) Đặc biệt lớp 11, vai trị cơng cụ vectơ nhấn mạnh: “Thơng qua số ví dụ tốn, giáo viên cần giúp học sinh thấy vectơ phép tốn vectơ có vai trị định việc giải số tốn hình học khơng gian” (Sách giáo viên hình học 11, trang 83) Đó ý định tác giả sách giáo khoa Ý định thể phần học phần tập sách giáo khoa? Trong thực tế dạy học, giáo viên học sinh thực ý định nào? Ở Việt Nam năm gần đây, nhiều cơng trình nghiên cứu đề cập đến việc dạy học khái niệm vectơ góc độ khác nhau: nghiên cứu didactic khoa học luận việc dạy học vectơ Việt Nam Pháp Lê Thị Hoài Châu (1997), nghiên cứu vai trị cơng cụ vectơ dạy học số khái niệm hình học nhiều học viên cao học từ 2002 đến 2011 Điều vừa chứng tỏ tầm quan trọng khái niệm vectơ chương trình tốn trung học phổ thơng, vừa mở hướng nghiên cứu tác động vectơ (với tư cách đối tượng công cụ) đến việc xây dựng số khái niệm toán học khác Lê Thị Hoài Châu (1997), Étude didactique et épistémologique sur l’enseignement des vecteurs dans deux institution: la classe de dixième au Vietnam et la classe de seconde en Franỗe, lun ỏn tin sĩ, đại học Joseph Fourier, Grenoble I, Cộng hòa Pháp Sớm luận văn Võ Hoàng Hồng Hữu Vinh (khóa 11) gần luận văn Đỗ Thị Hồng Linh (khóa 19) Những vấn đề dẫn đến đề tài: “Nghiên cứu didactic công cụ vectơ hình học khơng gian lớp 11” Phương pháp luận nghiên cứu Ý định nghiên cứu vai trị cơng cụ vectơ sách giáo viên, sách giáo khoa thực tế dạy học buộc phải quay lại khái niệm tổ chức tốn học chuyển hóa sư phạm lý thuyết nhân học sư phạm Chevallard (1985, 1989, 1992, 1998) Theo lý thuyết nhân học sư phạm, hoạt động người nhằm hồn thành nhiệm vụ t Nhiều nhiệm vụ t xếp vào kiểu nhiệm vụ T chúng giải kỹ thuật τ Cơng nghệ θ cho phép nghĩ đến, tạo lý giải cho kỹ thuật τ Đến lượt mình, cơng nghệ θ giải thích, biện minh lý thuyết Θ Bộ bốn phần tử [T/ τ/ θ/ Θ] gọi praxéologie, vốn cấu thành hai từ Hy Lạp praxis (thực hành) logos (lý lẽ, lập luận) Thật vậy, praxéologie, khối [T/ τ] thuộc thực hành khối [θ/ Θ] thuộc lý lẽ, lập luận Nếu T kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan gọi tổ chức toán học Khi nghiên cứu chuyển hóa sư phạm, Ravel (2003) đặc biệt quan tâm đến tri thức soạn giảng: “Chúng quan niệm tri thức soạn giảng giáo viên tri thức giáo viên soạn từ lựa chọn toán học sư phạm nhằm mục đích giảng dạy Tri thức soạn giảng nằm giao diện hai “thế giới”: vừa đặc trưng cho hoạt động giáo viên trước thực tiết dạy, vừa động lực hoạt động dạy học tiết dạy” (Tài liệu dẫn, trang 107) Như thế, có sơ đồ chi tiết đây: Tri thức bác học Chuyển hóa sư phạm nội Tri thức cần dạy Tri thức soạn giảng Tri thức thực dạy Đứng quan điểm tổ chức tốn học chuyển hóa sư phạm, phát biểu lại câu hỏi ban đầu thành câu hỏi nghiên cứu sau: Q1 Khi soạn sách giáo khoa lớp 11, tác giả dự định hình thành vai trị cơng cụ vectơ hình học khơng gian? Q2 Cấu trúc sách giáo khoa lớp 11 thể dự định nào? Với yếu tố công nghệ - lý thuyết sách giáo khoa, vectơ giải kiểu nhiệm vụ hình học khơng gian? Q3 Trong thực tế dạy học hình học khơng gian lớp 11, vai trị cơng cụ vectơ thường giáo viên học sinh huy động; vai trị cơng cụ huy động lại không huy động? Khác với luận văn trước khảo sát vai trị cơng cụ vectơ việc giải số kiểu nhiệm vụ xác định, chúng tơi cho vai trị cơng cụ vectơ cần xét phạm vi rộng hơn: vectơ huy động để giải tập để chứng minh số tính chất tốn học Nói theo ngơn ngữ tổ chức tốn học, vai trị cơng cụ vectơ thể khơng khối praxis [T, τ] mà khối logos [θ, Θ] Xuất phát từ nhận xét hội đồng chấm luận văn khóa trước việc phát biểu không chặt chẽ giả thuyết nghiên cứu (dẫn đến việc tầm thường hóa giả thuyết nghiên cứu), chúng tơi mạnh dạn không phát biểu giả thuyết nghiên cứu luận văn Bù lại, cố gắng phát biểu câu hỏi nghiên cứu, tìm yếu tố trả lời câu hỏi đặt nhiều câu hỏi khác q trình phân tích Luận văn không đưa vào thực nghiệm Trong suốt trình nghiên cứu, nhiều câu hỏi đưa tiến hành thực nghiệm tương ứng phân tích cần thiết để trả lời câu hỏi đặt Để theo hướng nghiên cứu này, dựa vào Castella Jullien (1991): “Một biến quan trọng thực nghiệm độ tốn [hay giá thành] Khơng vơ ích nhắc lại giá thành cao tự khơng bảo đảm cho chất lượng [của thực nghiệm], nghĩa thực nghiệm giá thành thấp hồn tồn đầy tính thuyết phục” (Tài liệu dẫn, trang 176) Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương, đặt phần mở đầu phần kết luận: Chúng tơi dùng từ tính chất để chung mệnh đề toán học Trong sách giáo khoa, mệnh đề trình bày dạng ý, tính chất, định lý…, chí đơi khơng có tên loại cụ thể Phần mở đầu trình bày lý chọn đề tài, phương pháp luận nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương Công cụ vectơ tri thức cần dạy Nội dung chương là: - Phân tích sách giáo viên để xác định vai trị công cụ vectơ dự định tác giả sách giáo khoa - Phân tích sách giáo khoa sách tập để xác định vai trị cơng cụ có vai trị cơng cụ ưu tiên vectơ khối logos lẫn khối praxis - Rút độ lệch ý định tác giả sách giáo viên với tri thức cần dạy sách giáo khoa, đặc biệt vai trị cơng cụ có vai trị cơng cụ ưu tiên sách giáo