Đang tải... (xem toàn văn)
Mục lục Mở đầu 3 1 Cơ sở toán học 6 1 1 Không gian Sobolev 6 1 1 1 Khái niệm về không gian Sobolev 6 1 1 2 Không gian H1 0 (Ω) và H−1(Ω) 7 1 2 Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai[.]
Mục lục Mở đầu Cơ sở toán học 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Khái niệm không gian Sobolev 1.1.2 Không gian H01 (Ω) H −1 (Ω) 1.2 Tốn tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai 1.3 Bài toán Dirichlet phương trình Laplace 1.3.1 Phương trình Laplace 1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu 1.3.3 Bất đẳng thức Harnack 1.3.4 Toán tử −∆ toán Dirichlet 1.3.5 Các tính chất toán tử −∆ 1.4 Phương pháp biến phân ứng dụng vào toán Dirichlet đối phương trình elliptic nửa tuyến tính với 14 Nghiệm nghiệm phương pháp lặp đơn điệu không gian Banach 2.1 Tập hợp nón thứ tự 2.2 Phương pháp nghiệm nghiệm phép xấp xỉ liên tiếp 2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân 2.3.1 Bài toán Dirichlet phương trình vi phân nửa tuyến tính 2.3.2 Ví dụ Phương pháp nghiệm nghiệm tốn biên Dirichlet nửa tuyến tính tốn tử Laplace 3.1 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm 3.2 Phương pháp nghiệm yếu, nghiệm yếu 3.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm vào tốn biên Elliptic nửa tuyến tính Kết luận 6 10 10 11 11 11 13 16 16 19 22 22 24 27 27 33 40 49 Tài liệu tham khảo 50 Mở đầu Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu nghiên cứu về: "Phương pháp nghiệm nghiệm giải tốn Dirichlet phương trình Elliptic" Ngun tắc phương pháp dựa vào nguyên lý cực đại nghiệm phương trình elliptic Bản luận văn gồm ba chương gồm phần kiến thức hai chương chính: Chương Cơ sở tốn học Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Đó là: - Khơng gian Sobolev - Tốn tử vi phân đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính cấp hai - Bài tốn Dirichlet phương trình Laplace: Phương trình Laplace, nguyên lý cực đại cực tiểu, bất đẳng thức Harnck, tốn tử −∆ tính chất toán tử −∆ - Phương pháp biến phân ứng dụng vào tốn Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính Chương Nghiệm nghiệm phương pháp lặp đơn điệu không gian Banach Ở chương này, luận văn vào trình bày khái niệm tập hợp nón thứ tự, từ dẫn đến phương pháp nghiệm nghiệm phương pháp xấp xỉ liên tiếp Thơng qua tác giả luận văn có số ví dụ minh họa áp dụng vào phương trình vi phân để giải tốn Dirichlet phương trình vi phân nửa tuyến tính Chương Phương pháp nghiệm nghiệm tốn biên Dirichlet nửa tuyến tính tốn tử Laplace Ở chương này, luận văn đề cập hai mảng: Nghiệm trên, nghiệm nghiệm yếu, nghiệm yếu Trong chương giới thiệu khái niệm "nghiệm nghiệm dưới" toán Dirichlet phương trình Laplace, chứng minh định lý phương pháp nghiệm nghiệm Và đưa số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm nghiệm vào tốn biên elliptic nửa tuyến tính Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân hạn chế nên trình thực luận văn khơng tránh khỏi sơ suất Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình tơi thực đề tài Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln động viên tơi suốt q trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Học viên Bùi Thị Oanh Chương Cơ sở tốn học 1.1 1.1.1 Khơng gian Sobolev Khái niệm không gian Sobolev Giả sử Ω miền bị chặn Rn , với biên ∂Ω Ký hiệu C0∞ (Ω) khơng gian tuyến tính hàm ϕ(x) khả vi vơ hạn có giá compact Ω Rõ ràng: C0∞ (Ω) ⊂ Wk,p (Ω) Giả sử Ω ⊂ Rn miền mở liên thông, ta định nghĩa không gian Sobolev: W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα (u) ∈ Lp (Ω), ∀α :| α |≤ k} với chuẩn : kukpWk,p = X kDα ukpLp |α|≤k kukpWk,+∞ = M ax kDα ukL+∞ |α|≤k Ta ý phép đạo hàm hàm suy rộng liên tục theo nghĩa hội tụ yếu L1loc (Ω) Nhiều tính chất khơng gian Lp (Ω) khơng gian W k,p (Ω) Nhận xét 1.1 • Với p = : H k (Ω) = W k,2 (Ω), k = 1, 2, không gian Hilbert • H (Ω) ≡ L2 (Ω) Định lý 1.1 Với k ∈ N, ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) không gian Banach Không gian W k,p (Ω) không gian phản xạ < p < +∞ Hơn W k,2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng: XZ Dα uDα vdx hu, viWk,2 = |α|≤k Ω Với ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) không gian tách Định lý 1.2 Định lý nhúng Sobolev Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên Lipchitz, k ∈ N, ≤ p ≤ +∞ Khi đó: np ta có phép nhúng: W k,p (Ω) ,→ Lq (Ω) liên n − kp n.p tục phép nhúng compact q < n − k.p k n ii) Nếu ≤ m < k − < m + 1, ≤ α ≤ k − m − phép nhúng liên tục p p n k,p m,α W (Ω) ,→ C (Ω) phép nhúng compact α < k − m − p i) Nếu k, p < n, ≤ q ≤ Tính compact phép nhúng W k,p (Ω) ,→ Lq (Ω) hệ định lý Rellich KondraKov Nhận xét 1.2 Định lý nhúng Sobolev với không gian W k,p (Ω) miền Ω bị chặn 1.1.2 Không gian H01 (Ω) H −1 (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn RN với biên ∂Ω Ký hiệu C0∞ (Ω) khơng gian tuyến tính hàm ϕ(x) khả vi vơ hạn có giá compact Ω Trong C0∞ (Ω) ta đưa vào tích vơ hướng chuẩn sau: (ϕ1 , ϕ2 ) = R Dϕ1 Dϕ2 dx, với ϕ1 (x), ϕ2 (x) ∈ C0∞ (Ω) Ω (1.1) kϕkH01 (Ω) = R |Dϕ|2 dx, ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) (1.2) Ω Dϕ véc tơ đạo hàm (hay vectơ gradient) hàm ϕ(x), x ∈ Ω Dϕ = ( ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , , ) ∂x1 ∂x2 ∂xn Dϕ1 Dϕ2 = |Dϕ| = n X ∂ϕ1 ∂ϕ2 i=1 n X i=1 ∂xi ∂xi ... gọi nghiệm phương trình (2.5) u ≤ T (u) Nguyên lý tổng quát phương pháp nghiệm - nghiệm phát biểu sau: Nếu tồn nghiệm nghiệm phương trình (2.5), nghiệm phương trình (2.5) tìm nhờ phương pháp. .. khái niệm "nghiệm nghiệm dưới" tốn Dirichlet phương trình Laplace, chứng minh định lý phương pháp nghiệm nghiệm Và đưa số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm nghiệm vào toán biên elliptic... tơi tìm hiểu nghiên cứu về: "Phương pháp nghiệm nghiệm giải toán Dirichlet phương trình Elliptic" Nguyên tắc phương pháp dựa vào nguyên lý cực đại nghiệm phương trình elliptic Bản luận văn gồm