Ngày 6 10 bài tập giới hạn và vi phân một biến số phần 2

Học để lập nghiệp www edemy vn 1 KHÓA HỌC TOÁN CAO CẤP – GIẢI TÍCH 1 BÀI TẬP CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ (PHẦN 2) Các em có thể nhận PHẦN 1 TẠI ĐÂY bằng cách nhắn tin với nội dung “TCC1[.]

Học để lập nghiệp KHÓA HỌC: TỐN CAO CẤP – GIẢI TÍCH BÀI TẬP CHƯƠNG: GIỚI HẠN VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ (PHẦN 2) Các em nhận PHẦN TẠI ĐÂY cách nhắn tin với nội dung “TCC1 A GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài 26 Tính giới hạn hàm số sau Lời giải Bài 27 Tính giới hạn hàm số sau Lời giải Bài 28 Tính giới hạn hàm số sau n ∈ N, a ≥ Lời giải www.edemy.vn Học để lập nghiệp - Bài 29 Tính giới hạn sau μ > Lời giải Bài 30 Tính giới hạn sau: Lời giải www.edemy.vn Học để lập nghiệp Bài 31 Tính giới hạn sau đây: Lời giải Bài 32 Tính giới hạn sau đây: Lời giải www.edemy.vn Học để lập nghiệp - Bài 33 Tính giới hạn sau đây: Lời giải Bài 34 Tính giới hạn sau đây: Lời giải Bài 35 Tính giới hạn sau đây: www.edemy.vn Học để lập nghiệp Lời giải Bài 36 Tính giới hạn sau đây: Lời giải Bài 37 Tính giới hạn sau đây: Lời giải Bài 38 Tính giới hạn sau đây: www.edemy.vn Học để lập nghiệp - Lời giải Nhận thấy VCL bậc cao tử mẫu bậc 1, nên VCL có bậc < bị giản lược bớt Như vậy, ta có: B Bài ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Tính đạo hàm hàm f ( x) = x −1 Lời giải Áp dụng quy tắc bảng đạo hàm ta có f ( x) = 3 ( x − 1)2 Như vậy, x=1 thay x=1 vào f ’ để tính mà phải dùng định nghĩa f (x + 1) − f (1) x f (1) = lim = lim = + x→0 x→0 x x  ,x 1  Vậy : f ( x ) =  ( x − 1)  , x =  Bài  sin x ,x   Tính đạo hàm f ( x) =  x 1, x = Lời giải Khi x≠0, ta tính bình thường Khi x=0, ta dùng đ/n f (0) = lim x→0 f (x + 0) − f (0)  sin x  = lim  − 1 = x→0 x x  x    x cos x − sin x ,x   Vậy f ( x) =  x2  0, x = Bài Tính đạo hàm hàm : a f(x) = tan (x3+x) www.edemy.vn Học để lập nghiệp b g(x) = esinx Lời giải f ( x) = ( x3 + x) 3x + = cos ( x3 + x) cos ( x3 + x) g ( x) = esin x (sin x) = cos x.esin x Bài   Tính đạo hàm hàm y = cos  sin x   Lời giải x x x −1 x x   y = −2cos  sin .sin  sin  cos = cos sin(2sin ) 3 3  3  3 Bài Tính đạo hàm y = shx + Lời giải Đặt u = shx y = u + Suy y( x) = y(u ).u( x) = = ( shx) 33 (u + 1)2 shx chx ( shx + 1) shx Bài Tìm đạo hàm hàm ngược hàm y = x − Lời giải Do y = x −  y = x  0x  Nên theo CT tính đạo hàm hàm ngược ta x( y ) = 1 = , x  x( y ) = y( x) x y +1 63 ( ) Bài Tìm đạo hàm hàm ngược hàm y = chx Lời giải y = shx  x = 1 = = y shx = ch x − 1 y2 − Bài Tính y’(x) biết x(t) = etcost, y(t) = etsint Lời giải www.edemy.vn Học để lập nghiệp - y(t ) (et cos t ) et (cos t − sin t ) y( x) = = = x(t ) (et sin t ) et (sin t + cos t ) y( x) = cos t − sin t sin t + cos t Bài Tính đạo hàm y = x ln x Lời giải x  x   x  ln ln   ln x   ln x  ln x −  ln x y =   ln 2   = e  =e ln x           Bài 10 (ln x) x Tính đạo hàm y = x ln x Lời giải Lấy ln vế hàm cho ln y = ln((ln x) ) − ln( x x Lấy đạo hàm vế: ln x ) y = ( ln((ln x) x ) ) − ( ln( x ln x ) ) y Vậy : y = ( ) x (ln x) x x) = (ln x)  ln ln x + − 2ln x  ( x ln(ln x ) − (ln  ( )   ln x x  xln x xln x  Bài 11 Tính đạo hàm cấp 1, hàm y = tan(x2+1) Lời giải y = 2x 2cos( x + 1) + 2.2 x.2 x.sin( x + 1)  y = cos2 ( x2 + 1) cos3 ( x2 + 1) Bài 12 Tính y’, y’’ biết x = e2t sht, y = e2tcht Lời giải y(t ) e2t (2cht + sht ) 2cht + sht