khoa Chương Công cụ vectơ tri thức soạn giảng tri thức thực dạy Kết chương giúp dự đoán điều kiện ràng buộc để giáo viên học sinh lớp 11 huy động công cụ vectơ giải tốn hình học khơng gian Chương khảo sát ý kiến giáo viên học sinh để làm rõ vai trị cơng cụ vectơ tri thức soạn giảng tri thức thực dạy Phần kết luận tóm tắt kết luận văn nêu hướng nghiên cứu Chương Công cụ vectơ thể sách giáo khoa Trong chương trình tốn trung học phổ thông, vectơ đưa vào với tư cách đối tượng lẫn công cụ Là đối tượng, khái niệm vectơ định nghĩa hình thành tính chất mà chương trình quy định Là công cụ, vectơ sử dụng để chứng minh số tính chất khác để giải tập Khi tham gia vào việc xây dựng định nghĩa chứng minh tính chất tốn học, vectơ có mặt khối logos [θ, Θ] trở thành yếu tố công nghệ (hoặc yếu tố công nghệ - lý thuyết) Khi huy động để giải tập, vectơ có mặt khối praxis [T, τ] trở thành kỹ thuật (hoặc phần kỹ thuật) Chúng ý đặc biệt đến tập mà kết sách giáo khoa khuyến khích sử dụng để giải số tập khác Khi đó, dù trình bày khối praxis, tập có vai trị kép: chúng vừa thành phần tường minh khối praxis cách trình bày sách giáo khoa, vừa thành phần khối logos vai trị cơng nghệ - lý thuyết ứng dụng giải tập Do đó, chúng tơi khơng phân tích vai trị cơng cụ vectơ theo thứ tự “truyền thống” (phần học, phần tập) số luận văn trước làm cách phân loại gặp trở ngại nhiều với tập mang vai trò kép Đổi lại, chúng tơi tiếp cận vai trị cơng cụ vectơ theo hai hướng: vai trị cơng nghệ - lý thuyết, vai trò kỹ thuật Chương nghiên cứu vai trị cơng cụ vectơ theo cách tiếp cận để trả lời câu hỏi đây: Q1 Khi soạn sách giáo khoa, tác giả dự định hình thành vai trị cơng cụ vectơ? Q2 Cấu trúc sách giáo khoa thể dự định nào? Với yếu tố cơng nghệ - lý thuyết sách giáo khoa, vectơ giải kiểu nhiệm vụ nào? Thuật ngữ vectơ hiểu vectơ hình học vectơ tổng quát không gian vectơ trường K Nói theo ngơn ngữ khơng gian vectơ, vectơ đề cập chương phần tử không gian vectơ thông thường trường R với phép cộng vectơ thông thường phép nhân số thực với vectơ Để trả lời câu hỏi trên, chọn sách giáo viên sách Hình học 11 nâng cao Đồn Quỳnh làm tổng chủ biên làm tư liệu phân tích hai lý do: vectơ khơng gian xuất chương trình hình học lớp 11; hệ thống tập sách Hình học 11 nâng cao phong phú sách Hình học 11 Trong trường hợp cần thiết, đối chiếu với sách Hình học 11 bản, tham khảo thêm sách Bài tập Hình học 11 nâng cao, đề kiểm tra, đề thi học kỳ, đề thi tuyển vào đại học, cao đẳng để làm rõ điều kiện ràng buộc cơng cụ vectơ chương trình hình học lớp 11 Vai trị cơng cụ vectơ dự định tác giả sách giáo khoa Trong phân mơn hình học 11, vectơ khơng trình bày thành chủ đề riêng mà gắn vào chương III Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc Ta dùng vectơ để giới thiệu quan hệ vng góc mà không xét vectơ thành chủ đề riêng Sau xây dựng quan hệ vng góc nhờ vectơ, ta tiếp tục trình bày số vấn đề Hình học theo phương pháp truyền thống (Sách giáo viên, trang 79) Như vậy, vai trị cơng cụ vectơ tác giả sách Hình học 11 nâng cao xác định rõ ràng: vectơ đưa vào để phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vng góc khơng gian Sách giáo viên cịn giải thích ưu công cụ vectơ so với công cụ khác: Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vng góc không gian làm cho cách diễn đạt số nội dung hình học gọn gàng Mặt khác, kiến thức vectơ khơng gian cịn dùng để xây dựng khái niệm tọa độ chương trình Hình học lớp 12, cơng cụ hữu ích để giải nhiều tốn Hình học (Tài liệu dẫn, trang 79) Vectơ tham gia xây dựng quan hệ vng góc khơng gian mức độ nào, diện khối logos hay tiếp tục can thiệp vào khối praxis? Sách giáo viên ghi rõ: Học xong chương này, học sinh phải đạt yêu cầu: Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vng góc giải số tốn hình học khơng gian [ ] (Tài liệu dẫn, trang 79) Như vậy, tác giả sách Hình học 11 nâng cao đưa vectơ vào chương III nhằm phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vng góc cung cấp cho học sinh công cụ giải tốn hình học khơng gian Ưu cơng cụ vectơ giúp diễn đạt số nội dung hình học lớp 11 gọn gàng kế thừa để xây dựng khái niệm tọa độ hình học lớp 12 Công cụ vectơ tham gia chứng minh tính chất hình học nào, can thiệp vào kiểu nhiệm vụ nào? Nó có ưu so với cơng cụ khác? Để trả lời câu hỏi này, chúng tơi phân tích sách Hình học 11 nâng cao để làm rõ vai trị công cụ vectơ mặt công nghệ - lý thuyết lẫn kỹ thuật Vai trị cơng cụ vectơ khối logos Sách Hình học 11 nâng cao chia thành ba chương: - Chương I Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng - Chương II Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song - Chương III Vectơ không gian Quan hệ vng góc khơng gian Cấu trúc thể ý định mà tác giả đề cập sách giáo viên: - Vectơ không gian khơng trình bày thành chương riêng làm vectơ mặt phẳng sách Hình học 10 nâng cao - Ngược lại, vectơ không gian đưa vào chương với quan hệ vng góc khơng gian trình bày đầu chương nhằm phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vng góc khơng gian Vì vậy, chúng tơi tập trung phân tích chương III sách Hình học 11 nâng cao Như trình bày đầu chương, chúng tơi phân biệt hai hình thức thể công cụ vectơ với tư cách yếu tố công nghệ - lý thuyết: - vectơ tham gia vào việc xây dựng định nghĩa chứng minh tính chất trình bày phần học; - vectơ biện minh cho kỹ thuật huy động để giải tập Đối với hình thức thể thứ nhất, tồn chương III, vectơ tham gia vào việc chứng minh định lý điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đây định lý quan hệ vng góc nói chung định lý thường sử dụng chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Đối với hình thức thể thứ hai, chúng tơi tìm thấy tập 5, trang 91, sách Hình học 11 nâng cao Dưới đây, chúng tơi phân tích hai hình thức thể Chủ đề vectơ chiếm hai tổng số ba chương sách Hình học 10 nâng cao: Vectơ; Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng; Phương pháp tọa độ mặt phẳng Về mặt bàn chất, tập tính chất tốn học mức độ sử dụng khơng thường xun tính chất trình bày phần học 10 Định lý điều kiện đủ để đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) (Sách Hình học 11 nâng cao, trang 97) Chứng minh (theo sách Hình học 11 nâng cao, trang 96) a P      Giả sử a, b, d có vectơ phương m , n , u Do m , n d không phương Gọi c đường thẳng nằm mặt phẳng b       (P) có vectơ phương p Vì m , n , p đồng phẳng n , m    không phương nên ta có hai hệ số x, y cho p = x m + y n Do a b vng góc              với d nên m u = n u = Khi đó: u p = u (x m + y n ) = x u m + y u n = Vậy, đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c nằm mặt phẳng (P), nghĩa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) Để đối chiếu, giới thiệu cách chứng minh khác không dùng vectơ: Chứng minh (theo sách Hình học 11 chương trình chỉnh lí hợp năm 2000, trang 59-60) Giả sử đường thẳng c thuộc mặt phẳng (P) gọi O d’ c a b P c’ M = O = N d B giao điểm a b *Nếu c // a c // b d⊥a d⊥b nên d⊥c *Nếu c không song song với a b từ O kẻ d’ // A C d c’ // c Ta cần chứng minh d’ ⊥ c’ Trên c’ lấy điểm C khác O kẻ qua C đường thẳng cắt a b A B khác O Trên d’, hai phía O ta lấy hai đoạn OM = ON Khi a b đường trung trực đoạn thẳng MN  = nên AM = AN BM = BN Suy ∆MAB = ∆NAB (ba cạnh tương ứng nhau) MBC  Ta có ∆MBC = ∆NBC (có góc hai cạnh kề tương ứng nhau) Suy CM = CN NBC Khi ∆CMN cân C có trung tuyến CO đường cao Vậy d’ ⊥ c’ suy đường thẳng d vng góc với đường thẳng c thuộc mặt phẳng (P), nghĩa d vng góc với mặt phẳng (P) Trong hai cách chứng minh trên, cách chứng minh thứ ngắn gọn hơn, khơng địi hỏi phải vẽ thêm nhiều đường phụ gần khơng phụ thuộc vào hình vẽ Điều cho thấy ưu điểm công cụ vectơ khối logos Như nói trên, định lý điều kiện đủ để đường thẳng vng góc với mặt phẳng mệnh đề chương III chứng minh công cụ vectơ Chứng minh ngắn gọn chứng minh không huy động vectơ mà cịn phù hợp với tinh thần chương trình xác định sách giáo viên: kiến thức vectơ sở để xây dựng quan hệ vuông góc khơng gian 53 [12] Castella C., Jullien M (1991), La différenciation institutionnelle : qu’est-ce que savoir ?, in Gras (coordonnée par), Actes de la 6è école d’été de recherche en didactique des mathématiques, 174 – 176, Institut Mathématique de Rennes et IRESTE de Nantes [13] Tran Luong Cong Khanh (2010), La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée, Éditions universitaires européennes, Allemagne 54 Phụ lục Lời giải tập 5, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91 O C A M B Chứng minh: (theo sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 89-90)   a) Vì AB , AC hai vectơ không phương nên điểm M thuộc mp(ABC) có           hay OM – OA = n( OB – OA ) + m( OC – OA ) với điểm O tức AM = n AB + m AC    OM = (1 – n – m) OA + n OB + m OC     Đặt – n – m = x, n = y, m = z OM = x OA + y OB + z OC với x + y + z =         b) Từ OM = x OA + y OB + z OC với x + y + z = 1, ta có: OM = (1 – y – z) OA + y OB + z OC          hay OM – OA = y AB + z AC tức AM = y AB + z AC Mà AB , AC không phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC) Các tập dùng phương pháp vectơ tác giả không sử dụng Bài 16a, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 103 Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB = a, BC = b, CD = c Tính độ dài AD *Lời giải thể chế mong đợi (theo sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 99) A Vì AB ⊥ BC AB ⊥ CD nên AB ⊥ mp(BCD) Mặt khác BC ⊥ CD nên AC ⊥ CD (định lý ba đường vng góc) Vậy AD2 = AC2 + CD = AB2 + BC2 + CD2, tức AD = *Lời giải đề nghị     2 a + b2 + c2   B D   C   Ta có AD = ( AB + BC + CD ) = AB + BC + CD + 2( AB BC + AB CD + BC CD ) = a2 + b2 + c2 (Do AB, BC, CD đơi vng góc) Suy AD = a + b + c Bài 17b, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 103 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Chứng minh hình chiếu H O điểm O trêm mp(ABC) *Lời giải mong đợi (theo sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 99) C A H A’ Cách B Vì H hình chiếu điểm O mp(ABC) nên OH ⊥ (ABC) Mặt khác OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC Vậy AH ⊥ BC (định lý ba đường vng góc), tức H thuộc