y( x) = = = x(t ) e2t (2sht + cht ) 2sht + cht www.edemy.vn Học để lập nghiệp 2  2cht + sht  (2sht + cht ) − (2cht + sht )   (2sht + cht )2 sht + cht   = y( x) = x(t ) e2t (2sht + cht ) 3( sh 2t + ch 2t ) = 2t e (2sht + cht )3 Bài 13 Tính đạo hàm cấp hàm y = sinx.ln(x+1) Lời giải y (3) =  C3k (sin x)( k ) (ln( x + 1))(3−k ) k −0 y (3) = C30 (sin x)(0) (ln( x + 1))(3) + + C33 (sin x)(3) (ln( x + 1)) (0) y (3) = sin x −1 + 3cos x − 3sin x − cos x.ln( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x +1 Bài 14 Tính y(n) biết y = (2x2-x+3)sin(2x+1) Lời giải Đặt f(x) = 2x -x+3, g(x) = sin(2x+1) y = f.g Áp dụng CT Leibnitz với lưu ý: với k>2 f(k)=0 n y (n) =  Cnk f ( k ) g ( n−k ) k =0  ( n−1) + Cn2 f g ( n−2) = Cn0 f (0) g ( n ) + Cn1 f g   = (2 x − x + 3)2n sin(2 x + + n ) + n(4 x − 1)2n−1 sin(2 x + + (n − 1) ) 2 n(n − 1) n−2  + 4.2 sin(2 x + + (n − 2) ) 2 Bài 15 Tính đh cấp n y = x −1 Lời giải Vì y = Nên : y 1 1  =  −  x −1  x −1 x +1 (n)   =     x −  (n)   −   x +1 (n)     (−1) n n!  1 = −   ( x − 1) n+1 ( x + 1) n+1  www.edemy.vn Học để lập nghiệp - Bài 16 Tính đh cấp n y = sin4x+cos4x Lời giải Biến đổi lượng giác: y = − 2sin x cos x = − sin 2 x = − (1 − cos x) = + cos x 4 n   (n) n −1 Suy : y = cos(4 x + n ) = cos(4 x + n ) 2 Bài 17 x +1 x −1 Tính đh cấp 10 y = Lời giải Đặt : f ( x) = x + 1, g ( x) = Suy : y (10) −1 = ( x − 1) x −1 = f g (10) + 10.g (9) −19 −21 −1 −3 −17 −19 −1 −3 −15 −17 ( x − 1) +10 ( x − 1) 2 2 2 2 1.3 17 19( x + 1)  = − 10( x − 1)   2  ( x − 1) 21  = ( x + 1) Bài 18 Cho hàm số :  sin x x   f ( x) =  x a x=  1) 2) Tìm a để hàm số liên tục x=0 Với a tìm ,hãy xét khả vi hàm số x=0 3) Lời giải 1) sin x sinx = lim sin x = x →0 x →0 x x Do lim Vậy để hàm liên tục x = phải có a = 2) Với a= ta có  sin x x   f ( x) =  x 0 x=  10 www.edemy.vn Học để lập nghiệp Ta thấy lim x →0 f ( x) − f (0) sin x = lim = x →0 x−0 x Vậy f’(0) = hàm khả vi x =0 Bài 19 d cos xx+−11 e Tính I = với x≠-1 dx Lời giải Đặt u = cos x −1 x +1 x −1 cos d u x −   u x + I = e = e ux = e  cos  dx x +1  x −1 x +1 Lại đặt v = Ta có (cos v)’ =-sin v v’ = - sin x −1 x −1 x −1 ( )’ = -sin x +1 x +1 x + ( x + 1) Cuối : I = −2e cos x −1 x +1 x −1 sin( ) ( x + 1) x +1 Bài 20 Tính đạo hàm y : ex ; x   (2n + 1), n  1) y = ln + cos x 2) y = 1) + x2 x sin x , x   n, n  Lời giải Trước hết ta đơn giản biểu thức cuả hàm y cách dựa vào tính chất logarit.Ta có 1 x y = ln e x − ln(1 + cos x) = − ln(1 + cos x) 3 3 Do x + tg  1 (cosx) 1 sin x y = − = + = 3 + cos x 3 + cos x 2) tiện lợi xét hàm z=ln|y| Ta có : dz dz dy dy dy dz = =  =y dx dy dx y dx dx dx (*) Viết hàm z dạng www.edemy.vn 11 Học để lập nghiệp - ln x − 7ln sinx dz 2x cos x  = − − dx + x 3x sin x x = ln |y| = ln(1+ x2) - Thế biểu thức vừa thu vào (*) ta có : dy + x2  x cos x  = − −7   dx x sin x  + x 3x sin x  12 www.edemy.vn ... ( n−1) + Cn2 f g ( n? ?2) = Cn0 f (0) g ( n ) + Cn1 f g   = (2 x − x + 3)2n sin (2 x + + n ) + n(4 x − 1)2n−1 sin (2 x + + (n − 1) ) 2 n(n − 1) n? ?2  + 4 .2 sin (2 x + + (n − 2) ) 2 Bài 15 Tính... 2  2cht + sht  (2sht + cht ) − (2cht + sht )   (2sht + cht )2 sht + cht   = y( x) = x(t ) e2t (2sht + cht ) 3( sh 2t + ch 2t ) = 2t e (2sht + cht )3 Bài 13 Tính đạo... y = cos2 ( x2 + 1) cos3 ( x2 + 1) Bài 12 Tính y’, y’’ biết x = e2t sht, y = e2tcht Lời giải y(t ) e2t (2cht + sht ) 2cht + sht y( x) = = = x(t ) e2t (2sht + cht ) 2sht + cht