đường cao ∆ABC Tương tự ta có H thuộc đường cao thứ hai tam giác ABC Vậy H trực tâm ∆ABC Cách Nếu K trực tâm tam giác ABC AK ⊥ BC Mặt khác OA ⊥ BC nên BC ⊥ (AOK), suy BC ⊥ OK Tương tự ta có AB ⊥ OK Vậy OK ⊥ (ABC), tức K trùng H *Lời giải đề nghị Gọi H hình chiếu O lên mp(ABC) nên OH ⊥ AC OH ⊥ BC           Ta có AH BC = ( AO + OH ) BC = AO ( BO + OC ) + OH BC = Suy AH ⊥ BC Tương tự chứng minh ta có BH ⊥ AC Vậy, H trực tâm ∆ABC 55 Bài 20b, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 103 a) Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD Chứng minh AD ⊥ BC Vậy, cạnh đối diện tứ diện vng góc với Tứ diện gọi tứ diện trực tâm b) Chứng minh mệnh đề sau tương đương: i) ABCD tứ diện trực tâm ii) Chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh trùng với trực tâm mặt đối diện iii) AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 Trong câu b, ghi nhận phần chứng minh i) ⇔ ii) *Lời giải mong đợi (theo sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 101 + 102) Với tứ diện ABCD, điều kiện AC ⊥ BD, AB ⊥ CD xảy A hình chiếu A mp(BCD) trực tâm ∆BCD Thật vậy, kẻ AA’ ⊥ (BCD) A’ hình chiếu A mp(BCD) Nếu AB ⊥ CD, AC ⊥ H BD BA’ ⊥ CD, CA’ ⊥ BD Vậy A’ trực tâm ∆BCD B’ D B Ngược lại, A’ trực tâm ∆BCD BA’ ⊥ CD, từ suy AB ⊥ A’ I    C CD Tương tự, ta có AC ⊥ BD Vậy ABCD tứ diện trực tâm (từ câu a)) Ta suy i) ii) tương đương *Lời giải đề nghị   Gọi K trực tâm ∆BCD Mặt khác ABCD tứ diện trực tâm nên AK CD = ( AB + BK ) CD =      AK BD = ( AC + CK ) BD = Suy AK ⊥ CD AK ⊥ BD Do AK ⊥ (BCD) Vậy chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh trùng với trực tâm mặt đối diện  Ngược lại, gọi H vừa trực tâm ∆BCD vừa chân đường cao tứ diện ABCD Khi AB          CD = ( AH + HB ) CD = AC BD = ( AH + HC ) BD = Suy AB ⊥ CD AC ⊥ BD Vậy ABCD tứ diện trực tâm (từ câu a)) Vậy i) ii) tương đương Các kiểu nhiệm vụ nhóm *Kiểu nhiệm vụ T : ‘‘Chứng minh điểm trọng tâm tứ diện’’ Bài tập 6, sách tập Hình học 11 nâng cao, trang 114 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi D , D , D điểm đối xứng điểm D’ qua A, B’, C Chứng tỏ B trọng tâm tứ diện D D D D’ Giải (theo sách tập Hình học 11 nâng cao, trang 141)          Đặt AA' = a , AB = b , AD = c            Từ giả thiết, ta có: BD' + BD1 = BA = – b , mà BD' = a – b + c Vậy BD1 = – a – b – c       Lập luận tương tự trên, ta có BD2 = a + b – c BD3 = – a + b + c      Vậy BD1 + BD2 + BD3 + BD' = Điều chứng tỏ B trọng tâm tứ diện D D D D’ Kỹ thuật τ : Ta phải biến đổi, chứng minh tổng bốn vectơ (các vectơ có  điểm đầu trọng tâm tứ diện điểm cuối đỉnh tứ diện) Công nghệ θ : Các tính chất quy tắc vectơ *Kiểu nhiệm vụ T : ‘‘Chứng minh ba vectơ khơng gian đồng phẳng’’ Bài tốn 1, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 87 56 Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD A    Chứng minh ba vectơ BC , MN , AD đồng phẳng Giải (theo sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 86) Dễ thấy MP//QN (vì song song với BC) nên đường thẳng MP, MN, MQ nằm mặt phẳng Mặt khác, BC//MP nên từ M vẽ vectơ B M P Q D N C  vectơ BC vectơ nằm đường thẳng MP Tương tự trên, từ M vẽ vectơ     vectơ AD vectơ nằm đường thẳng MQ Vậy vectơ BC , MN , AD đồng phẳng Kỹ thuật τ5-1 : Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng song song với giá vectơ cần chứng minh đồng phẳng Công nghệ θ 5-1 : Phương vectơ, định nghĩa đồng phẳng định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng Kỹ thuật τ 5-2 : Qua phép biến đổi, ta đưa ba vectơ cần chứng minh đồng phẳng    dạng a = m b + n c (m, n nhất) Công nghệ θ 5-2 : Các tính chất vectơ, phân tích vectơ theo vectơ không phương đồng phẳng vectơ *Kiểu nhiệm vụ T : ‘‘Định điều kiện để hai đường thẳng song song’’ Bài toán 3, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 90 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Xét điểm M N thuộc đường thẳng A’C C’D           cho MA' = k MC , NC' = l ND (k l khác 1) Đặt BA = a , BB' = b , BC = c      a) Hãy biểu thị vectơ BM BN qua vectơ a , b , c b) Xác định số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’ A Giải (theo sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 86) a) Từ giả thiết ta có: B  BM =    BA' − k BC 1− k   BM =   BC' − l BD 1− k  a +  1− k  b –  k 1− k   D C M N c A’ D’ BM = – a + b + c B’ C’ 1− l 1− l 1− l b) Vì BD’ C’D hai đường thẳng chéo N thuộc đường thẳng C’D nên đường thẳng MN trùng với đường thẳng BD’ Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’      1  1  MN = p BD' Do MN = BN – BM = (– – )a + ( – ) b + (1 + 1− l 1− k 1− k 1− l         k ) c Mặt khác BD' = a + b + c (quy tắc hình hộp) mà a , b , c ba vectơ không đồng 1− k BN =  p  1− l − 1− k =  phẳng nên: MN = p BD' = p a + p b + p c ⇔  ⇔ l = – 1, k = – 3, p = p − = −  1− l 1− k  1+ k = p  1− k      57 Vậy l = – l1, k = – đường thẳng MN đường thẳng BD’ song song với Kỹ thuật τ :   - Tìm hai vectơ phương m , n (hoặc vectơ pháp tuyến) hai đường thẳng    - Do hai đường thẳng song song nên ta giả sử m = k n , ta phân tích n thành tổng tổ hợp vectơ  - Từ giả thuyết, ta phân tích m thành tổng tổ hợp vectơ - Suy hệ số tương ứng - Kết luận Công nghệ θ : - Vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) đường thẳng - Hai đường thẳng song song hai đường thẳng có hai vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) tỉ lệ với - Hai vectơ *Kiểu nhiệm vụ T : ‘‘Chứng minh hai đường thẳng song song’’ Bài tập 3, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 91 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’, I giao điểm hai đường thẳng AB’ A’B Chứng minh đường thẳng GI CG’ song song với Giải      ( b + c ) AI = ( a + b )  c       A Do GI = AI – AG = (3 a + b – c )  B b         Mà AG' = ( AA' + AB' + AC' ) = a + ( b + c ) a 3 I           CG' = AG' – AC = a + ( b + c ) – c = (3 a + b – c ) 3   A’ Từ CG' = GI Ngồi G khơng thuộc đường thẳng CG’ G’ Vậy GI CG’ hai đường thẳng song song B’        Đặt AB = a , AD = b , AA' = c AG = C G C’ Kỹ thuật τ : - Xác định vectơ phương vectơ pháp tuyến hai đường thẳng cần chứng minh song song hai vectơ có giá khơng trùng - Qua phép biến đổi để tìm tỉ số hai vectơ - Kết luận 58 Công nghệ θ : - Vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) đường thẳng  - Hai đường thẳng có hai vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) có dạng a =  k b hai đường thẳng song song *Kiểu nhiệm vụ T : ‘‘Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng’’ Bài tập 4, Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 91 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M N trung điểm CD DD’ ; G G’ trọng tâm tứ diện A’D’MN BCC’D’ Chứng minh đường thẳng GG’ mặt   A b D phẳng (ABB’A’) song song a Giải       B  Đặt AB = a , AD = b , AA' = c c  B’  Vì G, G’ trọng tâm tứ diện A’D’MN BCC’D’ nên AG =      AM + AN ) AG' =  D'C + MC' + ND' ) =   A’     D’ C’  ( AA' + AD' +  ( AB + AC + AC' + AD' ) Từ GG' = AG' – AG =  ( A'B +            ( a – c + a – c + a + c + c ) = (5 a – c ) = (5 AB – AA' ) 8 2    Điều chứng tỏ AB , AA' , GG' đồng phẳng Mặt khác, G không thuộc mp(ABB’A’) nên đường thẳng GG’ mặt phẳng (ABB’A’) song song với Kỹ thuật τ : (Chứng minh đường thẳng d song song với mp (P)) - Chọn hai đường thẳng a b cắt nằm mặt phẳng (P) - Xác định vectơ phương vectơ pháp tuyến ba đường thẳng a, b, d - Qua phép biến đổi, ta chứng minh ba vectơ đồng phẳng - Chỉ có điểm (thuộc vectơ trên) nằm đường thẳng d không thuộc mp(P) - Kết luận Công nghệ θ : Vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) đường thẳng đồng phẳng vectơ *Kiểu nhiệm vụ T 12 : ‘‘Điều kiện cần đủ để tứ giác hình bình hành’’ Bài tập 2b, sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, trang 91 Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình      S hành SA + SB + SC + SD = SO Giải (theo sách giáo viên Hình học 11 nâng cao , trang 81)      Ta có: SA + SB + SC + SD = SO A B D O C 59               ⇔ SO + OA + SO + OB + SO + OC + SO + OD = SO ⇔ OA + OB + OC + OD = (*) Cách 1:    Do O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD nên OC = k OA , OD =       m OB Khi (*) ⇔ (1 + k) OA + (1 + m) OB = Mặt khác OA , OB hai vectơ không 1 + k =  k = −1 phương nên đẳng thức tương đương với  hay  1 + m = m = −1 Điều có nghĩa O trung điểm AC BD, tức ABCD hình bình hành Vậy với hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình      hành SA + SB + SC + SD = SO Cách 2:       Gọi M, N trung điểm AC, BD OA + OC = OM , OB + OD = ON Khi    (*) ⇔ ON + OM = Suy O, N, M thẳng hàng Mặt khác M thuộc AC, N thuộc BD, O giao điểm AC DB nên O, N, M thẳng hàng O ≡ N ≡ M, tức O trung điểm AC BD, hay ABCD hình bình hành Suy điều phải chứng minh Kỹ thuật τ 12-1 : - Giả sử O giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD cần chứng minh hình     bình hành OC = k OA , OD = h OB k = −1 (nghĩa  h = −1 - Dựa vào giải thiết qua phép biến đổi, ta chứng minh  ta chứng minh O trung điểm hai đường chéo ) - Kết luận Cơng nghệ θ 12-1 : Các tính chất hình bình hành, tính chất trung điểm vectơ, vectơ phương, hai vectơ Kỹ thuật τ 12-2 : - Giả sử M, N trung điểm hai đường chéo tứ giác (với O giao điểm hai đường chéo tứ giác đó) - Ta chứng minh O, N, M trùng (dựa vào công cụ vectơ) - Kết luận Cơng nghệ θ 12-2 : Các tính chất trung điểm hình bình hành vectơ Kỹ thuật τ 12-3 : (Giả sử chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành)     - Dựa vào giải thiết, ta chứng minh AB = DC (hoặc AD = BC ) - Kết luận ABCD hình bình hành Cơng nghệ θ 12-3 : Các tính chất vectơ định nghĩa hai vectơ 60 *Kiểu nhiệm vụ T 13 : ‘‘Chứng minh ba điểm không gian thẳng hàng’’ Bài tập 1, sách tập Hình học 11 nâng cao , trang 113    Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc AB CD cho MA = –2 MB , ND = –        NC ; điểm I, J, K thuộc AD, MN, BC cho IA = k ID , JM = k JN , KB = k KC Chứng minh điểm I, J, K thẳng hàng Giải (theo sách tập Hình học 11 nâng cao , trang 136-137) Cách 1:              Ta có: IJ = IA + AM + MJ (1) IJ = ID + DN + NJ , suy k IJ = k ID + k DN + k NJ = IA +       k DN + NI (3) Từ (1) (3) ta có (1 – k) IJ = AM – k DN hay IJ =  k  DN AM – (1 − k ) (1 − k )   k  NC MB – (1 − k ) (1 − k )       2k  Mặt khác MA = –2 MB , ND = –2 NC nên IJ = NC MB – (1 − k ) (1 − k )   Chứng minh tương tự trên, ta có JK = Từ ta có IJ = JK Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng Cách 2:     Vì MA = –2 MB nên với điểm O OM =        Tương tự ON =   OD + 2OC  , OI  ( OA + 3(1 − k ) 1− k 1− k 1− k          OB – k OD – 2k OC ) = ((1 – k) OI + 2(1 – k) OJ = ( OI + 2) OJ = OI + OJ 3 3(1 − k ) = OA − k OD Mặt khác , OK = OB − k OC    OA + 2OB , OJ = OM − k ON  Từ ta có OK = + = Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng 3 Kỹ thuật τ 13-1 : - Từ ba điểm cần chứng minh thẳng hàng ta lập thành hai vectơ thích hợp   - Qua phép biến đổi, ta đưa hai vectơ dạng a = k b - Kết luận Công nghệ θ 13-1 : Hai vectơ phương, tính chất vectơ Kỹ thuật τ 13-2 : - Lấy điểm Ta lập thành ba vectơ có điểm đầu điểm điểm cuối điểm cần chứng minh thẳng    - Ta đưa hai vectơ dạng a = m b + n c (m, n nhất) - Kết luận Công nghệ θ 13-2 : Hai vectơ phương, phân tích vectơ theo vectơ không phương tính chất vectơ 61 Phiếu xin ý kiến giáo viên PHIẾU XIN Ý KIẾN GIÁO VIÊN Thưa q thầy, cơ, Nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường trung học phổ thơng, xin q thầy, vui lịng dành thời gian để trả lời câu hỏi Cám ơn giúp đỡ quý thầy cô! Câu Theo q thầy, cơ, giảng dạy, giáo viên sử dụng vectơ để giải loại tốn hình học không gian lớp 11? Câu Sách Hình học 11 nâng cao lớp 11, trang 91 có tập liên quan đến điều kiện cần đủ để điểm thuộc mặt phẳng Q thầy, có cho học sinh làm tập khơng? (Vui lịng đánh dấu vào tương ứng đánh dấu nhất) Có cịn cho thêm số tập vận dụng Có khơng cho thêm tập vận dụng Có, có thời gian cho phép Khơng Trường hợp khác (vui lịng ghi rõ): ……………………………………………… Xin q thầy, vui lịng giải thích lý lựa chọn mình: ………………………… ………………………………………………………………………………………… Câu Bảng liệt kê số dạng tốn hình học khơng gian lớp 11 (có sử dụng công cụ vectơ để chứng minh) Xin quý thầy, cô vui lòng: - đánh dấu X vào cột thứ hai có u cầu học sinh làm dạng tập này; - giải thích ngắn gọn lý cột thứ ba Dạng toán Chứng minh điều kiện (cần đủ/ cần/ đủ) để điểm thuộc mặt phẳng Chứng minh đẳng thức tỷ số độ dài đoạn thẳng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Chứng minh bốn điểm thuộc mặt phẳng Chứng minh điểm trọng tâm tứ diện Điều kiện cần đủ để tứ giác hình bình hành Chứng minh ba điểm khơng gian thẳng hàng Chứng minh ba vectơ không gian đồng phẳng Định điều kiện để hai đường thẳng song song Chọn Lý 62 10 Chứng minh hai đường thẳng song song 11 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 12 Tính góc hai đường thẳng không gian 13 Chứng minh hai đường thẳng vng góc khơng gian 14 Tính độ dài đoạn thẳng Câu Xét tốn sau: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N trung điểm AB A’D’ Xác định vị trí giao điểm K đường thẳng B’D mặt phẳng (CMN) Dưới hai lời giải hai học sinh: Lời giải B C M \ A \ D K C B A \\ N \\      Ta có: DA = DM + MA = DM – DC D (do M trung điểm AB )         DD' = DN + ND' = DN – DA = DN – DM + DC (do N trung điểm AD) 2     Đặt DK = n DB' Theo qui tắc hình hộp ta có: DK = n DB' = n( DA + DC + DD' ) =          n( DM – DC + DC + DN – DM + DC ) = n( DC + DN + DM )   Vì K ∈ (MNC) nên ta suy n.( +1+ Vậy, K điểm thuộc đoạn thẳng B’D với Lời giải  )=1⇔n= KD B'D =  Do DK =  DB' 63 B A M \ C I \ O D K C’ B’ O’ A’ \\ F H J \\ N E D’ Gọi F trung điểm D’C’ Dựng đường thẳng qua N song song với A’F cắt D’C’ E, suy E trung điểm D’F E ∈ (MNC) Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD, A’B’C’D’ I, H, J, K giao điểm MC với DB, A’F với B’D’, A’E với B’D’ DB’ với IJ  I ∈ MC ⊂ ( MNC ), I ∈ BD ⊂ ( BDD' B' ) Ta có:  ⇒ (MNC) ∩ (BDD’B’) = IJ  J ∈ NE ⊂ ( MNC ), J ∈ B ' D' ⊂ ( BDD' B' ) Vì IJ ∩ B’D = {K} nên (MNC) ∩ B’D = {K} ∆ABC có I trọng tâm nên BI = ∆A’D’F có NE // A’F nên ND' A'D' = BO = ED' FD' ∆A’C’D’ có H trọng tâm nên D’H = = BD ⇒ DI = JD' HD' = D’O’ = BD ⇒ D’J = BD ⇒ D’J = D’H BD ⇒ B’J = BD BD Do ∆KID ∼ ∆KJB’ (góc-góc) nên ta có = = = B'J KB' BD ID Vậy K điểm thuộc đoạn thẳng B’D với KD KD KB' = Xin quý thầy, cô vui lòng cho điểm (theo thang điểm 10) hai lời giải giải thích lý vào tương ứng Điểm Lý Lời giải Lời giải Trong thực tế giảng dạy, quý thầy, cô ưu tiên chọn lời giải nào? Xin quý thầy, vui lịng giải thích lý do: Xin chân thành cám ơn quý thầy, cô! 64 Phiếu thực nghiệm học sinh PHIẾU BÀI TẬP Các em thân mến! Phiếu không nhằm mục đích đánh giá học lực em mà để phục vụ cho việc khảo sát thực tế nâng cao chất lượng dạy học Các em vui lịng trình bày lời giải (mỗi có cách giải) phần trống chừa sẵn khơng dùng bút xóa Cám ơn cộng tác em! Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy hình vng Chứng minh SC ⊥ BD Nêu nhận xét em câu (dạng tốn có quen thuộc khơng, dễ hay khó, em dự kiến hướng giải nào…): ……………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………………….…………………… ……………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………….……………… Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A’D = trung điểm AD BB’ Chứng minh MN ⊥A’C AB Gọi M, N Nêu nhận xét em câu (dạng tốn có quen thuộc khơng, dễ hay khó, em dự kiến hướng giải nào…): ……………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………………….…………………… ……………………………………………………………………….………………… ………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………………………………….……………… 65 Kết phiếu thực nghiệm học sinh Câu Hs 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Nhận xét Quen thuộc, khơng q khó Quen thuộc, dễ Quen thuộc, khơng q khó Quen thuộc, khơng q khó Quen thuộc, dễ Rất quen thuộc, dễ Quen thuộc, dễ Hg: Cm BD ⊥ (SAC) Quen thuộc , dễ Hg: C/m BD⊥(SAC) với SC ⊂ (SAC) Quen thuộc, dễ Quen thuộc , toán tương đối dễ Quen thuộc , khơng q khó Quen thuộc, dễ Dễ Quen thuộc, tương đối Quen thuộc, dễ Hg em Quen thuộc, dễ Hg: làm Quen thuộc, dễ Quen thuộc Hg: C/m BD vg góc với mp chứa SC Quen thuộc, dễ, chủ yếu tìm đk để c/m đt vg góc với mp để suy kquả Rất quen thuộc, dễ Hg: Ghép đt vào mp Xốy vào gt SA⊥(ABCD) đáy hv Hs Nhận xét 21 30 31 32 33 34 35 36 37 Quen thuộc, khơng q khó Quen thuộc, dễ Khơng khó lắm, quen thuộc Quen thuộc Quen, dễ Quen thuộc , khơng q khó Quen thuộc, vừa với sức Dạng toán vừa phải Hg: c/m BD ⊥ (SAC) Quen thuộc , dễ Hg: c/m BD⊥(SAC) Quen thuộc Quen thuộc, dễ Hg: Dạng toán thường gặp Quen thuộc Quen thuộc, bình thường, ko dễ ko khó Quen thuộc, dễ Quen thuộc, dễ Quen thuộc, dễ 38 Quen thuộc, bản, ko cần tư cao 22 23 24 25 26 27 28 29 39 40 Hs 41 42 Quen thuộc, dễ Hg: Cm BD vg góc với mp chứa cạnh SC =>BD vg góc với SC Quen thuộc, Hg: Tìm SC vg góc với mp chứa BD BD vg góc với mp chứa SC 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Nhận xét Quen thuộc, dễ Có, dễ Hg: Cm BD ⊥ (SAC) DTQT Dạng toán bản, dễ Dễ Quen thuộc, dễ Tương đối quen thuộc, dễ làm Dạng toán quen thuộc, dễ Hg: c/m SC⊥BD cm BD⊥(SAC) Quen thuộc, dễ Quen thuộc, dễ Dạng tốn quen, khơng khó Quen thuộc, dễ Quen thuộc, dễ Quen thuộc, dễ Quen thuộc, dễ Dạng toán quen thuộc, đơn giản Quen thuộc, đơn giản Quen thuộc, dễ Quen thuộc, dễ Hg: cm BD vg góc với đt thuộc mp chứa SC, suy BD vg góc với mp => SC ⊥ BD Quen thuộc, dễ Câu (Phương pháp tổng hợp: ppth, phương pháp vectơ: ppvt) Lg Nh Nx CL Không Ppth→ppvt sai Khó ko quen thuộc Khó ko quen thuộc Nx Lg Nh Lg Nh Nx CL Khơng Ppth→ppvt sai Chưa gặp, khó Nx Lg Lg Nh Nx CL Không Ppth→ppvt sai Khó Nh Nx Lg Lg Nh Nx Lg Nh Nx CL Khơng Ppth→ppvt sai Khó ko quen thuộc CL => OC=OD= CD ∆OCD có OD = CD =>∆OCD vg C => B’D // A’C Mà MN // B’D => MN⊥A’C Theo ppth CL Khơng Ppth→ppvt sai Khó, khơng quen thuộc CL Trình bày ppvt Ppth→ppvt Khó, ko quen thuộc CL Lg Ta có: AB⊥A’A; AB⊥A’D; A’A, A’D ⊂ (A’AD) Suy ra: AB⊥(A’AD) => AB⊥A’D => ∆ABD’ vuông A => BD’= AB + AD' = AB Nh Theo ppth Chưa gặp CL Không Theo ppth (chưa rõ) Chưa gặp, khó, ko quen 12 Lg Nh Nx Chưa gặp, khó 19 CL Lg Gọi E trung đ DD’ => ME đg trung bình ∆ADD’ => ME // AD’ Mà AD’⊥A’D => ME⊥A’D (1) DC⊥(AA’D’D) (vì DC⊥AD DC⊥D’D) => DC⊥ME (2) Từ (1) (2) => ME⊥(A’DC) Mặt khác ta có: 15 CL Nh Nx Theo ppth Ko quen thuộc, gặp,khó Lg A’D = AB ∆ABM∼∆DAC nên B = A Mà A +A =900 (hcn) nên B +A =90 Xét ∆ABO có A +B = 900 => AC ⊥ BM Mà AA’⊥BM, BM ⊥ (AA’C) 20 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Ko quen, khó Chưa có hg Khơng Có gặp qua khó q Nh 16 Lg Nh Nx Lg Nx Khơng Khơng khó, ko quen thuộc CL Lg Đặt AB = a Ta có AB⊥AA’;AB⊥AD; AD,AA’∈ (AA’D’D)=>AB⊥(AA’D’D)=>AD’ ⊥AB => ∆ABD’ tgiác vg A Mà AD’ = AB = a => BD’ = Nh 22 Lg Nh Nx CL 18 CL Không Theo ppth Khó 21 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó 17 Nh 11 Lg Nh Nx Nx CL Khơng Khơng Lạ, khó, ko có hướng làm 14 Lg Nh Nx Nx 10 Nx A’D = AB = CD ∆A’CD vg D (CD⊥(ADD’A’)) có A’C= CD B’D= CD Gọi {O}=A’C∩B’D Nh Nx CL Không Ppth→ppvt gần Lạ, khó Lg Nh CL Khơng Ppth→ppvt sai Ko quen thuộc, khó   Hg: A'C MN =0 CL Khơng Theo ppth Khó chưa gặp 13 Lg Nh Nx Theo ppth a +2a 2 =a 23 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Bài tốn khó CL Khơng Theo ppth Chưa gặp, khó CL Khơng Theo ppth Khó, chưa gặp Chưa có hg 24 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Ko quen thuộc 66 Nh 25 Lg Nh Nx 26 Lg Nh Nx CL Không Theo ppth Ko quen thuộc CL Khơng Theo ppth Khó, chưa gặp, ko có Hg 29 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó Chưa có hg 30 Lg Nh Nx 31 Lg Nh Nx 35 Lg Nh Nx CL Không Theo ppth Ko quen thuộc, khó CL Ta có: A’D= AB = CD DC⊥(AA’D’D) => DC⊥A’D => ∆ADC vg D => A’C = a Theo pp,kth Chưa gặp, khó 32 Lg Nh Nx CL Không Theo ppth Ko quen thuộc 33 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó, chưa gặp 34 Lg Nh Nx CL Không Theo ppth Ko quen thuộc, khó, ko có Hg 36 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Ko quen thuộc, khó 27 Lg Nh Nx 28 Lg Nh Nx CL Không Không Khó CL Khơng Theo ppth Ko quen thc, chưa gặp, khó, chư làm đc Theo ppth Khó Nx 42 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Ko quen thuộc, khó Hg: gọi trung đểm ko biết gọi đt 43 Lg Nh Nx CL 37 Ta có DC⊥AD; DC⊥DD’ => DC⊥ (ADD’A’) => DC⊥A’D Xét ∆A’DC vg D có A’D=AB , DC=AB (hai cạnh đối diện hcn) Lg =>A’C= A'D + DC = 44 Lg Nh Nx Khơng Ko quen thc, khó Nh Nx 38 Lg Nh Nx CL Không Theo ppth Câu câu có trình độ trái ngược 39 CL Lg Không Nh Theo ppth Nx Ko quen thc, khó, ko có hg 40 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó Hg: cm đtg thg sg sg với mp 41 CL Lg Xét ∆NAI∼∆BIC có AI/IC=MA/BC= ½ Xét ∆AA’C∼∆IOC có IC/A’C=AI/AC= ½ => ∆AA’C∼∆IOC => IOC = A’AC = 900 => IO ⊥ AC Do IO ⊂ (MM’B’N), AC ⊂ (AA’C) nên (MM’B’N)⊥(AA’C) Mà MN ⊂ (MM’B’N), A’C ⊂ (AA’C), suy A’C ⊥MN CL Không Theo ppth Chưa gặp, khó CL Khơng Theo ppth Khó CL Khơng Theo ppth Chưa gặp, khó, ko biết làm 2AB + AB = AB 49 Lg Nh Nx 45 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó 46 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Rất khó 47 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Lạ, khó 48 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó CL Khơng Theo ppth Khó, ko quen thuộc 50 Lg Nh Nx 51 Lg Theo ppth Khó, koquen Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó 52 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Ko quen thuộc, khó 53 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Ko quen thuộc, khó 54 Lg Nh Nx 55 Lg Nh Nx 56 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó q CL Khơng Theo ppth Ko quen thuộc, khó, ko cóhướng giải CL Khơng Theo ppth Kh, ko có hướng giải 57 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Khó 58 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Lạ, chưa gặp, khó 50 Lg Nh Nx CL Khơng Theo ppth Ko quen thuộc, khó 60 Lg Nh Nx CL Trình bay ppvt Theo ppvt Chưa gặp CL Không Kết câu phiếu xin ý kiến giáo viên Đ Lý Lời giải Giả sử chưa hết đk Lời giải 10 Giải Chọn: Lg2 Lý do: Cách học sinh khó nghĩ Đ Lý Lời giải Lời giải 10 Đúng Chọn lgiải: Lg2 Lý do: Đúng Đ Lý Lời giải 10 Đúng Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: BT5 ko dạy nên thường hs ko áp dụng kết Đ Lý Lời giải 10 Đúng Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: Lg2 quen thuộc với hs Đ Lý Lời giải Sgk chưa đưa cách giải Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: Đúng phù hợp với SGK Đ Lời giải Lời giải 10 Chọn: Lg2 Lý do: Lý Sai Đúng LG2 Đ Lý 67 Hs phải giải thích lại tập Vì khơng phải định lí mà áp dụng Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: Hs dể hiểu áp dụng hình học phẳng Lời giải thấy tự nhiên Lời giải Lời giải Đ Lý Cần chứng minh lại tập 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: (khơng có) Đ Lời giải Lời giải 10 Chọn: Lg2 Lý do: 10 Lời giải Lời giải Lý Đúng Lg2 phổ biến Đ Lý Ngắn gọn Nhưng hs phổ thơng làm cách Phải chứng minh lại BT5 10 Đúng Đa số hs phổ thông làm Chọn: Lg2 Lý do: (khơng có) Đ Lý 11 Lời giải Kq btập Sgk ko phải đlí Lời giải 10 Phù hợp với chương trình phổ thông Chọn: Lg2 Lý do: Kiến thức vectơ đv hs phổ thơng tương đối khó, phù hợp với hs giởi 12 Lời giải Lời giải Đ Lý 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: (khơng có) Đ Lý 13 Lời giải Hs phải giải thích lại kq BT5 Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: Vì lời giải áp dụng kiến thức quen thuộc mà hs hay sử dụng 14 Lời giải Lời giải Đ Lý Lạ 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: (Không có) Đ Lý 15 Lời giải Sáng tạo Chưa cm kq Bt5 Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: (Khơng có) Đ Lý Để sd kq đó, hs phải cm lại Bt5, Lời giải kq ko định lí Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: (Khơng có) 16 17 Lời giải Lời giải Đ 10 10 Lý Đúng Đúng Chọn: Lg2 Lý do: Thường kq BT5 ko đc ghi nhớ a/d Gv thường dạy theo cách 2, pp dùng cho nhiều btập Khkg mà sgk sbt có hướng dẫn Đ 18 Lời giải Lời giải 10 Chọn: Lg2 Lý do: Lý - Lg2 đc chọn Hs nắm hiểu dễ dành pp cm diễn giải hs nắm bắt cách cm từ cấp để - Lg1 ko chọn hs thuộc qui tắc định hướng cách cm Đ Lý 19 Lời giải Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: Hs thường ko vững kthức vectơ Mặt khác phần vectơ kthức lớp 10+12, hs thường vận dụng linh hoạt phần kiến thức hình học kg lớp 11 vừa đc học xong Đ Lý 20 Lời giải 10 Đúng Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: Lg2 giúp em nắm đlí hình học khơng gian tốt Đ Lý 21 Lời giải Chưa xác Lời giải 10 Đúng Chọn: Lg2 Lý do: Sử dụng đc kiến thức hhkg giúp cho hs luyện đc toán khác Đ 22 Lời giải Lời giải 10 Chọn: Lg2 Lý do: Lý Đúng Phù hợp với chương trình Đ Lý 23 Lời giải Lời giải 10 Chọn: Lg2 Lý do: (Khơng có) Đ Lý 24 Lời giải 10 Cần chứng minh tập Lời giải 10 Chọn: LG2 Lý do: (Khơng có) Đ Lý 25 Lời giải 10 Lời giải Lời giải 10 Lời giải Chọn: Lg2 Lý do: Quen với lối suy nghĩ học sinh ... khơng gian lớp 11 50 Kết luận Kết nghiên cứu trình bày hai chương luận văn Nghiên cứu vai trị cơng cụ vectơ hình học không gian lớp 11 chương đánh giá giáo viên lời giải dùng kỹ thuật vectơ. .. học sinh cơng cụ giải tốn hình học không gian Ưu công cụ vectơ giúp diễn đạt số nội dung hình học lớp 11 gọn gàng kế thừa để xây dựng khái niệm tọa độ hình học lớp 12 9 Công cụ vectơ tham gia... vận dụng vectơ vào giải tốn hình học không gian lớp 11 Vậy, vấn đề đặt vectơ chấp nhận không chấp nhận hình học khơng gian lớp 11, nghĩa điều kiện ràng buộc để học sinh sử dụng cơng cụ vectơ giải